2.3.1-2.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“直线的交点坐标与距离公式”，核心内容包括用解方程组求两条直线交点坐标，以及探索掌握平面上两点间距离公式。以城市地图中路口位置确定、小区到公园直线路程计算为导入问题，衔接直线方程基础知识，构建从方程理论到实际应用的学习支架。 资料特色在于以真实情境驱动学习，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过例题、变式训练及易错点提示，发展数学思维中的推理与运算能力，习题设计层次分明，助力学生用数学语言精准表达和解决问题，提升知识应用与自主学习效率。

第二章　直线和圆的方程 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1-2.3.2两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 学习目标1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。2、探索并掌握平面上两点间的距离公式。 问题 城市地图里两条主干道相交形成路口，自家小区与公园是地图上两个固定地点，我们该怎样算出路口精准位置，又该如何求取小区到公园的直线路程长度？ 参考答案　将两条主干道写成直线方程，联立方程组求解，方程组的解就是路口交点坐标， 把小区、公园的位置转化为平面内两个坐标点，代入两点间距离公式计算数值，结果便是两地的直线距离。 一、直线的交点与方程的解 知识梳理 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解 【例1】经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______． 【答案】 【解析】由，解得，即直线和的交点坐标为，设与直线垂直的直线方程为，则，解得，所以直线方程为. 【变式1-1】过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得，则直线的交点， 又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得. 故选：C. 【变式1-2】设为实数，若三条直线，，共有两个不同的交点，求的值. 【答案】或 【解析】三条直线只有两个交点，因此其中两条平行，另外一条与它们不平行， 直线与直线显然不平行， 由直线与平行得，解得； 由直线与平行得，解得， 所以或． 2、 两点间的距离 （1）距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. （2）三种特殊距离： ①原点到任意一点的距离为； ②当平行于轴时，； ③当平行于轴时， 【例2】已知点，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析. 【解析】∵，， ，∴， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 【变式2-1】已知，是直线上的两点，若，求的值． 【答案】 【解析】因为，在直线l上，所以，． 根据两点间的距离公式， 得， 解得 【变式2-2】已知x，y∈R，，则S的最小值是（ ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】B 【解析】表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，如图所示：，当点P在线段AB上时，等号成立， 所以S取得最小值为2． 故选：B 易错点提示1、仅用直线的斜率不可以判断直线的关系。2、两点间距离公式没有顺序要求。 巩固加练 1.直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立方程，解得： 所以两直线的交点为，所以直线的斜率为， 则直线的方程为：，即.故选：B 2.如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由，解得，所以，．故选：D 3.已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ） A．8 B．6 C．3 D．0 【答案】C 【解析】因点，，则，所以A，B两点之间的距离等于3. 故选：C 4.设实数，满足，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【解析】， 所以表示直线上的点与点的距离，所以最小值为. 故选：C. 5.已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】由方程组中的两个方程对应两条直线， 则方程组的解就是两直线的交点，要使得两直线只有一个交点，则满足，即，解得. 故答案为：. 6.直线与的交点在第一象限，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】当时，与平行，不合题设；当时，联立两直线方程，解得，∴两直线的交点坐标为，又两直线的交点在第一象限，∴且，解得. 故答案为：. 7.已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【答案】直线，过定点 【解析】因为方程化简得： 为任意实数，方程表示直线.因为， 所以当，直线恒成立， 故直线过定点. 8. 经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程？ 【答案】或 【解析】设直线方程为，即 令，得，令，得. 由，得或.所以直线方程为或. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　直线和圆的方程 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1-2.3.2两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 学习目标1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。2、探索并掌握平面上两点间的距离公式。 问题 城市地图里两条主干道相交形成路口，自家小区与公园是地图上两个固定地点，我们该怎样算出路口精准位置，又该如何求取小区到公园的直线路程长度？ 一、直线的交点与方程的解 知识梳理 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 相交⇔方程组有 ，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组 ； 重合⇔方程组有 . 【例1】经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______． 【变式1-1】过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】设为实数，若三条直线，，共有两个不同的交点，求的值. 2、 两点间的距离 （1）距离公式：平面内两点，间的距离公式为： （2）三种特殊距离： ①原点到任意一点的距离为； ②当平行于轴时，； ③当平行于轴时， 【例2】已知点，求证：是等腰三角形． 【变式2-1】已知，是直线上的两点，若，求的值． 【变式2-2】已知x，y∈R，，则S的最小值是（ ） A．0 B．2 C．4 D． 易错点提示1、仅用直线的斜率不可以判断直线的关系。2、两点间距离公式没有顺序要求。 巩固加练 1.直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2.如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ） A．8 B．6 C．3 D．0 4.设实数，满足，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．8 5.已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 6.直线与的交点在第一象限，则的取值范围是______. 7.已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 8. 经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $