考点培优练03 解三角形突破题型9大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列(1)

**基本信息** 以9大考点为框架，系统整合正弦定理、余弦定理及应用，通过“原理-变形-应用”逻辑链构建解三角形方法体系，突出推理能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-02|1典例+多跟踪训练|正弦/余弦定理表示及变形策略|从定理本源到边边角角互化| |考点03-04|1典例+多跟踪训练|解的个数判定、形状判定（化边化角）|定理应用到三角形性质分析| |考点05-06|1典例+多跟踪训练|边长/周长最值、面积公式应用|性质拓展到量的计算与优化| |考点07-08|1典例+多跟踪训练|角平分线/中线/高线处理、外接/内切圆公式|特殊元素与圆结合的综合应用| |考点09|1典例+多跟踪训练|与三角函数性质综合步骤|跨模块知识融合与迁移|

考点培优练03 解三角形突破题型9大考点 考点预览 目录 考点01 正弦定理解三角形策略 1 考点02 余弦定理解三角形策略 7 考点03 判断三角形解的个数 13 考点04 正余弦定理判定的三角形形状 20 考点05 求三角形中边长或周长最值问题 29 考点06 三角形面积公式及其应用 37 考点07 角平分线、中线、高线有关的问题 44 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 54 考点09 解三角形与三角函数性质的综合 67 考点通关 考点01 正弦定理解三角形策略 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，a=b，a=c，b=c； ②======； ③a:b:c=::； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. 【典例1】（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【详解】（1）已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ， 因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. （2）已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 【跟踪训练】1．（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式及三角形面积公式即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式和已知条件计算即可. 【详解】因为的外接圆半径为1，所以根据正弦定理得. 所以，代入得， 即，这说明必然是直角三角形. 若，则为斜边，，代入得， 即，与三角形定义矛盾，同理，因此只能是， 此时为斜边，，由勾股定理，与前述结论相符. 因为的面积为1，所以， 得， 又，解得. 故选：B. 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正弦定理得出边长关系结合余弦定理求出边长，最后根据面积公式计算即可. 【详解】由，得， ∴，解得，． ∴． 故选：D. 4．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 5．（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，，，，则（   ） A．30° B．45° C．135° D．45°或135° 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出sinB的值，再结合大边对大角的性质排除不符合题意的解，即可得到角B的大小. 【详解】在中，，，，由正弦定理得, 所以，得， 因为，所以， 故，所以. 6．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出； （2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，， 又，所以，所以，所以； （2）由（1）知，，又， 则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以， 所以， 根据正弦定理得，， 因为，则，所以， 所以． 7．（2026·北京·三模）在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 【答案】(1) (2)选②或③， 【分析】（1）法一：根据余弦定理边角互化求解；法二：利用正弦定理和三角恒等变换求解； （2）条件①，根据三角形面积公式和勾股定理判断不唯一； 条件②：根据余弦定理和三角形面积公式求解； 条件③：根据余弦定理和三角形周长求解. 【详解】（1）法一：， ．． ． 又． 法二：，． 由正弦定理，． 又， ． ． ． 又，．． 又． （2）选择① ，又， 解得或，不唯一，不能选①； 选择② 由余弦定理得：， ． ， ． 又，． ． 选择③：由余弦定理得：， ．， 又，． ． ． 考点02 余弦定理解三角形策略 (1)余弦定理及其推论的表示 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC. 【典例2】（2026·陕西西安·模拟预测）(多选)在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 【答案】ABD 【分析】先求出，对于A，根据正弦定理即可求解；对于B，根据余弦定理即可求解；对于C，根据最大边对应的角为最大角即可判断；对于D，根据三角形的面积公式，及等面积法即可求解． 【详解】在 中，由，则， 对于A，设 外接圆的半径为 ， 则由正弦定理有，即，故A正确； 对于B，由余弦定理有， 即， 化简整理得， 解得，或（舍去），故B正确； 对于C，结合选项B知为最大边，且其对应的角为最大角， 又，所以的最大角为锐角， 所以 是锐角三角形，故C错误； 对于D，设 内切圆的半径为 ，结合选项B有， 则， 即，解得，故D正确． 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）在中，角所对的边长分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．与的大小不能确定 【答案】C 【分析】根据余弦定理，将已知条件代入，得到关于和的关系式，再通过分析关系式来比较和的大小. 【详解】由已知条件和余弦定理， 则，即， 将看成关于的一元二次方程， 由求根公式得，即， 由得， 又，故，即. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，，则最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知并应用作差法比较大小确定最大边，即对应的最大角，再应用余弦定理求最大内角. 【详解】已知，三边长分别为，，， 所以，，则是最大边，对应最大角， 由， 由，因此. 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由和正弦定理，可得， 又因为， 由余弦定理可得， 且，所以． 4．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】设，由条件结合余弦定理列方程可求. 【详解】在中，设， 因为，所以， 根据余弦定理可得，，又， 所以，故， 求解可得， 所以. 5．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（     ） A． B．可以取到 C． D．可以取到 【答案】D 【详解】因为，又，所以，， 所以，，又，所以或， 若，则，由余弦定理可得， 所以，故A错误； 因为，又在上单调递增，所以， 又，所以取不到，故B错误； 若，又在上单调递增，所以， 若，可得，又，所以，故C错误； 因为或，又在上单调递减，所以， 又，所以可以取到，故D正确. 6．（2026·河北张家口·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的余弦，再利用余弦定理列式求解. 【详解】在中，，则， 在中，，， 由余弦定理得. 7．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 8．（2026·河北·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 【答案】A 【分析】先由三角形面积公式求出，再由同角三角函数关系得到，结合余弦定理构造关于的方程求解 【详解】由三角形面积公式，又，得，即，解得， 所以， 由余弦定理，又，整理得， 等式两边同除以得，设，则， 若，代入得，判别式，无实根，舍去； 若，代入得，即，解得或， 故或. 9．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 考点03 判断三角形解的个数 1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 注：从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若==1，则满足条件的三角形的个数为1. 【典例3】（25-26高三上·河南安阳·期末）(多选)下列说法错误的有（   ） A．命题的否定是 B．若，则，的夹角为锐角 C．若方程有两个不等的正实数根，则 D．在中，若角，则有两解 【答案】BD 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题求解判断；对B，由数量积和向量夹角的范围求解；对C，由一元二次方程根的分布列式求解；对D，由正弦定理求解判断. 【详解】对于A，命题的否定是，故A正确； 对于B，若，可得，的夹角为锐角或，B错误； 对于C，若方程有两个不等的正实数根， 则，解得，故C正确； 对于D，由正弦定理，，不符合题意， 此时三角形无解，故D错误. 故选：BD . 【跟踪训练】1．（2026·四川广安·模拟预测）(多选)在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（     ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理得到，三角形只有唯一解等价于角仅有唯一解，分（直角三角形唯一解）、且（即，仅存在锐角解）两种情况推导的取值范围，再逐一判断选项. 【详解】对于A：当时，，结合得，三角形只有唯一解，A正确； 对于B：当时，，由于，此时可取锐角也可取钝角，对应两个不同的三角形，B错误； 对于C：当时，，由等边对等角得，，三角形只有唯一解，C正确； 对于D：当时，，又，由大边对大角得，即只能取锐角，对应一个三角形，D正确. 2．（25-26高一下·广东湛江·期中）(多选)在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（   ） A．是的充要条件 B．，则的外接圆半径是 C．若，则 D．若，则有两解 【答案】AC 【详解】对A，若，则，由正弦定理得，即； 若，因为，根据正弦函数的图像与性质，可得，故正确； 对于B，，由正弦定理可得， 则的外接圆半径是，故错误； 对于C，若，由正弦定理得， 因为，所以，故正确； 对于D，若，则由余弦定理可得， 即， 解得，因为，所以有一解，即有一解，故错误． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 【答案】ABD 【分析】选项，利用正弦定理将边化为角，结合两角差的余弦公式展开化简，即可求出角； 选项，根据正弦定理代入计算即可； 选项，由面积公式代入计算即可； 选项，先根据三角形只有一个解的特殊情况，即三角形为直角或等边三角形时，求出的值，最后可根据几何图形，确定三角形有两解时的取值范围. 【详解】解：选项，由，根据正弦定理可得， 在△ABC中，，所以，即， 化简得，所以， 又因为，所以，正确； 选项，由选项知，根据正弦定理，代入得，解得，正确； 选项，由，错误； 选项，由三角形内角和可知， 当时，则，此时三角形只有唯一解，不合题意； 当时，因为，，所以此时三角形为等边三角形，也只有唯一解，不合题意； 当时，无法构成三角形；时，三角形只有一个解，均不合题意， 因此，当c＝2，△ABC有两解时，即，正确. 4．（25-26高三·全国·三轮复习）(多选)在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（   ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】对A：借助正弦定理及三角形内角和可得该三角形存在且唯一；对B：由可得，结合可得不存在这样的；对C：利用正弦定理计算可得有两解，故C不符合题意；对D：借助余弦定理可得唯一确定，即可得该三角形存在且唯一. 【详解】对A：由正弦定理可得，则， ，，则， 故存在且唯一，故A正确； 对B：由，故，又，则， 故不存在这样的，故B错误； 对C：由正弦定理可得，， 又，则，此时有两解，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 故唯一确定，即该三角形三边确定，故存在且唯一，故D正确. 5．（2026·河北邯郸·二模）(多选)在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【分析】A利用辅助角公式化简，求出三角函数值域；B根据判断；C利用余弦定理得出，根据取等条件即可求出；D设外接圆圆心为，求出的外接圆半径，利用求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，则， 故，故A错误； 因为，所以为锐角，则三角唯一确定，故仅有一解，故B正确； 由余弦定理得，等号成立时， 因为，故为等边三角形，故C正确； 当时，由正弦定理可知，的外接圆半径， 设外接圆圆心为，则， 则， 等号成立时三点共线且在直线同侧， 故的最大值为，故D正确. 6．（2026·河北雄安·模拟预测）(多选)在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则符合条件的三角形有两个 C． D．， 【答案】ACD 【分析】代入余弦定理计算判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；先利用两角和余弦公式得，然后利用正切函数性质求解即可判断D. 【详解】A，由余弦定理，得，故A正确. B，由正弦定理得，，解得，故符合条件的三角形不存在，故B错误. C，由余弦定理得，即， ，当且仅当时，等号成立，故C正确. D，. 且， ， ， 即，故D正确. 7．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）(多选)在中，已知，．现增加一个条件，使C有唯一解，则增加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由正弦定理求得，根据正弦定理及余弦定理结合正弦函数性质，依次对各选项逐一判断即得. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可得，即． 对于A，当时，由，唯一确定，角有唯一解，故A正确； 对于B，当时，，因， 此时有两解，故的解不唯一，故B错误； 对于C，当时，，则或， 则或，角有两个解，解不唯一，故C错误； 对于D，当时，，因，则，角有一个唯一解，故D正确. 8．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 【答案】2 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得, 即，整理得，而， 则，又，解得，由，，得，则， 由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角， 所以的解的个数为2. 考点04 正余弦定理判定的三角形形状 判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.. 【典例4】（2026·贵州黔西南·二模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) 由可得， 由正弦定理可得， 由于，故，即是等腰三角形. (2) 【分析】（1）由正弦定理得，即可求解， （2）由余弦定理求解，由同角关系求解正弦值，即可由面积公式求解. 【详解】（1）略 （2）由余弦定理可得，解得， 而为三角形内角，故， 故. 【跟踪训练】1．（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由题意可知钝角三角形的三边分别为，，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 2．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）(多选)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．在中，，，若三角形有唯一解，则或 C．若，则为钝角三角形 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对A，根据数量积公式，可得，分析可判断A的正误；对B，根据条件，借助图形得到或，即可判断B的正误；对C，根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可得，即可判断C的正误；对D，根据正弦定理，可得求出角即可判断D的正误. 【详解】对于A，由向量数量积的定义得， 则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角， 所以不一定是锐角三角形，故A错误. 对于B，如图，过C作所在直线于，则， 又，且三角形有唯一解，则或，即或，所以B正确， 对于C，因为，所以， 得到， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确. 对于D，因为，且， 则， 所以，所以，，即，故D正确. 4．（2026·江西南昌·三模）(多选)已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形. B．若，则为等腰三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】利用余弦定理边化角判断A；由题设，结合三角形内角性质判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由及余弦定理，得，为钝角，故为钝角三角形，A正确； 对于B，由中，则，故或， 所以或，均不能说明为等腰三角形，B错误； 对于C，在锐角中，则， 所以，即，C错误； 对于D，由，，得，，， 由正弦定理得，D正确. 5．（2026·河北邯郸·三模）(多选)已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：由，可得，则 或 ，由于为三角形的内角， 故或， 为直角三角形或钝角三角形，故A正确； 选项B：当时，，对于任意，， 恒成立，为钝角三角形，故B错误； 选项C：由 ，得， 由余弦定理得：， ， ，故C正确； 选项D：由正弦定理，则，即， ， ，故D正确． 6．（2026·湖南衡阳·二模）(多选)在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 【答案】ABD 【分析】对题干信息利用正弦定理和余弦定理即可判断AB选项；根据题意结合三角函数值域可判断C选项；利用正弦定理和三角恒等变换可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以或，又， 故，若，又，则，与矛盾，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由正弦定理将上述等式化简为， 根据余弦定理代入可得，将代入得，解得或（舍），故B正确； 对于C：由选项A可知，所以， 又，因为为锐角三角形， 所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理及得， 所以， 又， 所以，又， 所以， 即，又，所以为锐角，可得， 所以，所以，所以，故D正确． 7．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论； （2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． 8．（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2) 【分析】（1）解法一：利用正弦定理化边为角，再根据二倍角的正弦公式结合正弦函数的性质即可得解； 解法二：利用余弦定理化角为边，化简即可得解； （2）解法一：以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标公式求解即可. 解法二：由题意可得为的重心，求出，再利用余弦定理解三角形即可. 解法三：分别求出的正余弦值，再根据结合两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由，得， 由正弦定理得， 即，即， 因为，所以， 所以根据的图象可得，或，或， 所以，或，或， 又，所以，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； 解法二：由，得， 由余弦定理得， 即， 化简得， 从而，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； （2）解法一：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以 . 解法二：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， ， ， 因为边上的两条中线相交于点，所以为的重心， 所以， 所以． 解法三：①若，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则，所以， ，所以． 又，所以， 在中，， 所以 ． 考点05 求三角形中边长或周长最值问题 求解这类与边长有关的范围问题,正余弦定理的灵活运用成为解题的关键步骤,常见的解答思路一般表现为:(1)根据已知条件的特点,选择合适的定理并代人具体值,得到与问题所求的对应关系等式;(2)根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点,得到具体关系等式或不等式;(3)通过运算,求出问题所求边长对应具体取值范围. 【典例5】（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）如果一个直角三角形的周长为定值，则其外接圆半径的最小值为_______________． 【答案】 【分析】方法一：根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，结合直角三角形的周长为定值即可求解；方法二：令两直角边分别为，通过周长为定值得到关于的表达式，求出的最大值即可求解. 【详解】方法一：设直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，外接圆半径为，则， 由于直角三角形的周长为定值，则，即， 两边同时平方可得，，展开得，化简得， 由于实数是一元二次方程的两个根，为使为实数，则， 即，化简得，解得， 所以，解得，即其外接圆半径的最小值为. 方法二：设直角三角形的斜边为，两条直角边分别为，外接圆半径为，两个锐角分别为和，， 则两直角边分别为，且， 由于，即，化简得， 要求直角三角形外接圆半径的最小值，即求斜边的最小值，即求的最大值， 由于，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，因此，则， 即直角三角形的外接圆半径的最小值为. 2．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【详解】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 【答案】(1)递增区间，递减区间 (2) 【分析】（1）先化简，再利用正弦函数的单调性即可求出； （2）先求出，再利用余弦定理和基本不等式即可求出. 【详解】（1）由题意得， 令，当时，， 当，即时，单调递增，单调递增； 当，即时，单调递减，单调递减； 当，即时，单调递增，单调递增. （2），，， ，，，即， ，， 由基本不等式得，解得， 当且仅当时等号成立， 此时为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为. 4．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将转化为，化简求出的值即可求出； （2）利用余弦定理结合基本不等式，先求出的取值范围，再结合三角形三边的关系，最终求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）在中，，则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 又因为，所以，因此，即， 因为，所以； （2）由（1）知，又， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式（当且仅当时等号成立），则， 所以，即，所以， 又因为在三角形中，，所以， 因此周长. 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得； （2）利用正弦定理求得，利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，进而求得即可. 【详解】（1）由，结合正弦定理得， 因为，所以， 所以． 而，则，所以，而，故． （2）由题意得，外接圆半径， 由正弦定理得，得． 由余弦定理得，则， 即，当且仅当时等号成立， 此时的周长为． 6．（2026·浙江绍兴·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面积公式和向量数量积的定义化简即可求得； （2）利用正弦定理边化角，再由辅助角公式以及正弦函数的性质可求的最大值． 【详解】（1）由可得， 故，而为三角形内角，故． （2）由正弦定理，，故， 所以 ，其中， 当且仅当，即时，的最大值为． 7．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小. （2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值. 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 考点06 三角形面积公式及其应用 1.（1）常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 2.求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 【典例6】5．（2026·重庆江津·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，得到利用两角和的正弦公式求解即可得解. （2）由题意在边上一点，且，可得，将此式子两边平方，通过计算，结合基本不等式得到的最大值，从而得到的最大值. 【详解】（1）（1）由题意，根据正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，即：， ∵，∴. （2）（2）由题意在边上一点，且， 可得， ∴，∴， 故，， ∴当且仅当时取到等号，故， ∴的最大值为，当且仅当时取到等号. 【跟踪训练】1．（黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期6月月考数学试卷）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意结合正弦定理可得，从而可得，又，可得，再利用勾股定理与基本不等式及面积公式计算即可得解. 【详解】由及，得， 在中，由正弦定理将边化为角得， 即， 即， ，由，得，因此，即， 所以，当且仅当时取等号， 又由题知，故不能取等号，即有，所以， 故的面积无最大值． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 【答案】 【详解】由椭圆，得，可得， 即，则， 设，则有，， ， ， 3．（2026高三下·全国·专题练习）已知一个平面四边形的四条边长分别为，则四边形面积的最大值为______. 【答案】 【分析】将四边形面积写成两个三角形面积之和，结合余弦定理，推导得当四边形为圆内接四边形（对角和为π）时面积取得最大值，代入数值计算出最终结果. 【详解】设四边形四条边为，对角线为，两个对角分别为和， 两个三角形的面积之和为：，整理得 同时由余弦定理对两个三角形分别列等式可得：， 整理得，记， 则(3)，(4)， (3)(4)得 所以，即 当，也就是四边形为圆内接四边形时，，此时面积取得最大值， 此时 所以 三、解答题 4．（2026·湖北十堰·三模）为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】小问（1）运用正弦定理进行边角转化，再运用两角和的三角公式化简等式，最后根据角度的取值范围进行求解；小问（2）先计算出三角形的面积，再运用正弦定理将c用三角函数值进行表示，求出c的取值范围从而求出三角形面积的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 又，所以，又，所以， 即，由，所以； （2）由题意有， 由正弦定理有：，所以， 由（1）得，所以， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以，，所以，， 所以面积的取值范围为 5．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变形化简得，进而可得； （2）利用二倍角公式化简得，进而得到，，，再求，求出面积即可． 【详解】（1）证明：， 由正弦定理可得 ， 即 ， ，， 即； （2） 解得，又，所以， ，， 又，所以， ． 6．（25-26高三下·江苏扬州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且． ①若，求角的大小； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1），先对已知边角关系式子变形，因为式子同时有边和角的余弦，所以用正弦定理将边转化为对应角的正弦，再利用三角恒等变换化简，结合三角形内角和定理，得到边的比例关系，求出的值； （2）①由（1）得，结合为的中点，得，利用正弦定理推出，结合，求得，，设，，利用余弦定理即可求解； ②根据推出， ，可得，从而推出；继而求出的表达式，利用三角恒等变换以及基本不等式求出其最值，即可求得答案. 【详解】（1）由，利用正弦定理得， 可得， 则，即，由正弦定理得，； （2）①由（1）得，由题意知为的中点，故，即， ，， 由于角的平分线交于，故，而， 可得，结合，可得，， 不妨设，， 在中，由余弦定理可得，， 即， 在中，, 即，和联立，得， 则, 在中，，，则； ②在中，不妨设，，，， 得到， 可得，即， 同理在中，，所以， 则，， 而， 即，， 故， 由于，，故，则， 故，即， 当且仅当取得等号，则最大值为． 考点07 角平分线、中线、高线有关的问题 1、中线长性质归纳： 在中，D是AC中点， 2、涉及角平分线的工具：中，AD是的角平分线 角平分线定理： 【典例7】（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角； （2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解. 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 【跟踪训练】1．（2025高三上·全国·竞赛）在中，，，．的角平分线与边上的高相交于点，问的长度是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 【答案】D 【分析】先通过余弦定理求的余弦值，再过作于，求得，结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】    在中，由余弦定理得： 过作于， 则为直角三角形，： 又为锐角，故： 为的角平分线，故， 在中： ， 代入得： . 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】设， ， 因为，的角平分线交于点， 所以， 由正弦定理，得， 所以可得， 则由， 由正弦定理，得 ，或， 当时，因为，且， 所以解得，，负值舍去， 当时，，因为， 所以方程没有实数解， 综上所述：. 3．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【答案】 【分析】设，设，由角平分线的性质可得，在中，由余弦定理可求得. 【详解】因为的角平分线交于D，所以， 设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得， 在中，由余弦定理可得. 故答案为：. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】（1） ； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 5．（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 6．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 【点睛】 7．（2026·重庆万州·模拟预测）在中，，，分别为内角，，的对边，已知，且. (1)若，的角平分线交于点，求的长度； (2)求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求出，最后利用面积分割法​求解的长度； （2）以中点为原点建立平面直角坐标系，根据的条件推导点的轨迹方程，再利用圆上点的纵坐标最大值求解面积的最大值. 【详解】（1）由和正弦定理得，若， 由余弦定理有，所以解得，， 由，有，解得； （2）以的中点为原点，以和其中垂线为，轴建立直角坐标系， 则，，设，则由（1）知，所以有， ，整理得， 有，所以，所以. 即面积的最大值是. 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在中，角的对边分别为，向量，且，点为上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量垂直运算可得边角关系，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由三角形面积相等及余弦定理可得答案； （3）解法一：设其中一角，然后利用正弦定理可得边角关系，将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 解法二：设其中一角，然后利用向量共线可得边的关系，再用边角互化将转化成用所设角表示，利用范围即可求出答案； 【详解】（1）且， ，即， 所以在中，由正弦定理有， ， 又因为在中，， ，又， 又，； （2） 由（1）知，， 则，又，， ， 为角的角平分线， ， 即，； （3） 解法一：由（1）知，，则， 设，则； 设，则. 在中，即， 在中， 即， 则. 又，，又， ， 由和差化积公式可得， 则，， ； 解法二：已知为上靠近点的一个三等分点， 则， 又，由（1）知，，，则， 则， . ． ， ， . 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 处理与三角形外接圆、内切圆相关的问题，先记关键公式：外接圆用正弦定理，内切圆用面积公式（p 为半周长）。 先梳理已知条件，若涉外接圆，用正弦定理将边与角、半径关联；若涉内切圆，结合面积和半周长求半径或边长。计算后，验证结果是否符合三角形及圆的基本性质（如半径为正）。 【典例9】（2025·福建三明·模拟预测）在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． (1)求的长； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理化简已知式，借助于外接圆面积即可求解； （2）利用向量数量积的定义化简已知式得，推得角为钝角，由余弦定理得，再由正弦定理求得，则得，进而，求得，即得的周长. 【详解】（1）由可得，即得， 设外接圆半径为，依题意，即， 由正弦定理，，则得，解得. （2）由（*），可知角为钝角， 又由余弦定理，，可得. 由正弦定理，，可得，因角为钝角，故， 代入（*），可得，故，则， 故的周长为. 【跟踪训练】1．（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式和已知条件计算即可. 【详解】因为的外接圆半径为1，所以根据正弦定理得. 所以，代入得， 即，这说明必然是直角三角形. 若，则为斜边，，代入得， 即，与三角形定义矛盾，同理，因此只能是， 此时为斜边，，由勾股定理，与前述结论相符. 因为的面积为1，所以， 得， 又，解得. 故选：B. 3．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点是双曲线上的一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】不妨设点在第一象限，作出图形，分析可知，利用正弦定理求出的值，进而可得出直线的斜率，求出直线的方程，结合二倍角的正切公式以及点斜式可得出直线的方程，可求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可求出双曲线的离心率的值. 【详解】由双曲线对称性，不妨设点在第一象限，如下图所示： 由图可知，，且， 因为为等腰三角形，则，， 设的外接圆半径为，则，可得， 由正弦定理可得，则，即， 易知，为锐角，则， 所以，，， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，可得， 因此，双曲线的离心率为. 4．（2026·湖北·三模）在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出曲线方程，在中由余弦定理得，再利用基本不等式，结合余弦函数的单调性可得最大值，此时是直角三角形，求出圆的方程与曲线方程联立可得答案.， 【详解】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴， 所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由得， 化简得， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 在中，，， 由余弦定理得 ， 又因为，所以， 当且仅当即时等号成立，所以， 因为在上单调递减，所以当时， 最大，此时，由 可得，所以是直角三角形，且， 所以，可得的外接圆的圆心即为的中点， 所以，圆的方程为， 由得，或， 即， 所以. 5．（2025·甘肃·模拟预测）(多选)设内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．的外接圆面积为 D．若为中点，则 【答案】AC 【分析】利用余弦定理可求出a，继而可求出，即可判断AB；由正弦定理求出三角形外接圆半径，即可求出的外接圆面积，判断C；根据向量运算可得，平方后可求出，判断D. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 所以，故A正确； 对于B，由余弦定理可得， 而， 所以，故B错误； 对于C，设的外接圆半径为R，由正弦定理可得， 所以，所以的外接圆面积为，故C正确； 对于D，因为为中点，所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 6．（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； （2）因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 7．（2025·湖南·一模）已知的内角的对边分别为． (1)若，求角的值； (2)角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为． （i）当时，求的值； （ii）当为何值时，的面积取最大值． 【答案】(1) (2)（i）1；（ii） 【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出，可得角的值； （2）（i）解法1：连接并延长交于点，连接，在中， ， ，在Rt中，，利用倍角公式求的值； 解法2：连接，在中，得，在中，得，是方程的两根，可求的值； （ii）解法1：连接，设，由余弦定理可得是方程的两根，，有，利用导数求最大值； 解法2：连接并延长交圆于点，连接，设， 利用导数求最大值. 【详解】（1），由正弦定理得， 即，由余弦定理得， ，. （2）（i）解法1：为直径且， 如图，连接并延长交于点，连接， 在中，，，， 又平分，，， 在Rt中，， . 解法2：连接， 平分， ，易得， 由正弦定理得， 在中，， 即， 同理在中，， 是方程的两根， . （ii）解法1：如图，连接，设， 又外接圆的半径为，， 在中，由余弦定理可得， ， 得， 同理，在中，， 是方程的两根， . 又， ，. 设，则，， ， 令，则， 令，时，（舍）或， 设， 则当，即时，，函数单调递减， 当时，即时，，函数单调递增 当，即时，取最大值，面积最大. 解法2：如图，连接并延长交圆于点，连接， 在中，，， ，设， 平分，， 连接，在中，， 在Rt中，， ， 由，知，即， 问题转化为求函数的最大值，同解法1． 8．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知中，， (1)若的外接圆直径为,，求； (2)若，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由正弦定理可解得，结合三角形三角关系可得解； （2）由三角形三角关系结合三角恒等变换化简可得解. 【详解】（1）由正弦定理得，所以，， 又，所以 所以或， 所以或； （2）由题意， 又，故， 而， 因为，所以， ， 所以或（舍）， 故，所以， 所以，. 9．（2025·河北张家口·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的外接圆面积为，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形的性质及同角三角函数基本关系将条件化为，然后利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解； （2）由正弦定理可得，由余弦定理及得，利用及向量的线性运算得，结合数量积的运算律，利用向量模的运算公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以， 由正弦定理可知，即， 又由余弦定理可知， 又，则； （2）由的外接圆面积为，得外接圆半径为1，由正弦定理得， 由余弦定理及得，， 化简得，解得（负根舍去），从而， 因为，所以， ，所以 ， 故的长是. 考点9 解三角形与三角函数性质的综合 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 【典例10】（2026·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 2．（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，故，利用正弦定理和三角恒等变换得到，由基本不等式可求解. 【详解】因为，故， 所以， 所以， 故 （*）， 当且仅当，即时，等号成立， 又，故，解得， 所以，所以（*）式可取等号， 所以的最小值为. 故选：A 3．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 【答案】(1)函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 (2) 【分析】（1）结合平面向量的运算法则与三角恒等变换公式，化简可得，再由正弦函数的单调性与对称性，即可得解； （2）根据正弦函数取值可得，再利用余弦定理求出b的值，随后进行分类讨论，最后由三角形的面积公式，即可得解． 【详解】（1）， . 所以. 由 ，得. 即 . 由 ， 得 ，即. 所以函数 的单调递增区间为 . 令 ，得 ， 此时 ，所以函数 的图象的对称中心为 . 综上所述，函数的单调递增区间为，图象的对称中心为 （2）由（1）知 ，由 得 ， 因为 为锐角，所以，则 ， 所以，解得 . 由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，解得 或 . 当 时，，，此时 ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ，所以 或 ， 若 ，则 ，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾; 若 ，则 ，此时三角形为钝角三角形，符合题意， 三角形面积 . 当 时，，，由余弦定理得 ， 所以，此时三角形为直角三角形，与钝角三角形矛盾，舍去. 综上所述，三角形 的面积为 . 4．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦二倍角公式辅助角公式先化简，然后利用正弦型函数单调性求解即可； （2）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 令， 解得，即的单调递增区间为． （2）由（1）可得，则， 因为，所以，则，解得， 由正弦定理，可得， 因为， 所以， 所以． 5．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，若向量，，且. (1)求角的大小； (2)若点在边上，平分，，试求的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由向量共线的坐标公式计算，逆用和角的余弦公式化简，结合锐角三角形，即可求得角； （2）设，利用余弦定理和面积相等求出，通过两次换元，最后根据二次函数的性质即可求得长的最大值. 【详解】（1）因，，且， 则，所以， 所以， 所以，所以， 因为锐角三角形，则，，故. （2）由余弦定理，即， 则得①， 设，因，可得， 整理得，令， 设，由①可得，，解得， 当且仅当时等号成立，故，则， 再令，则，， 故当时，取得最小值， 此时取得最大值为9，即长的最大值为3. 6．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)锐角中，，且，求的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图象和性质的应用得到答案； （2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图象和性质的应用求出结果. 【详解】（1）由题意有 ， 由，，有； 由，得. 故函数的最小正周期为，单调递增区间为. （2）由（1）有，即， 又，所以，所以，即， 由，所以， 则，. 因为是锐角三角形，所以即，所以， 所以. 则有. 所以，即 故的取值范围为. 7．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. (1)求在上的值域； (2)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数，由范围，求出范围，然后得到函数在区间上的最值，即求出函数在该区间上的值域； （2）由求得，由正弦定理求得，根据题意列关于的不等式，基于的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由题意可得. 由题意可得. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，最小值为； 当，即时，取得最大值，最大值为. 故在上的值域为. （2）因为，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以，所以， 则，则. 因为，所以，则，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，所以， 即的取值范围是. 8．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． (1)求的值； (2)若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，由正弦定理及二倍角公式，可得，即可得答案；选②，由正弦定理及两角和差公式可得，即可得答案；选③，由正弦定理、两角和差公式及诱导公式可得，即可得答案； （2）由题意可得，在和中，由正弦定理及，从而可得，求出的范围，即可得答案. 【详解】（1）若选①，因为； 由正弦定理得， 又， 所以， 因为， 所以； 若选②，因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 又， 所以， 因为， 所以； 若选③，， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即 因为，所以， 因为， 故， 所以. （2）在中，， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 所以， 所以， 则， 因为为锐角三角形，， 所以， 即，解得， 所以， 从而， 所以， 所以的取值范围是. 9．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解； （2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由， 因为，可得 又因为在上恰有2个极值点，则满足， 解得，所以的取值范围为. （2）解：当时，可得 由，可得，即， 因为，可得，所以， 解得，所以， 又由正弦定理，可得， 所以， 又因为，可得，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 10．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解； （2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03 解三角形突破题型9大考点 考点预览 目录 考点01 正弦定理解三角形策略 1 考点02 余弦定理解三角形策略 3 考点03 判断三角形解的个数 5 考点04 正余弦定理判定的三角形形状 7 考点05 求三角形中边长或周长最值问题 9 考点06 三角形面积公式及其应用 12 考点07 角平分线、中线、高线有关的问题 14 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 16 考点09 解三角形与三角函数性质的综合 18 考点通关 考点01 正弦定理解三角形策略 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，a=b，a=c，b=c； ②======； ③a:b:c=::； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. 【典例1】（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【跟踪训练】1．（2026·广东阳江·二模）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·吉林长春·期中）在中，，，，则（   ） A．30° B．45° C．135° D．45°或135° 6．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的值． 7．（2026·北京·三模）在中，已知． (1)求角的大小． (2)已知边上的高为．在下列三个条件中选择一个条件，使得存在且唯一，并求线段的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③：的周长为． 考点02 余弦定理解三角形策略 (1)余弦定理及其推论的表示 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. (2)对余弦定理的理解 ①余弦定理对任意的三角形都成立. ②在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量. ③余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题.用余弦 定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角. ④余弦定理的另一种常见变式：b2+c2-a2=2bccosA，a2+c2-b2=2accosB，a2+b2-c2=2abcosC. 【典例2】（2026·陕西西安·模拟预测）(多选)在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）在中，角所对的边长分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D．与的大小不能确定 2．（2026高三·全国·专题练习）已知的三边长分别是，，，则最大内角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角，，的对边分别是，，．若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 5．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（     ） A． B．可以取到 C． D．可以取到 6．（2026·河北张家口·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，AD为BC边上的中线，且，则c=（    ） A． B． C． D． 7．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北·模拟预测）内角，，的对边分别为，，，，且的面积，则（   ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 9．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 考点03 判断三角形解的个数 1.已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 注：从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明.由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若==1，则满足条件的三角形的个数为1. 【典例3】（25-26高三上·河南安阳·期末）(多选)下列说法错误的有（   ） A．命题的否定是 B．若，则，的夹角为锐角 C．若方程有两个不等的正实数根，则 D．在中，若角，则有两解 【跟踪训练】1．（2026·四川广安·模拟预测）(多选)在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是（     ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．（25-26高一下·广东湛江·期中）(多选)在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（   ） A．是的充要条件 B．，则的外接圆半径是 C．若，则 D．若，则有两解 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 4．（25-26高三·全国·三轮复习）(多选)在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（   ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 5．（2026·河北邯郸·二模）(多选)在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 6．（2026·河北雄安·模拟预测）(多选)在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则符合条件的三角形有两个 C． D．， 7．（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）(多选)在中，已知，．现增加一个条件，使C有唯一解，则增加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 考点04 正余弦定理判定的三角形形状 判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.. 【典例4】（2026·贵州黔西南·二模）已知三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，求的面积. 【跟踪训练】1．（2026·江苏苏州·三模）已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 3．（2026·江苏扬州·模拟预测）(多选)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．在中，，，若三角形有唯一解，则或 C．若，则为钝角三角形 D．若，则 4．（2026·江西南昌·三模）(多选)已知内角所对的边分别为.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形. B．若，则为等腰三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，则的取值范围为 5．（2026·河北邯郸·三模）(多选)已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 6．（2026·湖南衡阳·二模）(多选)在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 7．（2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，． (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 8．（2026·福建漳州·三模）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 考点05 求三角形中边长或周长最值问题 求解这类与边长有关的范围问题,正余弦定理的灵活运用成为解题的关键步骤,常见的解答思路一般表现为:(1)根据已知条件的特点,选择合适的定理并代人具体值,得到与问题所求的对应关系等式;(2)根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点,得到具体关系等式或不等式;(3)通过运算,求出问题所求边长对应具体取值范围. 【典例5】（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）如果一个直角三角形的周长为定值，则其外接圆半径的最小值为_______________． 2．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数 (1)讨论在区间上的单调性； (2)在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 4．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 5．（2026·海南海口·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若外接圆半径为，当取得最大值时，求的周长． 6．（2026·浙江绍兴·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形面积为，已知． (1)求； (2)若，求的最大值． 7．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 考点06 三角形面积公式及其应用 1.（1）常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 2.求三角形面积的方法 (1)若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该角的两边长度，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，或直接代入海伦公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 【典例6】（2026·重庆江津·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 【跟踪训练】1．（黑龙江哈尔滨市第五中学校2025-2026学年高三下学期6月月考数学试卷）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为（ ） A．无最大值 B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）设M是椭圆=1上的一点，为该椭圆的焦点，，则的面积为___. 3．（2026高三下·全国·专题练习）已知一个平面四边形的四条边长分别为，则四边形面积的最大值为______. 4．（2026·湖北十堰·三模）为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 5．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 6．（25-26高三下·江苏扬州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且． ①若，求角的大小； ②求面积的最大值． 考点07 角平分线、中线、高线有关的问题 1、中线长性质归纳： 在中，D是AC中点， 2、涉及角平分线的工具：中，AD是的角平分线 角平分线定理： 【典例7】（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【跟踪训练】1．（2025高三上·全国·竞赛）在中，，，．的角平分线与边上的高相交于点，问的长度是（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 E．22 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 3．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 5．（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 6．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 7．（2026·重庆万州·模拟预测）在中，，，分别为内角，，的对边，已知，且. (1)若，的角平分线交于点，求的长度； (2)求面积的最大值. 8．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）在中，角的对边分别为，向量，且，点为上一点． (1)求角的大小； (2)若是的角平分线，，的周长为19，求的长度； (3)若为上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围． 考点08 与外接圆、内切圆有关的问题 处理与三角形外接圆、内切圆相关的问题，先记关键公式：外接圆用正弦定理，内切圆用面积公式（p 为半周长）。 先梳理已知条件，若涉外接圆，用正弦定理将边与角、半径关联；若涉内切圆，结合面积和半周长求半径或边长。计算后，验证结果是否符合三角形及圆的基本性质（如半径为正）。 【典例9】（2025·福建三明·模拟预测）在中，角，，所对的边是，，，已知，外接圆面积为． (1)求的长； (2)若，求的周长． 【跟踪训练】1．（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2026·山东·模拟预测）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点是双曲线上的一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（     ） A．4 B． C．2 D． 4．（2026·湖北·三模）在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·模拟预测）(多选)设内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．的外接圆面积为 D．若为中点，则 6．（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 7．（2025·湖南·一模）已知的内角的对边分别为． (1)若，求角的值； (2)角的平分线交的外接圆于点，圆的半径为． （i）当时，求的值； （ii）当为何值时，的面积取最大值． 8．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）已知中，， (1)若的外接圆直径为,，求； (2)若，求. 9．（2025·河北张家口·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的外接圆面积为，且，，求的长. 考点9 解三角形与三角函数性质的综合 解三角形与三角函数综合问题的一般步骤 【典例10】（2026·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【跟踪训练】1．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广西钦州·阶段检测）在中，角，，的对边为，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 3．（2026·辽宁盘锦·一模）已知向量，，设函数. (1)求函数的单调递增区间及其图象的对称中心； (2)已知a，b，c分别为钝角三角形的内角A，B，C对应的三边长，A为锐角，，，且，求三角形的面积. 4．（25-26高二上·云南保山·期末）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)设的内角的对边分别为， 为锐角，且，，，求的面积． 5．（25-26高三上·山东淄博·期中）已知锐角三角形的内角所对的边分别为，若向量，，且. (1)求角的大小； (2)若点在边上，平分，，试求的最大值. 6．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)锐角中，，且，求的取值范围. 7．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数，将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像. (1)求在上的值域； (2)若锐角三角形的内角，，所对的边分别为，，，且，，求的取值范围. 8．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． (1)求的值； (2)若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 9．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中. (1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围； (2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围. 10．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $