第6章 第4讲 数列求和 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦数列求和专项，系统整合分奇偶项、周期、绝对值分段、裂项相消、错位相减等方法，构建“递推分析-方法选择-模型应用”的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分奇偶项求和|1（题1）|(-1)^n型递推式分奇偶转化为等比求和|递推关系→奇偶分类→等比数列求和公式| |周期数列求和|2（题2、11）|利用周期性化简前n项和|递推式→周期判断→周期内和×组数+余项| |绝对值数列求和|1（题3）|先判断项的正负再分段求和|通项公式→正负分界→原数列和与绝对值和转化| |裂项相消法|3（题5、10、14）|分式/对数型裂项（如1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)）|通项结构分析→裂项公式→前后项抵消| |错位相减法|2（题8、13）|等差×等比型通项乘公比错位相减|通项类型识别→乘公比作差→等比求和化简| |倒序相加法|1（题7）|利用f(x)+f(1-x)定值构造对称和|函数性质→倒序相加→求和公式推导|

1．(2026·三门峡期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1＝1，且满足an＋1＋(－1)nan＝3(－2)n，则S11的值为(　　) A．4 093 B．4 094 C．4 095 D．4 096 解析：选A.因为数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1＝1，且满足an＋1＋(－1)nan＝3(－2)n，当n为偶数时，an＋an＋1＝3·2n，所以S11＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋(a6＋a7)＋(a8＋a9)＋(a10＋a11)＝1＋3×(22＋24＋26＋28＋210)＝1＋＝4 093. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋2＝－an，且a1＝1，a2＝2，则S211＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.由an＋2＝－an，得an＋4＝－an＋2＝an，所以数列{an}是周期为4的数列，所以由a1＝1，a2＝2，得a3＝－a1＝－1，a4＝－a2＝－2，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0，所以S211＝(a1＋a2＋a3＋a4)×52＋a1＋a2＋a3＝2. 3．(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则数列{|an|}的前12项和为(　　) A．112 B．48 C．80 D．64 解析：选C.因为Sn＝－n2＋8n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝－12＋8×1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋8n)－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9， 当n＝1时，a1＝7满足上式， 所以an＝－2n＋9(n∈N*)， 令an＝－2n＋9≥0，得n≤4， 令an＝－2n＋9<0，得n≥5， 设数列{|an|}的前n项和为Tn，则数列{|an|}的前4项和为T4＝S4＝－42＋8×4＝16，数列{|an|}的前12项和为T12＝|a1|＋|a2|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－a5－a6－…－a12＝2S4－S12＝2×16－(－122＋8×12)＝80. 4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2sin ，前n项和为Sn，则S99＝(　　) A．－4 950 B．4 950 C．－5 050 D．5 050 解析：选B.an＝n2sin ＝n2sin (nπ－)＝－n2cos (nπ) ＝所以S99＝12－22＋32－42＋…＋992＝1＋(3＋2)×(3－2)＋(5＋4)×(5－4)＋…＋(99＋98)×(99－98)＝1＋2＋3＋…＋99＝4 950. 5．(2026·贵阳质量监测)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.bn＝log2an＋1，则＋＋…＋＝(　　) A． B． C． D． 解析：选A.因为Sn＝2an－1　①，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1　②，①－②得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2).又S1＝a1＝2a1－1，所以a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n-1，所以an＋1＝2n，所以bn＝log2an＋1＝log22n＝n，所以＝＝－，所以＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＝. 6．(多选)(2026·成都模拟)已知公差为1的等差数列{an}满足a1，a3，a7成等比数列，则(　　) A. a1＝2 B．{an}的前n项和为 C. 的前8项和为 D．{(－1)n-1an}的前50项和为－25 解析：选ABD.对于A，因为a1，a3，a7成等比数列，所以a1a7＝a，即a1(a1＋6)＝(a1＋2)2，解得a1＝2，故A正确； 对于B，因为an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，所以{an}的前n项和为＝，故B正确； 对于C，因为＝＝－，所以的前8项和为－＋－＋…＋－＝－＝，故C错误； 对于D，因为(－1)n-1an＝(－1)n-1(n＋1)， 所以{(－1)n-1an}的前50项和为2－3＋4－5＋…＋50－51＝－25，故D正确． 7．已知f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f＋f＋…＋f＝________． 解析：由f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝2， 令S＝f()＋f()＋…＋f()， 则S＝f()＋f()＋…＋f()， 两式相加得2S＝2 026×2，所以S＝2 026. 答案：2 026 8．已知an＝2n，bn＝2n，n∈N*，记cn＝a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋an－1b2＋anb1，则cn＝ ________． 解析：由题可知cn＝2×1×2n＋2×2×2n-1＋2×3×2n-2＋…＋2×(n－1)×22＋2×n×2＝1×2n+1＋2×2n＋3×2n-1＋…＋(n－1)×23＋n×22， 所以cn＝1×2n＋2×2n-1＋3×2n-2＋…＋(n－1)×22＋n×21， 两式相减得cn＝2n+1＋2n＋2n-1＋2n-2＋…＋23＋22－n×2＝2n+2－2n－4， 所以cn＝2n+3－4n－8. 答案：2n+3－4n－8 9．(13分)(2026·佛山模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且－an，an＋1是关于x的方程x2－2x－bn＝0的两个根． (1)求an；(5分) (2)设cn＝＋(－1)nan，求数列{cn}的前21项和S21.(8分) 解：(1)因为－an，an＋1是关于x的方程x2－2x－bn＝0的两个根， 所以－an＋an＋1＝2. 所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．因此an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1， 对于方程x2－2x－bn＝0， 由根与系数的关系得anan＋1＝bn， 即bn＝(2n－1)(2n＋1). 所以cn＝＋(－1)nan＝＋(－1)n·(2n－1) ＝(－1)n·(2n－1)＋(－). 所以S21＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39)－41＋(1－＋－＋…＋－)＝2×10－41＋(1－)＝－. 10．(2026·哈尔滨模拟)已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2·3n+1－6(n∈N*)，若bn＝，则数列{bn}的前15项和为(　　) A．－1 B．－3 C．－1 D．－3 解析：选A.因为a1＋a2＋a3＋…＋an＝2·3n+1－6(n∈N*)　①， 所以当n＝1时，a1＝2×32－6＝12， 当n≥2时，a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2·3n－6　②， ①－②得an＝2·3n+1－6－(2·3n－6)＝4·3n，所以an＝4n·3n(n≥2)， 当n＝1时，a1＝12也满足上式， 所以an＝4n·3n(n∈N*)， 所以bn＝＝－， 记数列{bn}的前n项和为Sn， 则S15＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝－1. 11．设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a99＝100a2＝200，则S100＝ ________． 解析：因为an＝an－1＋an＋1(n≥2)， 所以an＋1＝an－an－1(n≥2)， 所以S100＝a100＋a99＋a98＋…＋a4＋a3＋a2＋a1 ＝(a99－a98)＋(a98－a97)＋(a97－a96)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a2＋a1＝a99＋a2， 又a99＝100a2＝200， 所以a2＝2，所以S100＝200＋2＝202. 答案：202 12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝，数列{bn}的前n项和为Tn，且(2bn－1)Sn＝an＋1，则满足Tn≥2的正整数n的最小值为________． 解析：因为an＝＝－， 所以Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝， 因为(2bn－1)Sn＝an＋1，所以(2bn－1)＝－，整理得2bn＝， 所以bn＝log2＝log2－log2， 所以Tn＝(log2－log2)＋(log2－log2)＋…＋(log2－log2)＝log2，令log2≥2，解得n≥15. 所以正整数n的最小值为15. 答案：15 13．(15分)(2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式；(6分) (2)设bn＝(－1)n-1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.(9分) 解：(1)因为4Sn＝3an＋4　①，所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4　②， 则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1， 即an＝－3an－1. 当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n-1. (2)方法一(错位相减法)： 因为bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n-1，所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n，两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n-1)－4n·3n＝4＋4×－4n·3n＝－2＋(2－4n)·3n，所以Tn＝1＋(2n－1)·3n. 方法二(裂项求和)： bn＝(－1)n-1nan＝(－1)n-1n×4×(－3)n-1＝4n·3n-1， 令bn＝(kn＋b)·3n－[k(n－1)＋b]·3n-1， 则bn＝(kn＋b)·3n－[k(n－1)＋b]·3n-1 ＝3n-1[3kn＋3b－k(n－1)－b] ＝(2kn＋2b＋k)·3n-1， 所以解得 即bn＝(2n－1)·3n－[2(n－1)－1]·3n-1＝(2n－1)·3n－(2n－3)·3n-1， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1×31－(－1)×30＋3×32－1×31＋5×33－3×32＋…＋(2n－1)·3n－(2n－3)·3n-1＝(2n－1)·3n－(－1)×30＝(2n－1)·3n＋1. 14．(15分)(2026·佛山模拟)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，ai和bi是下表第i行中的数(i＝1，2，3)，且a1，a2，a3中的任何两个数不在同一列，b1，b2，b3中的任何两个数也不在同一列． 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 5 6 7 8 第三行 9 10 11 12 (1)请问满足题意的数列{an}和{bn}各有多少个？写出它们的通项公式(无需说明理由)；(6分) (2)若{bn}的公比为整数，且a1＋b1＝6.数列{cn}满足anan＋1cn＋(an－3)bn＋1＝0，求{cn}的前n项和Sn.(9分) 解：(1)对于等差数列{an}，设公差为d， 当a1＝1，a2＝6，a3＝11时，则d＝5，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋5(n－1)＝5n－4， 当a1＝2，a2＝7，a3＝12时，则d＝5，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋5(n－1)＝5n－3， 当a1＝3，a2＝6，a3＝9时，则d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n， 当a1＝4，a2＝7，a3＝10时，则d＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝4＋3(n－1)＝3n＋1， 满足题意的数列{an}有4个，分别为an＝5n－4，an＝5n－3，an＝3n，an＝3n＋1. 对于等比数列{bn}，设公比为q， 当b1＝3，b2＝6，b3＝12时，则q＝2， 所以bn＝b1qn-1＝3×2n-1， 当b1＝4，b2＝6，b3＝9时，则q＝， 所以bn＝b1qn-1＝4×()n-1， 满足题意的数列{bn}有2个，分别为bn＝3×2n-1，bn＝4×()n-1. (2)因为{bn}的公比为整数，由(1)知bn＝3×2n-1，则b1＝3，所以a1＝6－b1＝3， 所以an＝3n，所以3n×3(n＋1)cn＋(3n－3)×3×2n＝0，所以cn＝＝＝＝－， 所以{cn}的前n项和Sn＝－＋－＋…＋－＝2－＝. 学科网（北京）股份有限公司 $