3.3.2 抛物线的简单几何性质讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质，系统梳理四种标准方程的几何性质（焦点、准线、范围等），延伸至焦点弦长、焦点弦性质及直线与抛物线位置关系，构建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于考点全面，涵盖开口判断、范围应用等六类题型，结合桥梁、卫星天线等实例培养数学眼光，通过焦点弦性质推理训练数学思维，助力课中教学与课后查漏补缺，提升知识应用能力。

3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点1：抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【注意】(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 知识点2：抛物线焦点弦长 1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p． 2．抛物线的通径 (1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示， 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p，所以抛物线的通径长为2p． (2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦． 知识点3：抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 知识点4：直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 【注意】(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 考点二　抛物线的范围 考点三　抛物线的对称性的应用 考点四　根据抛物线的对称性求相关的参数 考点五　直线与抛物线的位置关系 考点六　抛物线实际应用 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 1．（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 【答案】AC 【分析】根据抛物线的方程，求出的值，得出开口方向，即可得出答案. 【详解】A、B，由已知得，，且抛物线开口向上，所以焦点坐标为，故A正确、B错误； C，根据抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故C正确； D，根据抛物线的方程可知，准线方程为，故D错误. 故选：AC. 2．（25-26高二·全国·随堂练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线的准线方程为，得到且焦点在y轴上求解； （2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到求解； （3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到求解； （4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为，将点代入求解. 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程为， 所以，p=3， 所以抛物线的方程是；其图象如下： （2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6， 所以， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2 所以，p=4， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （4）因为对称轴是y轴， 设抛物线方程为， 因为抛物线经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程是，其图象如下： 3．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 4．（25-26高二上·全国·课堂例题）抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 【答案】抛物线的标准方程为或，准线方程分别为和． 【分析】根据顶点在原点，对称轴为x轴，可设抛物线方程为：，利用顶点到准线的距离为3，即可求得抛物线方程． 【详解】椭圆的方程可化为，其短轴在轴上， 抛物线的对称轴为轴， 设抛物线的方程为或． 抛物线的焦点到顶点的距离为3，即，， 抛物线的标准方程为或， 其准线方程分别为和. 考点二　抛物线的范围 5．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 6．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 7．（2026·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 8．（25-26高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 9．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先设，根据点到直线距离公式得到到的距离，再结合二次函数的性质可求出结果. 【详解】因为为抛物线上的动点， 所以可设，则到的距离为： ， 则时，，此时， 故答案为：. 10．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）（多选）某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有（   ） A．点在曲线的内部 B．曲线关于轴对称 C．若点在上，则 D．直线被曲线截得的线段长为 【答案】BC 【分析】利用距离公式列方程求曲线的构成，数形结合判断A、B；根据所得方程，讨论点的位置判断C；联立直线求交点坐标，两点距离公式判断D. 【详解】设点，因为点到定点的距离与到定直线的距离之和为6， 所以， 当时，得，两边平方得， 当时，得，两边平方得， A，如图，曲线由两段抛物线弧组成，在中， 令，得，故点不在曲线的内部，错误；    B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，正确； C，若点在上，得，所以， 若点在上，同理得，正确； D，由，得或（舍）， 由，得或（舍）， 故与曲线交于， 可得，错误． 故选：BC 考点三　抛物线的对称性的应用 11．（25-26高二下·陕西榆林·期末）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误；抛物线的焦点到准线的距离为4，故D错误. 故选：AC 12．（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，当时，曲线，即， 其焦点为； 当时，曲线，即， 其焦点为. 易知点关于轴的对称点在抛物线位于第四象限的部分，且在直线上， 所以. 设， 由抛物线的定义知，，所以，，所以， 所以直线的斜率为， 直线的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以.    13．（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆以及抛物线的对称性得到，再求交点横坐标，进而得到. 【详解】圆和抛物线都关于轴对称，因此交点也关于轴对称. 设，由得，即. 则，解得或， 因为抛物线中，舍去，得交点横坐标. 将代入抛物线方程，得. 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为________. 【答案】 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另外两个顶点关于x轴对称，如图所示： 设等边三角形边长为a，，则A点横坐标为， 则，代入得，解得（舍去）， 故等边三角形的边长为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 【答案】ACD 【分析】由正三角形边长和对称性即可分析判断A；设，结合和代数运算即可求解判断B；先结合B令求出点，接着由A即可得到直线与圆相切判断C；设，以为直径的圆圆心为G，利用中点坐标公式和焦半径公式结合求出即可由焦半径公式得解判断D. 【详解】由题可得圆心，半径，抛物线的焦点为，    对于A，若为等边三角形，则，由对称性不妨设P在第一象限，则， 显然点P在抛物线上，所以存在点，使为等边三角形，故A正确； 对于B，设，则 ，故B错误； 对于C，由B得，令，所以， 由A可知为边长为4的等边三角形，圆心C到的距离为， 所以若，则直线与圆相切，故C正确； 对于D，设，若以为直径的圆与圆外切，设以为直径的圆圆心为G， 则，， 所以，化简并解得， 所以，故D正确. 故选：ACD 16．（25-26高二上·全国·专题训练）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 考点四　根据抛物线的对称性求相关的参数 17．（2026·江西景德镇·模拟预测）已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 【答案】或 【分析】由题设有且，关于轴对称，若，结合，有，则，即可求参数值. 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 18．（25-26高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 【答案】 【分析】利用余弦定理、基本不等式可得，进而有时，的周长最大，结合抛物线对称性，设，应用抛物线的定义及点在抛物线上求参数，即可得答案. 【详解】设，，    在中，，由余弦定理得， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 即时，的周长最大， 此时不妨设点，所以，化简，解得（舍去）， 故抛物线的标准方程为． 故答案为： 19．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 20．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 【答案】 【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案. 【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为， 过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为. 由抛物线的定义可知，， 同理：, 于是，，则抛物线的准线方程为：. 故答案为：. 21．（25-26高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 22．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题意可得上的任意点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义即可求解； （2）由题意可设直线方程为,由题可得与有两个不同交点,根据韦达定理及根的判别式可得的中点坐标及的取值范围，根据的中点坐标在直线上即可求解. 【详解】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    考点五　直线与抛物线的位置关系 23．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，先求出过焦点的最短弦长，再结合抛物线的对称性，即可求解． 【详解】∵抛物线C：，即 ， 由抛物线的性质可得，过抛物线焦点中，长度最短的为垂直于y轴的那条弦， 则过抛物线C的焦点，长度最短的弦的长为， 由抛物线的对称性可得，弦长在5到2022之间的有共有条， 故弦长为整数且不超过2022的直线的条数是 ． 故选：A． 24．（25-26高二上·全国·专题训练）设抛物线经过两点和，对称轴与x轴平行，开口向右，直线被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程． 【答案】 【分析】由已知条件可设抛物线方程为，由于点在抛物线上，代入可得，直线与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式即可得求解. 【详解】抛物线上两点和的横坐标相同，中点为，对称轴与x轴平行，所以对称轴方程为， 抛物线开口向右，因此可设要求的抛物线方程为，． 点在抛物线上，，化为．得 ，∴． 设直线与抛物线相交于点，，，， 联立，化为． ，， ， ，化为，解得或， ，，． 抛物线的方程为． 25．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【详解】（1）由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； （2）由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， ，所以. 26．（25-26高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 【答案】0 【详解】联立直线与抛物线得， 由韦达定理有，． 弦长为 ， 解得．此时，故方程有解． 故． 27．（25-26高三·全国·一轮复习）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）由抛物线 得焦点和准线方程，再由 求出直线 的斜率与方程，令 即可求出 的坐标． （2）过 的直线分斜率不存在和斜率存在两类讨论．斜率不存在时为 ；斜率存在时设直线为 ，再与 联立． 【详解】（1）由 ，得焦点 ，准线 ． 因为 ，则直线 的斜率为 ．故其方程为 ． 将 代入解得 ，即得 ； （2）若过点 的直线斜率不存在，则直线为 ，恰与抛物线 只有一个公共点； 当过点 的直线斜率存在时，设其方程为 ． 将 代入 ，得 ，即 ． 当 时，方程为 ，解得 ，即直线 与抛物线 只有一个公共点； 当 时，由 解得 ，此时直线方程为 ． 综上，过点 且与抛物线 只有一个公共点的直线方程为 或 或 ． 28．（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论． 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 考点六　抛物线实际应用 29．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故答案为：. 30．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，根据题意求得相关点坐标，代入抛物线方程求得参数，即可求得结果. 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点A的坐标代入抛物线的方程， 可得解得，∴抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即，∴抛物线焦点到顶点的距离为1m． 故选：A． 31．（25-26高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 32．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 【答案】60.5 【分析】由已知条件建立平面直角坐标系，并求得方程，根据题意即可求得. 【详解】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），如下图所示： 则可设抛物线的方程为， 由题可得灯口圆与轴截面在第一象限的交点， 代入抛物线方程得，解得，所以抛物线的方程为， 当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点坐标为， 将代入抛物线方程求得，此时探照灯的深度为. 故答案为： 33．（25-26高二上·全国·课后作业）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程和点坐标，求得点坐标，将坐标代入解析式求得点纵坐标，从而知道顶端到连桥AB的距离. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，，则. 由点B，D均在抛物线上，得解得， 所以抛物线顶端到连桥AB的距离为. 34（2026高三·全国·专题练习）实验证明，抛物线有一条性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如何定量地研究这个性质?请完成下面的试题：设为抛物线上的一点，定义法线为过切点与切线垂直的直线． (1)求抛物线上过点的法线与轴的交点的坐标； (2)证明：从焦点发出的光线经抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2) 由抛物线的性质知， 而， ，即为等腰三角形， ， 过点作轴的平行线，则， ． 由反射定律知：由焦点发出的光线射到点经反射后，反射光线在过点与轴平行的直线上． 即从焦点发出的光线经抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴（轴）． 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，进而得到法线斜率，求得法线方程，进而可求解； （2）通过为等腰三角形，得到，再过点作轴的平行线，说明，进而可证明. 【详解】（1）即， 其导数， 当时， 即过点M的切线的斜率， ∵过点M的法线与切线垂直， ∴法线斜率为， ∴法线方程为， 令，得， . ∴过点M的法线与y轴的交点Q的坐标为. （2）略 1．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】先判断点与抛物线的位置，再分类讨论直线的情况. 【详解】将代入，解得，因此点在抛物线上， 当直线与抛物线相切时，即过点抛物线的切线； 当直线与抛物线的对称轴平行时，此直线与抛物线也只有一个公共点， 又因过点，所以这条直线为； 综上过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有2条. 2．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 3．（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 4．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出的值，再根据抛物线的焦点坐标公式求解即可. 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点，将代入直线方程得， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得， 展开整理，. 设，，由一元二次方程根与系数关系得. 抛物线焦点弦长公式， 代入数值. 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】联立方程组，利用判别式法得到切线方程，再表示出三角形面积，最后求解参数即可. 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）过抛物线的焦点作斜率为正的直线交抛物线于，两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过抛物线定义和题目条件可知为中点，结合勾股定理进而计算可得结论. 【详解】过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为，则四边形为矩形，如下图所示 ， 由抛物线定义可知，， 设，则， 所以，, 在直角三角形中，，， 则， 所以直线的斜率为， 因为直线的斜率为正数，所以不考虑负数的情况，即直线的斜率为. 8．（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以点F为圆心作圆与l相切，过抛物线C上一点P作圆F的两条切线，切点分别为M，N.若的面积为，则点P到准线l的距离为（   ） A． B． C．或 D．或4 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式求，再利用正弦定理和勾股定理计算的长度，最后需保证. 【详解】 如图所示，由题意可知：抛物线焦点坐标为，所以圆心为，圆半径为，圆的标准方程为， 则，所以， 则或， 若，则是等边三角形， 所以，， 此时由正弦定理得：， ，因为，所以成立； 若，则，所以是等边三角形， 由正弦定理得：，则， 所以，因为，所以成立； 因此由抛物线的定义可知点P到准线l的距离为或4. 9．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【答案】A 【分析】设，由题知三点共线，则，，再解方程得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】由题知，代入抛物线方程得，即， 因为抛物线的焦点为， 所以，设， 因为三点共线，则，即， 即，解得或（舍），所以， 所以，由焦半径公式得 10．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BC 【分析】由抛物线方程易得焦点坐标，判断A；由抛物线定义判断B；设直线，与抛物线方程联立得韦达定理，利用弦长公式以及数量积的坐标表示判断C，D. 【详解】由可知抛物线的焦准距，则，则焦点的坐标为， 准线为，由抛物线定义可知，故A错误，B正确； 显然直线的斜率不为0，可设，，， 联立方程，消去x可得， 则，，， 则，, 故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 又因为，， 则，所以不成立，故D错误. 11．（25-26高二下·西藏昌都·期末）（多选）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 【答案】AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 12．（25-26高二下·贵州毕节·期末）（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 【答案】BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 【答案】4 【分析】首先求出直线方程，再与抛物线联立，利用韦达定理求出的面积. 【详解】抛物线方程为：，焦点为，AB的倾斜角为， 所以所在的直线方程为：，联立消去整理得：， 由韦达定理得：，， 点到直线：的距离为：， 所以的面积为：. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 【答案】 【分析】由垂直关系求得抛物线对称轴所在直线方程，再求得对称轴与准线的交点，进而可求解. 【详解】准线的斜率为， 因此过焦点且垂直于准线的对称轴斜率为​， 可得方程是，整理得， 联立，解得，即垂足为， 顶点即为焦点和垂足的中点， 由中点坐标公式得： ，​， 因此顶点坐标为. 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】直线方程与抛物线方程联立，求得，利用抛物线定义可得，再根据基本不等式得结果. 【详解】由题知，的焦点，准线为， 如图，作准线，准线， 联立，得， ，解得， 设，则， 又， 当且仅当时等号成立. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】设直线与抛物线联立，结合的向量点积为0的条件，可推导出直线恒过定点，原点到直线的距离最大值即为原点到定点的线段长度. 【详解】设，，由得， 即 ， 因不与重合，约去非零因子，得. 设直线，代入得， 由韦达定理，，代入上式得， 因此直线，恒过定点. 原点到直线的距离满足：过定点的直线中，原点到直线的距离不超过原点到的线段长， 即，当且仅当时取等号. 故原点到直线的距离的最大值为. 17．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，求得曲线的方程，得出，结合两点间距离公式和函数的性质，即可求得的最小值，得到答案. 【详解】设，已知，，则，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以. 如图所示：设，连接，，根据题意可知,, 且，,连接，可得四边形的面积为直角面积的2倍，且， 所以,可得, 设，则， 当，即与坐标原点重合时，取得最小值3，故的最小值为. 18．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 知识点1：抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称 轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 【注意】(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 知识点2：抛物线焦点弦长 1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p． 2．抛物线的通径 (1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示， 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B，可得|AB|＝2p，所以抛物线的通径长为2p． (2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦． 知识点3：抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝为定值． 知识点4：直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． (1)k＝0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 【注意】(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 考点二　抛物线的范围 考点三　抛物线的对称性的应用 考点四　根据抛物线的对称性求相关的参数 考点五　直线与抛物线的位置关系 考点六　抛物线实际应用 考点一　判断抛物线的开口方向与大小 1．（25-26高二上·宁夏固原·期末）（多选）对于抛物线，下列说法正确的是（    ）. A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程是 2．（25-26高二·全国·随堂练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 3．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课堂例题）抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 考点二　抛物线的范围 5．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 7．（2026·陕西咸阳·三模）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 8．（25-26高二上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河北张家口·期末）已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 10．（25-26高三上·广东广州·阶段检测）（多选）某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有（   ） A．点在曲线的内部 B．曲线关于轴对称 C．若点在上，则 D．直线被曲线截得的线段长为 考点三　抛物线的对称性的应用 11．（25-26高二下·陕西榆林·期末）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为8 12．（2026·河南驻马店·三模）已知曲线，点，，第一象限内的点及第三象限内的点都在上，且直线与直线关于轴对称，若，则（     ） A． B． C． D． 13．（2026·福建龙岩·三模）已知圆与抛物线交于两点．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C． D． 14．（25-26高三·全国·一轮复习）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为________. 15．（25-26高二上·山东菏泽·期中）（多选）已知圆，抛物线的焦点为，为上一点，则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使为等边三角形 B．若为上一点，则的最小值为1 C．若，则直线与圆相切 D．若以为直径的圆与圆外切，则 16．（25-26高二上·全国·专题训练）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为______． 考点四　根据抛物线的对称性求相关的参数 17．（2026·江西景德镇·模拟预测）已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 18．（25-26高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 19．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 20．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________. 21．（25-26高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 考点五　直线与抛物线的位置关系 23．（25-26高二上·河南驻马店·期末）已知抛物线C：，则过抛物线C的焦点，弦长为整数且不超过2022的直线的条数是（     ） A．4037 B．4044 C．2019 D．2022 24．（25-26高二上·全国·专题训练）设抛物线经过两点和，对称轴与x轴平行，开口向右，直线被抛物线截得的线段的长是，求抛物线的方程． 25．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 26．（25-26高二下·上海·期中）直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为__________． 27．（25-26高三·全国·一轮复习）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 28．（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 考点六　抛物线实际应用 29．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    30．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 31．（25-26高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 32．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为_______cm． 33．（25-26高二上·全国·课后作业）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户，两个窗户的水平距离为30m，如图2，求此抛物线顶端到连桥AB的距离. 34（2026高三·全国·专题练习）实验证明，抛物线有一条性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如何定量地研究这个性质?请完成下面的试题：设为抛物线上的一点，定义法线为过切点与切线垂直的直线． (1)求抛物线上过点的法线与轴的交点的坐标； (2)证明：从焦点发出的光线经抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴． 1．（2026高三·全国·专题练习）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 3．（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 6．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026·四川绵阳·模拟预测）过抛物线的焦点作斜率为正的直线交抛物线于，两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，以点F为圆心作圆与l相切，过抛物线C上一点P作圆F的两条切线，切点分别为M，N.若的面积为，则点P到准线l的距离为（   ） A． B． C．或 D．或4 9．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 10．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于两点，过作直线的垂线，垂足为，则（ ） A．的坐标为 B． C． D． 11．（25-26高二下·西藏昌都·期末）（多选）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 12．（25-26高二下·贵州毕节·期末）（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 13．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，AB是过焦点F的弦．且AB的倾斜角为，则的面积为__________． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则其顶点坐标为_______． 15．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上，直线与抛物线交于点，，且，则原点到直线的距离的最大值是______． 17．（2026·四川雅安·二模）已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______． 18．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $