精品解析：江苏省南京市建邺区金陵河西学校2024-2025学年苏教版六年级下学期期末数学试卷

江苏省南京市金陵河西2024－2025学年六年级下期末试卷 一、计算。（共18分） 1. 解方程。 【答案】； 【解析】 【分析】（1），根据比与分数的联系，可以将写成比的形式，，再根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，化为普通的方程，然后根据等式的基本性质2，等式两边同时除以25，求得方程的解； （2），首先把百分数转化为分数，，先计算，再根据等式的基本性质1，等式两边同时减，然后根据比例的基本性质将所得的方程转化为普通方程并化简，再根据等式的基本性质2，等式两边同时除以19，最后求得方程的解。 【详解】（1）  解：         （2） 解： 2. 脱式计算，能简便的要简便。 【答案】3；； ；33330000 【解析】 【分析】计算，先把18分解成3×6，再利用乘法分配律进行简便计算； 计算，这是典型的裂项相消题型，利用公式，这里k＝2，所以每一项都可以拆成，再利用乘法分配律进行简算； 计算，先将带分数转化为假分数，再利用乘法分配律提取公因数2024后可以直接和被除数的2024约掉，快速得到第一部分的结果；后面连除部分利用除法的性质进行简算，最后把两部分的结果相加即可； 计算，先把9999分解出3333×3，再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 二、填空。（共23分） 3. 一个最简分数满足：，当分母b最小时，a＋b＝________。 【答案】8 【解析】 【分析】根据分数的基本性质，把和的分子分母同时乘2，然后再取大于且小于的分数，再根据同分子分数大小的比较方法找出两个分数之间的分数，最后把分子分母加起来即可，据此解答。 【详解】 根据同分子分数大小的比较方法可知： 和中间有，即 a＝3 b＝5 所以a＋b ＝3＋5 ＝8 当分母b最小时，a＋b＝8。 【点睛】本题主要应用分数的基本性质把分数的分子分母扩大，然后再取它们中间的分数。 4. 两个分数之和为，两个分数的分子之比是1∶2，分母之比为2∶3，这两个分数中较大的一个是（ ）。 【答案】 【解析】 【分析】根据比的关系表示两个分数，即两个分数的分子比是1∶2，说明较大分数的分子是较小分数分子的2倍；分母比是2∶3，说明较大分数的分母是较小分数分母的倍。据此把较小分数的分子看作1份，分母看作2份，那么较大分数的分子就是2份，分母就是3份；对两个分数通分，公分母取2份和3份的最小公倍数6份，计算两个分数的和；结合已知的和计算每份分子和分母对应的数值；最后根据对应的份数，计算两个分数并比较大小，求出较大的分数。 【详解】根据分析知，两个分数可表示为和。 ＋ ＝＋ ＝ 因此＝。 分子部分：7份对应49，因此1份对应的分子数值为49÷7＝7。 分母部分：6份对应90，因此1份对应的分母数值为90÷6＝15。 由此可得： 较小分数为＝ 较大分数为＝ ＝，＝，因为＜，所以较大分数为。 5. 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，最少要摸出_____只手套才能保证有3副同色的。 【答案】9 【解析】 【分析】可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推；即可得出答案。 【详解】把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副，就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。 根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5＋2＋2＝9（只）； 所以最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。 6. 六年级某班上学期数学期末测试，男生的平均分是92.4分，女生的平均分是84分，全班的平均分是87.5分。这个班男生与女生的人数最简比是（ ）。 【答案】5∶7## 【解析】 【分析】可以设女生人数为a，男生人数为b； 男生的平均分是92.4分，则男生的总分为92.4b分； 女生的平均分是84分，则女生的总分为84a分； 根据总分＝男生的总分＋女生的总分，得出92.4b＋84a＝87.5（a＋b），将数量关系化简为4.9b＝3.5a，再根据比例的基本性质内项积＝外项积得出男生和女生的比为3.5∶4.9，再利用比的基本性质化简比即可。 【详解】设女生人数为a，男生人数为b。 92.4b＋84a＝87.5（a＋b） 92.4b＋84a＝87.5a＋87.5b 92.4b－87.5b ＝87.5a－84a 4.9b＝3.5a b∶a＝3.5∶4.9 3.5∶4.9＝（3.5×10）∶（4.9×10） ＝35∶49 ＝（35÷7）∶（49÷7） ＝5∶7 则这个班男生与女生的人数最简比是5∶7。 7. 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段。 【答案】 【解析】 【分析】十等份、十二等份、十五等份，可以取10、12、15的最小公倍数，假设木棍长60厘米，然后求出有多少条刻度线，加1得到段数。 【详解】假设木棍长，则沿第一种刻度线锯成的木棍每段长，沿第二种刻度线锯成的木棍每段长，沿第三种刻度线锯成的木棍每段长。 因为，沿三种刻度线可将木棍分别锯成10、12、15段；沿第一、二种重合的刻度线可将木棍锯成段，沿第一、三种重合的刻度线可将木棍锯成段，沿第二、三种重合的刻度线可将木棍锯成段；沿三种刻度重合的刻度线可将木棍锯成段。应该减去重复计算的沿任意两种重合的刻度线锯成的段数，应加上多减去的沿三种刻度重合的刻度线锯成的段数。所以，沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成 段。 【点睛】本题考查的是三个量的容斥问题，这里需要注意刻度线的数量与段数之间相差1。 8. 甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产的个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产的个数之和的，这批玩具共有120个，丙生产了（ ）个。 【答案】50 【解析】 【分析】先根据“甲生产的个数是乙、丙两人生产的个数之和的”求出甲生产的个数与乙、丙两人生产的个数之和的比，根据总数按比分配求出甲生产的个数；同理根据“乙生产的个数是甲、丙两人生产的个数之和的”求出乙生产的个数。最后用总个数减去甲和乙生产的个数求出丙生产的个数。 【详解】甲生产的个数∶乙、丙两人生产的个数之和＝∶1＝1∶2 甲生产的个数： 120÷（1＋2） ＝120÷3 ＝40（个） 乙生产的个数∶甲、丙两人生产的个数之和＝∶1＝1∶3 乙生产的个数： 120÷（1＋3） ＝120÷4 ＝30（个） 丙生产的个数：120－40－30＝50（个） 9. 如图，甲、乙、丙三个皮带轮的半径比分别为5∶3∶7，当甲轮转动7圈时，乙轮转动（ ）圈，丙轮转动（ ）圈。 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】皮带相连的轮子，轮子边缘走过的总路程相等。路程＝轮子周长×转动圈数，而圆的周长和半径成正比，因此转动圈数和半径成反比。先利用反比关系求出甲、乙、丙三个轮子的转数比，再根据甲轮转动7圈的条件，求出每一份对应的圈数，最后分别求出乙轮、丙轮转动的圈数。 【详解】半径比：甲∶乙∶丙＝5∶3∶7 转数和半径成反比： 甲转数∶乙转数∶丙转数 ＝∶∶ ＝（×105）∶（×105）∶（×105） ＝21∶35∶15 甲的转数占21份，对应实际转动7圈，每份代表的圈数： 7÷21＝（圈） 乙轮转动圈数：35×＝（圈） 丙轮转动圈数：15×＝5（圈） 10. 红、蓝、黄、白四种颜色的卡片各一张，每张上面写有1个一位数，现将4张卡片从左到右按照红、黄、白、蓝的顺序放置，构成一个四位数，计算这个四位数减去它各位数字之和的10倍，结果小明发现，无论白色卡片上写什么数字，计算结果都是2025，那么红、黄、蓝三张卡片上的数字各是（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】 ①. 2 ②. 1 ③. 5 【解析】 【分析】设红、黄、白、蓝卡片上的数字分别为 a、b、c、d。先写出四位数和数字和的10倍，列出减法算式。计算后发现代表白色数字的c刚好抵消，所以结果和白色数字无关。再化简算式，通过试算一位数，求出红、黄、蓝对应的数字。 【详解】设红、黄、白、蓝卡片上的数字分别为 a、b、c、d。 四位数：1000a＋100b＋10c＋d 数字之和的10倍：10（a＋b＋c＋d） （1000a＋100b＋10c＋d）－10（a＋b＋c＋d）＝2025 1000a＋100b＋10c＋d－10a－10b－10c－10d＝2025 990a＋90b－9d＝2025 （110a＋10b－d）×9＝2025 （110a＋10b－d）×9÷9＝2025÷9 110a＋10b－d＝225 a是千位上的一位数，如果a＝1，式子左边最大只能是 110＋90－0＝200＜225，达不到225，因此a＝2。 把a＝2代入： 110×2＋10b－d＝225 220＋10b－d＝225 10b－d＝5 b、d都是一位数，整十数减去一位数等于5，只能是10－5＝5，所以b＝1，d＝5。 所以红是2，黄是1，蓝是5。 11. 在比例尺是1∶4000000的地图，量得A、B两港的距离9厘米，一艘货船于上午6时以每小时24千米的速度从A港开向B港，货轮到达B港的时间是（ ）。 【答案】21时 【解析】 【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及1千米＝100000厘米，求出两港的实际距离，再据“路程÷速度＝时间”求出货船从A港到B港需要的时间，最后根据到达时间＝出发时间＋经过时间，据此解答。 【详解】9÷ ＝9×4000000 ＝36000000（厘米） 36000000厘米＝360千米 360÷24＝15（小时） 上午6时为6时 6时＋15时＝21时 因此货轮到达B港的时间是21时。 12. 一个三角形沿虚线折叠后得到一个多边形（如图），这个多边形的面积是原三角形面积的，已知多边形中涂色部分的面积为8平方厘米，则原三角形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】32 【解析】 【分析】原三角形折叠后得到的多边形，比原三角形面积少的部分，恰好是折叠后重叠的空白小四边形的面积。 先计算重叠空白部分的占比：已知新多边形面积是原三角形的，那么减少的面积（也就是重叠的空白部分）占原三角形面积的比例为 。 再推导涂色部分的占比：多边形的面积由重叠的空白部分和涂色部分共同组成，因此涂色部分占原三角形面积的比例＝多边形的占比重叠空白部分的占比，即。 最后结合涂色部分的实际面积，用除法求出原三角形的总面积。 【详解】 （平方厘米） 13. 小雨在一张神秘纸上看到四个奇怪的算式“2×2＝92”，“7×7＝57”，“5＋9＝7”，“9×2＝60”，爷爷告诉他，这四个算式所用的运算符号与我们相同，进位也是十进制，只是每个数字与我们的写法不同。按照这个写法“5＋6＋7＝（ ）”。 【答案】0 【解析】 【分析】一个数自己乘自己，结果个位还是这个数：5×5＝25，6×6＝36，所以算式里的2、7这两个符号，对应真实数字5和6；如果符号7代表真实5：7×7＝57，也就是5×5＝25，符号7是真实5；符号5是真实2，再看式子5＋9＝7，符号5是2，符号7是5，即2＋真实9＝5，得到符号9是真实3；再看2×2＝92，符号9是3，式子就是符号2×符号2＝3符号2，6×6＝36，完美匹配，符号2是真实6。验证第四个式子：9×2＝60，符号9＝3，符号2＝6；3×6＝18，也就是：符号“60”这个两位数，真实是18，符号6真实是1；符号0真实是8。据此解答即可。 【详解】根据分析：5＋6＋7换成真实数字就是2＋1＋5＝8，真实数字8，对应纸上的符号是0，所以按照这个写法“5＋6＋7＝0”。 14. 老师在黑板上写了若干个从1开始的连续正整数：1，2，3，4，…，然后擦掉其中一个，剩下数的平均数是，那么擦掉的数是（ ）。 【答案】22 【解析】 【分析】从1开始的连续自然数，平均数等于首尾两个数的和÷2，擦掉其中一个数后，剩下数的平均数不会和原来的平均数相差太多。先根据剩下数的平均数，确定原来连续自然数的总个数范围；再根据平均数的分母是13，确定剩下数的个数是13的倍数，结合范围锁定原来的总个数；然后用首尾配对相加的方法算出原来所有数的总和，再算出剩下数的总和，两个总和的差就是擦掉的数。 【详解】确定原来连续自然数的总个数范围： 剩下数的平均数≈13.7，因为只擦掉了一个数，原来连续自然数的平均数和13.7很接近。从1开始的连续自然数，平均数＝（第一个数＋最后一个数）÷2，也就是（1＋最后一个数）÷2≈13.7，计算可得最后一个数≈13.7×2－1＝26.4，说明原来的数最多到27左右。 确定剩下数的个数： 平均数​的分母是13，平均数＝剩下数的总和÷剩下数的个数，总和是整数，因此剩下数的个数必须是13的倍数（13、26、39……）。 结合上面的个数范围，剩下13个数，原来只有14个数，平均数只有（1＋14）÷2＝7.5，和13.7相差太大；剩下26个数的话，原来有27个数，平均数是（1＋27）÷2＝14，和13.7非常接近，符合要求；剩下39个数的话，原来有40个数，平均数是20.5，和13.7相差太大，因此确定原来有27个连续自然数，剩下26个。 计算原来27个数的总和： 用首尾配对相加法计算：1＋27＝28，2＋26＝28，3＋25＝28……27个数可以配成13对，还多一个中间的数14。 总和＝28×13＋14 ＝364＋14 ＝378 计算剩下26个数的总和＝平均数×个数 ​×26 ＝（13＋139​）×26 ＝13×26＋139​×26 ＝338＋18 ＝356 计算擦掉的数：擦掉的数＝原来的总和－剩下的总和＝378－356＝22 答：擦掉的数是22。 【点睛】解题关键是抓住“擦掉一个数后，平均数变化很小”的特点，结合平均数的分母确定数的总个数，再用小学学过的首尾配对法计算连续数的总和，通过两次总和的差求出擦掉的数。 15. 用一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体的表面涂上红色，随后切成若干个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体有（ ）个，没有涂色的小正方体有（ ）个。 【答案】 ①. 38 ②. 12 【解析】 【分析】根据题意可知，长方体长、宽、高上分别切割成6个、5个、3个小正方体。一面涂色的小正方体位于大长方体的面上，分别用长、宽、高减去两端的小正方体，就是处于中间面上一面涂色的小正方体在大长方体的长、宽、高上的个数，即（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出一面涂色的小正方体的个数； 没有涂色的小正方体在长方体的内部，它在大长方体的长、宽、高上的个数也是（长－2）个、（宽－2）个、（高－2）个；根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出没有涂色的小正方体的个数。 【详解】每条棱分别切割成小正方体的个数： 长：6÷1＝6（个） 宽：5÷1＝5（个） 高：3÷1＝3（个） 一面涂色或没有涂色的小正方体： 长：6－2＝4（个） 宽：5－2＝3（个） 高：3－2＝1（个） 一面涂色的小正方体有： （4×3＋4×1＋3×1）×2 ＝（12＋4＋3）×2 ＝19×2 ＝38（个） 没有涂色的小正方体有：4×3×1＝12（个） 这些小正方体中，一面涂色的小正方体有38个，没有涂色的小正方体有12个。 【点睛】本题考查长方体表面积、体积公式的运用，结合长方体表面涂色的特点，明确三个面涂色的小正方体位于长方体的8个顶点处；两面涂色的小正方体位于长方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体）；一面涂色的小正方体位于面上（不包括两端的小正方体）；没有涂色的小正方体在长方体的内部。 16. 如图，在正方体的两个面上分别画了对角线AB、AC，则（ ）°。 【答案】60 【解析】 【分析】正方体的六面全是完全相同的正方形，则每个正方形的对角线也是相等的。连接BC，因为BC、AB、AC都是相同正方形的对角线，所以AB＝BC＝AC，三角形ABC是等边三角形，三个内角也相等，三角形的内角和是180°，则每个角都是60°。 【详解】如图连接BC， 180°÷3＝60° 则60°。 17. 一张正方形的纸剪成边长为5厘米的正方形，比剪成边长为6厘米的正方形多99个，两种剪法都没有余下一点纸片。原来这张正方形纸的面积是（ ）平方厘米。 【答案】8100 【解析】 【分析】设这张正方形纸可以剪成个边长厘米的正方形，剪成边长为厘米的正方形，比剪成边长为厘米的正方形多99个，则可以剪成个边长厘米的正方形。两种剪法都没有余下一点纸片。正方形的纸的面积不变，等于一个小正方形的面积剪成的个数，据此可得等量关系：边长厘米的正方形面积个数边长厘米的正方形面积个数，据此列出方程：，解出未知数即可。 【详解】设这张正方形纸可以剪成个边长厘米的正方形，剪成个边长厘米的正方形，可得： 正方形纸的面积是： （平方厘米） 所以原来这张正方形纸的面积是平方厘米。 18. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是3∶4，高的比是4∶5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩120毫升水。甲容器的容积是（ ）毫升，乙容器的容积是（ ）毫升。 【答案】 ①. 360 ②. 2400 【解析】 【分析】先根据圆锥、圆柱体积公式，结合底面半径、高的比，算出甲乙容积比为3∶20，设甲容积3x，乙容积20x；乙倒满需要次甲容器的水，完整倒6次后，第7次倒出一部分水乙就满，此时甲剩下120毫升，据此列方程求解。 【详解】，， ，， 设甲容器容积为3x毫升，乙容器容积为20x毫升。 ，完整倒6次，第7次再倒一部分乙就满。 第7次倒出水量： 甲容器剩余水量： 甲：（毫升） 乙：（毫升） 答：甲容器容积是360毫升，乙容器容积是2400毫升。 19. 如图，小正方形ABCD的边CD在大正方形EFGH的边EF上，已知AB长4厘米，EF长6厘米，AC与EG平行，三角形ACG的面积是10平方厘米，则三角形ADE的面积是（ ）平方厘米。 【答案】2 【解析】 【分析】由图可知，因为和平行，所以三角形和三角形同底等高，即三角形和三角形的面积相等；三角形的面积等于三角形的面积减去三角形的面积即可。 【详解】三角形的面积：（平方厘米） 三角形的面积：（平方厘米） 20. 有甲、乙、丙三组工人，甲组3人的工作，乙组需要5人完成；乙组4人的工作，丙组需要5人完成。一项工程，甲组12人，乙组16人合作3天完成。如果让丙组15人去做，那么需要（ ）天完成。 【答案】9 【解析】 【分析】先确定不同组单人工作效率的比例关系，因为甲组3人工作量等于乙组5人工作量，所以可推出甲、乙单人效率比；再根据乙组4人工作量等于丙组5人工作量，推出乙、丙单人效率比，进而得到甲、乙、丙三组单人效率的连比。 设其中一组的单人效率为未知数，结合已知的甲组12人、乙组16人合作3天完成工程的条件，用工作总量＝工作效率×工作时间的公式，计算出工程的总工作量。 结合丙组单人效率和丙组15人的总效率，用工作时间＝工作总量÷工作效率的公式，计算丙组需要的工作天数。 【详解】甲组3人的工作量＝乙组5人的工作量，即：，可得：； 乙组4人的工作量＝丙组5人的工作量，即：，可得：； 三组单人效率连比：  为简化计算，直接赋值甲组单人日效率为25，乙组单人日效率为15，丙组单人日效率为12。 总工作量 ＝540×3 ＝1620 丙组15人的总日效率为： 所需天数＝1620÷180＝9（天） 三、选择。（共12分） 21. 如图，小蜜蜂要想通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间，那么小蜜蜂由1号房间到达8号房间共有（ ）种方法。 A. 21种 B. 23种 C. 25种 D. 27种 【答案】A 【解析】 【分析】只能从小号房间进入大号房间，到达某个房间的方法数＝所有能走到它的更小房间的方法数之和。每一个房间的方法数，等于它左边两个相邻小号房间方法数相加。 【详解】到1号：起点，1种 到2号：只能从1过来，1种 到3号：可以从1、2过来，1＋1＝2种 到4号：可以从2、3过来，1＋2＝3种 到5号：可以从3、4过来，2＋3＝5种 到6号：可以从4、5过来，3＋5＝8种 到7号：可以从5、6过来，5＋8＝13种 到8号：可以从6、7过来，8＋13＝21种 所以共21种。 22. 一个正多边形，它有20条对角线，这个多边形有（ ）条边。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】n边形的对角线总条数计算公式为，将选项中的边数依次代入公式计算，找到结果为20的对应边数即可。 【详解】A．，，不符合； B．，，不符合； C．，，符合； D．，，不符合。 23. 如图，某工厂有甲、乙两个蓄水池，中间有一个圆形水管连通，现在向甲池注水，若单位时间内进水量不变，那么从注水开始，能表示甲池水面上升的高度h（米）与时间t（分钟）关系的图象是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】整个注水分3个阶段； 第一阶段：刚开始注水，水只在甲池，甲池水面均匀上升，图像是向上倾斜的直线； 第二阶段：甲池水位到达连通水管高度，水流向乙池，在乙池水位还没到水管连通高度时，甲池水位保持不变，图像呈现水平线段； 第三阶段：乙池水位也到达连通管高度，之后甲、乙两池一起蓄水，总底面积变大，进水总量不变，所以甲池水位继续上升，但上升速度比第一阶段慢，第三阶段的直线倾斜度没有第一阶段大；据此解答即可。 【详解】A．水位最终下降，不符合题意，图像错误； B．第三阶段的倾斜度跟第一阶段的倾斜度相当，不符合题意，图像错误； C．先上升，再是水平线段，最后缓慢上升，符合题意，图像正确； D．第三阶段倾斜度比第一阶段倾斜度要大，不符合题意，图像错误。 24. 在含盐30%的盐水中，加入10克盐和20克水，此时盐水含盐百分比是（ ）。 A. 大于30% B. 等于30% C. 小于30% D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】先用加入盐的质量加上加入水的质量，求出后加入物质配成的盐水总质量，再用盐的质量除以盐水的总质量乘100%，求出新加盐水的含盐率。将这个含盐率和原来盐水30%的含盐率进行比较，即可判断混合后盐水含盐百分比的变化。 【详解】10÷（10＋20）×100% ＝10÷30×100% ≈33.3% 33.3%＞30% 所以此时盐水含盐百分比大于30%。 25. 一种商品的利润率为20%，进价提高25%后，若保持利润不变，则进价提高后的利润率为（ ）。 A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% 【答案】C 【解析】 【分析】假设这种商品的成本价是100元，则利润是100×20%＝20（元）；现在的成本是100×（1＋25%）＝125（元）；要保持利润不变，那么用利润除以现在的成本就是进价提高后的利润率。 【详解】假设这种商品的成本价是100元； 利润：100×20%＝20（元） 现在的成本：100×（1＋25%） ＝100×1.25 ＝125（元） 20÷125＝16% 即，进价提高后的利润率为16%。 故答案为：C 【点睛】本题关键是确定两个单位“1”的不同，要注意：售价＝进价＋利润。 26. 小明出门散步，出门时5点多一点，他看到手表上分针与时针夹角恰好为。回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成110°角。那么小明此次散步的时间是（ ）。 A. 40分钟 B. 50分钟 C. 55分钟 D. 60分钟 【答案】A 【解析】 【分析】先用除法确定分针、时针的转动速度，再算出散步期间分针比时针多走的角度，用路程差除以速度差即可得到散步时长。 【详解】 （分钟） 小明此次散步的时间是分钟。 四、操作探索发现。（27题3分，28题4分，共7分） 27. 如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去。 （1）如果剪10次，共剪出（ ）个小正方形；如果剪n次，共剪出（ ）个小正方形； （2）如果要剪出100个小正方形，那么需要剪（ ）次； （3）若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为（ ）。 【答案】（1） ①. 31 ②. 3n＋1 （2）33 （3） 【解析】 【分析】（1）每剪1次，得到的正方形个数比前一次多3个；剪1次得到4个正方形，剪2次得到（4＋3×1）个正方形，剪3次得到（4＋3×2）个正方形……剪10次得到（4＋3×9）个正方形，剪n次得到4＋3×（n－1）个正方形； （2）由（1）知，剪n次得到（3n＋1）个正方形；令3n＋1＝100，解方程即可； （3）根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形纸的面积； 剪1次，相当于把大正方形平均分成4份，每个小正方形的面积为1÷4； 剪2次，相当于把大正方形平均分成（4×4）份（每份都和图2中右下角最小的小正方形完全一样），每个小正方形的面积为1÷（4×4）； 剪3次，相当于把大正方形平均分成（16×4）份（每份都和图3中右下角阴影小正方形完全一样），每个小正方形的面积为1÷（16×4）； 【小问1详解】 4＋3×9 ＝4＋27 ＝31（个） 4＋3×（n－1） ＝4＋3n－3 ＝（3n＋1）个 【小问2详解】 3n＋1＝100 解：3n＋1－1＝100－1 3n＝99 3n÷3＝99÷3 n＝33 【小问3详解】 1×1＝1 1÷（16×4） ＝1÷64 ＝ 28. 如图，在边长为1的正方形中，与相交于O，分别以A、B、C、D为圆心，以对角线长的一半为半径画圆弧与正方形的边相交，求阴影部分的面积。 【答案】0.57 【解析】 【分析】假设正方形的对角线长的一半也就是圆的半径为r； 根据三角形面积计算公式×底×高可用r表示其中一个直角三角形的面积，而一个直角三角形的面积占整个正方形的，正方形的面积计算公式是边长×边长，据此可求出r2的值为多少； 阴影部分面积实际是用四个扇形之和（也就是整个圆的面积）减去正方形的面积，圆的面积计算公式为，据此解答即可。 【详解】解：设圆的半径r。 ×r×r＝×1×1 r2＝ r2＝ r2＝ r2＝ 3.14×r2－1×1 ＝3.14×－1 ＝1.57－1 ＝0.57 五、解决问题。（33、34题各10分，其余每题5分，共40分） 29. 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升。第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水充分混合，第二次将乙容器中的一部分混合溶液倒入甲容器。这样，甲容器中纯酒精含量为55%，乙容器中的纯酒精含量为25%。那么第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？ 【答案】9升 【解析】 【分析】乙容器中纯酒精浓度不变。第二次倒液时乙容器纯酒精含量为25%，说明第一次混合后乙容器的浓度就是25%。乙容器中水的量始终为15升，水占乙容器混合液的占比为1－25%，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法，求出乙容器第一次混合后的总容积；进而减去乙容器原有的水量，求出第一次倒入乙容器的纯酒精量，再用甲容器原有的纯酒精量减去第一次倒入乙容器的纯酒精量，求出甲容器剩余纯酒精量。设第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液是x升，根据等量关系：纯酒精总质量＝总溶液质量×55%，列方程。 【详解】乙容器第一次混合后的总容积： 15÷（1－25%） ＝15÷75% ＝15÷0.75 ＝20 （升） 第一次从甲容器倒入乙容器的纯酒精量：20－15＝5 （升） 甲容器剩余纯酒精量：11－5＝6 （升） 解：设第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液为x升。 乙容器中混合液的酒精含量为25%，即倒入甲容器的纯酒精量为25%x升。 甲容器中纯酒精总量为：（6＋25%x）升 甲容器中液体总量为：（6＋x）升 甲容器中纯酒精含量为55%，即： 6＋25%x＝55%×（6＋x） 6＋0.25x＝0.55×（6＋x） 6＋0.25x＝3.3＋0.55x 6－3.3＝0.55x－0.25x 2.7＝0.3x x＝2.7÷0.3 x＝9 答：第二次从乙容器倒入甲容器混合溶液9升。 30. 一天，阿凡提和巴依老爷都找到了一些金币，可是贪得无厌的巴依老爷提出了一个交换的方法：两人把各自的金币进行两次交换，且每次都用阿凡提全部金币的一半换巴依老爷金币的阿凡提答应了巴依老爷的要求。第一次交换后巴依老爷剩下金币450枚，第二次交换后阿凡提剩下金币150枚。请算一算，阿凡提的金币比原来是增加了还是减少了？增加或减少了多少枚金币？ 【答案】增加了；130枚 【解析】 【分析】一半就是，每次交换，阿凡提出自己全部金币的，巴依老爷出自己全部金币的，两人互相交换这部分金币。 已知： ①第一次交换后，巴依老爷剩450枚； ②第二次交换后，阿凡提剩150枚。用450×求出第二次交换中巴依老爷拿出的金币，用第二次交换后阿凡提剩下的金币减去第二次交换中巴依老爷拿出的金币，再乘2求出第一次交换后阿凡提的金币，然后求出原来两人金币总数，再求出巴依老爷比阿凡提多多少金币（多出的正好是巴依原有金币的），再除以求出巴依老爷原来有多少金币，用总数减巴依老爷原来的金币就是阿凡提原有的金币。最后求出还完后增加了多少即可。 【详解】第二次交换中巴依拿出：450×＝90（枚） 阿凡提自身留存一半：150－90＝60（枚） 第一次交换后阿凡提：60×2＝120（枚） 两人金币总数：120＋450＝570（枚） 第一次交换后巴依比阿凡提多：450－120＝330（枚） 多出的正好是巴依原有金币的 巴依原有：330÷＝＝550（枚） 阿凡提原有：570－550＝20（枚） 增加：150－20＝130（枚） 答：阿凡提的金币比原来增加了，增加了130枚。 31. 一艘船从A港出发开往B港，全程共300千米，计划若干小时到达，当航行到全程时间的时，因风力方向改变，速度降低为原来的，结果比计划时间迟了2小时。求原计划每小时航行多少千米？ 【答案】20千米 【解析】 【分析】航行到全程时间的时仍按原速行驶，不会产生延时；迟到的2小时全部来自原计划全程时间的这一段行驶过程。路程一定，时间与速度成反比，速度降为原来的，实际用时就是计划用时的，多出的部分就是迟到的2小时。 据此求出计划总时间，再根据速度＝路程÷时间，求原计划速度。 【详解】后半段实际时间为计划时间的，实际时间比计划时间多：，多出的对应迟到2小时。 后半段计划用时：（小时） 后半段对应原计划全程时间： 总计划时间：（小时），所以原计划每小时航行（千米） 答：原计划每小时航行20千米。 32. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间往返行走，甲出发的同时，丙也从A地出发去B地。当甲、乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C地；当丙走到C地时，甲又往前走了108米；当丙到B地时，甲、乙正好第二次迎面相遇。那么A、B两地间的路程是多少米？ 【答案】3750米 【解析】 【分析】当甲、乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C地；当丙走到C地时，甲又往前走了108米；据此求出两人的速度比，可得出当丙到地时，甲行了全程的几分之几，因为当甲、乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C地，说明甲比丙多走了100米，甲乙第二次相遇时，时间是第一次相遇时间的3倍，也就是甲、乙第一次相遇时，甲行了全程的几分之几的，用两人行驶的路程差100米除以两人对应全程的分率差即可。 【详解】，则当丙到地时，甲行了全程的。 甲乙第一次相遇时，甲行了全程的 此时丙行了全程的 所以全程为： （米）。 答：两地间的路程是3750米。 33. 如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图②所示。根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图②中折线表示（ ）槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示（ ）槽中水的深度与注水时间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；点B的纵坐标表示的实际意义是：（ ）。 （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积。 【答案】（1） ①. 乙 ②. 甲 ③. 乙槽中铁块的高度为 （2）2分钟 （3）84立方厘米 【解析】 【分析】（1）首先，甲槽是向外匀速排水，因此水的深度会随注水时间增加不断降低，最终深度变为0，对应图中线段DE；乙槽是接收注入的水，水的深度随时间不断升高，对应图中折线ABC。观察乙槽的水位变化：在水位到达14厘米之前，水位上升速度更快，超过14厘米后上升速度变慢，这是因为水位没过铁块后，水的可占用底面积变大，上升速度放缓，因此点B的纵坐标14的实际意义是乙槽中铁块的高度为14厘米。 （2）根据图象算出甲水槽每分钟下降的高度和乙水槽在水面到达铁块顶部之前，每分钟上升的高度；再算出甲、乙两个水槽中水的深度相同的时间； （3）由图象可知，当乙水槽中的水没有没过铁块时，4分钟水面上升12厘米，即1分钟上升3厘米；当水面没过铁块时，2分钟上升5厘米，即1分钟上升2.5厘米；根据每分钟注入乙水槽的水的体积不变，设铁块的底面积为b平方厘米，列出方程求出底面积，最后根据圆柱的体积＝底面积×高，求出铁块的体积即可。 【小问1详解】 图②中折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；点B的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中铁块的高度为14厘米。 【小问2详解】 甲水槽每分钟下降的高度是12÷6＝2（厘米）； 乙水槽在水面到达铁块顶部之前，每分钟上升的高度为（14－2）÷4＝12÷4＝3（厘米）； 设注水a分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同，即 2＋3a＝12－2a 3a＋2a＝12－2 5a＝10 a＝2 答：注水2分钟时，甲、乙两个水槽中水的深度相同： 【小问3详解】 解：设铁块的底面积为b平方厘米。 12÷4＝3（厘米） 5÷2＝2.5（厘米） 则乙槽中每注水1分钟，不放铁块时增加的体积为：（立方厘米）， 放了铁块时，增加的体积为（立方厘米）， 3×（36－b）＝2.5×36 108－3b＝90 3b＝18 b＝6 （立方厘米） 答：铁块的体积是84立方厘米。 34. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点。 （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，使得，？ （2）若点Q以（1）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】（1）或厘米/秒 （2）或秒，在边上相遇。 【解析】 【分析】（1）由BP＝PC可知P点为BC的中点，根据BC长度可求出BP的长度，再结合P点速度可求出运动时间。点为的中点，BD长度为AB的一半，又因为CQ＝BD，可求出CQ的长度。用CQ的长度除以运动时间就是Q点的运动速度。 （2）根据追及问题模型，追及时间＝路程差÷速度差，因为Q的速度大于P的速度，所以路程差是AB加AC的长度，求出追及时间后用P点的速度乘追及时间求出追及走的路程，根据路程和三角形边长判断相遇点的位置。 【小问1详解】 BD＝10÷2＝5（厘米） BP＝8÷2＝4（厘米） 4÷3＝（秒） 5÷＝5×＝（厘米/秒） 答：当点Q的运动速度是厘米/秒时，使得BP＝PC，CQ＝BD。 【小问2详解】 （10＋10）÷（－3） ＝20÷ ＝20× ＝（秒） ×3＝80（厘米） 80÷（10＋10＋8） ＝80÷28 ＝2（圈）……24（厘米） AC＋BC＝10＋8＝18（厘米） 18厘米＜24厘米 所以从B点运动24厘米后是在边AB上。 答：经过秒后，点P，Q第一次在△ABC的边AB上相遇。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市金陵河西2024－2025学年六年级下期末试卷 一、计算。（共18分） 1. 解方程。 2. 脱式计算，能简便的要简便。 二、填空。（共23分） 3. 一个最简分数满足：，当分母b最小时，a＋b＝________。 4. 两个分数之和为，两个分数的分子之比是1∶2，分母之比为2∶3，这两个分数中较大的一个是（ ）。 5. 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，最少要摸出_____只手套才能保证有3副同色的。 6. 六年级某班上学期数学期末测试，男生的平均分是92.4分，女生的平均分是84分，全班的平均分是87.5分。这个班男生与女生的人数最简比是（ ）。 7. 在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成________段。 8. 甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产的个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产的个数之和的，这批玩具共有120个，丙生产了（ ）个。 9. 如图，甲、乙、丙三个皮带轮的半径比分别为5∶3∶7，当甲轮转动7圈时，乙轮转动（ ）圈，丙轮转动（ ）圈。 10. 红、蓝、黄、白四种颜色的卡片各一张，每张上面写有1个一位数，现将4张卡片从左到右按照红、黄、白、蓝的顺序放置，构成一个四位数，计算这个四位数减去它各位数字之和的10倍，结果小明发现，无论白色卡片上写什么数字，计算结果都是2025，那么红、黄、蓝三张卡片上的数字各是（ ）、（ ）、（ ）。 11. 在比例尺是1∶4000000的地图，量得A、B两港的距离9厘米，一艘货船于上午6时以每小时24千米的速度从A港开向B港，货轮到达B港的时间是（ ）。 12. 一个三角形沿虚线折叠后得到一个多边形（如图），这个多边形的面积是原三角形面积的，已知多边形中涂色部分的面积为8平方厘米，则原三角形的面积是（ ）平方厘米。 13. 小雨在一张神秘纸上看到四个奇怪的算式“2×2＝92”，“7×7＝57”，“5＋9＝7”，“9×2＝60”，爷爷告诉他，这四个算式所用的运算符号与我们相同，进位也是十进制，只是每个数字与我们的写法不同。按照这个写法“5＋6＋7＝（ ）”。 14. 老师在黑板上写了若干个从1开始的连续正整数：1，2，3，4，…，然后擦掉其中一个，剩下数的平均数是，那么擦掉的数是（ ）。 15. 用一个长是6厘米、宽是5厘米、高是3厘米的长方体的表面涂上红色，随后切成若干个棱长是1厘米的小正方体。这些小正方体中，一面涂色的小正方体有（ ）个，没有涂色的小正方体有（ ）个。 16. 如图，在正方体的两个面上分别画了对角线AB、AC，则（ ）°。 17. 一张正方形的纸剪成边长为5厘米的正方形，比剪成边长为6厘米的正方形多99个，两种剪法都没有余下一点纸片。原来这张正方形纸的面积是（ ）平方厘米。 18. 甲、乙两个容器分别为圆锥形和圆柱形，它们的底面半径的比是3∶4，高的比是4∶5，现在每次用甲容器装满水倒入乙容器中，这样进行若干次后，乙容器水满了，甲容器中还剩120毫升水。甲容器的容积是（ ）毫升，乙容器的容积是（ ）毫升。 19. 如图，小正方形ABCD的边CD在大正方形EFGH的边EF上，已知AB长4厘米，EF长6厘米，AC与EG平行，三角形ACG的面积是10平方厘米，则三角形ADE的面积是（ ）平方厘米。 20. 有甲、乙、丙三组工人，甲组3人的工作，乙组需要5人完成；乙组4人的工作，丙组需要5人完成。一项工程，甲组12人，乙组16人合作3天完成。如果让丙组15人去做，那么需要（ ）天完成。 三、选择。（共12分） 21. 如图，小蜜蜂要想通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间，那么小蜜蜂由1号房间到达8号房间共有（ ）种方法。 A. 21种 B. 23种 C. 25种 D. 27种 22. 一个正多边形，它有20条对角线，这个多边形有（ ）条边。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 23. 如图，某工厂有甲、乙两个蓄水池，中间有一个圆形水管连通，现在向甲池注水，若单位时间内进水量不变，那么从注水开始，能表示甲池水面上升的高度h（米）与时间t（分钟）关系的图象是（ ）。 A. B. C. D. 24. 在含盐30%的盐水中，加入10克盐和20克水，此时盐水含盐百分比是（ ）。 A. 大于30% B. 等于30% C. 小于30% D. 无法比较 25. 一种商品的利润率为20%，进价提高25%后，若保持利润不变，则进价提高后的利润率为（ ）。 A. 25% B. 20% C. 16% D. 12.5% 26. 小明出门散步，出门时5点多一点，他看到手表上分针与时针夹角恰好为。回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成110°角。那么小明此次散步的时间是（ ）。 A. 40分钟 B. 50分钟 C. 55分钟 D. 60分钟 四、操作探索发现。（27题3分，28题4分，共7分） 27. 如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，如图1（算作剪1次），然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，如图2（算作剪2次），再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如图3（算作剪3次），如此循环进行下去。 （1）如果剪10次，共剪出（ ）个小正方形；如果剪n次，共剪出（ ）个小正方形； （2）如果要剪出100个小正方形，那么需要剪（ ）次； （3）若原正方形纸片的边长为1，则剪3次后最小正方形（图3阴影部分）的面积为（ ）。 28. 如图，在边长为1的正方形中，与相交于O，分别以A、B、C、D为圆心，以对角线长的一半为半径画圆弧与正方形的边相交，求阴影部分的面积。 五、解决问题。（33、34题各10分，其余每题5分，共40分） 29. 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升。第一次将甲容器中一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水充分混合，第二次将乙容器中的一部分混合溶液倒入甲容器。这样，甲容器中纯酒精含量为55%，乙容器中的纯酒精含量为25%。那么第二次从乙容器倒入甲容器的混合溶液是多少升？ 30. 一天，阿凡提和巴依老爷都找到了一些金币，可是贪得无厌的巴依老爷提出了一个交换的方法：两人把各自的金币进行两次交换，且每次都用阿凡提全部金币的一半换巴依老爷金币的阿凡提答应了巴依老爷的要求。第一次交换后巴依老爷剩下金币450枚，第二次交换后阿凡提剩下金币150枚。请算一算，阿凡提的金币比原来是增加了还是减少了？增加或减少了多少枚金币？ 31. 一艘船从A港出发开往B港，全程共300千米，计划若干小时到达，当航行到全程时间的时，因风力方向改变，速度降低为原来的，结果比计划时间迟了2小时。求原计划每小时航行多少千米？ 32. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间往返行走，甲出发的同时，丙也从A地出发去B地。当甲、乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C地；当丙走到C地时，甲又往前走了108米；当丙到B地时，甲、乙正好第二次迎面相遇。那么A、B两地间的路程是多少米？ 33. 如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图②所示。根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）图②中折线表示（ ）槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示（ ）槽中水的深度与注水时间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”）；点B的纵坐标表示的实际意义是：（ ）。 （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积。 34. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点。 （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度是多少时，使得，？ （2）若点Q以（1）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $