1.5　 二次函数的应用 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学二次函数应用同步练，分3课时覆盖面积、距离、收益问题及函数与方程关系，分层设计从基础概念到综合应用，适配新授课巩固与思维提升，体现数学眼光、思维与语言素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（函数最值、图象分析）|选择1判断给定区间最值，培养几何直观与抽象能力| |中档|综合应用（面积/利润建模）|解答5列矩形面积函数表达式，强化模型意识与运算能力| |拔高|拓展探究（多情境对比、动态问题）|解答10多窗户形状透光面积对比，发展创新意识与推理能力|

1.5　 二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积问题 分值：52分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.一个二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，在所给的自变量取值范围内，下列关于该函数的说法，正确的是( ) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值－1，有最大值0 C.有最小值－1，有最大值3 D.有最小值－1，无最大值 2.如图，小明的父亲想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园。已知房屋外墙长40 m(不超出墙)，则可围成的菜园的最大面积是( ) A.225 m2 B.400 m2 C.450 m2 D.900 m2 3.如图，抛物线经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD面积的最大值为( ) A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 4.(3分)如图，在长为1的线段AB上取一点P，分别以AP，BP为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为 。  5.(8分)如图所示为400米跑道的示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，设直道AB=x米。 (1)(2分)用含x的代数式表示线段BC的长，则BC= 米。  (2)(6分)设矩形ABCD的面积为S。 ①(3分)求出S关于x的函数表达式。 ②(3分)当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？ 6.(8分)某养殖户想扩大养殖场地，为了节省材料，利用一面墙(墙足够长)和总长为120 m的材料围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等。设BC的长度为x(m)，矩形区域ABCD的面积为S(m2)。 (1)(4分)求S关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围。 (2)(4分)当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？ 7.(3分)如图，正方形ABCD的边长为12，点P，Q，M，N分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ=2AP，CM=3AP，DN=4AP，则四边形PQMN的面积S的最小值为 。  8.(3分)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地。地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺。同学们测得AE=6.6 m，OE=1.4 m，OB=6 m，OC=5 m，OD=3 m。班长买来可切断的围栏16 m， 准备利用已有围墙围出一块封闭的矩形花圃，则该花圃的最大面积是 m2(不考虑围墙厚度)。  9.(8分)如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18 m，不能超出)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32 m，设矩形场地的长为x(m)，宽为y(m)，面积为S(m2)。 (1)(2分)分别求出y与x，S与x的函数表达式。 (2)(3分)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)(3分)若购买的篱笆总长增加8 m，矩形场地的最大总面积能否达到100 m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由。 10.(10分)[应用意识]课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积有最大值，约为1.05 m2。 (1)(5分)我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m，利用图3，解答下列问题： ①(2分)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积。 ②(3分)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明。 (2)(5分)如果再次改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形(如图4)，材料总长度仍为6 m，利用图4，解答下列问题： ①(2分)当AB=1时，求此时窗户的透光面积。 ②(3分)与课本中例题比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？请通过计算说明(≈1.7)。 第2课时　利用二次函数解决距离问题和收益问题 分值：52分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)与飞行时间t(s)之间满足函数表达式h=－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度为( ) A.1 m B.5 m C.6 m D.7 m 2.一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件。根据销售统计发现，这件工艺品每降价1元，每天可多售出4件。要使每天获得的利润最大，每件需降价( ) A.5元　 B.10元 C.15元　 D.20元 3.(3分)汽车刹车后行驶的距离s(米)关于行驶的时间t(秒)的函数表达式为s=－6t2＋bt(b为常数)。已知当t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为 米。  4.(6分)如图所示为一汽车停车棚的示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度y(m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(m)近似满足函数关系y=－0.02x2＋bx＋1.6(b是常数)，已知棚顶上一点B的坐标为(6，2.68)。若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD=4 m，高DE=1.8 m的矩形，请通过计算判断该货车是否能完全停到车棚内。 5.(8分)为了落实劳动教育，某校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验发现，其平均单株产量y(千克)与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)之间构成一种函数关系。每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克。以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克。 (1)(4分)求y关于x的函数表达式。 (2)(4分)每平方米种植多少株时，能在这1平方米获得最大产量？最大产量为多少千克？ 6.(8分)某日上午7：00，甲在A城的正北方向24 km处，以12 km/h的速度驶向A城。同时，乙在A城的正东方向12 km处，以12 km/h的速度向正西方向行驶。假设甲和乙的行驶的方向和速度都保持不变，问： (1)(4分)何时甲与乙之间的距离最近？最近距离是多少千米？ (2)(4分)当甲与乙之间的距离最近时，乙是否已过A城？请通过计算说明。 7.如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为a(cm)，如果在离水面竖直距离为h(cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(cm)与h之间的函数表达式为s=。如果a=20，若想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加10 cm，则小孔离水面的距离是( ) A.10 cm B.15 cm C.16 cm D.20 cm 8.(8分)十一期间，全国各影院上映多部影片。某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y张与售价x元/张之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，当电影票售价为40元/张时，每天能出售164张；当售价为50元/张时，就要少出售40张电影票。 (1)(2分)请求出y关于x的函数表达式。 (2)(3分)设该影院每天的利润(利润=售票收入－运营成本)为w元，求w关于x的函数表达式。 (3)(3分)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 9.(10分)[应用意识]如图所示为一款固定在地面点O处的高度可调的羽毛球发球机的示意图，点A是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度弹出，在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线形。设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x米，相对地面的高度为y米，y与x的部分对应数据如下表。 x/米 … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 … y/米 … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 … (1)(4分)求y关于x的函数表达式，并求出羽毛球的落地点B到发球机点O的水平距离。 (2)(6分)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口点A的高度来实现。在此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点O的水平距离增加0.6米，则发球机的弹射口高度OA应调整为多少米？ 第3课时　从函数的角度看一元二次方程 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.抛物线y=x2－4x＋4与坐标轴交点的总个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下表列出了函数y=2x2－3x－6的部分自变量与函数的对应值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y －1 －0.28 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程2x2－3x－6=0的一个解x可能的取值范围是( ) A.2.5＜x＜2.6 B.2.6＜x＜2.7 C.2.7＜x＜2.8 D.2.8＜x＜2.9 3.已知二次函数y=ax2＋bx＋c 的图象在x轴的下方，则a，b，c满足的条件是( ) A.a＞0，b2－4ac＞0 B.a＞0，b2－4ac＜0 C.a＜0，b2－4ac＜0 D.a＜0，b2－4ac＞0 4.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( ) A.x≤－1或x≥3 B.－1＜x＜3 C.－1＜x≤4 D.x＜－1或x＞3 5.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间满足的关系式为h=30t－5t2(0≤t≤6)。有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度。 其中正确的结论是( ) A.② B.①② C.①③ D.①②③ 6.(3分)已知二次函数y1=ax2＋bx＋c 与一次函数y2=kx＋m的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图所示)，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 。  7.(8分)已知二次函数y=x2－2x－3。 (1)(4分)在如图所示的坐标系中画出它的图象。 (2)(2分)当0≤x≤4时，y的取值范围是 。  (3)(2分)直线y=kx＋b与抛物线y=x2－2x－3相交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴的右半轴上，则不等式kx＋b＜x2－2x－3的解集为 。  8.(6分)已知二次函数y=x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)。 (1)(2分)m的值为 。  (2)(4分)判断二次函数y=x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数。 9.(3分)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米；当水面下降 米时，水面宽8米。  10.(8分)阅读材料，解答问题。 例：用图象法解一元二次不等式x2－2x－3＞0。 解：设y=x2－2x－3，则y是x的二次函数。 ∵a=1＞0，∴函数图象开口向上。 又∵当y=0时，x2－2x－3=0，解得x1=－1，x2=3， ∴由此得y=x2－2x－3的大致图象如图1所示。观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0， ∴x2－2x－3＞0的解集为x＜－1或x＞3。 (1)(4分)仿照上例，在图2中用图象法解一元二次不等式x2－1＞0。 (2)(4分)观察图象，尝试写出一元二次不等式x2－2x－3＞－3的解集： 。  11.(8分)[模型概念]已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)。 (1)(4分)若方程ax2＋bx＋c＋2x=0有两个实数根x1=1，x2=3，且方程ax2＋bx＋c＋6a=0有两个相等的实数根，求二次函数的表达式。 (2)(4分)若二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－3，0)，B(m，0)两点，且当x取－1≤x≤0中的每一个值时，ax2＋bx＋c≤0都成立，求出实数m的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　 二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积问题 分值：52分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.一个二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，在所给的自变量取值范围内，下列关于该函数的说法，正确的是(　C　) A.有最小值0，有最大值3 B.有最小值－1，有最大值0 C.有最小值－1，有最大值3 D.有最小值－1，无最大值 2.如图，小明的父亲想用长为60 m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园。已知房屋外墙长40 m(不超出墙)，则可围成的菜园的最大面积是(　C　) A.225 m2 B.400 m2 C.450 m2 D.900 m2 【解析】 由题意，设垂直于墙的边长为x(m)，则平行于墙的边长为(60－2x)m。 ∵墙长为40 m，不超出墙， ∴0＜60－2x≤40， ∴10≤x＜30。 又∵S=x(60－2x)=－2x2＋60x=－2(x－15)2＋450， ∴当x=15时，S取最大值450， 即垂直于墙的边长为15 m时，可围成的菜园面积最大，最大面积是450 m2。 3.如图，抛物线经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD面积的最大值为(　C　) A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 【解析】 设抛物线的函数表达式为y=a(x－1)(x－4)(a≠0)， 把点C(0，－4)的坐标代入，得4a=－4，解得a=－1， ∴抛物线的函数表达式为y=－(x－1)(x－4)=－x2＋5x－4。 由点B，C的坐标易知直线BC的函数表达式为y=x－4。 连结OD，设点D(x，－x2＋5x－4)，则S△BCD=S△OBD＋S△OBC－S△OCD=×4(－x2＋5x－4＋4)－×4x=－2(x2－4x)=－2(x－2)2＋8， ∴当x=2时，△BCD的面积最大，最大值为8。 4.(3分)如图，在长为1的线段AB上取一点P，分别以AP，BP为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为  　。  【解析】 设AP=x，则PB=1－x， ∴这两个正方形的面积之和=x2＋(1－x)2=2x2－2x＋1=， ∴当x=时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为。 5.(8分)如图所示为400米跑道的示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，设直道AB=x米。 (1)(2分)用含x的代数式表示线段BC的长，则BC=  　米。  (2)(6分)设矩形ABCD的面积为S。 ①(3分)求出S关于x的函数表达式。 ②(3分)当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？ 解：(2)①∵四边形ABCD是矩形， ∴S=·x=－(x－100)2＋。 ②由①知，当x=100时，S最大， ∴当直道AB为100米时，矩形ABCD的面积最大。 6.(8分)某养殖户想扩大养殖场地，为了节省材料，利用一面墙(墙足够长)和总长为120 m的材料围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等。设BC的长度为x(m)，矩形区域ABCD的面积为S(m2)。 (1)(4分)求S关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围。 (2)(4分)当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？ 解：(1)由三个矩形的面积相等，可知2FG=2GE=BC， ∴BC·DF=BC·FC， ∴2FC=DF， ∴2BC＋8FC=120， ∴FC=。 ∵FC＞0，∴＞0，∴x＜60， ∴S关于x的函数表达式为S=3FC·BC=x(120－2x)， 即S=－x2＋45x(0＜x＜60)。 (2)由S=－x2＋45x=－(x－30)2＋675可知，当x=30时，S的值最大，最大值为675。 7.(3分)如图，正方形ABCD的边长为12，点P，Q，M，N分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ=2AP，CM=3AP，DN=4AP，则四边形PQMN的面积S的最小值为　69　。  【解析】 设AP=x，由题意，得S=S正方形ABCD－S△APN－S△BQP－S△CMQ－S△DNM =122－x(12－4x)－·2x(12－x)－·3x(12－2x)－·4x(12－3x)=12x2－60x＋144。 当x=－时，S最小值=12×－60×＋144=69。 8.(3分)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地。地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺。同学们测得AE=6.6 m，OE=1.4 m，OB=6 m，OC=5 m，OD=3 m。班长买来可切断的围栏16 m， 准备利用已有围墙围出一块封闭的矩形花圃，则该花圃的最大面积是　46.4　m2(不考虑围墙厚度)。  【解析】 要使该矩形花圃面积最大，则要利用AO和OC构成矩形，并先将空缺处补上1.4 m围栏。 设矩形在射线OA上的一段OF长为x(m)，矩形花圃面积为S(m2)。 当x≤8时，如答图1。 第8题答图1 则在射线OC上的长OH=， 则S=x·=－x2＋9.8x=－(x－9.8)2＋48.02。 ∵－＜0， ∴当x≤9.8时，S随x的增大而增大， ∴当x=8时，S取最大值，为46.4； 当x＞8时，如答图2， 第8题答图2 则矩形花圃的周长为16＋6.6＋5=27.6(m)， 则在射线OC上的长OH==13.8－x， 则S=x(13.8－x)=－x2＋13.8x=－(x－6.9)2＋47.61。 ∵－1＜0， ∴当x＞6.9时，S随x的增大而减小，当x=8时，S=46.4， ∴当x＞8时，S的值均小于46.4。 综上所述，矩形花圃的最大面积是46.4 m2。 9.(8分)如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为18 m，不能超出)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32 m，设矩形场地的长为x(m)，宽为y(m)，面积为S(m2)。 (1)(2分)分别求出y与x，S与x的函数表达式。 (2)(3分)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)(3分)若购买的篱笆总长增加8 m，矩形场地的最大总面积能否达到100 m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由。 解：(1)由题意，得x＋4y=32， ∴y=－x＋8(0＜x≤18)。 ∴S=xy=x=－x2＋8x(0＜x≤18)。 (2)∵－＜0， ∴S有最大值，当x=－=16时，S最大值=－×162＋8×16=64(m2)。 答：当x=16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64 m2。 (3)由题意，得x＋4y=32＋8， ∴y=－x＋10， ∴S=xy=x=－(x－20)2＋100。 又∵0＜x≤18， ∴S不能取到最大值100， ∴矩形场地的最大总面积不能达到100 m2。 10.(10分)[应用意识]课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积有最大值，约为1.05 m2。 (1)(5分)我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m，利用图3，解答下列问题： ①(2分)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积。 ②(3分)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明。 (2)(5分)如果再次改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形(如图4)，材料总长度仍为6 m，利用图4，解答下列问题： ①(2分)当AB=1时，求此时窗户的透光面积。 ②(3分)与课本中例题比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？请通过计算说明(≈1.7)。 解：(1)①由已知，得AD=(m)， 则S=1×(m2)。 ②设AB=x(m)，则AD=m。 ∵3－x＞0，x＞0， ∴0＜x＜。 S=AB·AD=x=－x2＋3x=－。 当x=时，S取最大值 m2。 ∵ m2＞1.05 m2， ∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了。 (2)①由已知可得CD==1 m， 则S=×1×＋1×1=m2。 ②设BC=x(m)，则CD=(6－4x)=(3－2x)m。 ∵3－2x＞0，x＞0，∴0＜x＜。 设窗户面积为S，由已知得S=S△ABC＋S矩形BCDE =x·x＋x(3－2x) =x2－2x2＋3x。 当x=－≈0.95时，S最大值=≈1.43(m2)。 ∵1.43 m2＞1.05 m2， ∴与课本中的例题相比，现在窗户透光面积的最大值变大了。 第2课时　利用二次函数解决距离问题和收益问题 分值：52分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)与飞行时间t(s)之间满足函数表达式h=－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度为(　C　) A.1 m B.5 m C.6 m D.7 m 2.一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件。根据销售统计发现，这件工艺品每降价1元，每天可多售出4件。要使每天获得的利润最大，每件需降价(　A　) A.5元　 B.10元 C.15元　 D.20元 【解析】 设每件降价x元，每天获得的利润为y元， 则y=(135－x－100)(100＋4x) =－4(x－5)2＋3 600。 ∵－4＜0，∴当x=5时，每天获得的利润最大， ∴每件需降价5元。 3.(3分)汽车刹车后行驶的距离s(米)关于行驶的时间t(秒)的函数表达式为s=－6t2＋bt(b为常数)。已知当t=时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为 　米。  【解析】 把t=，s=6代入s=－6t2＋bt，得6=－6×＋b×， 解得b=15， ∴s=－6t2＋15t=－6， ∴当t=时，s取得最大值，此时s=，即汽车刹车后行驶的最大距离为米。 4.(6分)如图所示为一汽车停车棚的示意图，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，则棚顶的竖直高度y(m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(m)近似满足函数关系y=－0.02x2＋bx＋1.6(b是常数)，已知棚顶上一点B的坐标为(6，2.68)。若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD=4 m，高DE=1.8 m的矩形，请通过计算判断该货车是否能完全停到车棚内。 解：∵CD=4 m，点B(6，2.68)， ∴6－4=2(m)，2.68=－0.02×36＋6b＋1.6，解得b=0.3。 在y=－0.02x2＋0.3x＋1.6中， 当x=2时，y=－0.02×22＋0.3×2＋1.6=2.12。 ∵2.12 m＞1.8 m， ∴货车能完全停到车棚内。 5.(8分)为了落实劳动教育，某校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验发现，其平均单株产量y(千克)与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)之间构成一种函数关系。每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克。以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克。 (1)(4分)求y关于x的函数表达式。 (2)(4分)每平方米种植多少株时，能在这1平方米获得最大产量？最大产量为多少千克？ 解：(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴y=4－0.5(x－2)=－0.5x＋5(2≤x≤8，且x为整数)。 (2)设每平方米小番茄产量为w千克， 由题意，得w=x(－0.5x＋5)=－0.5x2＋5x=－0.5(x－5)2＋12.5。 ∵－0.5＜0，∴当x=5时，w取最大值，最大值为12.5。 答：每平方米种植5株时，能在这 1平方米获得最大产量，最大产量为12.5千克。 6.(8分)某日上午7：00，甲在A城的正北方向24 km处，以12 km/h的速度驶向A城。同时，乙在A城的正东方向12 km处，以12 km/h的速度向正西方向行驶。假设甲和乙的行驶的方向和速度都保持不变，问： (1)(4分)何时甲与乙之间的距离最近？最近距离是多少千米？ (2)(4分)当甲与乙之间的距离最近时，乙是否已过A城？请通过计算说明。 解：(1)设行驶时间为t(h)，甲、乙之间的距离为y(km)，甲、乙的位置如答图所示。 第6题答图 由题意，得y= = ， 当t= h时，y最小， 此时y==6(km)。 答：上午8：30甲与乙之间的距离最近，最近距离是6 km。 (2)当t= h时，乙行驶的距离为12×=18(km)＞12 km。 答：当甲与乙之间的距离最近时，乙已过A城。 7.如图，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为a(cm)，如果在离水面竖直距离为h(cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(cm)与h之间的函数表达式为s=。如果a=20，若想通过垫高水桶，使射出水的最大射程增加10 cm，则小孔离水面的距离是(　B　) A.10 cm B.15 cm C.16 cm D.20 cm 【解析】 ∵a=20， ∴s=， ∴当h为10 cm时，射程s有最大值，最大射程是20 cm。 设垫高的高度为m(cm)，则s=， ∴当h=(cm)时，s取最大值，最大值为20＋m=20＋10， ∴m=10，此时h==15 cm， ∴小孔离水面的距离是15 cm。 8.(8分)十一期间，全国各影院上映多部影片。某影院每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y张与售价x元/张之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，当电影票售价为40元/张时，每天能出售164张；当售价为50元/张时，就要少出售40张电影票。 (1)(2分)请求出y关于x的函数表达式。 (2)(3分)设该影院每天的利润(利润=售票收入－运营成本)为w元，求w关于x的函数表达式。 (3)(3分)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx＋b(k≠0)， 由题意，得 解得 ∴y=－4x＋324(30≤x≤80，且x是整数)。 (2)由题意，得w=x(－4x＋324)－2 000=－4x2＋324x－2 000(30≤x≤80)。 (3)由(2)知，w=－4x2＋324x－2 000=－4＋4 561。 ∵30≤x≤80，且x是整数， ∴当x=40或41时，w取得最大值，此时w=4 560。 答：该影院将电影票售价定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4 560元。 9.(10分)[应用意识]如图所示为一款固定在地面点O处的高度可调的羽毛球发球机的示意图，点A是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度弹出，在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线形。设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x米，相对地面的高度为y米，y与x的部分对应数据如下表。 x/米 … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 … y/米 … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 … (1)(4分)求y关于x的函数表达式，并求出羽毛球的落地点B到发球机点O的水平距离。 (2)(6分)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口点A的高度来实现。在此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点O的水平距离增加0.6米，则发球机的弹射口高度OA应调整为多少米？ 解：(1)由表格信息可知，抛物线的顶点为(2，2.25)， ∴可设抛物线的表达式为y=a(x－2)2＋2.25， 其图象过点(2.2，2.24)， ∴2.24=a(2.2－2)2＋2.25， 解得a=－0.25， ∴y关于x的函数表达式为y=－0.25(x－2)2＋2.25， 当y=0时，0=－0.25(x－2)2＋2.25， 解得x1=5，x2=－1＜0(舍去)， 故羽毛球的落地点B到发球机点O的水平距离为5米。 (2)∵抛物线的形状和对称轴位置都不变， ∴可设调整后抛物线的表达式为y=－0.25(x－2)2＋k。 ∵要使发射出的羽毛球落地点到点O的水平距离增加0.6米， ∴当y=0时，x=5＋0.6=5.6(米)， ∴0=－0.25×(5.6－2)2＋k， 解得k=3.24， ∴y=－0.25×(x－2)2＋3.24， 当x=0米时，y=－0.25×(0－2)2＋3.24=2.24(米)， ∴发球机的弹射口高度OA应调整为2.24米。 第3课时　从函数的角度看一元二次方程 分值：51分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.抛物线y=x2－4x＋4与坐标轴交点的总个数是(　C　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下表列出了函数y=2x2－3x－6的部分自变量与函数的对应值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y －1 －0.28 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程2x2－3x－6=0的一个解x可能的取值范围是(　B　) A.2.5＜x＜2.6 B.2.6＜x＜2.7 C.2.7＜x＜2.8 D.2.8＜x＜2.9 3.已知二次函数y=ax2＋bx＋c 的图象在x轴的下方，则a，b，c满足的条件是(　C　) A.a＞0，b2－4ac＞0 B.a＞0，b2－4ac＜0 C.a＜0，b2－4ac＜0 D.a＜0，b2－4ac＞0 【解析】 ∵二次函数y=ax2＋bx＋c的图象在x轴的下方， ∴抛物线开口向下，与x轴无交点， 即a＜0，b2－4ac＜0。 4.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　D　) A.x≤－1或x≥3 B.－1＜x＜3 C.－1＜x≤4 D.x＜－1或x＞3 【解析】 由函数图象可知，当x＜－1或x＞3时，函数图象在x轴的上方，即ax2＋bx＋c＞0， ∴ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜－1或x＞3。 5.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间满足的关系式为h=30t－5t2(0≤t≤6)。有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度。 其中正确的结论是(　B　) A.② B.①② C.①③ D.①②③ 【解析】 令h=0，则30t－5t2=0，解得t1=0，t2=6， ∴小球从抛出到落地需要6 s，①正确。 h=30t－5t2=－5(t2－6t)=－5(t－3)2＋45。 ∵－5＜0，∴当t=3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30 m，②正确。 当t=2时，h=30×2－5×4=40(m)；当t=5时，h=30×5－5×25=25(m)， ∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，③错误。 综上所述，正确的结论是①②。 6.(3分)已知二次函数y1=ax2＋bx＋c 与一次函数y2=kx＋m的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图所示)，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是　－2＜x＜8　。  7.(8分)已知二次函数y=x2－2x－3。 (1)(4分)在如图所示的坐标系中画出它的图象。 (2)(2分)当0≤x≤4时，y的取值范围是　－4≤y≤5　。  (3)(2分)直线y=kx＋b与抛物线y=x2－2x－3相交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴的右半轴上，则不等式kx＋b＜x2－2x－3的解集为　x＜0或x＞3　。  解：(1)列表， x … －1 0 1 2 3 … y … 0 －3 －4 －3 0 … 描点、连线，画出函数图象如答图1。 第7题答图1 (2)当x=4时，y=42－2×4－3=5， 观察图象，当0≤x≤4时，y的取值范围是－4≤y≤5。 (3)∵y=x2－2x－3， ∴x2－2x－3=0， 解得x=3或x=－1， ∴点B的坐标为(3，0)， 当x=0时，y=－3， ∴点A的坐标为(0，－3)， ∴由答图2可知，不等式kx＋b＜x2－2x－3的解集为x＜0或x＞3。 第7题答图2 8.(6分)已知二次函数y=x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)。 (1)(2分)m的值为　1　。  (2)(4分)判断二次函数y=x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数。 解：(1)将点P(2，4)代入y=x2＋mx＋m2－3，得4=4＋2m＋m2－3， 解得m1=1，m2=－3。 又∵m＞0，∴m=1。 (2)∵m=1，∴y=x2＋x－2。 ∵Δ=b2－4ac=12＋8=9＞0， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点。 9.(3分)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米；当水面下降 　米时，水面宽8米。  【解析】 以水平面AB所在的直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，以1米为1个单位，建立平面直角坐标系，如答图所示。 第9题答图 由题意，得AO=OB=3米，∴点A(－3，0)。 ∵点C(0，2)，∴可设抛物线的函数表达式为y=ax2＋2(a≠0)， 将点A(－3，0)代入，得9a＋2=0，解得a=－， ∴抛物线的函数表达式为y=－x2＋2。 当x=4时，y=－×16＋2=－， ∴水面下降米。 10.(8分)阅读材料，解答问题。 例：用图象法解一元二次不等式x2－2x－3＞0。 解：设y=x2－2x－3，则y是x的二次函数。 ∵a=1＞0，∴函数图象开口向上。 又∵当y=0时，x2－2x－3=0，解得x1=－1，x2=3， ∴由此得y=x2－2x－3的大致图象如图1所示。观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0， ∴x2－2x－3＞0的解集为x＜－1或x＞3。 (1)(4分)仿照上例，在图2中用图象法解一元二次不等式x2－1＞0。 (2)(4分)观察图象，尝试写出一元二次不等式x2－2x－3＞－3的解集：　x＜0或x＞2　。  解：(1)设y=x2－1，则y是x的二次函数。 ∵a=1＞0，∴函数图象开口向上。 又∵当y=0时，x2－1=0， 解得x1=－1，x2=1， ∴由此得y=x2－1的大致图象如答图。 第10题答图 观察函数图象可知：当x＜－1或x＞1时，y＞0， ∴x2－1＞0的解集是x＜－1或x＞1。 (2)∵二次函数y=x2－2x－3的图象的对称轴为直线x=1， ∴点(0，－3)，(2，－3)都在函数图象上。 观察图象可知当x＜0或x＞2时，y＞－3， ∴x2－2x－3＞－3的解集是x＜0或x＞2。 11.(8分)[模型概念]已知二次函数y=ax2＋bx＋c(a＞0)。 (1)(4分)若方程ax2＋bx＋c＋2x=0有两个实数根x1=1，x2=3，且方程ax2＋bx＋c＋6a=0有两个相等的实数根，求二次函数的表达式。 (2)(4分)若二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－3，0)，B(m，0)两点，且当x取－1≤x≤0中的每一个值时，ax2＋bx＋c≤0都成立，求出实数m的取值范围。 解：(1)∵方程ax2＋bx＋c＋2x=0有两个实数根x1=1，x2=3， ∴－=4，=3， ∴b=－4a－2，c=3a。 ∵方程ax2＋bx＋c＋6a=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2－4a(c＋6a)=0。 代入并整理，得5a2－4a－1=0， 解得a1=1，a2=－。 又∵a＞0，∴a=1，∴b=－6，c=3， ∴y=x2－6x＋3。 (2)∵二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－3，0)，B(m，0)， ∴－3≤x≤m时，y≤0。 ∵当－1≤x≤0时，y≤0恒成立，∴m≥0。 学科网（北京）股份有限公司 $