第二单元 因数和倍数（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共66题-2025-2026学年人教版数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

null2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第二单元 因数和倍数『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共66题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三 奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 5 知识点五 分解质因数 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 找一个数的因数及因数的特征 5 高频考点二 根据因数的特征解决问题 7 高频考点三 找—个数的倍数及倍数的特征 8 高频考点四 根据倍数的特征解决问题 10 高频考点五 倍数和因数的综合应用 11 高频考点六 奇数与偶数的认识 13 高频考点七 2、3、5的倍数特征综合 14 高频考点八 质数与合数的认识 16 高频考点九 质数与合数的综合应用 18 高频考点十 运算性质（奇数和偶数) 19 奥数拓展 拔尖冲刺 21 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 21 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 22 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 23 奥数拓展四 奇数与偶数的认识 24 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 25 奥数拓展六 质数与合数的认识 27 奥数拓展七 质数与合数的综合应用 28 奥数拓展八 运算性质（奇数和偶数) 29 优选真题 实战演练 30 【基础夯实 知识巩固】 30 【拓展提高 能力拔尖】 35 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 高频考点一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）【A】表示自然数A的因数个数，例如：8有1，2，4，8四个因数，则【8】＝4，那么【30】＝( )，【45】＝( )。 【答案】 8 6 【思路引导】根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【规范解答】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，一共有8个。【30】＝8 45＝1×45＝3×15＝5×9 45的因数有1，3，5，9，15，45，一共有6个。【45】＝6 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南郑州·期末）在方格纸上画一个长方形，使得它的面积是24平方厘米，边长是整厘米数。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)有______种画法。 (2)在下面的横线上写出24的全部因数。 24的全部因数：_________________。 【答案】(1)4 (2)1、2、3、4、6、8、12、24 【思路引导】根据长方形的面积＝长×宽，即长×宽＝24，因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，因此选取任意一组作为长方形的长和宽画出长方形即可。 （1）据此统计乘积为24的组合的数量即为画法种数； （2）24的因数是指能整除24的正整数，根据24的所有整数乘法组合来确定全部因数。 【规范解答】（1）画出长为6厘米，宽为4厘米的长方形，如下所示：（画法不唯一） 因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以： 当长为24厘米时，宽为1厘米； 当长为12厘米时，宽为2厘米； 当长为8厘米时，宽为3厘米； 当长为6厘米时，宽为4厘米； 由此可知有4种不同的长和宽的组合，所以共有4种画法。 （2）因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24的全部因数有1、2、3、4、6、8、12、24。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 4 【思路引导】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【规范解答】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 高频考点二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【思路引导】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【规范解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【答案】3个装；因为3是57的因数 【思路引导】根据题意可知，如果包装盒正好能装完蛋挞，则盒子的数量×每个盒子蛋挞的个数＝57个，根据因数的定义，5、3、2哪个是57的因数，对应的包装盒正好能装完。 【规范解答】57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【思路引导】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【规范解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 高频考点三 找—个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【思路引导】找一个数的因数的方法：找配对。48＝1×48、2×24、3×16、4×12、6×8，那么，48的因数就有：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的。据此解答。 【规范解答】48的因数有1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 16的倍数有16，32，48… 一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是16、48。 故答案为：B 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北武汉·期末）以下说法正确的有（    ）句。 ①9比4大，所以9的因数比4的因数多    ②一个自然数至少有两个因数 ③因为，所以6是30的倍数    ④17的最大因数和最小倍数都是17 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】①根据求一个是因数的方法：找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。分别求出9和4的因数，再进行判断。 ②1是自然数，求出1的自然数，再进行判断； ③倍数需在整数范围内讨论，据此解答。 ④一个数最大的因数和最小的倍数是它本身，据此判断解答。 【规范解答】①9＝1×9＝3×3 9的因数有1，3，9一共3个； 4＝1×4＝2×2 4的因数有1，2，4一共3个。 3＝3，9比4大，但是9的因数与4的因数一样多，原题干说法错误。 ②1是自然数，1只有1个因数，所以不能说一个自然数至少有两个因数，原题干说法错误。 ③6÷0.2＝30，因为0.2是小数，所以不能是6是0.2的倍数，原题干说法错误。 ④17的最大因数和最小倍数都是17，原题干说法正确。 正确的有17的最大因数和最小倍数都是17，有1句。 故答案为：A 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个数既是51的因数，又是17的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 17 51 【思路引导】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的求法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 可分别写出51的因数和17的倍数，并在这些数字中找到符合题意的数字。 【规范解答】51＝1×51＝3×17 51的因数有：1，3，17，51； 17的倍数有：17，34，51，…； 一个数既是51的因数，又是17的倍数，这个数最小是17，最大是51。 高频考点四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河南郑州·期末）一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【答案】15 【思路引导】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身；据此可知：这个数的最小因数是1，用16减去1求出这个数的最大因数，也就是这个数本身，一个数的最小倍数是它本身。 【规范解答】16－1＝15 所以这个数的最小倍数是15。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】见详解 【思路引导】根据可能性的大小与数量的多少有关，数量多则可能性就大，反之就小；2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，所以小军的胜率比小明的胜率大，这个游戏不公平；1、2、3、4、5、6这6个数，分别有3个单数，有3个双数，要使游戏是公平，可以猜单双数。据此解答即可。 【规范解答】2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，据此可知这个游戏不公平，因为2的倍数和3的倍数的个数不同，赢的可能性必然不同。设计一个公平的游戏规则如下：猜单数和双数，如果单数小明赢，双数小华赢。 【考点剖析】本题考查可能性，明确可能性的大小与数量的多少有关是解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，下面哪个时间不发车（    ）。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：20 【答案】C 【思路引导】由“每隔15分钟发一辆”可知，每辆车发车的时间与第一辆车间隔的时间是15的倍数，据此可知：某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，以后发车的时间分别是6：35、6：50、7：05、7：20……。 【规范解答】由分析可知： 某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，7：15不发车。 故答案为：C 【考点剖析】此题是考查时间的推算，从始发车时间，依次加15分便是发车时间。 高频考点五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【思路引导】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【规范解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。本题就是将四个选项的数字的因数都找出来，再将除了它自身以外的全部因数相加求和，看是否与自身相等，据此判断可得出答案。 【规范解答】A．10的因数有1、2、5、10，非本身的因数相加： 1＋2＋5 ＝3＋5 ＝8 结果不是10，则10不是完全数； B．12的因数有1、2、3、4、6、12，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6 ＝3＋3＋4＋6 ＝6＋4＋6 ＝10＋6 ＝16 结果不是12，则12不是完全数； C．24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，非本身的因数相加： 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12 ＝3＋3＋4＋6＋8＋12 ＝6＋4＋6＋8＋12 ＝10＋6＋8＋12 ＝16＋8＋12 ＝24＋12 ＝36 结果不是24，则24不是完全数； D．28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加： 1＋2＋4＋7＋14 ＝3＋4＋7＋14 ＝7＋7＋14 ＝14＋14 ＝28 结果是28，则28是完全数。 故答案为：D 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是（    ）。 A．8 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【思路引导】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大因数又是其最小倍数。据此解答。 【规范解答】一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是48。 故答案为：C 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握找一个数的因数、倍数的方法及应用。 高频考点六 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北保定·期末）口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有( )种情况，是奇数的可能性有( )种。 【答案】 9 4 【思路引导】①要组成两位数，十位上不能是0，列举出十位上的数字是1、2、5时组成的两位数，统计所有可能的情况； ②个位数字是1、5的数是奇数。 【规范解答】十位上的数字是1时，组成的两位数有：10、12、15共3种情况； 十位上的数字是2时，组成的两位数有：20、21、25共3种情况； 十位上的数字是5时，组成的两位数有：50、51、52共3种情况； 组成的两位数有： 3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（种） 组成的9种情况中，是奇数的可能性有15、21、25、51共4种情况。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西赣州·期末）从卡片1、2、5中任意抽取两张，和是( )数的可能性大。（填“奇”或“偶”） 【答案】奇 【思路引导】从1、2、5中任意抽取两张，求出和，列举出所有的组合；然后判断和是奇数还是偶数，再根据可能性大小的判断方法，比较和是奇数出现的次数以及和是偶数出现的次数，出现次数多的，可能性就大。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【规范解答】1＋2＝3，3是奇数； 1＋5＝6，6是偶数； 2＋5＝7，7是奇数； 和是奇数的情况出现2次，和是偶数的情况出现1次； 2＞1 从卡片1、2、5中任意抽取两张，和是（奇）数的可能性大。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·天津和平·期末）m表示任意自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 【答案】B 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数。偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，偶数－奇数＝奇数，奇数－奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数。据此解答。 【规范解答】A．m表示任意自然数，2是偶数，那么2m是偶数，2m＋2同样是偶数，所以不符合； B．m表示任意自然数，2是偶数，那么2m是偶数，1是奇数，2m＋1是奇数，所以符合； C．m表示任意自然数，1是奇数，若m是偶数，则m＋1为奇数，若m为奇数，则m＋1为偶数，所以不能确定m＋1为奇数还是偶数，所以不符合； D．m表示任意自然数，1是奇数，若m是偶数，则m－1为奇数，若m为奇数，则m－1为偶数，所以不能确定m－1为奇数还是偶数，所以不符合； 故答案为：B 高频考点七 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南湘西·期末）代表一个大于0小于10的自然数，代表0，下面的四位数中，一定同时是2、3、5的倍数的数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】 A．如果＝1，不是2、5的倍数，且各数位上的数字的和是4，也不是3的倍数，排除； B．＝0，是2、5的倍数，各数位上的数字的和是3，也是3的倍数； C．＝0，是2、5的倍数，各数位上的数字的和是2，不是3的倍数，排除； D．＝0，是2、5的倍数，各数位上的数字的和是，如果＝1，不是3的倍数，排除。 一定同时是2、3、5的倍数的数是。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江宁波·期末）三位数56◎是3的倍数，◎里有( )种不同的填法；如果这个数也是2的倍数，◎里可以填( )。 【答案】 三/3 4 【思路引导】本题是关于3的倍数、2的倍数特征的题型。3的倍数的数的特征是：所有数位上的数相加之和是3的倍数；2的倍数的特征是：数的末尾为0、2、4、6、8。 【规范解答】5＋6＝11（11不是3的倍数）0不可填； 11＋1＝12（12是3的倍数）1可以填； 11加2、加3的和不是3的倍数，2、3均不可填； 11＋4＝15（是3的倍数）4可以填； 11加5、加6的和同样不是3倍数，5、6同样不可填； 11＋7＝18（是3的倍数）7可以填； 依照上面的规律8、9也不可填。 所以三位数56◎是3的倍数，◎里能填1、4、7，有三种填法； 三位数56◎也是2的倍数，末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数，要同时满足3的倍数和2的倍数的特征，◎只能以填4。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）从0、3、5、7这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个三位数最大是( )。 【答案】750 【思路引导】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】个位上的数字只能是0，将最大的数放在百位，第二大的数放在十位，验证是否是3的倍数，7＋5＋0＝12，750是2、3、5的倍数，这个三位数最大是750。 高频考点八 质数与合数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西萍乡·期中）请你仔细阅读短文，完成下面各题。 2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十六号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，3名航天员状态良好，发射取得圆满成功。此次任务是我国载人航天工程立项实施以来的第29次发射任务，也是长征系列运载火箭的第475次飞行。 (1)上面横线上的数中，是30的因数的有( )；是3的倍数的有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (2)从上面横线上的数中选出两个数，使它们的差既不是质数也不是合数，它们可以是( )和( )。 【答案】(1) 5，30，10，3 30，9，3 30，10 (2) 30 31 【思路引导】（1）在整数除法中，如果商是整数，且没有余数，那么除数和商就是被除数的因数，据此找出30的因数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数。 （2）一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数，据此找出两个数的差是1，据此解答（答案不唯一）。 【规范解答】（1）30÷5＝6 30÷30＝1 30÷10＝3 30÷3＝10 是30的因数有5，30，10，3。 5；不能被3整除，不是3的倍数。 30；3＋0＝3，3能被3整除，是3的倍数。 9；9能被3整除，是3的倍数。 31；3＋1＝4，4不能被3整除，不是3的倍数。 10；1＋0＝1，1不能被3整除，不是3的倍数。 3，3能被3整除，是3的倍数。 29；2＋9＝11，11不能被3整除，不是3的倍数。 475；4＋7＋5＝16，16不能被3整除，不是3的倍数。 是3的倍数有30，9，3。 既是2的倍数，又是5的倍数的有30，10， （2）31－30＝1，1既不是质数，也不是合数。 它们可以是31和30。（答案不唯一） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个合数至少有（    ）个因数。 A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【思路引导】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。合数除了1和它本身这两个因数外，至少还有1个别的因数，所以合数至少有3个因数。 【规范解答】一个合数至少有3个因数。例如4＝1×4＝2×2，4的因数有1、2、4，共3个。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西赣州·期末）下面说法正确的有（    ）。 ①同时是2和5的倍数的数一定是偶数。 ②一个数的倍数一定大于这个数的因数。 ③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 ④如果一个正方形的边长是质数，那么它的周长一定是合数。 A．①③④ B．①③ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【思路引导】①个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，能被2整除，也是偶数，个位上是0、5的数是5的倍数，据此判断； ②③一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此判断； ④一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，据此判断。 【规范解答】①同时是2和5的倍数的数的个位上是0，所以一定是偶数，说法正确； ②一个数的倍数一定大于这个数的因数，说法错误，例如20是20的因数，也是20的倍数； ③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，说法正确； ④正方形的周长＝边长×4，如果一个正方形的边长是质数，它的周长一定有因数2、4，是合数，说法正确。 综上所述，说法正确的有①③④。 高频考点九 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【答案】B 【思路引导】根据题意，银杏树的总棵数应能被行数和每行棵数整除，即总棵数为合数。判断71、78、79是否为质数：71和79是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；78是合数，符合条件。因此小华数对了。 【规范解答】根据分析可知，小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，小华数对了。 故答案为：B 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024·福建莆田·小升初真题）如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 【答案】A 【思路引导】质数是指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数本身外，再没有其他的因数；合数是指一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数；而自然数1，只有一个因数1，所以1既不是质数也不是合数。根据由此判断即可。 【规范解答】A．质数乘合数等于合数； B．质数减合数可能是质数，也可能是1，结果不是合数； C．根据质数加合数可能是质数，也可能是合数，即结果不一定是合数； D．质数÷合数不是整数，不可能是合数。 故答案为：A 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【思路引导】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【规范解答】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 高频考点十 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南岳阳·期末）希望小学五（1）班有40人。 （1）如果男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？为什么？ （2）如果男生人数为偶数，小勇认为女生人数也一定是偶数，他的观点对吗？为什么？ 【答案】（1）奇数；理由见详解 （2）对；理由见详解 【思路引导】根据奇数和偶数的运算性质来分析：“奇数＋偶数＝奇数”，“奇数＋奇数＝偶数”，“偶数＋偶数＝偶数”。 （1）已知班级总人数是40人，40是偶数，因为男生人数为奇数，男生人数（奇数）＋女生人数＝总人数（偶数），根据“奇数＋奇数＝偶数”，可得女生人数为奇数。 （2）已知总人数40是偶数，因为男生人数为偶数，男生人数（偶数）＋女生人数＝总人数（偶数），根据“偶数＋偶数＝偶数”，所以女生人数一定是偶数，小勇的观点是对的。 【规范解答】（1）女生人数为奇数。因为奇数＋奇数＝偶数，总人数40是偶数，且男生人数为奇数，所以女生人数为奇数。 （2）小勇的观点对。因为偶数＋偶数＝偶数，总人数40是偶数，且男生人数为偶数，所以女生人数为偶数。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．5.7是0.3的倍数，0.3是5.7的因数 B．一个数是9的倍数，这个数一定是3的倍数 C．奇数加奇数的结果一定还是奇数 D．100以内最大的质数是89 【答案】B 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 如果一个数是9的倍数，那么这个数一定能被3整除。 奇数的运算性质是，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 据此分析各选项，进而得出正确答案。 【规范解答】A．5.7和0.3是小数，不是整数，所以不能说5.7是0.3的倍数，0.3是5.7的因数，该选项错误。 B．9是3的倍数，如果一个数是9的倍数，那么这个数一定能被3整除，所以这个数一定是3的倍数，该选项正确。 C．奇数加奇数的结果是偶数，例如1＋3＝4，4是偶数，该选项错误。 D．100以内最大的质数是97，97＞89，所以不是89，该选项错误。 所以正确的是选项B中的说法。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆巴南·期末）a是一个偶数，下列式子中结果为奇数的是（    ）。 A． B．3a C．a＋3 D． 【答案】C 【思路引导】偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此逐项分析即可解答。 【规范解答】A．＝a×a，a是偶数，所以是偶数； B．a是偶数，3是奇数，所以3a是偶数； C．a是偶数，3是奇数，所以a＋3是奇数； D．a是偶数，17个a相加即17a，偶数×奇数＝偶数，所以17a是偶数。 所以a是一个偶数，下列式子中结果为奇数的是a＋3。 故答案为：C 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有______种分法。 【答案】7 【思路引导】根据题意可知，橘子的总数＝份数×每份的数量，因为份数和每份的数量都是整数，所以将144拆分为2个整数相乘，据此列举出所有可能，再找到符合10~100的范围内的数。 【规范解答】144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12 符合题意的有：72、48、36、24、18、16、12，共7种分法。 【考点剖析】解答本题的关键是每份橘子的个数是整数，然后一一列举出所有可能。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 【答案】28 【思路引导】由于小明只带了100元出去购物，并且在六家店里花的钱相同，因此，小明在每个商店内所花的钱不能超过16元。在小于等于16的自然数中，只有12可以分解成有6个因数的积，因此，小明在每个商店所花的钱都是12元，进而求得剩下的钱数。 【规范解答】（元）……4（元） 小明在每个商店内所花的钱不能超过16元，且这个数有6个不同的因数。 在小于16的数中，只有12有6个不同的因数。 ＝ ＝28（元） 最后他剩（28）元。 【考点剖析】先明确小明在每个商店内所花的钱的最高金额、以及找到12的因数，是解答题的关键。 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个数除以5余2，除以7余3，除以11余7，满足条件的最小自然数是_____。 【答案】227 【思路引导】先求出满足“除以5余2“的数，有7，12，17，22，27，32，37，42、47、52…在上面的数中，再找满足“除以7余3“的数，有10、17、24、31、38、45、52、59、可以找到52。同时满足“除以5余1“、“除以7余3“的数，彼此之间相差5×7＝35的倍数，有52，87、122、157、227、262…，在上面的数中，再找满足“除以11余7“的数，可以找到。因为472＜[5，7，11]＝505，所以所求的最小自然数是227。 【规范解答】除以5余2“的数，有7，12，17，22，27，32，37，42…在上面的数中， 满足“除以7余3“的数，有10、17、24、31、38、45、52、可以找到52； 同时满足“除以5余1“、“除以7余3“的数，彼此之间相差5×7＝35的倍数，有52，87、122、157、227、262…， 在上面的数中，再找满足“除以11余7“的数，可以找到。因为227＜[5，7，11]＝505， 所以所求的最小自然数是227。 【考点剖析】本题利用逐步约束法解答：解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过________天，李师傅能在周六周日休息。 【答案】36 【思路引导】根据题意可知，李师傅每9天里面休息2天，一周7天，所以用9的倍数除以7，当余数为1时，说明这个9的倍数天数为星期天，这天李师傅休息，前一天星期六也休息，据此即可解答。 【规范解答】9的倍数有9、18、27、36、45…； 9÷7＝1（个）……2（天），星期六往后数2天是星期一，说明是星期天、星期一休息； 18÷7＝2（个）……4（天），星期六往后数4天是星期三，说明是星期二、星期三休息； 27÷7＝3（个）……6（天），星期六往后数6天是星期五，说明是星期四、星期五休息； 36÷7＝5（个）……1（天），星期六往后数1天是星期天，说明是星期六、星期天休息； 所以至少再过36天，李师傅能在周六周日休息。 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 【答案】2136 【思路引导】整数a除以整数b（b不为0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a，a称为b的倍数，b称为a的因数。 【规范解答】6的因数有1、2、3、6，所以a、b、c、d代表1、2、3、6中的数字； a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数，那么组成的数是21，说明a是2，b是1； 4和9都是c，d组成的数cd的因数，说明c是3，d是6。 所以门牌号是2136。 【考点剖析】本题考查因数与倍数，解答本题的关键是掌握因数与倍数的概念。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）李（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 【答案】17 【思路引导】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，一个数的最大因数是17，说明这个数是17，最小倍数也是它本身，即17。 奥数拓展四 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 【答案】 不可能 【思路引导】每次操作改变两盏灯的状态，总操作次数为偶数次，导致三个灯被拉的总次数之和为偶数，而三个灯全亮需每个灯被拉奇数次，三个奇数之和为奇数，矛盾。 【规范解答】初始状态：3盏灯均为关闭状态。 每次操作：拉两盏灯的开关，改变这两盏灯的状态（关→开或开→关）。 总操作次数分析： 设操作次数为，每次操作涉及2盏灯，总拉灯次数为（偶数）。 每个灯被拉的总次数之和为，必为偶数。 全亮条件： 每盏灯需被拉奇数次（初始为关，奇数次操作后变为开）。 三个奇数之和为奇数，但总次数为偶数，矛盾。 答：无法通过若干次操作使3盏灯全部亮着。 【考点剖析】关键在于分析操作次数的奇偶性：每次拉两盏灯（偶数次操作），总操作次数始终为偶数；但3盏灯全亮需每盏被拉奇数次，3个奇数之和为奇数，偶数与奇数矛盾，故不可能实现。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）李在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 【答案】B 【思路引导】数码之和指的是每个数的各位数字相加的总和。 数列为从1到99的连续奇数，包括一位数和两位数，一位数奇数有：1、3、5、7、9，其数码之和为1＋3＋5＋7＋9＝25；两位数奇数（从11到99）：十位数字从1到9，个位数字为1、3、5、7、9，两位数奇数的十位是1~9，每个十位对应5个奇数（如十位是1时，对应11、13、15、17、19），因此十位数码之和为（1＋2＋3＋…＋9）×5＝45×5＝225；个位数码之和为：（1＋3＋5＋7＋9）×9＝25×9＝225。最后将一位数奇数的数码之和和两位数奇数的数码之和（分为十位数码之和和个位数码之和）相加即可。 【规范解答】1＋3＋5＋7＋9 ＝5×5 ＝25 （1＋2＋3＋…＋9）×5 ＝（5×9）×5 ＝45×5 ＝225 （1＋3＋5＋7＋9）×9 ＝（5×5）×9 ＝25×9 ＝225 25＋（225＋225） ＝25＋450 ＝475 因此所有数码（数字）之和等于475。 故答案为：B 【考点剖析】本题需把连续奇数1、3、5、…、97、99按一位数、两位数分类，两位数再分为十位数和个位数，分别计算它们的数码之和，再相加。 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 240 840 【思路引导】要同时是2，3，5的倍数，这个数必须满足：个位是0和各位数字之和是3的倍数两个条件。 我们先确定个位必须是0，然后从剩下的数字2，3，4，8中挑选两个，使其与0的和是3的倍数组成一个三位数。 ①找最小三位数的方法：要使数最小，百位和十位都要优先选用较小的数，所以百位优先考虑2，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最小的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数3，4，8中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最小的三位数。 ②找最大三位数的方法：要使数最大，百位和十位都要优先选用较大的数，所以百位优先考虑8，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最大的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数2，3，4中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最大的三位数。 【规范解答】确定个位：0 ①找最小三位数 最小数的百位：从2，3，4，8选最小的，只能是2 最小数的十位：从3，4，8选最小的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最小的三位数是：240 ②找最大三位数 最大数的百位：从2，3，4，8选最大的，只能是8 最大数的十位：从2，3，4选最大的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最大的三位数是：840 所以，这个三位数最小是240，最大是840。 【考点剖析】关键点是先根据2和5的倍数特征确定个位为0，再根据3的倍数特征筛选数字，最后按要求排列。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）李（24-25五年级下·全国·课后作业）寻找最大数与最小数。 （1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是多少？ （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是多少？ 【答案】（1）68580（2）26850 【思路引导】需要构造五位数并满足同时是2、3、5的倍数的条件。解题时先确定个位数字，再计算各位数字之和是否满足3的倍数要求，最后根据题目要求选择最大或最小的数。 （1）同时是2和5的倍数，个位必须是0。因此五位数最后一个数字为0。原数为685后加两位数字，构造为685X0其中X为第四位。各位数字之和，必须是3的倍数。X为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最大，X应取最大的可能值8，五位数为68580，验证：是3的倍数。 （2）构造五位数为A685B，个位B为0以满足2和5的倍数条件， 五位数形式为A6850，其中A为首位数字 （不能为0）。各位数字之和，必须是3的倍数。A为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最小，A应取最小的可能值2。五位数为26850，验证：是3的倍数。 【规范解答】（1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是68580； （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是26850。 【考点剖析】根据2,3,5的倍数特征，判断末尾为0，结合题目要求填出最大最小的数。 奥数拓展六 质数与合数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）三个不同质数的和是50，这三个质数的积最大是多少？ 【答案】1102 【思路引导】因为三个质数和为50（偶数），除2外的质数均为奇数，奇数＋奇数＋偶数＝偶数，所以三个质数中必有一个是2； 剩余两质数的和为48，需满足两质数不同且均为奇数，列举可能的组合：5和43，积为430；7和41，积为574；11和37，积为814；17和31，积为1054；19和29，积为 1102，比较可知1102最大。 【规范解答】； ，； ，； ，； ，； ， 答：最大积为1102。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）李（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【规范解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点剖析】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 奥数拓展七 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【答案】92颗 【思路引导】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。 【规范解答】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。 情况一：1＋31×3 ＝1＋93 ＝94（颗） 情况二：2×1＋30×3 ＝2＋90 ＝92（颗） 92＜94 答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。 【考点剖析】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）李如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【答案】11、17、2 【思路引导】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【规范解答】209＝11×19 19＝17＋2 答：a、b、c各代表11、17、2。 【考点剖析】关键是掌握质数、合数的分类标准。 奥数拓展八 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】①除2之外，所有的质数都是奇数，因为奇数加奇数等于偶数， 所以除2之外，任意两个质数的和一定是偶数，表述正确； ②一个质数和一个合数不一定是互质数，例如2和4，其中2是质数，4是合数，它们公因数除了1还有2，2和4不是互质数 ，所以一个质数和一个合数一定是互质数，表述不正确； ③假设a和b是相邻的两个连续自然数，且a＞b， 若c为它们的公因数， 则c一定能整除a －b，由于a－b＝1，所以c ＝1，所以两个连续的非零自然数一定是互质数，表述正确； ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，假设a＝4，b＝2，则a的因数有1，2和4，b的因数有1和2，则a的因数个数一定多于b的因数个数。所以a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数，表述正确。 【规范解答】根据分析可得①③④正确，所以有3句是正确的。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查因数与倍数、质数与合数、奇数与偶数，解答本题的关键是掌握这些知识点。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）“三八”女神节那天，爸爸给妈妈买了一束鲜花，共花93元，其中康乃馨3元/枝，玫瑰5元/枝，狐尾百合10元/枝。这束花中玫瑰的枝数是最大的一位数，狐尾百合的枝数为奇数，康乃馨应为( )枝。 【答案】6 【思路引导】单价×数量＝总价，这束鲜花的总钱数93元，是个奇数，玫瑰的枝数是最大的一位数，即9枝，玫瑰单价5元，是奇数，奇数×奇数＝奇数，总钱数－玫瑰钱数＝偶数；狐尾百合单价10元，是偶数，枝数为奇数，偶数×奇数＝偶数，狐尾百合钱数是偶数；康乃馨单价是奇数，总价应为偶数，所以康乃馨枝数为偶数，据此再根据3的倍数的特征推算出康乃馨的枝数。 【规范解答】最大的一位数是9。 93－9×5 ＝93－45 ＝48（元） 狐尾百合的枝数为奇数，只能是1枝或3枝。康乃馨3元/枝，康乃馨的钱数是3的倍数。 48－10×1 ＝48－10 ＝38（元） 38不是3的倍数，狐尾百合不可能是1枝。 48－10×3 ＝48－30 ＝18（元） 18是3的倍数，狐尾百合有3枝，则： 18÷3＝6（枝） 康乃馨应为6枝。 【考点剖析】关键是理解奇数和偶数的运算性质，掌握3的倍数的特征。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）下面关于合数的说法，正确的是（    ）。 A．所有的合数都是偶数 B．所有的偶数都是合数 C．合数只有2个因数 D．合数至少有3个因数 【答案】D 【思路引导】一个数除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。合数至少有3个因数。 2的倍数都是偶数。 【规范解答】A．9是合数，但9是奇数，所以所有的合数都是偶数的说法错误。 B．2是偶数，但2是质数，2是唯一的偶质数，所以所有的偶数都是合数的说法错误。 C．只有1和它本身两个因数的数是质数，合数至少有3个因数。 D．合数除了1和它本身外还有别的因数，所以合数至少有3个因数。此选项正确。 2．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）如果b是奇数，下列算式的结果一定是偶数的是（    ）。 A．155b B．202＋b C．200－b D．b＋1 【答案】D 【思路引导】已知b是奇数，需要根据奇数与偶数相加、相减、相乘的规律判断各选项结果的奇偶性。奇数加奇数等于偶数，偶数加减奇数等于奇数，奇数乘奇数等于奇数。 【规范解答】 A．155是奇数，b是奇数，奇数×奇数＝奇数，则155b的结果是奇数。此选项错误； B．202是偶数，b是奇数，偶数＋奇数＝奇数，则202＋b的结果是奇数。此选项错误； C．200是偶数，b是奇数，偶数−奇数＝奇数，则200−b的结果是奇数。此选项错误； D．b是奇数，1是奇数，奇数＋奇数＝偶数，则的结果是偶数。此选项正确。 3．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）《水浒传》是我国四大名著之一，在这部古典名著中描写了108位梁山好汉。下面各数中（    ）不是108的因数。 A．6 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【思路引导】在非零自然数范围内，如果整数除以整数（）的商是整数而没有余数，我们就说是的因数。本题需要找出不是因数的数，可以通过计算除以各选项的数，看是否有余数来判断。 【规范解答】A．，没有余数，所以是的因数，不符合题意，此选项错误； B．，没有余数，所以是的因数，不符合题意，此选项错误； C．，有余数，所以不是的因数，符合题意，此选项正确； D．，没有余数，所以是的因数，不符合题意，此选项错误。 4．（24-25五年级下·重庆渝北·期末）既是2的倍数，又是3的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。 【答案】 12 96 【思路引导】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。要想得到最小两位数，十位上可先考虑是1；要想得到最大两位数，十位上可先考虑是9；再根据2、3的倍数的特征解答。 【规范解答】根据2的倍数的特征可知：这个两位数的个位上是0，2，4，6，8。 最小两位数： 十位上最小是1，1＋0＝1，1不是3的倍数，所以10不是3的倍数； 1＋1＝2，2不是3的倍数，所以11不是3的倍数； 1＋2＝3，3是3的倍数，所以12是3的倍数。 最大两位数： 十位上最大是9，9＋8＝17，17不是3的倍数，所以98不是3的倍数； 9＋7＝16，16不是3的倍数，所以97不是3的倍数； 9＋6＝15，15是3的倍数，所以96是3的倍数。 所以既是2的倍数，又是3的倍数的最小两位数是12，最大两位数是96。 5．（24-25五年级下·河北保定·期末）琳琳经常使用智慧中小学学习平台学习。在智慧中小学平台上的积分达到了1856分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】 1 4 【思路引导】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；一个数同时是2和5的倍数，则个位一定是0；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数，据此解答。 【规范解答】1＋8＋5＋6＝20 20÷7＝2……6 7－6＝1 要同时是2和5的倍数，那么最接近的数是1860。 1860－1856＝4 至少增加1分就是3的倍数，至少增加4分就同时是2和5的倍数。 6．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）湘西土家族苗族自治州共有林木资源101科，珍贵乡土树种36种，古树名木41034株。杉木在湘西林木资源中占有重要地位，共有3科6属约10种被统称为“杉木”。以上出现的数，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 2 4 【思路引导】质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数。注意：1既不是质数也不是合数，据此判断。 【规范解答】101只能被1和它自身整除，是质数； 36除了能被1和它自身整除，还能被2、3、4、6、9、12、18整除，是合数； 41034除了能被1和它自身整除，还能被2、3等等整除，是合数。 3只能被1和它自身整除，是质数； 6除了能被1和它自身整除，还能被2、3整除，是合数； 10除了能被1和它自身整除，还能被2、5整除，是合数。 质数有2个，合数是4个。 7．（24-25五年级下·山东济宁·期末）在□内填上一个数字，使34□是3的倍数，则□内有3种填法。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。已知前两位数字之和是7，找出0至9中哪个数字与7相加的和是3的倍数，统计符合条件的数字个数即可判断。 【规范解答】3＋4＝7 当个位填0时，0＋7＝7，7不是3的倍数，不符合； 当个位填1时，1＋7＝8，8不是3的倍数，不符合； 当个位填2时，2＋7＝9，9是3的倍数，符合； 当个位填3时，3＋7＝10，10不是3的倍数，不符合； 当个位填4时，4＋7＝11，11不是3的倍数，不符合； 当个位填5时，5＋7＝12，12是3的倍数，符合； 当个位填6时，6＋7＝13，13不是3的倍数，不符合； 当个位填7时，7＋7＝14，14不是3的倍数，不符合； 当个位填8时，8＋7＝15，15是3的倍数，符合； 当个位填9时，9＋7＝16，16不是3的倍数，不符合。 综上，符合条件的数字有2、5、8，共3个，所以□内有3种填法，原题说法正确。 故答案为：√ 8．最大的一位数减去最小质数与最小合数的积，结果是多少？ 【答案】1 【思路引导】最大一位数是9，最小的质数是2，最小的合数是4。先计算出2和4的积，再用9减去它们的积即可。 【规范解答】9－2×4 ＝9－8 ＝1 9．（25-26五年级上·江西南昌·期末）小红在分节能荧光棒的时候遇到这样的问题。 一共有100根节能荧光棒，小红自己留下10根，剩下的分给8个小朋友，每个小朋友可以分到几根？ 小红解答如下： 每个小朋友可分：100－10＝90（根） 90÷8＝11.25（根） 小红想：按这样计算，每个小朋友分到的不是整数，要把自己留下的节能荧光棒调成多少才能使每个小朋友分到的变成整数，又与原来的数量最接近呢？ 请你帮小红解决这个问题，写出思考过程。 【答案】12根 【思路引导】先看最接近90的8的倍数是多少，再进一步求出小红该留下的根数，据此回答。 【规范解答】解：设小红留下x根，分给8个小朋友的数量为100－x，需为8的倍数， 100－x最接近90的8的倍数为88或96。 当100－x＝88时： 100－x＝88 100－x＋x＝88＋x 100＝88＋x 88＋x＝100 88＋x－88＝100－88 x＝12 当100－x＝96时： 100－x＝96 100－x＋x＝96＋x 100＝96＋x 96＋x＝100 96＋x－96＝100－96 x＝4 比较12和4，12与原来留下的10根更接近。 答：小红应留下12根。 10．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【思路引导】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【规范解答】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·广西北海·期末）下面各组数中，既是2的倍数也是3的倍数的是（    ）。 A．9、12、15 B．6、10、27 C．18、24、36 【答案】C 【思路引导】既是的倍数也是的倍数，说明这个数必须同时满足的倍数特征和的倍数特征。 的倍数特征是个位上是、、、、的数；的倍数特征是各位上数字之和是的倍数，逐项验证即可。 【规范解答】A．不是的倍数；的个位是，不是的倍数。此选项错误； B．的各位数字之和是，不是的倍数，所以不是的倍数；的个位是，不是的倍数。此选项错误； C．的个位是，是的倍数；各位数字之和，是的倍数，所以也是的倍数； ：个位是，是的倍数；各位数字之和，是的倍数，所以也是的倍数； ：个位是，是的倍数；各位数字之和，是的倍数，所以也是的倍数。 既是的倍数也是的倍数的是18、24、36。 2．（24-25五年级下·山东济宁·期末）下面各组数中，第二个数是第一个数的因数的一组是（    ）。 A．2.4和0.6 B．3.5和7 C．18和3 【答案】C 【思路引导】在研究因数和倍数时，所说的数指的是非0自然数。判断第二个数是否是第一个数的因数，首先要看这两个数是否都是非0自然数，其次看第一个数除以第二个数是否商为整数且没有余数。 【规范解答】A．2.4和0.6都是小数，不属于非0自然数范围，不存在因数关系，该选项错误； B．3.5是小数，不属于非0自然数范围，不存在因数关系，该选项错误； C．18和3都是非0自然数，且18÷3＝6，商是整数且没有余数，所以3是18的因数，该选项正确。 第二个数是第一个数的因数的一组是18和3。 3．（24-25五年级上·江西九江·期末）笑笑把一些小正方形边挨着边摆长方形，可以摆出4种不同的长方形。小正方形的个数一定是（    ）。 A．奇数 B．质数 C．合数 【答案】C 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，1既不是质数也不是合数；用若干个同样的小正方形边挨着边摆长方形，长方形的形状改变，面积不变。假设每个小正方形的面积是1，则由几个小正方形摆出长方形，长方形的面积就是几，“长方形的面积＝长×宽”，已知可以摆出4种不同的长方形，所以长方形的长和宽有4种情况，据此可知小正方形的个数一定是合数，据此解答。 【规范解答】假设每个小正方形的面积是1，则n个小正方形组成的长方形面积是n，假设组成长方形的长是a，宽是b，则n＝a1×b1＝a2×b2＝a3×b3＝a4×b4，说明n的因数除了1和它本身还有别的因数，n可能是奇数也可能是偶数，但是n一定是合数，即小正方形的个数一定是合数。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查质数合数的意义，根据合数的意义判断组成长方形的面积是合数是解答题目的关键。 4．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）从2、4、7中选任两个数字可以组成不同的两位数。在这些两位数中，质数是( )；既是2的倍数，又是3的倍数，最大是( )。 【答案】 47 72 【思路引导】2的倍数的特征是：个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数的特征是：各个数位的数字之和是3的倍数；既是2的倍数又是3的倍数，个位数字是2或4，且各个数位上数字之和是3的倍数；质数是只有1和本身两个因数的数。 【规范解答】从2、4、7中任选两个数字可以组成不同的两位数，有24、27、42、47、72、74。 在这些两位数中，质数是47；既是2的倍数，又是3的倍数，最大是72。 5．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）聪聪家的WiFi密码是一个四位数：3□7□。已知这个密码是2、3、5的倍数，而且百位是一个偶数。那么聪聪家的WiFi密码可能是( )，也可能是( )。 【答案】 3270 3870 【思路引导】密码是2、3、5的倍数，首先同时是2和5的倍数的数，个位必须是0；再根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，且百位是偶数，找出符合条件的数。 【规范解答】同时是2和5的倍数，个位只能是0，密码形式为3□70。 各位数字和：3＋□＋7＋0＝10＋□，10＋□必须是3的倍数，且□是偶数（0，2，4，6，8）。 试算：10＋2＝12（是3的倍数），10＋8＝18（是3的倍数），所以百位可以是2或8。 可能是3270，也可能是3870。 6．（25-26五年级上·河北保定·期末）从标有1~10的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽到合数的可能性相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】依据质数和合数的定义，分别统计1－10中质数和合数的个数，数量相等，则抽到的可能性也相等。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除，还能被其他数（0除外）整除的数。注意1既不是质数也不是合数。 【规范解答】在1~10中，质数有2、3、5、7，共4个；合数有4、6、8、9、10，共5个。 因为5＞4，即合数的个数比质数的个数多。数量越多，抽到的可能性越大，所以抽到合数的可能性更大。两者可能性不相等。故原题说法错误。 故答案为：× 7．一个数的倍数一定比它的因数大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据一个数的因数和倍数的特点：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，因数的个数是有限的；一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。因此，一个数的倍数可能等于它的因数。 【规范解答】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。例如6的最大因数是6，最小倍数也是6，此时这个数的倍数和因数是相等的。所以一个数的倍数不一定比它的因数大。 故答案为：× 8．（25-26五年级上·河南郑州·期末）涛涛从0~6七张数字卡片中选择三张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？请说明理由。 【答案】 650；理由见详解 【思路引导】既是2的倍数又是5的倍数的数，其个位数字必须是0。因此，这个三位数的个位确定为0。涛涛的数字卡片为0、1、2、3、4、5、6，个位使用0后，剩余卡片为1、2、3、4、5、6，百位不能为0，从1、2、3、4、5、6中选择，要组成最大的三位数，百位应选最大的数字6；十位从剩余数字1、2、3、4、5中选择最大的数字5。因此，这个三位数是650。 【规范解答】这个三位数最大是650。 理由：同时是2和5的倍数的数，个位一定是0；要使三位数最大，百位数字选剩余数字中最大的（6），十位数字再选剩下数字中最大的（5），所以这个三位数最大是650。 9．（25-26五年级上·海南省直辖县级单位·期末）用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再填空。 长（厘米） 36 宽（厘米） 1 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是（    ）厘米，最小是（    ）厘米。 【答案】（1）列表见详解；5； （2）74；24； 【思路引导】用36个小正方形拼成长方形（或正方形），面积不变（36平方厘米）。长方形的长和宽必须是36的因数，且长≥宽。因此需列举36的所有因数对（长、宽），计算不同拼法的周长，再比较最大值和最小值。 【规范解答】 长（厘米） 36 18 12 9 6 宽（厘米） 1 2 3 4 6 （1）一共有5种不同的拼法。 （2）（36＋1）×2 ＝37×2 ＝74（厘米） （18＋2）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） （12＋3）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） （6＋6）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 74＞40＞30＞26＞24 在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是74厘米，最小是24厘米。 10．请阅读以下材料，再解决问题。 （1）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3。100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （2）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√），再在括号里写出9的倍数的特征。 903（    ）   693（    ）   239（    ）   990（    ） （                                                 ），这个数就是9的倍数。 （3）请根据阅读材料，解释判断一个数是不是9的倍数的方法的道理。 【答案】见详解 【思路引导】按照阅读材料（1）的方法以及运用乘法分配律，推出9的倍数特征：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。 【规范解答】（2）903（    ）   693（ √  ）   239（    ）   990（ √  ） 各个数位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 （3）例如：693是6个百、9个十、3个一组成的，它可以表示成：693＝6×100＋9×10＋3。100不是9的倍数，但是99是9的倍数，9也是9的倍数。根据乘法分配律： 693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需要看“6＋9＋3”，也就是“各个数位上的数字和”是否为9的倍数便可以进行判断了。 6＋9＋3 ＝15＋3 ＝18 18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。 【考点剖析】根据3的倍数特征的推导过程，推出9的倍数特征，学会判断一个数是不是9的倍数的方法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第二单元 因数和倍数『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+10个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共66题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 4 知识点一 因数与倍数 4 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三 奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 5 知识点五 分解质因数 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 找一个数的因数及因数的特征 5 高频考点二 根据因数的特征解决问题 6 高频考点三 找—个数的倍数及倍数的特征 7 高频考点四 根据倍数的特征解决问题 7 高频考点五 倍数和因数的综合应用 7 高频考点六 奇数与偶数的认识 8 高频考点七 2、3、5的倍数特征综合 8 高频考点八 质数与合数的认识 8 高频考点九 质数与合数的综合应用 9 高频考点十 运算性质（奇数和偶数) 10 奥数拓展 拔尖冲刺 10 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 10 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 10 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 11 奥数拓展四 奇数与偶数的认识 11 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 11 奥数拓展六 质数与合数的认识 12 奥数拓展七 质数与合数的综合应用 12 奥数拓展八 运算性质（奇数和偶数) 13 优选真题 实战演练 13 【基础夯实 知识巩固】 13 【拓展提高 能力拔尖】 14 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 高频考点一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）【A】表示自然数A的因数个数，例如：8有1，2，4，8四个因数，则【8】＝4，那么【30】＝( )，【45】＝( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南郑州·期末）在方格纸上画一个长方形，使得它的面积是24平方厘米，边长是整厘米数。（每个小方格的边长表示1厘米） (1)有______种画法。 (2)在下面的横线上写出24的全部因数。 24的全部因数：_________________。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 高频考点二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 高频考点三 找—个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．32 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖北武汉·期末）以下说法正确的有（    ）句。 ①9比4大，所以9的因数比4的因数多    ②一个自然数至少有两个因数 ③因为，所以6是30的倍数    ④17的最大因数和最小倍数都是17 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西吉安·期末）一个数既是51的因数，又是17的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 高频考点四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·河南郑州·期末）一个数的最小因数与最大因数的和是16，这个数的最小倍数是( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）某长途汽车早上6：20发出第一次车，以后每隔15分钟发一次，下面哪个时间不发车（    ）。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：20 高频考点五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·广东肇庆·期末）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西上饶·期中）在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现在数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（    ）也是完全数。 A．10 B．12 C．24 D．28 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个数，它既是48的因数，又是8的倍数，这个数最大是（    ）。 A．8 B．24 C．48 D．96 高频考点六 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河北保定·期末）口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有( )种情况，是奇数的可能性有( )种。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·江西赣州·期末）从卡片1、2、5中任意抽取两张，和是( )数的可能性大。（填“奇”或“偶”） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·天津和平·期末）m表示任意自然数，那么（    ）一定表示奇数。 A．2m＋2 B．2m＋1 C．m＋1 D．m－1 高频考点七 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南湘西·期末）代表一个大于0小于10的自然数，代表0，下面的四位数中，一定同时是2、3、5的倍数的数是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江宁波·期末）三位数56◎是3的倍数，◎里有( )种不同的填法；如果这个数也是2的倍数，◎里可以填( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）从0、3、5、7这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个三位数最大是( )。 高频考点八 质数与合数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西萍乡·期中）请你仔细阅读短文，完成下面各题。 2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十六号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，3名航天员状态良好，发射取得圆满成功。此次任务是我国载人航天工程立项实施以来的第29次发射任务，也是长征系列运载火箭的第475次飞行。 (1)上面横线上的数中，是30的因数的有( )；是3的倍数的有( )；既是2的倍数，又是5的倍数的有( )。 (2)从上面横线上的数中选出两个数，使它们的差既不是质数也不是合数，它们可以是( )和( )。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个合数至少有（    ）个因数。 A．2 B．3 C．4 D．1 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江西赣州·期末）下面说法正确的有（    ）。 ①同时是2和5的倍数的数一定是偶数。 ②一个数的倍数一定大于这个数的因数。 ③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 ④如果一个正方形的边长是质数，那么它的周长一定是合数。 A．①③④ B．①③ C．①② D．①②③④ 高频考点九 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2024·福建莆田·小升初真题）如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·重庆荣昌·期末）乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 高频考点十 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南岳阳·期末）希望小学五（1）班有40人。 （1）如果男生人数为奇数，那么女生人数为奇数还是偶数？为什么？ （2）如果男生人数为偶数，小勇认为女生人数也一定是偶数，他的观点对吗？为什么？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．5.7是0.3的倍数，0.3是5.7的因数 B．一个数是9的倍数，这个数一定是3的倍数 C．奇数加奇数的结果一定还是奇数 D．100以内最大的质数是89 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·重庆巴南·期末）a是一个偶数，下列式子中结果为奇数的是（    ）。 A． B．3a C．a＋3 D． 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有______种分法。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个数除以5余2，除以7余3，除以11余7，满足条件的最小自然数是_____。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过________天，李师傅能在周六周日休息。 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）李（23-24五年级下·全国·期末）一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 奥数拓展四 奇数与偶数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）李在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 奥数拓展五 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·河南驻马店·期末）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）李（24-25五年级下·全国·课后作业）寻找最大数与最小数。 （1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是多少？ （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是多少？ 奥数拓展六 质数与合数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）三个不同质数的和是50，这三个质数的积最大是多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）李（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 奥数拓展七 质数与合数的综合应用 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元测试）数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）李如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 奥数拓展八 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·浙江杭州·期末）下面表述有（    ）句是正确的。 ①除2之外，任意两个质数的和一定是偶数。 ②一个质数和一个合数一定是互质数。 ③两个连续的非零自然数一定是互质数。 ④a和b是两个不同的非零自然数，并且a是b的倍数，那么a的因数个数一定多于b的因数个数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）“三八”女神节那天，爸爸给妈妈买了一束鲜花，共花93元，其中康乃馨3元/枝，玫瑰5元/枝，狐尾百合10元/枝。这束花中玫瑰的枝数是最大的一位数，狐尾百合的枝数为奇数，康乃馨应为( )枝。 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·重庆大渡口·期末）下面关于合数的说法，正确的是（    ）。 A．所有的合数都是偶数 B．所有的偶数都是合数 C．合数只有2个因数 D．合数至少有3个因数 2．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）如果b是奇数，下列算式的结果一定是偶数的是（    ）。 A．155b B．202＋b C．200－b D．b＋1 3．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）《水浒传》是我国四大名著之一，在这部古典名著中描写了108位梁山好汉。下面各数中（    ）不是108的因数。 A．6 B．9 C．15 D．18 4．（24-25五年级下·重庆渝北·期末）既是2的倍数，又是3的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。 5．（24-25五年级下·河北保定·期末）琳琳经常使用智慧中小学学习平台学习。在智慧中小学平台上的积分达到了1856分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 6．（24-25五年级下·湖南湘西·期末）湘西土家族苗族自治州共有林木资源101科，珍贵乡土树种36种，古树名木41034株。杉木在湘西林木资源中占有重要地位，共有3科6属约10种被统称为“杉木”。以上出现的数，质数有( )个，合数有( )个。 7．（24-25五年级下·山东济宁·期末）在□内填上一个数字，使34□是3的倍数，则□内有3种填法。( )（判断对错） 8．最大的一位数减去最小质数与最小合数的积，结果是多少？ 9．（25-26五年级上·江西南昌·期末）小红在分节能荧光棒的时候遇到这样的问题。 一共有100根节能荧光棒，小红自己留下10根，剩下的分给8个小朋友，每个小朋友可以分到几根？ 小红解答如下： 每个小朋友可分：100－10＝90（根） 90÷8＝11.25（根） 小红想：按这样计算，每个小朋友分到的不是整数，要把自己留下的节能荧光棒调成多少才能使每个小朋友分到的变成整数，又与原来的数量最接近呢？ 请你帮小红解决这个问题，写出思考过程。 10．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·广西北海·期末）下面各组数中，既是2的倍数也是3的倍数的是（    ）。 A．9、12、15 B．6、10、27 C．18、24、36 2．（24-25五年级下·山东济宁·期末）下面各组数中，第二个数是第一个数的因数的一组是（    ）。 A．2.4和0.6 B．3.5和7 C．18和3 3．（24-25五年级上·江西九江·期末）笑笑把一些小正方形边挨着边摆长方形，可以摆出4种不同的长方形。小正方形的个数一定是（    ）。 A．奇数 B．质数 C．合数 4．（24-25五年级下·浙江杭州·期末）从2、4、7中选任两个数字可以组成不同的两位数。在这些两位数中，质数是( )；既是2的倍数，又是3的倍数，最大是( )。 5．（24-25五年级下·湖北黄石·期末）聪聪家的WiFi密码是一个四位数：3□7□。已知这个密码是2、3、5的倍数，而且百位是一个偶数。那么聪聪家的WiFi密码可能是( )，也可能是( )。 6．（25-26五年级上·河北保定·期末）从标有1~10的10张卡片中任意抽一张，抽到质数的可能性与抽到合数的可能性相等。( )（判断对错） 7．一个数的倍数一定比它的因数大。( )（判断对错） 8．（25-26五年级上·河南郑州·期末）涛涛从0~6七张数字卡片中选择三张组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是5的倍数，这个三位数最大是多少？请说明理由。 9．（25-26五年级上·海南省直辖县级单位·期末）用36个边长1厘米的小正方形拼成长方形（或正方形），一共有多少种不同的拼法？先在下表中列举出所有不同的可能，再填空。 长（厘米） 36 宽（厘米） 1 （1）一共有（    ）种不同的拼法。 （2）在所有不同的拼法中，长方形（或正方形）的周长最大是（    ）厘米，最小是（    ）厘米。 10．请阅读以下材料，再解决问题。 （1）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3。100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （2）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√），再在括号里写出9的倍数的特征。 903（    ）   693（    ）   239（    ）   990（    ） （                                                 ），这个数就是9的倍数。 （3）请根据阅读材料，解释判断一个数是不是9的倍数的方法的道理。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $