1.2 集合间的基本关系 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学1.2集合间的基本关系同步练，分层设计从基础概念到素养拓展，通过易错点强化与综合应用，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |练基础|子集/真子集/空集概念、集合相等、参数初步|含多选和教材变式，强化概念辨析| |练易错|元素与集合关系、空集讨论、端点取值|针对性训练，纠正典型错误| |练提升|集合关系综合应用、参数范围、子集个数计算|结合名校考题，综合多个知识点| |练素养|集合元素性质的高阶应用|选用竞赛题，培养创新意识与逻辑思维|

第一章 集合与常用逻辑用语 1.2集合间的基本关系 练基础 题型1 子集、真子集、空集 1.(多选)下列说法中，正确的有 ( ) A.空集是任何集合的真子集 B.若A⫋B,B⫋C,则A⫋C C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D.若不属于集合B的元素一定不属于集合A，则A⊆B 2.[黑龙江省实验中学2026高一月考]下列表示正确的是( ) A. a⊆{a} B.π∈Q C.∅⊆{0} D.{0}=∅ 3.[山东省实验中学2026 高一期中]已知集合A={xlx<-3或x>-1},B={x|-1<x<0},则 ( ) A. A>B B. A⫋B C. B⫋A D. A<B 4.设集合z}，则下列图形能表示A与B关系的是 ( ) 5.[河南南阳2026期中]已知集合A={x∈N|-4<，则A的子集的个数为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 6.已知集合 {x|1<x<6,x∈N},!，则满足条件A⊆C⫋B的集合C的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型2 集合相等 7.(多选)[陕西汉中2026高一期中]下面表示同一个集合的是( ) B. P={(2,5)},Q={(5,2)} C. P={2,5},Q={5,2} D. P={x|x=2m+1,m∈Z},Q={x|x=2m-1,m∈Z} 8.[北京理工大学附属中学2026高一月考]设a，b∈R,集合A={1,a,b},B={a,a², ab},若A=B,则 的值为 . 题型3 根据集合间的关系求参数 9.[天津红桥区2026高一期中]已知集合A={0，1},B={-1,0,a+3},A⊆B,则a=( ) A.0 B.1 C.-1 D.-2 10.教材变式[安徽蚌埠多校2026高一联考]设集合A={x|1<x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是( ) A.{a|a≥2} B.{a|a>2} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 练易错 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 11.(多选)以下写法正确的是 ( ) B.{1}∈N D.{x|x<1}⊆{x|x<0} 易错点2 忽视对空集的讨论而致错 12.设集合0}，若B⊆A，则实数a取值集合的真子集的个数为( ) A.2 B.3 C.7 D.8 易错点3 忽略端点的取值情况而致错 13.[湖北武汉六中2026 高一月考]已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1},若B为A 的真子集，则实数m的取值范围是( ) A.{ml-1≤m≤2} B.{m|m≤2} C.{m|m≤3} D.{mlm<-2或-1≤m≤2} 练提升 1.[黑龙江哈尔滨2025 高一期末]若x}，则下列说法正确的是( ) A.{∅}⊆A B.{1}=A C.{-1,1}⊆A D.{0}⊆A 2.设集合A={x|-1<x<1},B={x|x-a>0}.若A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A.{a|a≥1} B.{a|a>1} C.{ala<-1} D.{a|a≤-1} 3.(多选)[福建宁德2026高一期中]下列说法正确的是( ) A.集合{2，4，6}的非空真子集的个数为6 B.{x|x是菱形}∈{x|x是正方形} C.若M={x|x=3n+1,n∈Z},N={x|x=3n-2,n∈Z},则M=N 4.[山东泰安一中2025高一月考]下列每组集合是相等集合的是( ) A. A={x∈N||x|≤2},B={x∈Z||x|≤2} B. A={(x,y)|y=x},B={x|y=x} D. A={x|x>0},B={y|y>0} 5.[河北五校 2026 高一期中]已知集合A 满足{1,2}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.7 6.若集合A=则A,B,C之间的关系是( ) A. A=B=C B. A⊆B=C C. B=C⊆A D. B⊆C=A 7.已知整数集合M={m|关于x的方程 36=0有整数解},集合A满足条件:①∅⫋A⊆M;②若a∈A,则-a∈A.则所有这样的集合A的个数为 . 8.[江苏无锡2026高一质量检测]设集合U={1，2,…,n},若A⊆U,将A中所有数的和记为A的容量(若A 为空集，规定A的容量为0)，若A的容量为奇(偶)数，则称A 为 U 的奇(偶)子集. (1)若 U={1,2,3},则U 的奇子集个数为 ; (2)当U={1,2,…,n}|时，U的偶子集个数(用n表示)为 . 9.[吉林长春七中2026高一期中]已知集合A={-1，4} (1)若A=B,求a,b; (2)若C⊆A，求实数m的取值集合. 练素养 10.[2023全国高中数学联赛北京赛区预赛]S是集合{1,2,…,2023}的子集,满足任意2个元素的平方和不是9的倍数，则|S|的最大值是 (这里|S|表示S的元素个数). 答案 练基础 1. BD 【解析】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项 A 错误；真子集具有传递性，故选项B正确；若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错误； 由 Venn图易知选项 D正确.故选BD. 2. C【解析】对于A，元素和集合之间的关系用“∈”“∉”表示,故A错误; 对于B，由于π是无理数，故B 错误； 对于 C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D,{0}≠∅,故D 错误.故选 C. 3. C【解析】在数轴上标记两个集合，可得B⫋A.故选 C. 4. A 【解析】集合 ,…},∴B⫋A,i故选A. 5. B 【解析】集合 }=}={0，1，2}，则集合A的子集的个数为 故选 B. 6. C 【解析】由题得A={2,5},B={2,3,4,5}.因为A⊆C⫋B，所以根据子集和真子集的定义，可知集合C必须含有元素2，5，所以C={2,5}或{2,5,3}或|2,5,4}.故选 C. 多种解法 由题易知A中有2个元素，B中有4个元素，且A⊆C⫋B，则集合C有 (个). 7. ACD 【解析】选项A:由 解得x=±1,∴集合P={-1,1},由|x|=1,x∈R,解得x=±1,∴集合Q=|-1,1},∴ P=Q，即集合P，Q 表示同一个集合，故A 正确; 选项B:∵集合P=|(2,5)|,Q=|(5,2)|中的元素是有序数对，有序数对的顺序不同表示的元素不同，∴集合 P，Q表示不同集合，故B错误； 选项C：∵集合中元素完全相同，∴集合 P，Q表示同一个集合，故C正确； 选项 D:表示奇数集， 也表示奇数集，∴集合 P，Q表示同一个集合，故D正确. 故选ACD. 8.-1 【解析】因为集合A=|1,a,b|,B=|a,a², ab},A=B, 所以根据集合元素的互异性可知a≠1，所以 或 ab=1. 当 时,解得a=±1,由于a≠1,故a=-1,此时A={1,-1,b},B=|-1,1,-b|,所以b=-b,即b=0,此时A=B=|-1,0,1},符合要求; 当 ab=1时,A={1,a,b|,B=|a,a²,1},则有 即 解得a=1,与a≠1矛盾，舍去. 所以a=-1,b=0,所以 9. D 【解析】因为A⊆B,所以集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素， 所以1∈{-1,0,a+3},所以a+3=1,解得a=-2.故选D. 10. B 【解析】因为A=|x1 1<x≤2},B={xlx<a|,A⊆B,所以2<a,故选B. 练易错 易错点1 混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 11. AC 【解析】对于A, {0},故A 正确;对于B,因为|1},N表示集合,所以|1}⊆N,故B 错误;对于 C,由 (x-2)=0|=|1,2|,故C正确;对于D.根据集合与集合间的关系，|x|x<0|⊆{x|x<1},故D 错误.故选AC. ★易错点2 忽视对空集的讨论而致错 12. C 【解析】由 得(x-3)(x-5)=0,解得x=3或x=5,所以A={3,5}. 当a=0时,B=∅,满足B⊆A;当a≠0时, 因为B⊆A，综上，实数a取值的集合为{0., },所以实数a取值集合的真子集的个数为 故选C. ★易错点3 忽略端点的取值情况而致错 13. D 【解析】当B=∅时,满足B为A的真子集,此时m-1>2m+1,解得 m<-2. 当B≠∅时，则有 第二个与第三个不等式的等号不能同时取到， 点悟：同时取到等号时B=A，不满足B为A的真子集 解得-1≤m≤2. 综上，实数m的取值范围是|m|m<-2或-1≤m≤2|. 故选 D. 练提升 1. D 【解析】 |∅|是以空集为元素的集合，不是集合A 的子集,故 A 错误;|1|≠A,故B 错误;-1∉A,因此|-1,1|∉A,故C错误;0∈A,因此10|⊆A,故D正确.故选 D. 2. D 【解析】由题得集合B=|x|x>a|,结合数轴可知，要使A⊆B，则只要a≤-1 即可，即实数a的取值范围是|a|a≤-1|.故选 D. 3. ACD 【解析】对于A选项,集合{2,4,6}的非空真子集的个数为 A 正确;对于B选项，因为菱形不一定是正方形，所以|xlx是菱形|不是|xlx是正方形|的元素，也不是其子集，B错误； 对于C选项,因为n∈Z,令n=k+1,k∈Z,则集合N={x|x=3n-2,n∈Z}=|x|x=3k+1,k∈Z}中元素为被3除余1的整数,又集合M={x|x=3n+1,n∈Z|中元素也为被3除余1的整数，所以两集合相等，C正确； 对于D选项，x∈R|=∅,空集是任何集合的子集，D正确.故选 ACD. 4. D 【解析】对于A,A=|x∈N||x|≤2}={0,1,2},B=|x∈Z||x|≤2|={-2,-1,0,1,2|,故A≠B,所以A 错误;对于B,A={(x,y) ly=x|为点集,B={x|y=x|为数集,故A≠B,所以B 错误;对于 C,A={x|y=x|=R,故A≠B,所以C 错误;对于 D,数集A={xlx>0}和数集B=|yly>0|所含元素相同,故A=B,所以D 正确.故选 D. 5. D 【解析】由{1,2}⫋A⊆|1,2,3,4,5}可得： 当集合A中有3个元素时，A可以为{1，2，当集合A中有4个元素时，A可以为{1，2，当集合A中有5个元素时,A为{1,2,3,4,5},共1个. 所以满足条件的集合A的个数为3+3+1=7,故选 D. 6. B 【解析】 其中2m 为偶数，n-1，p均表示整数，故A⊆B=C.故选 B. 7.31 【解析】由题意可得 设关于x的方程 的两个根分别为x₁,x₂,则 所以方程 36=0的整数解只能是36的约数. 敬黑板：结合两根的乘积为定值-36，且两根为整数，可列出两根的所有可能情况，然后逐项分析即可 当方程的解为-1,36时,m=-35; 当方程的解为-2,18时,m=-16; 当方程的解为-3,12时,m=-9; 当方程的解为-4,9时,m=-5; 当方程的解为-6,6时,m=0; 当方程的解为1,-36时,m=35; 当方程的解为2,-18时,m=16; 当方程的解为3,-12时,m=9; 当方程的解为4,-9时,m=5. 故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35}. 由集合A 满足条件:①∅⫋A⊆M;②若a∈A，则-a∈A，得集合M中互为相反数的两个元素同属于集合A 或同不属于集合A.因为集合M中有4对相反数和元素0，所以这样的非空集合共有 (个). 8.(1)4 【解析】(1)由题意，若U={1,2,3},则U的奇子集有{1},{3},{1,2},{2,3},共4个. (2)对于给定的U 中元素1，将U的所有偶子集划分为含1和不含1两类，所有含1的偶子集去掉1，则变为不含1 的奇子集， 所有不含1 的偶子集加入1，则变为含1的奇子集，对所有的奇子集作同样的分析，可得偶子集和奇子集一一对应，故其数量相等. 因为 n个元素的集合其子集数量为2°，所以偶子集的个数为其一半，即2°⁻¹. 9.【解】(1)若A=B,则-1和4是方程 ax+b=0的两个实数根, 所以 解得 代入 ax+b=0中得 解得x=-1或x=4,满足A=B,所以a=-3,b=-4. (2)当m=0时,C=∅,满足C⊆A. 当C≠∅且C⊆A时,C=|-1|或C=|4|.当C={-1|时, 得m=-1;当C={4}时, 得 故实数m的取值构成的集合为 练素养 10.1350 【解析】 81，1~9的平方是9的倍数的数有3个：3，6，9，1~9的平方除以9的余数分别是1,4,0,7,7,0,4,1,0,∴任意一个正整数的平方被9除的余数只能是0，1，4，7， ∵0+0=0, 0+1=1,0+4=4,0+7=7,1+1=2,1+4=5,1+7=8,4+4=8,4+7=11,7+7=14,∴0,1,4,7中的任意2个数(可相同)的和(除0和0外，为了方便，研究倍数时一般不包括0)均不是9的倍数， ∴任意2个数的平方和是9的倍数只能要求这2个数的平方本身是9的倍数. ∵2023=674×3+1, ∴1~2023中的数的平方是9的倍数的有674个, ∴ |S|的最大值为2023-674+1=1350. 学科网（北京）股份有限公司 $