第十三讲 两条直线的交点坐标 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两条直线的交点坐标，核心内容为交点坐标与二元一次方程组解的等价关系及位置关系判定。课堂导入通过复习直线方程，以“如何用代数方法表示交点”设问，搭建几何与代数的联系支架，衔接前后知识。 资料亮点在于易错点精准归纳（如方程组解与相交的区别）和题型全面（从基础判断到综合应用），通过辨析易错点培养学生严谨的数学思维，多样题型训练用数学语言表达问题，结合信息技术观察直线系提升数学眼光，助力高效掌握重点。

第十三讲 两条直线的交点坐标 【学习目标】能利用直角坐标系描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义，能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，能用方程组解的个数判断两条直线的位置关系． 【学习重点】两条直线的交点坐标，两条直线位置关系的判定． 【学习难点】建立两相交直线交点坐标与二元一次方程组的解的等价关系． 必掌握知识点 一 . 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即 二. 直线l1、l2联立得方程组 (代数问题) (几何问题) 三. 一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有 方程组. 注意： 1.此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. 2.如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定. 3.方程， (1)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点. (2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论. (3)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合. 四. 易错点汇总 1.混淆 “方程组有解” 和 “两直线相交” 方程组有解包含两种：唯一解（相交）、无穷多解（重合）；只有唯一解才叫相交。 2.三条直线构成三角形容易漏情况 不能构成三角形：①有两条平行；②三线共点。做题不要只考虑平行，忘记检验三线共点；求出参数后要取补集。 3.过两直线交点的直线系的坑 ，不包含直线，做完题目一定要检验是否符合题意，防止漏解。 4.含参直线恒过定点计算错误 必须把含的项全部合并，令参数系数全部等于 0，联立方程组求解，不能随便代入特殊数字。 5.平行判定只看，忘记排除重合 只能说明平行或者重合，还需要检验常数项比例，区分平行、重合。 6.垂足概念理解错误 垂足是两条直线的交点，既要满足垂直，又要满足点同时在两条直线上，很多同学只使用垂直条件，忘记点在直线上。 必考题型全归纳： 题型一：联立方程组判断两直线位置关系（相交、平行、重合） 设两条直线一般式：， 相交：，方程组有唯一一组解，解就是交点坐标； 平行：，方程组无解，无公共点； 重合：，方程组无穷多组解，无数公共点。 解题方法：联立方程，消元，看方程解的个数判断位置；也可以直接比较系数比例。 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【分析】将方程组进行消元，再对消元后的方程的解进行讨论可得所求值. 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 3（多选）．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 【答案】ABD 【分析】计算，进而可得，由两直线相交即可求解. 【详解】由于与是直线（k为常数）上两个不同的点， 故，， 又， 由于，因此，故直线不平行，也不重合， 故两直线相交，因此只有唯一的交点，故C正确，ABD错误， 故选：ABD 4（多选）．下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 题型二：三线能否构成三角形问题 三条直线能构成三角形的充要条件： ①任意两条直线都不平行（不重合）； ②三条直线不能交于同一个点（三线共点）。 反过来，不能构成三角形的情形： ①至少两条直线平行或重合； ②三条直线相交于同一点。 做题思路：先找出 “不能构成三角形” 的参数，再取补集，得到可以构成三角形的参数。 5．已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 6．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 7．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且．故选：ACD． 题型三：直线恒过定点（含参数直线） 对于含参数直线 整理：把含参数项合并，不含参数项合并； 令参数的系数 = 0，常数部分 = 0，联立方程组； 方程组的解，就是直线恒过的定点。 拓展题型：已知直线过定点，判断直线经过哪些象限；定点在另外一条直线上求参数。 8．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 9．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 10．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)最小值为2，直线的方程为. 【分析】（1）由题意得到不等式组，求解即可； （2）表达出三角形面积，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得，所以的取值范围为. （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得； 且，则，， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 题型四：直线系方程（过两直线交点的直线系） 过与交点的直线系： 注意：该直线系不包含本身，做题最后要检验是否符合题意。 用途：不用求交点坐标，直接设出过交点的直线，结合垂直、截距、过某点条件求。 11．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为点在直线和上， 所以有，从而点、均满足， 故过点、的直线方程是即. 12．（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）法1：求出交点，利用垂直关系求直线方程；法2：设直线系方程，再利用垂直关系求出； （2）设截距式方程，利用基本不等式求最值，得出取等条件即可. 【详解】（1）法1：联立，解得， 与直线垂直的直线斜率为， 所以经过与交点且与垂直的直线方程为：，即； 法2：经过直线交点的直线设为：， 即， 因其与直线垂直，所以，解得， 所以所求直线方程为. （2）设，则， 因直线过，所以，则，等号成立时， 所以的面积， 此时的周长为. 13．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 14．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 题型五：交点位置（交点在某象限）、直线与线段有、无公共点 交点在某象限：联立求出交点，根据象限符号列不等式组： 第二象限：；第一象限：等，解不等式求参数。 直线与线段有公共点： 方法①：定点旋转直线，求边界两点的斜率，得到斜率取值范围； 方法②：线段两个端点代入直线方程，两个值异号或等于 0。 15．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 16．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 17．已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】首先求直线所过的定点，再求边界的斜率，再利用数形结合，写出范围. 【详解】，得，所以直线过点， ，， 若直线与线段有公共点，所以直线斜率的取值范围是. 故答案为： 题型六：三线共点问题 三条直线交于同一点解题步骤： 联立其中两条直线，求出交点坐标； 将交点坐标代入第三条直线方程，解出参数。 注意：要检验前两条直线不能平行，要有交点 18．已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 19．三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 20．已知三条直线，，相交于一点，则____________. 【答案】3 【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【详解】由和联立，解得， 由点在直线上，得，所以. 故答案为：3 题型七：交点结合垂直、垂足、中垂线综合 两直线垂直：求出参数； 垂足：是两条互相垂直直线的交点； 中垂线：过线段中点，且和线段垂直。 21．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 22．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 23．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 题型八：交点与面积、截距综合 截距相等：分两种：①截距等于 0（过原点）；②截距不等于 0，设，不要漏掉过原点情况。 求三角形面积：求出直线与坐标轴交点，利用；经常结合基本不等式求面积最值。 24.已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 25．已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为0和不为0两种情况讨论即可； （2）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可． 【详解】（1）由题意得，，解得，∴点P的坐标为． 设所求直线为l， （i）当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为， 则，解得，所以直线l的方程为，即； （ⅱ）当直线l在两坐标轴上的截距为0时， 设直线方程为，则，解得， ∴直线l的方程为，即． 综上，直线l的方程为或． （2）（i）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （iii）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 即实数a的取值范围为. 26．已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) 直线变形为， 令，解得，故直线恒过点， 又，故点在上， 故直线与直线总有公共点； (2)最小值为，此时直线的方程为. 【分析】（1）直线变形为，得到方程组，求出直线恒过点，又在上，从而证明出结论； （2）先根据题意得到直线的斜率存在且大于0，故，得到点的坐标，得到，表达出，换元后得到最值，进一步得到直线的方程. 【详解】（1）略 （2）直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点， 故直线的斜率存在且大于0，故， 中，令，得， 中，令，得， 显然，解得， 则， 令， 则， 因为，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为16， 此时，，直线的方程为. 题型九：中点、线段、对称、被直线截线段中点 中点坐标：； 被两平行线截得线段已知中点：利用中点坐标，分别求交点，代入直线方程。 27已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 28．已知点是线段AB的中点． (1)求点和的坐标； (2)若是轴上一点，且满足，求点的坐标． (3)若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标，并根据求出的坐标； （2）设出，求出，根据平行得到方程，求出答案. （3）由点A，B，D能构成三角形，得到三点不共线，列不等式求解. 【详解】（1） 是线段AB的中点，记为坐标原点， ，； （2） 设，则， 因为，，解得：， ∴点的坐标是． （3）点A，B，D能构成三角形，则三点不共线， 所以与不共线， 又，，所以， 解得. 题型十：概念辨析、判断、开放性证明题 方程组有解两直线交于一点：有无穷多解代表重合；只有唯一解才是相交。 中线交于一点（三角形重心）；阅读材料类比推理直线方程。 29．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？ 【答案】 不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合． 【详解】略 30．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 【答案】 【分析】根据直线的方程结构，确定其方程求法，类比得到直线的方程. 【详解】点E为直线与直线的交点． 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 并与直线的方程：一致. 同理，点F为直线与直线的交点， 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 所以直线的方程为. 31．已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别证明三角形三个内角的余弦值为正数，即可证明为锐角三角形； （2）通过联立两边中线，得到交点，验证其是否在第三边的中线上，即可完成证明. 【详解】（1）证明：因为， 所以，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； ，且，所以是锐角； 所以，为锐角三角形； （2）证明：设点分别为的中点，易得坐标为. 所以得中线所在直线的方程为，中线所在直线的方程为，中线所在的直线方程为， 联立，解得交点， 检验可知交点满足中线所在的直线方程， 故的三条中线交于一点. 巩固提升： 1．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得；综上所述，. 故选：B 2（多选）．已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或.故选：BD. 3（多选）．已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意.故选：BCD 4．已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 【答案】(1) 由题，可化为， 由于，令，可得， 所以，解得，即直线 恒过定点．所以直线 恒过定点. (2). 【分析】（1）先分离参数，再令参数的系数等于 ，求得、 的值，可得直线 恒过定点； （2）先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后解出即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点，所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以，解得 ，所以， 将代入直线方程，解得．所以 的值为 . 5．在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和______；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和______；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和______；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 【答案】 重合 平行 相交 【分析】根据直线方程的一般式判断两直线的位置关系，利用结论直接得答案. 【详解】（1）重合；（2）平行；（3）相交. 6．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为.故答案为： 7．写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或，此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为.故答案为：，3，（写出一个即可） 8．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则故答案为： 9．三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为，把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得，所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形,故答案为：且且 10．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形，因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以，当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意；当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N，因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于，可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是.故答案为：. 【点睛】利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题. 11．（1）求两直线，的交点坐标，并画出图形． （2）已知直线，．当时，求a的值及垂足的坐标． 【答案】（1） 交点坐标为； ； （2） 当时，垂足坐标为；当时，垂足的坐标为. 【详解】（1）联立，解得， 故两直线，的交点坐标为； 图形如下： （2）由于，所以， 解得或. 当时，，， 由解得，即垂足坐标为. 当时， ，，两直线的交点，也即垂足的坐标为. 12．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 13．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 14．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且 (2) 【分析】（1）由求解； （2）过定点，又因为也经过点，代入求解，要注意检验． 【详解】（1）依题意，得， 得， 得，且，且． （2）， 得，得，得过定点，又因为也经过点， 得，得．当时，与重合，故舍去，故． 15．已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 【答案】(1)m≠1且m≠－5 (2)－5 (3) 【详解】解：（1） 由（3＋m）（1＋m）≠4×2，得m≠1且m≠－5. （2） 由（3＋m）（1＋m）＝4×2，得m＝1（舍）或m＝－5. （3） 由2（3＋m）＋4（1＋m）＝0，得m＝－. 16．已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 17．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 18．已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）利用两直线垂直的一般式系数关系直接求解； （2）不能围成三角形分三线共点、至少两条直线平行两类情况分类讨论求解 【详解】（1）对于直线和，垂直的充要条件为，代入、的系数得： ，解得 （2）三条直线不能围成三角形分两类： ① 三线共点：联立和的方程，解得交点为， 代入得： ，化简得，解得或； ② 存在平行直线：若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，解得，此时两直线平行； 若，则，即，无实根，不存在符合条件的， 综上，的取值为、、、. 19．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，(2)，(3) 【分析】（1）利用直线点斜式方程可整理得到直线方程；由直线截得到，通过确定临界直线斜率可得的范围； （2）将直线与方程联立可得点坐标，代入，结合三角形面积公式可求得结果； （3）利用表示出，设，换元后，结合对勾函数的性质可求得的取值范围，进而可将能成立的不等式化为，令，可将化为，再次利用对勾函数性质求得，由此可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知：，； 直线经过点，斜率为， 直线方程为：，即； ，，又直线与线段均有交点，. （2）由题意知：直线， 由得：，； 当时，，则轴， ，. （3）由题意知：直线； 由得：，；， ， ，设，则，， ， 在上单调递增，，， ，则可化为：， 令，则，， ， 在上单调递减，， ，即的取值范围为. 20．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，        解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 21．从的顶点引的垂线，垂足为．在上任取一点，直线交于交于，试证平分和所成的角． 【答案】证明见解析 【分析】建立如图所示直角坐标系，设，求出过交点的直线系方程，进而求得的直线方程，同理求出的直线方程，由方程判断得证. 【详解】建立如图所示直角坐标系， 设，于是 ，① ．② 过交点的直线系是：. 令，得.③ 直线③过原点，因此③即为的直线方程. 同理，的直线方程为. 显然，直线与直线的斜率互为相反数，故平分与所成角. 22．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 23．直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 24．三边所在直线方程①，②，③，请问是否存在，使得面积最大？面积最小？若存在，求出最大、最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，最大值为1，无最小值. 【分析】首先确定三个顶点的坐标，用坐标表示的面积，求最大值. 【详解】解方程组，得交点坐标为， 解方程组，得交点坐标为， 解方程组，得交点坐标为， 如图，， 得， 因为，所以当及，即，，时，最大，最大值为1，无最小值． 25．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线和直线，即可求解交点坐标； （2）首先由题意可知，点是线段的中点，利用对称和直线方程，即可求解. 【详解】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点，， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入方程， ，解得所以，，即直线方程为：，即. 26．求下列直线的斜率与在、两坐标轴上的截距： (1)； (2). 【答案】(1)在轴上截距为、轴上的截距为. (2)在轴上截距为、轴上的截距为. 【分析】分别令，求解即可. 【详解】（1）令，有，解得，令有. 故在轴上截距为、轴上的截距为. （2）令，有，解得，令有. 故在轴上截距为、轴上的截距为. 27．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及已知直线的斜率可求直线的斜率，进而可求直线的方程； （2）先设，进而表示的坐标，再由点在直线及中点坐标公式可求． 【详解】（1）设边上的高为， ，且直线的方程为，故斜率为， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即；    （2）设，则， 由题意得，解得，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三讲 两条直线的交点坐标 【学习目标】能利用直角坐标系描述两条直线交点（坐标）的几何（代数）含义，能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，能用方程组解的个数判断两条直线的位置关系． 【学习重点】两条直线的交点坐标，两条直线位置关系的判定． 【学习难点】建立两相交直线交点坐标与二元一次方程组的解的等价关系． 必掌握知识点 一 . 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即 二. 直线l1、l2联立得方程组 (代数问题) (几何问题) 三. 一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有 方程组. 注意： 1.此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. 2.如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定. 3.方程， (1)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点. (2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论. (3)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合. 四. 易错点汇总 1.混淆 “方程组有解” 和 “两直线相交” 方程组有解包含两种：唯一解（相交）、无穷多解（重合）；只有唯一解才叫相交。 2.三条直线构成三角形容易漏情况 不能构成三角形：①有两条平行；②三线共点。做题不要只考虑平行，忘记检验三线共点；求出参数后要取补集。 3.过两直线交点的直线系的坑 ，不包含直线，做完题目一定要检验是否符合题意，防止漏解。 4.含参直线恒过定点计算错误 必须把含的项全部合并，令参数系数全部等于 0，联立方程组求解，不能随便代入特殊数字。 5.平行判定只看，忘记排除重合 只能说明平行或者重合，还需要检验常数项比例，区分平行、重合。 6.垂足概念理解错误 垂足是两条直线的交点，既要满足垂直，又要满足点同时在两条直线上，很多同学只使用垂直条件，忘记点在直线上。 必考题型全归纳： 题型一：联立方程组判断两直线位置关系（相交、平行、重合） 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 3（多选）．已知与是直线（k为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况说法错误的是（   ） A．无论k、M、N如何，总是无交点 B．存在k、M、N使之无交点 C．无论k、M、N如何，总是唯一交点 D．存在k、M、N使之有无穷多交点 4（多选）．下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 题型二：三线能否构成三角形问题 5．已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 6．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 题型三：直线恒过定点（含参数直线） 8．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 10．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 题型四：直线系方程（过两直线交点的直线系） 11．直线和交于点，则过点、的直线方程是（   ） A． B． C． D． 12．（1）已知两直线，求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知直线过点，且交坐标轴正半轴于两点，当的面积最小时，求的周长. 13．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 14．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 题型五：交点位置（交点在某象限）、直线与线段有、无公共点 15．若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 17．已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是__________. 题型六：三线共点问题 18．已知三条直线与相交于一点，则___________. 19．三条直线，，相交于一点，则__________． 20．已知三条直线，，相交于一点，则____________. 题型七：交点结合垂直、垂足、中垂线综合 21．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 23．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 题型八：交点与面积、截距综合 24.已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 25．已知两直线，． (1)求过直线交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)若直线与直线能构成三角形，求实数a的取值范围． 26．已知直线：. (1)求证：直线与直线总有公共点； (2)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 题型九：中点、线段、对称、被直线截线段中点 中点坐标：； 被两平行线截得线段已知中点：利用中点坐标，分别求交点，代入直线方程。 27.已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 28．已知点是线段AB的中点． (1)求点和的坐标； (2)若是轴上一点，且满足，求点的坐标． (3)若点坐标为，且点A，B，D能构成三角形，求实数的取值范围． 题型十：概念辨析、判断、开放性证明题 方程组有解两直线交于一点：有无穷多解代表重合；只有唯一解才是相交。 中线交于一点（三角形重心）；阅读材料类比推理直线方程。 29．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？ 30．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 31．已知点，，是的三个顶点. (1)求证：为锐角三角形； (2)求证：的三条中线交于一点. 巩固提升： 1．若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（多选）．已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 3（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 4．已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 5．在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和______；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和______；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和______；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 6．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 7．写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 8．若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 9．三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 10．已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________． 11．（1）求两直线，的交点坐标，并画出图形． （2）已知直线，．当时，求a的值及垂足的坐标． 12．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 13．分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 14．已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 15．已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 16．已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 17．三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 18．已知三条直线：，：，：，． (1)若，求的值； (2)若、、不能围成三角形，求的值． 19．如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 20．已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 21．从的顶点引的垂线，垂足为．在上任取一点，直线交于交于，试证平分和所成的角． 22．求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 23．直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 24．三边所在直线方程①，②，③，请问是否存在，使得面积最大？面积最小？若存在，求出最大、最小值；若不存在，请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 26．求下列直线的斜率与在、两坐标轴上的截距： (1)； (2). 27．已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $