2026-2027学年上学期高三开学考数学模拟试卷（湖北武汉市适用）

**基本信息** 高三开学数学试卷，通过解三角形、立体几何、AI用户统计分析等题型，覆盖函数、几何、统计等核心知识，情境真实且梯度合理，适配开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量等|基础巩固，如第7题直线与圆相切考查几何直观| |多选|3/18|三角函数性质、双曲线等|分层赋分，如第9题全面考查函数图像与性质| |填空|3/15|抛物线、三棱锥外接球等|空间观念，如第14题侧棱垂直的三棱锥外接球| |解答|5/77|解三角形、立体几何、AI统计分析等|时代情境，如第17题AI用户年龄分布考查数据处理；综合应用，如第19题导数结合切线与单调性考查逻辑推理|

高三年级开学考试数学试卷 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知全集 ，集合 ，，则 （） A. B. C. D. 2.若复数 满足 ，则 （） A. B. C. D. 3.已知向量 ，，且 ，则 （） A. B. C. D. 4.已知 ，则 （） A. B. C. D. 5.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （） A. B. C. D. 6.已知 ，，，则（） A. B. C. D. 7.直线 与圆 相切，则 （） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8.已知函数 在 上单调递增，则实数 的最大值为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于函数 ，说法正确的是（） A. 最小正周期为 B. 图象关于点 对称 C. 在 上单调递增 D. 值域为 10.已知双曲线 的离心率 ，则（） A. 渐近线方程为 B. C. 焦距与实轴长之比为 D. 虚轴长是实轴长的 4 倍 11.已知函数 ，若 <n)，则（） A. B. C. 的最小值为 1 D. 三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分. 12.抛物线 的焦点到准线的距离为 . 13.已知 ，则 . 14.已知三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，则该三棱锥外接球的表面积为 . 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13 分）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长； 16.（15 分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 17.（15分）数据显示，中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，分组，得到如下的频率分布直方图.    (1)估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数. (2)为了进一步了解用户在工作中使用AI大模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. ①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率； ②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为X，求X的分布列和期望. 18.（17 分）已知为坐标原点，椭圆：（）的右顶点为，离心率，动点，，过的动直线交椭圆于，两点. (1)求的方程； (2)若，求四边形面积的最大值； 19.（17 分）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数的值； (2)求在区间上的值域． 试卷第1页，共3页 参考答案 一、单项选择题 1.A 解析：， 2.A 解析： 3.B 解析： 4.A 解析：，由诱导二倍角得 5.C 解析： 6.B 解析：,. 7.A 解析：圆 ，圆心到直线距离 = 半径，解得 8.A 解析： 在 恒成立， 二、多项选择题 9..ABD 10.ABC 11.BC 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题 15. (1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用正弦定理，可求角. （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列式，可求三角形的周长. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 因为，所以，所以，即， 又，则． （2）由（1）及题设可得，即 整理得，解得． 所以的周长为. 16.(1)证明：连接交于点，连接； 因为为平行四边形，故为的中点； 又因为为中点，故， 因为平面，平面， 故平面； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，找平面内一条直线与已知直线平行，根据题干所给中点以及平行四边形的性质利用中位线证明平行，即可证明线面平行； （2）利用空间向量求出平面的法向量和直线的方向向量，根据线面夹角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量夹角的余弦值的绝对值进行计算． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，因为平面，故平面； 又因为底面为平行四边形，且，故底面为菱形， 则； 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，可知，，则为等边三角形； 故，；； 故，，，，， 则，，； 设为平面的法向量， ，则，令，则； 设为直线与平面所成角， 则； 故直线与平面所成角的正弦值为． 17.(1). (2)①. ②. 【分析】（1）先计算各组累积频率，确定第60百分位所在位置，利用百分位数的计算公式，代值计算即可求出中国AI大模型用户年龄的第60百分位数． （2）先计算用户年龄在每组数据的人数， 在计算样本个数：各层抽取个数＝抽取比例各层个数，即可分别求出抽取的7名用户中年龄在内的人数．①利用古典概型的概率公式，可求出年龄在内的用户都没有获得幸运大礼的概率，进而可求出至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；②利用超几何分布的概率公式：，（其中：N表示总体容量，M表示总体中成功事件的个数，表示样本容量，表示样本中成功事件的个数），可分别求出X 所有可能取值的概率，即可得到X的分布列及期望. 【详解】（1）计算各组累计频率：， ， ，， 所以两组频率之和是， 两组频率之和是， 所以该组数据的第60百分位数一定在之间， 所以该组数据的第60百分位数为， 所以中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40. （2）计算用户年龄在每组数据的人数： （人），（人）， （人），（人）， （人），所以年龄在内的用户共（人）， 即抽层比例，所以选取的7名用户中，年龄在内的人数为（人）， 年龄在内的人数为（人）， 公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼. 所以年龄在内的用户没有获得幸运大礼的概率为, 所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为, ②根据题意可知X的所有可能取的值为，，，，则， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 18.(1)． (2)． (3)存在，． 【分析】（1）由右顶点和离心率求出 ； （2）根据向量关系设出 的坐标，利用两点在椭圆上建立关系，将四边形面积表示为 的函数，再求最大值； （3）先由向量恒等式把已知条件化为 ，再设直线方程，利用根与系数的关系求出 的面积． 【详解】（1）由右顶点为，得． 又，所以，从而. 故椭圆的方程为. （2） 由，设. 则. 因为都在椭圆上，所以,. 两式相减，得. 将代入第一式，得.所以. 于是. 由及，得． 因为在轴上，且，所以四边形的面积. 故. 令，则，且. 由基本不等式，. 当且仅当，即 时取等号． 因此. 故四边形面积的最大值为. 19.(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线斜率，结合两直线垂直的斜率关系求解； （2）通过导数判断函数在上的单调性，比较极小值和端点值的大小得到值域. 【详解】（1）函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得. （2）由（1）得，求导并整理得， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值，， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $