练案26 3.3 函数的应用(一)&3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点-【成才之路•练案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[26] 第三章 函 数 3.3函数的应用（一） 3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点 A组基础巩固 A.16小时 B.11小时 一、选择题 : C.9小时 D.8小时 1.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆.5.（多选题）(2024·济宁高一检测)某公司一年购买某 现需要调往A县10辆，B县8辆，已知从甲仓库调运 种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为 一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80 9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年 元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分 的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的 别为30元和50元.则总费用最少为 ( 是 A.300元 B.400元 A.当x=10时，费用之和有最小值 C.700元 D.860元 B.当x=45时，费用之和有最小值 2.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中 C.最小值为850万元 发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的售价 D.最小值为360万元 x(元)满足一次函数：m=162-3x.若要每天获得最 二、填空题 大的销售利润，每件商品的售价应定为 A.30元 B.42元 6.经市场调查，某商品的日销售量（单位：件）和价格 C.54元 D.越高越好 (单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数.日销售 3.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角 量为f(t)=21+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品 形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( 的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为 A.ca? B.4 cm2 7.9月1日小张的手机所存话费余额为3.5元，他充值 C.32 cm2 D.2√5cm2 100元，其中用20元购买了一个月的套餐服务，套餐 4.某新产品生产工作的第n天，每生产一件产品的平均 内容为接听免费，主叫每分钟0.2元这个月内，他手 耗时为t(n)(单位：小时)，t(n)与n近似满足的关系 机所存话费余额y(元)与主叫时间（分钟）之间的函 to n<No 数关系是 为t(n)= (to,N为常数).已知第16天 8.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度 ,n≥No /N. 匀速直达灾区，已知两地公路线长400km,为了安全 生产一件产品的耗时为16小时，第64天和第67天 生产一件产品的耗时均为8小时，那么第49天生产 起见，两辆汽车的同距不得小于。km,那么这批物 一件产品的耗时大致为 () 资全部到达灾区，最少需要h. 151 三、解答题 :10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人 9.某人定制了一批地砖，每块地砖（如图所示）是边长 数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若 为1m的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD 旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均 上，且CE=CF,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由 费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行 单一材料制成.制成△CFE,△ABE和四边形AEFD 社需支付各种费用共计15000元. 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10 (1)写出每人需交费用y关于人数x的函数； 元.问点￡在什么位置时，每块地砖所需的材料费用 (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 1 最省？ 152 B组素养提升 A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 一、选择题 B.甲厂的费用y,与证书数量x之间的函数关系式为 1.如图所示，从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管 y1=0.5x+1 向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面 C.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平 与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1m,离地 均每个为1.5元 面。m,则水流落地点B离墙的距离OB是 D.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选 择甲厂更节省费用 二、填空题 4.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地 面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 A.2m B.3m 米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到 C.4m D.5m 绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米， 2.(多选题)在某种金属材料的耐高温试验中，温度随 着时间变化的情况由计算机记录后显示的图像如图 所示.给出下列说法，其中正确的是 ↑℃) 5米 t(min) 2米 A.前5min温度增加的速度越来越快 5.某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间 B.前5min温度增加的速度越来越慢 (天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条 C.5min以后温度保持匀速增加 线段上.该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时 D.5min以后温度保持不变 间（天）的部分数据如表所示，且Q与t满足一次函 3.(多选题)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷 数关系 厂可供选择，甲厂费用为制版费和印刷费两部分，先 收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂 直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y(千 元)、乙厂的总费用y,(千元)与印制证书数量x(千 0 10 2030 个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则( (千元) 时间/天 10 16 22 日交易量Q/万股 36 30 24 18 那么在这30天中第 天日交易额最大，最大 x(千个) 交易额是 万元 153 三、解答题 C组创新拓展 6.某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度 已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创 恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长 利3.5万元.为应对市场冲击给企业带来的不利影 造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平 响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流 方米造价20元，求： ! 出一部分员工待岗.为维护生产稳定，该企业决定待 (1)仓库面积S的最大允许值是多少？ 岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗 (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那 员工发放生活补贴0.5万元.据评估，当待岗员工人 么正面铁栅应设计为多长？ 数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为 企业多创利1-)万元：当待岗员工人数x超过原 有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利 0.9万元.为使企业年利润最大，应安排多少员工 待岗？ 154当x=15时，两家俱乐部一样合算； 所以4(49)=64=4≈9. 当15<x≤30时，选B俱乐部比较合算 47 课堂检测固双基 5.BD 一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买 1.A由题意设y=kx(k≠0)，将(36,108)代入解析式可得k= 900次，运费是9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，所以 3,故y=3x,由题意可知x≥0. 2.By=0.2+0.1×([x]-3)([x]是不小于x的最小整数，x 一年的总运费与总储存费用之和为90×9+4x,因为900×9 >3,令x-0放[=10，则y=09 ::: 00x4x=2×180=360,当且仅当8100=4，即 +4x≥2√x 3A结合题图，可得壳6，得y=24一号矩形铁片的面 x=45时，等号成立，所以当x=45时，一年的总运费与总储存 费用之和最小，为360万元. 积s=w=24)=号+2，所以当 24 6.S=22+108t+400,t∈N日销售额=日销售量×价格，故S 2×-5) 4 =ft)×g(t)=(2t+100)×(t+4)=22+108t+400,teN. 4 =15时，5最大，此时y=24-亏×15=12，故选A 7.y=83.5-0.2t由题意，手机所存话费余额y(元)与主叫时 间t(分钟)之间的函数关系满足一次函数，不妨设为y=t+ 4.C令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意；若2x+10= b,可知当t=0时，y=100+3.5-20=83.5,故b=83.5,且主 60,则x=25,满足题意；若1.5x=60,则x=40<100,不合题 叫每分钟0.2元，故a=-0.2,故函数关系为y=83.5-0.2t. 意.故该公司拟录用25人 8.10设全部物资到达灾区所需时间最少为th, 5.3.66y=1.2t(t≥3)由题图知，通话2min,需付电话费 3.6元，通话5mim,需付电话费6元 由题意可知4相当于最后一辆车行驶了(30×品+40m所用 r3.6=3k+b, 当t≥3时，设y=t+b(k≠0)，则有 6=5k+b, 的时间，因此，t= 6+02√6×10 V16× rk=1.2, 解得 .y=1.2t(t≥3). b=0, 当且仅当6-0，即u=80时取= 故最少需要10h 练案[26] 9.设CE=xm,0<x<1,则BE=(1-x)m,每块地砖所需的材料 A组基础巩固 费用为W,则W=22×30+号×1×(1-x)×20+ 1.D设从甲仓库调到A县的车辆数为x,则从甲仓库调往B县 的车辆数为12-x,从乙仓库调往A县的车辆数为10-x,从 [1-7-×1x(1-]x0 乙仓库调往B县的车辆数为6-(10-x)=x-4.设总费用为 y,则y=40x+80×(12-x)+30×(10-x)+50×(x-4)= =1o2-5+15=10(s-4+ 1060-20x(4≤x≤10，x∈N),要想使运费y最少，则需x最 当x=人=0.25时，W有最小值，即费用最省 4 大，所以当x=10时，运费y最少为860元. 2.B设每天的销售利润为y元，则y=(x-30)·（162-3x), 故当点E与点C相距0.25m时，每块地砖所需的材料费用 30≤x≤54，将上式配方后得y=-3(x-42)2+432,当x=42 最省 时，取得最大值故每件商品的售价定为42元时，每天才能获得10.(1)当0<x≤30时，y=900;当30<x≤75，y=90- 最大的销售利润， 10(x-30)=1200-10x. 3.D设一段长为xcm,则另一段长为(12-x)cm,两个正三角 r900,0<x≤30. 即y= 1200-10x,30<x≤75. 形的面积之和为5cm.分析知0<x<12则5=（号）广+ (2)设旅行社所获利润为S元， 则当0<x≤30时，S=900x-15000: （4-得-62+25当-6时5=2反 当30<x≤75时，S=x(1200-10x)-15000=-10x2+ 4.C由第64天和第67天生产一件产品的耗时均为8小时，第 1200x-15000. 16天生产一件产品的耗时为16小时知，16<N。 r900x-15000,0<x≤30 即S= 所以。=16，解得。=64. 1-10x2+1200x-15000,30<x≤75. 16 因为当0<x≤30时，S=900x-15000为增函数， 又由64=8，解得八=64， 所以x=30时，S=12000; 当30<x≤75时，S=-10x2+1200x-15000=-10(x- —222 60)2+21000 m=40.所以Q=-t+40 即x=60时，Sa=21000>12000. +2-1+40)0<1<20， 所以当旅行团人数为60人时，旅行社可获得最大利润. 所以y=P·Q= B组素养提升 -0+8)(-+40).20≤1≤0 1.B以OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角 坐标系，设抛物线方程是y=a(x-1)2+9,由条件(0,10)在 若0<<20，y=-写+61+80，为开口向下的二次函数，对 称轴为t=15,则当t=15时，ym=125; 抛物线上， 若20≤≤30，y=10 2-12t+320,为开口向上的二次函数，对 可得10=a+ 3-0 40 称轴为t=60,则当t=20时，ym=120 所以y=9(x-10+9 综上所述，在这30天中第15天日交易额最大，最大交易额是 125万元. 设B(x,0)(x>1), 6.(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S= 代人方程得：(x-1)2=4,所以x=3. xy,依题意得，40x+2×45y+20.y=3200, 2.BD温度y关于时间t的图像是先凸后平，即5min前每当t 由均值不等式得 增加一个单位增量△t,则y相应的增量△y越来越小，而5min 3200≥2√/40x×90y+20xy 后y关于t的增量保持为0，则BD正确。 3.ABC由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5 =120√gy+20xy, 元，甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x =120/S+20S. +1,故A、B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印 所以S+65-160≤0， 刷费平均每个为3÷2=1.5元，故C正确；当x=8时，y1=0.5 即(5-10)(5+16)≤0， x8+1=5=4×8+3=号.因为1>⅓，所以当印制8 故5≤10，从而S≤100 所以S的最大允许值是100平方米. 千个证书时，选择乙厂更节省费用，故D不正确。 (2)取得最大值的条件是40x=90y且xy=100 4.0.5若以左边的树根为原点建立平面直角坐标系，则抛物线 求得x=15,即铁栅的长是15米 的对称轴为直线x=1. C组创新拓展 设抛物线方程为y=ar2-2ax+2.5, 设重组后，该企业年利润为y万元. 当x=0.5时，y=0.25a-a+2.5=1, 当待岗人员不超过1%时， 解得a=2. y=2(x-1)2+0.5. 由1-2点>0，≤200x1%=20, 绳子的最低点距地面的距离为0.5米. 5.15125当0<t<20时，设P=at+b,根据图像知过点(0， 得 <x≤20(xeN), 2),(20,6), 则y=(200-)(3.5+1-0)-05=-5(x+)+ 1 b=2, 9000.64; 所以 解得 a=5' 6=20a+b, b=2, 当待岗人员超过1%且不超过5%时， 由20<x≤2000×5%，得20<x≤100(x∈N), 所以P=+2 则y=(2000-x)(3.5+0.9)-0.5x=-4.9x+8800 同理可得当20≤t≤30时， 设P=ct+d,根据图像知过点(20,6)，(30,5)， 故y= 9064-5+9）,尝<≤20eN, -4.9x+8800,20<x≤100，x∈N. 所以 6=20c+d解得 1 =-10 5=30c+d. d=8, <≤20且xeN时，有+2的≥2√26=32， 256 所以P=-10+8, 则y=-5（x+ +9000.64≤-5×32+9000.64 =8840.64, 「5t+2,0<t<20 综上可得P= 当且仅当x=256,即x=16时取等号，此时y取得最大值 10+8,20≤t≤30. 8840.64 由题意可设Q=t+m,把(4,36)，(10,30)代入可得k=-1,: 当20<x≤100且xeN时，函数y=-4.9x+8800为减函数. —223 所以y<-4.9×20+8800=8702. 所以f(x)在定义域[-5,5]上是增函数， 又8840.64>8702， 由f(2a-1)<f(3a-3), 故当x=16时，y有最大值8840.64万元. -5≤2a-1≤5， 即要使企业年利润最大，应安排6名员工待岗. 得 -5≤3a-3≤5，解得2<a≤8 2a-1<3a-3, 章末整合 故a的取值范围为(2，号] 素养突破 提技能 5-x≥0， (2)由(1)知f(x)是定义在[-5,5]上的单调递增的奇函 rx≤5， 例1：(1)解不等式组{x-1≥0，得x≥1， 数，由f-5)=-2, x2-9≠0， 得在[-5,5]上f代x)m=f5)=-f(-5)=2.在[-5,5] x≠±3， 上不等式f代x)≤(a-2)t+5对ae[-3,0]恒成立，所以2 故函数的定义域是x1≤x≤5且x≠3. ≤(a-2)t+5,即at-2t+3≥0对a∈[-3,0]恒成立， (2)方法一：令x+2<x2, 令g(a)=at-2t+3,ae[-3,0], 得x<-1或x>2, 令x+2≥x2,得-1≤x≤2. 则只需3)≥0即 -5t+3≥0， 故x)=<-1或>2， lg(0)≥0， -2t+3≥0， lx+2,-1≤x≤2. 解得≤子，故1的取值范国为(-“，号] 当x<-1或x>2时f(x)>1; 例4：（1)年利润S=x·G（x)-30-90x 当-1≤x≤2时，1≤f代x)≤4. -3x2+160x-30,0<x≤25， (1,+∞)U[1,4]=[1,+∞)， .函数f(x)的值域为[1，+o). -10x-9000 2970,x>25 方法二：由新定义知f(x)的图像如图， (2)当0<x≤25时.5=-32+160-30=-3x-9 +60, 因为S在(0,25]上单调递增， 所以S=-3×252+160×25-30=2095; 当x>25时，S=-10x-90+2970=2970- 2 由图像可知f(x)的最小值为1，无最大值.故f(x)的值域为 10x+9000 s2970-2√10.90-2370，当且仅 [1,+o) 当10x=9000 例2：(1)令x+2=t,所以x=t-2,所以ft)=(t-2)2, x 所以f(x)=(x-2)2=x2-4x+4. 即x=30时，等号成立，此时Sm=2370. (2)设f(x)=ax+b,a≠0， 因为2370>2095，所以x=30,S=2370. 2a+b=1. 故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大 因为f2)=1f(-1)=-5,所以 -a+b=-5, 利润为2370万元， 解得a=2,b=-3,所以f代x)的解析式为f代x)=2x-3. 例5：(1)设fx)=ax2+bx+c(a≠0)， 8)因为：+）=+-(+-2， 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c. 因为fx+1)-fx)=2x+2, 2 令=+当>0时，≥2√· 所以2ax+a+b=2x+2,得a=1,b=1. 因为f(x)的图像经过点A(1,-6), 当组仅当x=1时银等号，当x<0时=(-x-)≤-2，当 所以f1)=1+1+c=-6, 即c=-8.故fx)=x2+x-8. 且仅当x=-1时取等号， (2)设g(x)=fx)-mx=x2+(1-m)x-8. 所以ft)=t2-2,te(-o,-2]U[2,+o),所以fx)= 因为当xe[-2,2]时，不等式f(x)≤mx恒成立， x2-2,xe(-0,-2]U[2,+∞) 例3：(1)设任意x1,2满足-5≤x1<2≤5，由题意可得fx) 所以(-2)≤0 即4-2(1-m）-8≤0， lg(2)≤0， l4+2(1-m)-8≤0， ）=x）+-3) 名+(-)(-)<0， 解得-1≤m≤3. 故m的取值范围是[-1,3]. 即f(x)<f(x2). 224