3.3.1抛物线及其标准方程7题型分类讲义(讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学抛物线及其标准方程核心知识点，系统梳理定义、标准方程及7类典型题型，前承椭圆与双曲线等圆锥曲线知识，后续衔接抛物线几何性质，通过定义理解、方程求解、轨迹问题等模块搭建学习支架。 该资料以题型分类为框架，融入2026年各地期中期末及模拟真题，强化定义与方程的转化应用，培养数学思维中的推理能力。实际应用题如抛物线拱桥、卫星天线等，引导学生用数学眼光观察现实世界，用数学语言表达问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.3.1抛物线及其标准方程7题型分类 一、抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 二、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ （一） 抛物线定义的理解 抛物线的定义 1．抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．集合表示：.其中定点F为焦点，定直线l为准线. 2.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 题型1：抛物线定义的理解 1．（2026高二·北京·期中）若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026高二·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·北京昌平·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026高二·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．（2026高二·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 题型2：抛物线距离和差的最值 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·河南周口·期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2026·海南·模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 （二） 求抛物线的标准方程 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 题型3：求抛物线的标准方程 11．（2026·北京海淀·模拟预测）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 12．（2026高二·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 14．（2026高二·甘肃平凉·期末）若抛物线的焦点坐标为，则________． 15．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 16．（2026高二·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 题型4：根据抛物线方程求焦点和准线 17．（2026高二·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 18．（2026高二·甘肃定西·期末）若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 19．（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 20．（2026高二·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 题型5：抛物线的焦半径公式 21．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 22．（2026·山东聊城·模拟预测）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 24．（2026·安徽宣城·模拟预测）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． （三） 利用抛物线定义解决轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型6：利用抛物线定义解决轨迹问题 25．（2026高三·福建宁德·期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为______. 26．（2026高二·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________． 27．（2026高二·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 28．（2026高二·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 29．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 30．（2026高二·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. （四） 抛物线方程的实际应用 求解抛物线实际应用题的步骤： 题型7：抛物线方程的实际应用 31．（2026高二·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 32．（2026高二·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 33．（2026高二·安徽安庆·阶段检测）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 34．（2026高二·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    35．（2026·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 1．（2026高三·重庆·阶段检测）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高二·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 5．（2026高二·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北·模拟预测）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 7．（2026高二·陕西宝鸡·期末）两抛物线与的焦点间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高三·北京丰台·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2026·新疆·模拟预测）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·宁夏银川·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 11．（2026·贵州黔东南·模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．【多选】（2026高二·云南保山·阶段检测）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 13．【多选】（2026·福建·模拟预测）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 14．【多选】（2026高二·陕西西安·期末）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 15．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线经过点，其标准方程为_______. 16．（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 17．（2026高二·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 18．（2026高二·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程_______________； 19．（2026高三·辽宁沈阳·阶段检测）点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为______． 20．（2026·陕西·模拟预测）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm. 21．（2026高二·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为______.（精确到0.01）    22．（2026高二·河南南阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为_________. 23．（2026高二·黑龙江佳木斯·阶段检测）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 24．（第十一单元曲线与方程、圆锥曲线的应用）某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 25．（2026高二·浙江嘉兴·期中）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面m，拱圈内水面宽m，一条船在水面以上部分高m，船顶部宽m． (1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线标准方程； (2)近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？ 26．（2026高二·全国·专题练习）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 3.3.1抛物线及其标准方程7题型分类 一、抛物线的定义 1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹． 2．焦点：定点F. 3．准线：定直线l. 二、抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ （一） 抛物线定义的理解 抛物线的定义 1．抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．集合表示：.其中定点F为焦点，定直线l为准线. 2.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 题型1：抛物线定义的理解 1．（2026高二·北京·期中）若抛物线上的点P到直线的距离等于4，则点P到焦点F的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】抛物线的准线为， 而抛物线上的点P到直线的距离等于4， 所以点P到焦点F的距离. 故选：D. 2．（2026高二·天津西青·期末）若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求解. 【详解】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为. 故选：D 3．（2026高三·北京昌平·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义，由点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出点的横坐标，进而得到它到轴的距离. 【详解】由抛物线的方程，可得，焦点的坐标为，准线方程为， 又由抛物线的定义可知点到的距离为，根据定义，点到准线的距离也为， 设点的横坐标为，则点到准线的距离为， 则点到轴的距离等于其横坐标的绝对值，即. 故选：C 4．（2026高二·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 5．（2026·北京·模拟预测）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 6．（2026高二·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9， 所以，解得. 题型2：抛物线距离和差的最值 7．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 8．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解. 【详解】 如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：， 所以，而 所以. 当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1. 故选：B 9．（2026高二·河南周口·期中）已知点是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用抛物线定义，将转化为，结合线段间的不等关系，即可求得答案. 【详解】由抛物线可知其焦点为，准线方程为 记抛物线的焦点为，    所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 所以的最小值为3． 故选：A． 10．（2026·海南·模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的定义可得动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1，由点到直线的距离公式计算可得选项. 【详解】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则， 所以动点到的距离等于到的距离加1，即动点到的距离等于. 所以动点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离加1， 即其最小值是.        故选：D （二） 求抛物线的标准方程 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 题型3：求抛物线的标准方程 11．（2026·北京海淀·模拟预测）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 12．（2026高二·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因的焦点为，则，解得， 由题意，点的横坐标，所以． 14．（2026高二·甘肃平凉·期末）若抛物线的焦点坐标为，则________． 【答案】2 【详解】由题意得，，得. 15．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】利用直线与坐标轴交点求出抛物线的焦点，再利用焦点求出抛物线方程. 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 16．（2026高二·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 题型4：根据抛物线方程求焦点和准线 17．（2026高二·四川成都·期末）抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 18．（2026高二·甘肃定西·期末）若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 【答案】 2 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 所以点P到抛物线C的准线的距离为. 19．（2026·山东济南·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得、准线方程为，再计算出直线的方程及点坐标，利用点到直线距离公式计算即可得. 【详解】由题意可得，则，即， 准线方程为，则 则点到直线的距离为. 20．（2026高二·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 题型5：抛物线的焦半径公式 21．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 22．（2026·山东聊城·模拟预测）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 23．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 24．（2026·安徽宣城·模拟预测）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． 【答案】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，进而得到直线的方程，联立抛物线的方程，可求得A，B两点（A在x轴上方）的横坐标，根据抛物线定义求得，即可得. 【详解】易知抛物线的焦点F，准线. 所以直线的方程为，即， 代入得，即， 所以或. 所以. 所以. （三） 利用抛物线定义解决轨迹问题 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式； (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程； (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去． 题型6：利用抛物线定义解决轨迹问题 25．（2026高三·福建宁德·期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为______. 【答案】 【分析】设，由点线距离及两点距离公式列式化简即可. 【详解】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得. 故曲线的方程为. 故答案为： 26．（2026高二·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________． 【答案】 【分析】直接用坐标表示向量的数量积和模，化简即可得． 【详解】由题意， 由得， 化简得． 故答案为：． 27．（2026高二·山东临沂·阶段检测）已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【分析】由题意得出，分、两种情况讨论，化简轨迹方程，可得结论. 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 28．（2026高二·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程． 【答案】 【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，根据，得到，，利用代入法求解. 【详解】解：设动点Q的坐标，点P坐标， 则， 因为， 所以，， 解得，， 代入得， 整理得， 所以动点Q的轨迹方程为． 29．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 30．（2026高二·重庆·期末）已知抛物线的焦点为，到双曲线的渐近线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出双曲线的一条渐近线方程与抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求出，即可得到抛物线方程； （2）设过点与抛物线相切的直线方程为，联立直线与抛物线方程，消元，由得到，即可求出的坐标，从而表示出中点的坐标，即可得到其轨迹方程. 【详解】（1）解：双曲线的一条渐近线为， 又抛物线的焦点的坐标为，         由题可得：，解得，故抛物线方程为：. （2）解：设过点与抛物线相切的直线方程为， 联立抛物线方程可得， 则，又，则， 所以，，                 设点的坐标为，则，即，代入， 可得，又，故； 则点的轨迹方程为：. （四） 抛物线方程的实际应用 求解抛物线实际应用题的步骤： 题型7：抛物线方程的实际应用 31．（2026高二·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【分析】建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程，据题意求解即可. 【详解】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 32．（2026高二·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 33．（2026高二·安徽安庆·阶段检测）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，根据题意求得相关点坐标，代入抛物线方程求得参数，即可求得结果. 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点A的坐标代入抛物线的方程， 可得解得，∴抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即，∴抛物线焦点到顶点的距离为1m． 故选：A． 34．（2026高二·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故答案为：. 35．（2026·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得. 【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．    设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得， 解得，则， 设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为， 则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得． 故选：C 1．（2026高三·重庆·阶段检测）抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的标准方程为，则其焦点在轴上，且，所以焦点坐标为. 2．（2026高二·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为3， 由C的准线与该圆相切，得圆心到准线的距离为，解得， 所以C的焦点坐标为. 4．（2026高二·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 5．（2026高二·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线焦点坐标，联立直线与抛物线方程求得点坐标，推导直线的一般式方程，再利用点到直线距离公式计算原点到的距离． 【详解】    抛物线的焦点的坐标为， 直线的倾斜角为，故斜率，直线的方程为， 联立方程，得， 解得（舍去），，，所以， 直线的斜率， 所以直线的方程，即， 所以原点到直线的距离． 6．（2026·湖北·模拟预测）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：， 焦点到顶点距离为． 7．（2026高二·陕西宝鸡·期末）两抛物线与的焦点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两抛物线的焦点坐标，即可得出焦点间的距离. 【详解】由题意， 抛物线与的焦点坐标分别为， ∴两抛物线的焦点间的距离为． 故选：B 8．（2026高三·北京丰台·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为3，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据抛物线方程写出其准线方程，再利用抛物线定义即可求得结果. 【详解】如下图所示：        根据题意可得抛物线的准线方程为， 若到直线的距离为，则到抛物线的准线的距离为， 利用抛物线定义可知. 故选：A 9．（2026·新疆·模拟预测）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为． 故选：C． 10．（2026高二·宁夏银川·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H，结合抛物线的定义可得，从而可求得答案. 【详解】由拋物线知，则，准线l方程为． 如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H．    由抛物线的定义得， 所以，当且仅当点P是线段AH与抛物线的交点（即A，P，H三点共线）时取等号． 故的最小值为． 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线定义的应用，解题的关键是将转化为点P到准线的距离，再利用用平面几何的性质确定最小值点，考查数形结合的思想，属于中档题. 11．（2026·贵州黔东南·模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解. 【详解】解：如图，    因为，且关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点， 所以 . 当P在线段AF上时，取得最小值，且最小值为. 故选：A 12．【多选】（2026高二·云南保山·阶段检测）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则. 故选：ABC. 13．【多选】（2026·福建·模拟预测）已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 14．【多选】（2026高二·陕西西安·期末）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用点求出，得到抛物线的方程，求出焦点坐标，得到直线轴，由点在抛物线上得到，利用抛物线的定义求出，由的范围得到的范围，从而得到的范围，继而求出，由得到，由得到，计算得到的范围，从而得到. 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 15．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】根据抛物线过的点坐标，分类讨论利用待定系数法求解即可. 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或. 16．（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】设， 因为，所以， 则，所以， 所以． 17．（2026高二·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 18．（2026高二·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程_______________； 【答案】 【分析】设外心为，且，，， 根据外心的性质可求点G的轨迹方程. 【详解】设外心为，且，，， 由点在的垂直平分线上知 由，得 故即点G的轨迹S为：， 故答案为：. 19．（2026高三·辽宁沈阳·阶段检测）点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设动点P的坐标，找到等量关系，建立方程，化简求解. 【详解】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是． 故答案为：. 20．（2026·陕西·模拟预测）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm. 【答案】 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得. 故该抛物线的焦点到准线的距离为cm. 故答案为： 21．（2026高二·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为______.（精确到0.01）    【答案】4.59 【分析】先建立直角坐标系，把抛物线方程写出来，再结合的长度即可把的长度求出来. 【详解】以为原点，方向分别为轴正向，建立如下图所示的直角坐标系：      由题意，，所以，， 又抛物线开口向下，所以设，将点的坐标代入， 解得，所以抛物线方程为， 又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知有14个空格， 因此每一个空格的长度为，所以，所以设点， 又因为点在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得. 故答案为：4.59 22．（2026高二·河南南阳·阶段检测）已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为_________. 【答案】4 【分析】画出图形数形结合，利用抛物线的定义将转换为，结合三角不等式即可求得最小值. 【详解】如图所示：    抛物线的焦点，准线， 圆的圆心为，半径， 过点作垂直准线，垂直为点， 由抛物线的定义可知， 则， 当且仅当三点共线时，等号成立, 综上所述：的最小值为4. 故答案为：4. 23．（2026高二·黑龙江佳木斯·阶段检测）求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】根据题意可确定抛物线焦点的位置，继而求出p，即可得答案. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 24．（第十一单元曲线与方程、圆锥曲线的应用）某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由和C点在椭圆上联立得方程组，解方程组得出点的坐标. （2）由抛物线的顶点和C点坐标求出抛物线的方程，再求出降落点B的坐标，从而求出降落点与观测点之间的距离. 【详解】（1）（1）设，由题意，，即，得 又点上在，所以联立得方程组， 解方程组得或（舍去），当时，， 由图可知，所以， 故C的坐标为． （2）（2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即． 令可得或（舍去），即， 所以， 故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3． 25．（2026高二·浙江嘉兴·期中）河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面m，拱圈内水面宽m，一条船在水面以上部分高m，船顶部宽m． (1)试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线标准方程； (2)近日水位暴涨了m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少？ 【答案】(1)； (2)船身应降低m，才能安全通过桥洞． 【分析】（1）根据图形建立直角坐标系，设出拱桥所在的抛物线方程，设拱桥与水面两交点分别为，，由坐标系可知A，B两点的坐标，将其中一个代入抛物线方程，即可得； （2）根据船顶宽6m，可知船顶距离拱桥最高点的极限高度，再由，可知船身应降低的高度 【详解】（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，， 设拱桥所在的抛物线方程为， 因点在抛物线上，代入解得， 故拱桥所在的抛物线方程是； （2）因，故当时，， 故当水位暴涨后，船身至少应降低， 故船身应降低m，才能安全通过桥洞． 26．（2026高二·全国·专题练习）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设出点和点，由，得到这两个坐标的关系，再根据点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得，的关系，亦即轨迹方程． 【详解】设点的坐标，点的坐标为， 又， 所以，， ，， ， ， ， 点在抛物线上，，， 整理得， 所以点的轨迹方程为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $