周周测07 3.3 -3.4函数的应用、函数模型解决实际问题（数学人教B版必修第一册）

**基本信息** 聚焦函数应用与实际问题解决，通过公共汽车线路收支、投篮抛物线、电费计费等真实情境，考查函数零点、分段函数、最值等知识，强化数学建模与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数零点、分段函数模型|酒精倒出、客房定价等情境，基础巩固| |多选|3/18|函数图像、利润计算|消毒药物含量、服装生产利润，能力提升| |填空|3/15|函数零点、数列求和、利润最值|单词记忆总量、防疫物资利润，应用拓展| |解答|5/77|函数解析式、单调性、最值、分段函数|展牌设计（单调性与最值）、公司利润（分段函数模型），综合应用|

2026-2027学年高一上学期数学周周测07 3.3-3.4函数的应用、函数模型解决实际问题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数f(x)＝x＋的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 3．南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 4．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 5．某地供电公司．为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300度时，应交电费为（    ） A．130元 B．140元 C．150元 D．160元 6．已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 8．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y（单位：）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为：（a为常数），则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．教室内持续有效杀灭病毒时间为0.85小时 D．喷洒药物3分钟后才开始有效灭杀病毒 10．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ） A．年产量为9000件 B．年产量为10000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 11．若函数在（）上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“完美函数”.则以下函数是“完美函数”的有（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______． 13．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为___________． 14． 在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为__________千箱时，该厂当年的利润最大. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 16．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 17．函数是定义在上的奇函数，已知当时，； (1)求函数的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数的单调增区间； (2)若方程有3个相异的实数根，求实数的取值集合； (3)求不等式的解集. 18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：； (1)写出收入、成本与利润的等量关系 (2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数 (3)上述研究问题选取函数的模型是（    ） ①二次函数和一次函数  ②二次函数和反比例函数  ③反比例函数和一次函数 (4) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润） 19．某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测07 3.3-3.4函数的应用、函数模型解决实际问题 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 2．南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 4．已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 6．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ） A．年产量为9000件 B．年产量为10000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 8．若函数在（）上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“完美函数”.则以下函数是“完美函数”的有（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为___________． 10．在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为__________千箱时，该厂当年的利润最大. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：； (1)写出收入、成本与利润的等量关系 (2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数 (3)上述研究问题选取函数的模型是（    ） ①二次函数和一次函数  ②二次函数和反比例函数  ③反比例函数和一次函数 (4)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测07 3.3-3.4函数的应用、函数模型解决实际问题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数f(x)＝x＋的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】令，解方程的根即得结果. 【详解】令，即，显然该方程无解，即函数的零点个数为0个. 故选:A. 2．从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【详解】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C 3．南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【答案】C 【分析】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项. 【详解】设目前车票价格为，支出费用为，则， 对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则， 显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）； 对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则， 显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）． 故选：C． 4．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，代入求解即可. 【详解】篮环的纵坐标为，令，得（舍去）． ． 故选：B. 5．某地供电公司．为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300度时，应交电费为（    ） A．130元 B．140元 C．150元 D．160元 【答案】D 【分析】结合函数图像求出，代入数值即可求出结果. 【详解】结合函数图像可知，当时，与之间是一次函数，设 当时，；当时，； 则，解得， 此时； 所以当时，， 故选：D. 6．已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，汽车的行驶的情况主要有三段即往、返、停留，分三种情况讨论列出函数即可. 【详解】因为两地相距150千米， 所以当汽车以60千米/小时的速度从地前往地时， 需要小时，此时汽车离开地的距离为： ， 到达地停留1小时，此时汽车离开地的距离为： ， 当汽车以50千米/小时的速度从地前往地时， 需要小时，此时汽车离开地的距离为： ， 所以由题意有： 故选：D. 7．已知某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据条件，列出不等式，解不等式可得结果. 【详解】由题意，列不等式，得：， 整理得：. 又，，所以. 所以，每间客房每天的定价应为：(元). 故选：C 8．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有个不同的交点可得出. 【详解】当时，，则， 当时，， 则， 当时，，， 所以， 当时，， 因为单调递增且时单调递增， 所以在单调递增，且， 故画出函数图象如下图所示， 函数有3个不同的零点等价于和有个不同的交点， 所以由图象可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个不同的零点转化为和有个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．为预防流感病毒，我校每天定时对教室进行喷洒消毒.当教室内每立方米药物含量超时能有效杀灭病毒.已知教室内每立方米空气中的含药量y（单位：）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为：（a为常数），则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．教室内持续有效杀灭病毒时间为0.85小时 D．喷洒药物3分钟后才开始有效灭杀病毒 【答案】ABD 【分析】根据函数图象直接写出各区间上的解析式，再令求x值即知杀毒持续时间及有效灭杀病毒的开始时间. 【详解】A：由图知：时图象过且y与x成正比，即函数为，正确； B：由图知：时过，即，可得，即函数为，正确； C：令，得；令，得，故教室内持续有效杀灭病毒时间为0.75小时，错误； D：由C知：从开始有效灭杀病毒，即3分钟后开始有效灭杀病毒，正确. 故选：ABD 10．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ） A．年产量为9000件 B．年产量为10000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 【答案】AD 【分析】根据题意，分与分别得到年利润的函数关系，结合导数的计算，分别求得最大值，即可得到结果. 【详解】设年利润为W. 当时，， 所以，令，得（舍负）， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38.6； 当时，，. 令，得（舍负）， 时，，函数递增； 时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38. 因为， 所以当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元. 故选：AD. 11若函数在（）上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“完美函数”.则以下函数是“完美函数”的有（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BCD 【分析】根据“完美函数”的定义逐个选项分析判断即可. 【详解】对于A,,当时,,当时,,, 不满足,故A不是"完美函数"; 对于B,,当时,,当时,, ,故B是"完美函数"; 对于C,,当时,,当时,, ,故C是"完美函数"; 对于D,, 当时,,当时,,,故D是"完美函数". 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，若函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】解法1：构造两个函数和，数形结合求解参数范围； 解法2：分离参数法，结合函数的单调性和值域解得参数范围； 【详解】解法1：构造两个函数和，画出它们的图象， 当与相切时，，即， 若函数在区间上有两个不同的零点，即两个函数和区间上有两个交点， 且直线斜率，所以， 当直线过点，把代入，解得， 由数形结合思想知两图象要有两个不同交点，则． 故答案为：. 解法2：分离参数，函数在区间上有两个不同的零点， 因为当时，，所以不是函数零点， 所以，令， 结合图象可知，当，函数单调递增；当，函数单调递减； 所以当时，函数取最大值；当时，函数值， 函数在区间上有两个不同的零点， 即函数与直线在区间上有两个不同的交点， 所以可知． 故答案为：. 13．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为___________． 【答案】，且 【分析】根据题意，分析可得，变形后可得出答案 【详解】根据题意，该同学计划第一天记忆个单词，第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量， 则，且． 故答案为：，且 14．在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为__________千箱时，该厂当年的利润最大. 【答案】100 【分析】根据题意写出利润y与年产量x的函数关系式，再根据函数计算当y取最大值时x的取值是多少. 【详解】设年产量为千箱，当年的利润为万元， 由于利润等于收入减去成本，即， 又因为， 则由已知有， 即， 当时，， 由二次函数的性质可知当时取最大值950， 当时，， 当且仅当即时，取得最大值1000， 又，所以当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元. 故答案为：100 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数为定义在上的偶函数，且，. (1)若，求函数解析式； (2)求函数在的最小值； (3)若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式. （2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值. （3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）当时，，. 因为函数在上为偶函数，所以 当时，，则. 因此函数解析式为： . （2）当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，函数在的最小值为： . （3）因为函数在有两个不同的零点， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 16．某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 【答案】(1) (2) 判断在其定义域单调递减， 任取则， 因为所以， 所以在其定义域单调递减. (3)设计展牌的长为6和宽为2 【分析】（1）注意函数的定义域即可； （2）利用定义法证明单调性即可； （3）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：， ， 其中,, 故即. （2）略 （3）展牌的周长即. 当且仅当，时，等号成立. 此时. 所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16. 17．函数是定义在上的奇函数，已知当时，； (1)求函数的解析式并画出函数图象，根据图像写出函数的单调增区间； (2)若方程有3个相异的实数根，求实数的取值集合； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) 的解析式为， 作出函数的图象如下： (2)或或； (3)或； 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解析式，从而可得函数的图象，利用图象即可得单调增区间； （2）问题转化为函数与的图象有3个交点，结合图象即可求解； （3）对分类讨论，求出不等式的解集，再求并集即可 【详解】（1）当时，， 令，则， 则， 又函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 又， 所以函数的解析式为， 作出函数的图象如下： 由图象可知：函数的单调增区间为和； （2）若方程有3个相异的实数根， 则函数与的图象有3个交点， 由图象可知或或， 所以实数的取值集合是或或； （3）当时，不等式即为， 即，解得； 当时，不等式即为，显然不成立； 当时，不等式即为， 即，解得； 综上，不等式的解集为或； 18．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：； (1)写出收入、成本与利润的等量关系 (2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数 (3)上述研究问题选取函数的模型是（    ） ①二次函数和一次函数  ②二次函数和反比例函数  ③反比例函数和一次函数 (4)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润） 【答案】(1)利润收入成本； (2)； (3)①； (4)当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 【分析】（1）由“总收入=总成本+利润”即可得解； （2）根据公式可知，只需算出总成本关于月产量的函数关系即可； （3）根据二次函数、一次函数的定义识别即可； （4）利用二次函数、一次函数单调性，分类讨论来求利润的最大值即可，注意取等条件. 【详解】（1）由题意总收入=总成本+利润，所以收入、成本与利润的等量关系为：利润=收入成本. （2）由题意成本关于月产量的函数关系为，且， 所以利润关于月产量的函数关系为. （3）由（2）可知， 故上述研究问题选取函数的模型是①：二次函数和一次函数. （4）当时，．所以，当时，有最大值25000. 当时，是减函数，． 所以，当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 19．某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y（万元），通过市场统计调查得出：当0＜x≤20时，y=x2+40x-100；当x＞20时，y=81x+600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出. (1)设2024年该童装生产线的利润为W（2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W的函数解析式及其定义域； (2)请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)，定义域为 (2)40万套， 520万元 【分析】（1）根据分段代入计算即可； （2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以，且定义域为. （2）当时，生产线利润，易知二次函数开口向下，对称轴， 所以当时，有最大，最大值为500； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为520； 综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测07 3.3-3.4函数的应用、函数模型解决实际问题 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【详解】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C 2．南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【答案】C 【分析】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项. 【详解】设目前车票价格为，支出费用为，则， 对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则， 显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）； 对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则， 显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）． 故选：C． 3．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离t是（   ） A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，代入求解即可. 【详解】篮环的纵坐标为，令，得（舍去）． ． 故选：B. 4．已知两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从地前往地，到达地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离（千米）表示为时间（小时）的函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，汽车的行驶的情况主要有三段即往、返、停留，分三种情况讨论列出函数即可. 【详解】因为两地相距150千米， 所以当汽车以60千米/小时的速度从地前往地时， 需要小时，此时汽车离开地的距离为： ， 到达地停留1小时，此时汽车离开地的距离为： ， 当汽车以50千米/小时的速度从地前往地时， 需要小时，此时汽车离开地的距离为： ， 所以由题意有： 故选：D. 5．已知某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【分析】根据条件，列出不等式，解不等式可得结果. 【详解】由题意，列不等式，得：， 整理得：. 又，，所以. 所以，每间客房每天的定价应为：(元). 故选：C 6．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，画出函数图象，根据和有个不同的交点可得出. 【详解】当时，，则， 当时，， 则， 当时，，， 所以， 当时，， 因为单调递增且时单调递增， 所以在单调递增，且， 故画出函数图象如下图所示， 函数有3个不同的零点等价于和有个不同的交点， 所以由图象可得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数有3个不同的零点转化为和有个不同的交点的分析，树形结合简化问题的难度. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ） A．年产量为9000件 B．年产量为10000件 C．年利润最大值为38万元 D．年利润最大值为38.6万元 【答案】AD 【分析】根据题意，分与分别得到年利润的函数关系，结合导数的计算，分别求得最大值，即可得到结果. 【详解】设年利润为W. 当时，， 所以，令，得（舍负）， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38.6； 当时，，. 令，得（舍负）， 时，，函数递增； 时，，函数递减； 所以当时，年利润W取得最大值38. 因为， 所以当年产量为9000件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元. 故选：AD. 8．若函数在（）上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“完美函数”.则以下函数是“完美函数”的有（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BCD 【分析】根据“完美函数”的定义逐个选项分析判断即可. 【详解】对于A,,当时,,当时,,, 不满足,故A不是"完美函数"; 对于B,,当时,,当时,, ,故B是"完美函数"; 对于C,,当时,,当时,, ,故C是"完美函数"; 对于D,, 当时,,当时,,,故D是"完美函数". 故选：BCD. 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．某位同学要在暑假的八月上旬完成一定量的英语单词的记忆，计划是：第一天记忆个单词；第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量，则该同学记忆的单词总量与记忆天数的函数关系式为___________． 【答案】，且 【分析】根据题意，分析可得，变形后可得出答案 【详解】根据题意，该同学计划第一天记忆个单词，第一天后的每一天，在复习前面记忆过的单词的基础上增加个新单词的记忆量， 则，且． 故答案为：，且 10．在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产千箱防疫物资需另投入成本万元.当年产量大于或等于80千箱时，（万元）；当年产量不足80千箱时，（万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为__________千箱时，该厂当年的利润最大. 【答案】100 【分析】根据题意写出利润y与年产量x的函数关系式，再根据函数计算当y取最大值时x的取值是多少. 【详解】设年产量为千箱，当年的利润为万元， 由于利润等于收入减去成本，即， 又因为， 则由已知有， 即， 当时，， 由二次函数的性质可知当时取最大值950， 当时，， 当且仅当即时，取得最大值1000， 又，所以当年产量为100千箱时，该厂当年的利润取得最大值1000万元. 故答案为：100 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：； (1)写出收入、成本与利润的等量关系 (2)将利润（单位：元）表示为月产量的函数 (3)上述研究问题选取函数的模型是（    ） ①二次函数和一次函数  ②二次函数和反比例函数  ③反比例函数和一次函数 (4)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大是多少？（总收入=总成本+利润） 【答案】(1)利润收入成本； (2)； (3)①； (4)当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 【分析】（1）由“总收入=总成本+利润”即可得解； （2）根据公式可知，只需算出总成本关于月产量的函数关系即可； （3）根据二次函数、一次函数的定义识别即可； （4）利用二次函数、一次函数单调性，分类讨论来求利润的最大值即可，注意取等条件. 【详解】（1）由题意总收入=总成本+利润，所以收入、成本与利润的等量关系为：利润=收入成本. （2）由题意成本关于月产量的函数关系为，且， 所以利润关于月产量的函数关系为. （3）由（2）可知， 故上述研究问题选取函数的模型是①：二次函数和一次函数. （4）当时，．所以，当时，有最大值25000. 当时，是减函数，． 所以，当月产量为300台时，公司获得利润最大，最大利润为25000元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $