第26讲 抛物线（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦抛物线专题，涵盖概念、标准方程、几何性质及焦点弦结论等核心考点，按知识解构、题型破译、真题溯源的逻辑架构，通过命题透视明确考向，知识精讲拆解要点，分层训练突破难点，构建系统复习体系。 讲义突出定义应用与思维建模，如距离最值题用定义转化焦点与准线距离，中点弦问题强化点差法技巧，结合特殊值预判策略培养数学思维与几何直观，分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第26讲 抛物线 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 抛物线的概念 知识点2 抛物线的标准方程和简单几何性质 知识点3 抛物线焦点弦的几个常用结论 题型破译 (含超链接） 题型1 基础参数计算（求方程、焦点、准线、p值） 题型2 定义应用——动点距离最值（上海小题必考） 题型3 直线与抛物线位置关系及弦长计算 题型4 中点弦问题——点差法专属技巧 题型5 焦点弦综合问题 题型6 定点、定值、定直线问题（解答压轴核心） 题型7 向量、面积与参数范围综合压轴 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 抛物线 春考第8题 秋考第7题 考情分析 1. 紧扣定义，弱化硬算 所有高频题型均围绕抛物线核心定义展开，距离最值、线段转化、几何性质问题，优先考查定义的灵活运用，极少考查机械公式套用和超大数值运算。 2. 计算友好，侧重逻辑 直线与抛物线联立后多为一元二次整式方程，无椭圆、双曲线的繁杂分母运算，重点考查韦达定理应用、整体代换、逻辑推导能力。 3. 高频核心考查方向 焦点弦全套性质、定点定值定直线探究、动点距离最值、中点弦点差法、切线方程、向量与面积综合、参数范围求解。 4. 2027命题新趋势 强化几何情境化设问、特殊位置预判思想、分类讨论思维，适度结合新定义题型，摒弃机械刷题模式，重点考查数形结合、逻辑推理与综合应用能力。 复习目标 基础目标（全员必须达成） 1.熟练熟记四种开口方向的抛物线标准方程、焦点坐标、准线方程、对称轴、焦半径公式，杜绝开口方向、参数混淆等低级错误。 2.精准掌握抛物线核心定义，实现「焦点距离⇌准线距离」双向灵活转化，熟练解决基础距离最值题型。 3.掌握直线与抛物线位置关系通用解法，能利用判别式判断交点情况，借助韦达定理求解弦中点、弦长、面积等基础问题。 4.独立完成所有抛物线选填基础题，实现小题零失误，牢牢守住基础分值。 培优目标（冲刺120+高分） 1.灵活运用焦点弦二级结论、点差法、特殊值预判法，快速秒杀选填压轴，简化大题运算步骤，压缩做题时间。 2.完整掌握抛物线解答题全链条解题思路：求曲线方程→弦长与面积计算→定点定值/参数范围压轴问，攻克满分难点。 3.精准规避高频易错陷阱：遗漏直线斜率不存在情况、点差法未检验判别式、焦半径符号出错、定点定值只算特殊值不证明一般情况等。 4.建立数形结合解题思维，通过画图辅助分析动点轨迹、位置关系与参数范围，提升几何直观解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线. 自主检测 1．方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【详解】由原方程得， 即动点到定点的距离与它到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以此方程表示的曲线为抛物线. 故选：D 知识点2 抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 自主检测 2．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线方程为； 故选：C 3．已知抛物线y2＝8x.求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围。 【详解】（1）抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)， x＝－2，x轴，x≥0. 知识点3 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)； (3)以弦AB为直径的圆与准线相切； (4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 自主检测 4．已知抛物线的焦点到准线距离为2，过焦点的直线交抛物线于两点，且，点关于原点的对称点为，求的值. 【答案】1 【详解】由题意知，故抛物线的方程为， 设，则，且，， 所以， 又，所以， 所以.    题●型●破●译 题型1 基础参数计算（求方程、焦点、准线、p值） 例1-1以为焦点的标准抛物线的准线方程为______． 【答案】 【详解】由题设，抛物线焦点在轴上，若抛物线为且， 故准线方程为. 故答案为： 例1-2（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【答案】6 【详解】由题意得双曲线的方程为，则， 则，右焦点为， 抛物线的焦点为， 则有，解得. 方法技巧 1.先根据题干图像、定点坐标判断抛物线开口方向，锁定对应标准方程形式； 2.聚焦核心参数p，根据焦点、准线、焦半径公式，对应列式计算； 3.基础题型直接套用公式，无需重复推导定义，提速解题。 【变式训练1-1】顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______. 【答案】 【详解】由题意，可设抛物线方程为， 又抛物线经过， 所以，解得， 所以所求抛物线方程为， 故答案为： 【变式训练1-2】若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【详解】由点在抛物线上，得， 抛物线的准线方程为， 所以点到抛物线的准线的距离. 【变式训练1-3】在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 【答案】或 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 题型2 定义应用——动点距离最值（上海小题必考） 例2-1已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【详解】因为为圆的直径，所以， 则， 令，则点为直线与圆的交点，且位于线段上， 则. 设，且，则， 则当时，， 因为，等号成立时三点共线， 所以，则的最小值为. 例2-2抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是__________． 【答案】 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 例2-3已知曲线：（），曲线：（），若点为曲线的焦点，点、分别在曲线和上运动，则周长的最小值为________ 【答案】 【详解】如图所示： 由题意抛物线的焦点、圆的圆心均为， 如图： 作抛物线 的准线，， 过作的垂线，交于点,交于， 作出 ，它为圆的一部分， 在中令，则，其中为的端点， 过作的垂线，交于点,交于， 易得，又，（圆的半径）， 由抛物线的定义可得： ， 从而， 等号同时成立当且仅当分别与（或关于轴的对称点）重合， 所以当分别与重合时，周长有最小值，且最小值为. 故答案为：. 方法技巧 1. 最小值模型：|PF|+|PA|（F为焦点，A为平面内定点，P为抛物线上动点） 解题思路：利用定义将|PF|转化为P到准线的距离，过定点A作准线的垂线，垂线段长度即为最小值，垂足对应P点为取最值位置。 2.最大值模型：||PF|-|PA|| 解题思路：利用三角形两边之差小于第三边，当F、A、P三点共线时，线段|FA|为式子最大值。 【变式训练2-1】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 【答案】2 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 【变式训练2-2】已知点及抛物线上一动点，则的最小值为______.. 【答案】2 【详解】设抛物线的焦点为，由易得，准线方程为， 如图：    设为点到准线的距离，则, 则， 当，，共线时取等号，的最小值是. ，则 的最小值是. 故答案为：2 【变式训练2-3】抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 【答案】 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 题型3 直线与抛物线位置关系及弦长计算 例3已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则设直线为，    设点， 联立直线与抛物线方程可得， 因此，所以； （2）设，于是有，的准线方程为，    设，过的直线的方程可设为， 根据题意，两直线均与圆相切，因此， 化简得， 设的斜率为， 因此， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 因此点的横坐标为3. 方法技巧 1. 设直线方程：分类讨论，优先考虑斜率存在y=kx+m，绝不遗漏斜率不存在（垂直对称轴）的特殊情况； 2.联立直线与抛物线方程，消去x或y，整理为一元二次方程； 3.判别式判定：k≠0时，Δ>0相交、Δ=0相切、Δ<0无交点；k=0时直线平行对称轴，仅有一个交点，属于相交而非相切； 4.韦达定理整体代换：列出x₁+x₂、x₁x₂（或y₁+y₂、y₁y₂）； 5.弦长求解：。 【变式训练3-1】已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 【变式训练3-3】已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 【详解】（1）解：代入 ， 得解得， 所以准线方程是； （2）解：由， 可得， 设方程的两根为， 则，， 所以. 题型4 中点弦问题——点差法专属技巧 例4已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【详解】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示：    则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 方法技巧 1.设弦端点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，两点均在抛物线上，满足：y₁²=2px₁，y₂²=2px₂； 2.两式作差因式分解：(y₁-y₂)(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂)； 3.代入斜率公式与中点纵坐标y₀= ，化简得直线斜率：k = ； 4.关键必做步骤：求出直线后必须带回检验Δ＞0，排除无实弦的虚假情况。 【变式训练4-1】已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【详解】（1）由点在抛物线上，得，因此抛物线的方程为； 由椭圆的长轴长是短轴长的两倍，得，又点在椭圆上， 则，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设点，由消去，得， 显然，，则线段的中点， 又点在椭圆上，则满足，整理得， 则，解得或，所以的坐标为或.    【变式训练4-2】已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【详解】（1）由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. （2）设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【变式训练4-3】已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，为坐标原点，若点的横坐标为3. (1)求点的纵坐标； (2)若点在的准线上，且满足，求点的坐标. 【详解】（1）已知抛物线：，其焦点的坐标为. 又直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 联立，整理得. ， 设，，则，.    因为是的中点，且点的横坐标为3，所以，即，解得. 所以直线的方程为. 因为点的横坐标为3，所以点的纵坐标为2. （2）由（1）知，，所以抛物线的方程为，直线的方程为. 联立，整理得. 所以，. 所以， . 因为点在的准线上，所以可设，则，. 因为，所以，即. 展开整理得， 即，整理得，解得. 所以点的坐标为. 题型5 焦点弦综合问题 例5-1已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 【详解】（1）由抛物线的性质，，故抛物线. （2）由直线的倾斜角为45°，则斜率为1，直线方程为， 设， 联立， , 故. 例5-2已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点. (1)求线段的长度； (2)已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积． 【详解】（1）抛物线的焦点为， ， 直线的斜率为1， 的方程为, 设，， 联立直线与抛物线，得， ，， 由抛物线的定义得，． （2）设，，，直线，的斜率分别为，， 联立方程得， ， ，， ，在上，，， ，， ，即直线，的斜率之积为． 方法技巧 选填题：直接套用焦点弦二级结论，秒杀答案，大幅节省时间； 解答题：优先使用联立+韦达定理通法，二级结论仅用于验算结果，不可直接书写，必要时简单推导结论。 常考方向：焦点弦弦长最值、定点定值、线段比例、三角形面积定值问题。 【变式训练5-1】已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 【答案】(1) 抛物线：，焦点为， 设直线为，与抛物线联立方程，得， 得，所以线段中点的横坐标为（定值）. （2）设直线的方程为，与抛物线联立方程， 得，， ，得， 所以直线方程为. 【变式训练5-2】已知抛物线，定点； (1)过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； (2)求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程； 【详解】（1）对于抛物线，得，即，焦点. 已知，直线的斜率，直线方程为. 联立直线与抛物线方程：， 整理得， 设，由韦达定理得， 由弦长公式. （2）若所求直线斜率不存在，则方程为，代入抛物线得，仅有一个公共点，符合条件； 若所求直线斜率存在，设为，则直线为，由，得， 若，方程化为，仅有一个解，对应直线，符合条件； 若，令判别式，得，对应直线，符合条件。 综上，过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程为或或. 【变式训练5-3】如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. （2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得，        设，所以，， 所以，                        原点到直线的距离，      所以.    题型6 定点、定值、定直线问题（解答压轴核心） 例6-1（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 由题意得，．设． 联立化简得，而判别式． 解得，由焦半径公式得，． 若，则，则， 即，解得，与矛盾，故． （2）由题意得为顶点，若，得到 而，可得， 由韦达定理得，，则， 解得或，当时，，此时不符合题意，舍去， 当时，，满足所有条件，故． (3)对于一元四次方程， 设四个根为，则方程为， 则， 化简得， 可得，则韦达定理得证， 如图，作出符合题意的图形， 由题意得，则由弦长公式得， 解得，故，联立，解得或， 则，，令，则，即点在上． 对于点，有，即；对于点，有，即． 设，，将的外接圆方程可设为． 将，代入，可得， 化简得， 此四次方程的四个根恰为外接圆与的四个交点的参数，，，． 由韦达定理得，则．得到， 由题意得直线的斜率为， 代入，得． 此值与无关，故直线的斜率为定值． 例6-2已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 【详解】（1）设动圆圆心为，依题意可得， 整理得， 所求动圆圆心的轨迹的方程是. (2)易知直线的斜率不为0，设其方程为，，， 联立，得， 则，， 由题意知，， 即， 利用韦达定理代入得，整理得， 因为直线不过原点，故，所以， 即直线方程为，过定点. (3) 证明：设，，由题意得（否则，且，， 所以直线的斜率存在，设其方程为， 显然，．即，， 把代入得， 由韦达定理知，，， 由得， 韦达定理代入上式，整理化简得，， 此时，直线的方程可表示为：，即， 令，解得， 直线恒过定点． 例6-3如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成；已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2； (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线上；已知圆柱以为母线、矩形为其展开的侧面，求该圆柱的体积的最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上； 【详解】（1）如图，以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴所在直线为轴建立坐标系，则抛物线的顶点为，. 设抛物线的标准方程为， 则，所以，所以抛物线的方程为. 所以图中封闭图形的边缘抛物线部分的方程为，线段部分的方程为. （2）由题意，设. 设题中圆柱的底面半径为，则，所以， 所以该圆柱的底面面积为， 所以该圆柱的体积为. 令，则. 因为，所以， 所以当时，；当时，. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为. 即该圆柱的体积的最大值为. （3）当时，抛物线的切线为轴，没有与其垂直的切线. 所以可设抛物线上的点，且抛物线在处的切线互相垂直. 由，得，所以. 所以抛物线在处的切线方程分别为. 且，所以，代入， 得，化简得①. 由得②. 联立①②式，消去，可得，即. 因为所以. 所以抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上. 方法技巧 1.特殊值预判（秒锁答案）：取动直线特殊位置（斜率为0、斜率不存在、过原点等），代入计算，快速得到定点、定值结果； 2.一般情况严格证明（大题得分核心）：设动直线方程，联立抛物线，借助韦达定理化简式子，消去所有参数，证明结果为恒定值。 上海抛物线压轴偏爱定点类设问，特殊值预判可规避复杂运算，大幅降低解题难度。 【变式训练6-1】将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. (1)求抛物线的方程； (2)判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【详解】（1）依题意，设抛物线的方程为，由抛物线过点，得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）设点，由直线斜率为，得， 整理得，因此， 所以是定值，该定值为0. （3）依题意，直线的方程为，即， 由消去得，， ，，， 点到直线的距离， 则的面积， 令，则，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以面积的最大值为. 【变式训练6-2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【详解】（1）由题设，令，则，即， 所以，故或； （2）若垂直抛物线的准线于，由抛物线的定义知， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 又抛物线的准线时，最小为， 所以的最小值为；    (3)证明：由题设，直线的斜率一定存在，设，， 而，则过的切线斜率为，对应切线为，即， 同理过的切线为，即， 联立，可得，整理得， 由题意，则，， 联立，得，且， 所以 ，则，， 显然点在直线，即上，得证. 【变式训练6-3】（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 【详解】（1）解：设，因为点焦点的距离等于， 由抛物线的定义，可得 ，故 将代入抛物线，可得， 所以点的坐标为或. （2）解：由题意，设直线方程，且 由，可得，即， 即 ，解得， 联立方程组，整理得， 则，且，所以，解得， 所以直线方程，当时，， 此时直线过定点，定点坐标为. （3）解：由题意，可设直线且， 由，可得  则直线， 联立方程组，整理得， 则，且， 同理可得：，即， 则， ， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 题型7 向量、面积与参数范围综合压轴 例7-1已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. (3)不存在； 由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 例7-2如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方.    (1)若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标； (2)若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积； (3)分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴. 【详解】（1）根据抛物线的定义，点到抛物线焦点的距离为， 由题意得，所以， 代入抛物线方程得或（舍去）， 所以点的坐标为. （2）由题意得直线的方程为， 联立，则，， 则，，又，则，解得， . (3)设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，，， 又，，， 则， 又，则① 设直线的方程为， 联立，则，， 则， 同理可得，则②， 由①②得，，， 由得，即， 化简得， 将，代入得， 所以，即，即， 所以直线垂直于轴. 例7-3（2026·上海黄浦·三模）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (3)求的取值范围． 【详解】（1） 如图：由题意得，准线方程为：.若，则， 所以直线的方程为：，令得，所以点的坐标为. （2）当斜率不存在时直线方程为：； 当斜率存在时设直线方程为：，将之与联立得， 化简得，由题意得，解得 故过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程为：或. （3）如图： 过A作，垂足为,过B作，垂足为,设， 则，又 故，， 直线的倾斜角为, . 设，则, 设直线的方程为，则，得， 将直线的方程与联立得， 整理得，则，， ， 所以, 所以, ，当时取等号， 所以的取值范围是. 方法技巧 1. 三角形面积速算公式 直线AB过抛物线焦点F，，其中，全程整体代换，无需单独求坐标。 2. 向量条件转化 向量共线、数量积正负、垂直等条件，全部坐标化处理，转化为方程或不等式，求解参数值或参数范围。 3. 范围双重约束 参数范围需同时满足：直线与抛物线相交Δ>0、抛物线上点的坐标定义域约束，避免漏条件失分。 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以，而，， 所以. 【变式训练7-2】（25-26高三下·上海宝山·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【详解】（1）由题意，设所求抛物线的方程为：， 点代入抛物线的方程得：， 所以抛物线的标准方程为：. (2)由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. （3）由（2）可知， 设直线的表达式为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 【变式训练7-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 【详解】（1）点在抛物线上，代入得，解得； ，， 设两直线夹角为，则， 两直线夹角为. (2)抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，， 则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 2．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设， 由题有，解得， 故答案为：. 3．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 【详解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则. （2）由代入抛物线方程有，解得，则， 设，则的中点为, 代入抛物线方程有，解得， 直线的斜率为，其方程为，即, 坐标原点到的距离为. （3）设，根据， 则，则直线方程为， 化简得， 令，则，又，， 化简得 ①对任意的 恒成立. 则, 结合，， 当时，，则，则①也成立. 综上所述:.    课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标． 【答案】或 【详解】由，得，，焦点，准线为， 设，则，得，， 所以. 所以或. 2．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求． 【详解】 由抛物线方程得：，准线方程为： 为中点，点在轴上，点的横坐标为， 由抛物线定义知：，. 3．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.    【详解】如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.    设抛物线的标准方程是. 由已知条件得，点A的坐标是，代入方程，得 ，即. 所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是. 4．已知探照灯的轴截面是抛物线（如图），平行于x轴的光线照射到抛物线上的点，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点．试确定点Q的坐标．    【答案】 【详解】因为抛物线的焦点为，所以直线的方程为． 由于是抛物线与直线的公共点， 联立方程，解得或（舍去）． 故点Q的坐标为． 5．已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线，如图，    设，，则，得，，，，， 则，由F在线段上，得， 于是，显然，整理得， ，， 因此，显然点不在直线上， 所以. （2）如图，设直线AB与x轴相交于点，    由（1）知，的面积，的面积， 依题意，，即，而，解得或， 由于时，点与之一重合，有，矛盾，则点D的坐标为， 设的中点为，则，由，得， 即，又，于是， 所以所求的轨迹方程为. 6．如图，是抛物线对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B.    (1)若，求弦AB中点的轨迹方程； (2)过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：. 【详解】（1）设方程为,联立得， 则, 设中点,则, 因此弦AB中点的轨迹方程为. (2)证明:设，，其中均为正数， 用两点式求得的方程为:, 的方程为:, 因为,都经过点,故, 的方程为:, 与轴交点为，， 而， 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线方程为的焦点坐标为. 2．在平面直角坐标系中，点是抛物线：的焦点，点，在抛物线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线，点在抛物线上， 代入可得， 因为，所以解得，即点坐标为， 点在抛物线上，代入可得， 因为，所以解得，即点坐标为， 点是抛物线的焦点，则点坐标为， ，， 则. 3．抛物线的焦点到其准线的距离为______． 【答案】8 【详解】，所以抛物线的焦点到其准线的距离为8. 4．在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 【答案】 【详解】设抛物线的标准方程为，则因为焦点为， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为． 5．（2026·上海松江·模拟预测）已知抛物线的准线恰好平分圆的周长，则该抛物线的焦点坐标为__________. 【答案】 【详解】因为抛物线的准线恰好平分圆的周长， 即直线经过圆心，所以. 解得，所以抛物线方程为. 所以该抛物线的焦点坐标为. 6．若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 【答案】 【详解】由题意得，，则抛物线方程为， 联立，得，得（负值舍去）， 令，则，则，故弦的弦长为. 7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【详解】设动点的坐标为， 由题意得， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 9.抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______. 【详解】 抛物线方程为，所以，，所以焦点坐标为. 已知入射点纵坐标为，代入抛物线方程得，解得，即入射点为. 根据抛物线光学性质，反射光线经过焦点，因此反射后直线过和， 所以反射光线所在直线的一个方向向量. 设反射光线所在直线的法向量， 则，则，因此该直线的一个法向量可取为. 10．抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 【答案】 【详解】由题意得点P到直线的距离等于点P到点的距离， 根据抛物线的定义可知，该抛物线焦点为，准线为， 焦点到准线的距离． 11.下左图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如下右图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为________米（近似到0.01米）时，所挖土最少． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系， 设抛物线方程为，把代入可得，即， 为使所挖土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，设切点为，是抛物线上的一点，设经过点的切线的方程为， 联立可得，消去可得， 由， 所以切线方程为， 所以， 所以梯形的面积为，当且仅当时取等号， 所以改挖后水沟的底部宽为米. 12.抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【答案】 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合等边三角形性质计算求解． 【详解】 抛物线，焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则， 由等边三角形性质可得，，所以， . 13．（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】对于抛物线，可得，即，因此焦点为， 由抛物线的定义可知，故，其中为点到直线的距离， 由几何性质可知，的最小值为焦点到直线的距离，当且仅当位于向直线所作的垂线段上时取等号， 根据点到直线的距离公式，焦点到直线的距离为： 因此的最小值为 14．（25-26高二上·上海·期末）抛物线，直线交于不同两点. (1)如果直线经过焦点，求的值； (2)如果，判断直线是否一定经过焦点？请说明理由. 【详解】（1）由抛物线，可得焦点， 又直线经过焦点，所以，所以，所以直线， 由，所以，整理得， 设，则， 又，显然，所以， 所以； （2）直线不一定经过焦点，理由如下： 由，所以，整理得， 设，则， ， 所以，所以，解得或， 当时，，直线过定点且为抛物线的焦点； 当时，，直线过定点； 所以直线是不一定经过焦点. 重难·创新演练 1．对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（   ） A．只有甲同学正确 B．只有乙同学正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【详解】如下图所示，连接，， ， ， 由抛物线的定义可知， ， ， 同理，，从而可得， 由直角三角形的性质可知， ， . 2.已知抛物线的焦点为F，点（，）是上互不相同的点，且存在实数A，B，使得对任意正整数n，均有．给出下列两个结论：①数列是等差数列；②存在正整数m，k，使得是，的等比中项；则（     ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②均正确 D．①②均不正确 【答案】A 【详解】因为， 所以， 当时，满足， 故. 由焦半径公式可得， 故， 故，故是等差数列，故①正确. 取，，则， 若存在正整数，使得是的等比中项， 则，故， 所以，故， 所以， 故， 整理得到，故，这与为正整数矛盾， 故②错误. 3．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.    【答案】 【详解】    以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为. 则，. 由题意得，即，所以，取. 又，则. 易知为锐角，所以， 所以. 故出手角度的最大值为. 4．（2025·上海虹口·一模）小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时，____. （结果保留2位小数）    【答案】 【详解】如图建系，设抛物线方程为，    当点到的距离为4.5时，， 则，代入抛物线，解得， 则，即，设，则， 设，， ，，， 则直线的方程为， 令，解得，令，解得， 故， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，取最小值，此时. 故答案为： 5.某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为 、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽 为2米，渠深（ 到直线 的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为__________米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米） 【答案】0.71 【详解】如图，建立平面直角坐标系，由题意知， 当所挖的土方量最少时，梯形的面积最小，且等腰梯形的两腰均与抛物线相切， 设右侧切线与轴交于点，与梯形的上底交于点，切点为. 设抛物线的方程为，将的坐标代入方程可得， 所以曲线段的方程为. 设，因为，所以在处的切线的斜率为， 所以切线的方程为，即， 将代入可得，所以； 将代入可得，所以， 根据等腰梯形的对称性可得其面积为， 当且仅当，即时等号成立， 此时水渠的底部宽度为米. 6.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【详解】（1）由题意知，所以抛物线方程为. （2） 由题意可设直线的方程为，，，则，，. 所以，得， 所以，. 所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去， 解得，同理. 所以.所以. 所以直线的斜率为. （3）设， 因为. 因为，. 所以， 当时，为定值.所以. 7．（2025·上海黄浦·三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 【详解】（1）（1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. (2)，理由如下： 抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. （3）是. 易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线， 联立得消去得，所以. 直线的方程为，将代入，得， 由，所以， 同理可得. 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， 将代入， 得， 所以直线过定点. 8．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 9．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）由题设的离心率为，且右焦点，即为的焦点， 所以，所以， 综上，椭圆的离心率，抛物线； （2）由题设，知，联立，则， 所以，显然，则，则， 所以AB中点M的坐标为. （3）    依题意，若直线斜率为0，则，此时； 若直线斜率不为0，设直线为，则直线为，且， 联立与，得，且， 则，，所以， 联立与，得，且， 则，，所以， 所以 ，而，即等号不成立， 结合对勾函数性质知：在上递增，即； 综上，，且直线斜率为0，面积取得最小值为8. 10．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 【详解】（1）由抛物线方程知：，设， 由得：，. （2）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，， ，又因为中点的纵坐标为，所以， 所以的面积为； （3）由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则， ，，所以中点为， 因为线段的垂直平分线与抛物线交于点， 设， 联立可得， 由韦达定理可得，， 若以线段为直径的圆经过点， ， ，不相等，不相等， 所以，同理 可得，不相等， 所以 即，解得. 所以直线的方程为. 11.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． (1)求的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为，则，可得， 故抛物线的标准方程为. (2)若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 由题意可知，直线的方程为， 直线的方程为， 联立直线、的方程得可得，所以，. 因此，点在定直线上. （3）如下图所示：    易知点，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得可得，故点，则， 且，， 所以， ， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，. 因此，四边形面积的最小值为. 12.已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 【详解】（1）依题意得，点M在抛物线上，且， 所以，所以可得， 所以E的方程为； （2）（ⅰ）抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，，则， ，，，， 由，消去x得， ，，， 所以， 同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． （ⅱ）不存在，理由如下： 不妨设，由题意可知， 又，，所以AP的直线方程可化为：， 又，故可得， 同理可得直线的方程为， 又，故， 又，所以可得， 可得，所以可得CD的中点恒为F， 以CD为直径的圆与y轴相切等价于， 若，则，所以， 又，所以，故， 整理可得， 即， 因为，故，所以． 又，故可得． 代入方程可得，， ， 故不存在以CD为直径的圆与y轴相切 13.已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为. (1)当时，求； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设为的面积，证明：为定值. 【详解】（1）    因为点在上，所以，解得， 由题意知的坐标为，直线的方程为：， 由，整理得，解得. (2)法一：由题意知的坐标为， 所以，又， 两式相减得，即， 由题意知，可得， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，可得， 所以，可得， 所以数列是等差数列. 法二：由题意知的坐标为， 所以直线的方程为， 由，可得， 由题意知是直线与的公共点， 所以，所 以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，可得， 所以， 所以，所以数列是等差数列. (3)法一：的三个顶点为， 因为，两式相减得，即， 所以直线的斜率为， 可得， 直线的方程为， 即， 设到直线的距离为， 则 所以， 所以为定值. 法2：的三个顶点为， 可得，， 所以 ， 所以为定值.法3：要证为定值，只需证， 即证与面积相等， 因为，两式相减得， 即， 以直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为 所以，可得点到直线的距离相等， 所以，即为定值. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 抛物线 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 抛物线的概念 知识点2 抛物线的标准方程和简单几何性质 知识点3 抛物线焦点弦的几个常用结论 题型破译 (含超链接） 题型1 基础参数计算（求方程、焦点、准线、p值） 题型2 定义应用——动点距离最值（上海小题必考） 题型3 直线与抛物线位置关系及弦长计算 题型4 中点弦问题——点差法专属技巧 题型5 焦点弦综合问题 题型6 定点、定值、定直线问题（解答压轴核心） 题型7 向量、面积与参数范围综合压轴 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 抛物线 春考第8题 秋考第7题 考情分析 1. 紧扣定义，弱化硬算 所有高频题型均围绕抛物线核心定义展开，距离最值、线段转化、几何性质问题，优先考查定义的灵活运用，极少考查机械公式套用和超大数值运算。 2. 计算友好，侧重逻辑 直线与抛物线联立后多为一元二次整式方程，无椭圆、双曲线的繁杂分母运算，重点考查韦达定理应用、整体代换、逻辑推导能力。 3. 高频核心考查方向 焦点弦全套性质、定点定值定直线探究、动点距离最值、中点弦点差法、切线方程、向量与面积综合、参数范围求解。 4. 2027命题新趋势 强化几何情境化设问、特殊位置预判思想、分类讨论思维，适度结合新定义题型，摒弃机械刷题模式，重点考查数形结合、逻辑推理与综合应用能力。 复习目标 基础目标（全员必须达成） 1.熟练熟记四种开口方向的抛物线标准方程、焦点坐标、准线方程、对称轴、焦半径公式，杜绝开口方向、参数混淆等低级错误。 2.精准掌握抛物线核心定义，实现「焦点距离⇌准线距离」双向灵活转化，熟练解决基础距离最值题型。 3.掌握直线与抛物线位置关系通用解法，能利用判别式判断交点情况，借助韦达定理求解弦中点、弦长、面积等基础问题。 4.独立完成所有抛物线选填基础题，实现小题零失误，牢牢守住基础分值。 培优目标（冲刺120+高分） 1.灵活运用焦点弦二级结论、点差法、特殊值预判法，快速秒杀选填压轴，简化大题运算步骤，压缩做题时间。 2.完整掌握抛物线解答题全链条解题思路：求曲线方程→弦长与面积计算→定点定值/参数范围压轴问，攻克满分难点。 3.精准规避高频易错陷阱：遗漏直线斜率不存在情况、点差法未检验判别式、焦半径符号出错、定点定值只算特殊值不证明一般情况等。 4.建立数形结合解题思维，通过画图辅助分析动点轨迹、位置关系与参数范围，提升几何直观解题能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线. 自主检测 1．方程所表示的曲线为（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 知识点2 抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 自主检测 2．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线y2＝8x.求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围。 知识点3 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)； (3)以弦AB为直径的圆与准线相切； (4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦. 自主检测 4． 已知抛物线的焦点到准线距离为2，过焦点的直线交抛物线于两点，且，点关于原点的对称点为，求的值. 题●型●破●译 题型1 基础参数计算（求方程、焦点、准线、p值） 例1-1以为焦点的标准抛物线的准线方程为______． 例1-2（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 方法技巧 1.先根据题干图像、定点坐标判断抛物线开口方向，锁定对应标准方程形式； 2.聚焦核心参数p，根据焦点、准线、焦半径公式，对应列式计算； 3.基础题型直接套用公式，无需重复推导定义，提速解题。 【变式训练1-1】顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______. 【变式训练1-2】若点为抛物线：上的一点，则点到抛物线的准线的距离为________. 【变式训练1-3】在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则__________． 题型2 定义应用——动点距离最值（上海小题必考） 例2-1已知A，B为圆M：的某直径的两端点，动点Q在抛物线上，则的最小值为（     ） A． B． C．9 D． 例2-2抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是__________． 例2-3已知曲线：（），曲线：（），若点为曲线的焦点，点、分别在曲线和上运动，则周长的最小值为________ 方法技巧 1. 最小值模型：|PF|+|PA|（F为焦点，A为平面内定点，P为抛物线上动点） 解题思路：利用定义将|PF|转化为P到准线的距离，过定点A作准线的垂线，垂线段长度即为最小值，垂足对应P点为取最值位置。 2.最大值模型：||PF|-|PA|| 解题思路：利用三角形两边之差小于第三边，当F、A、P三点共线时，线段|FA|为式子最大值。 【变式训练2-1】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 【变式训练2-2】已知点及抛物线上一动点，则的最小值为______.. 【变式训练2-3】抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 题型3 直线与抛物线位置关系及弦长计算 例3已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 方法技巧 1. 设直线方程：分类讨论，优先考虑斜率存在y=kx+m，绝不遗漏斜率不存在（垂直对称轴）的特殊情况； 2.联立直线与抛物线方程，消去x或y，整理为一元二次方程； 3.判别式判定：k≠0时，Δ>0相交、Δ=0相切、Δ<0无交点；k=0时直线平行对称轴，仅有一个交点，属于相交而非相切； 4.韦达定理整体代换：列出x₁+x₂、x₁x₂（或y₁+y₂、y₁y₂）； 5.弦长求解：。 【变式训练3-1】已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【变式训练3-2】已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【变式训练3-3】已知抛物线 经过点 . (1)求 的值和抛物线 的准线方程； (2)已知直线 与抛物线交于 两点，求 . 题型4 中点弦问题——点差法专属技巧 例4已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 方法技巧 1.设弦端点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，两点均在抛物线上，满足：y₁²=2px₁，y₂²=2px₂； 2.两式作差因式分解：(y₁-y₂)(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂)； 3.代入斜率公式与中点纵坐标y₀= ，化简得直线斜率：k = ； 4.关键必做步骤：求出直线后必须带回检验Δ＞0，排除无实弦的虚假情况。 【变式训练4-1】已知为坐标原点，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，其中椭圆的长轴长是短轴长的两倍. (1)求椭圆和抛物线的标准方程； (2)设直线交抛物线于两点，若的中点在椭圆上，求的坐标. 【变式训练4-2】已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【变式训练4-3】已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，为坐标原点，若点的横坐标为3. (1)求点的纵坐标； (2)若点在的准线上，且满足，求点的坐标. 题型5 焦点弦综合问题 例5-1已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过的直线与交于，两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的倾斜角为45°，求. 例5-2已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点. (1)求线段的长度； (2)已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积． 方法技巧 选填题：直接套用焦点弦二级结论，秒杀答案，大幅节省时间； 解答题：优先使用联立+韦达定理通法，二级结论仅用于验算结果，不可直接书写，必要时简单推导结论。 常考方向：焦点弦弦长最值、定点定值、线段比例、三角形面积定值问题。 【变式训练5-1】已知抛物线：，焦点为，一条直线与抛物线交于A、B两点 (1)若直线斜率为1，证明线段中点的横坐标为定值； (2)若直线过，且，求直线方程. 【变式训练5-2】已知抛物线，定点； (1)过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； (2)求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程； 【变式训练5-3】如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 题型6 定点、定值、定直线问题（解答压轴核心） 例6-1（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线与斜率为1的直线相交于，两点．是的焦点．是上异于，的一点． (1)证明：； (2)若是的顶点且，求直线的方程； (3)设且的外接圆与有异于，，的公共点．证明：直线斜率为定值，并求出此定值． 例6-2已知动圆过定点，且与直线相切，其中. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，若以为直径的圆恰好过点，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标； (3)设，是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当时，证明直线恒过定点，并求出该定点坐标. 例6-3如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成；已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2； (1)请建立适当的平面直角坐标系，用方程表示这个封闭图形的边缘； (2)在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线上；已知圆柱以为母线、矩形为其展开的侧面，求该圆柱的体积的最大值； (3)求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上； 方法技巧 1.特殊值预判（秒锁答案）：取动直线特殊位置（斜率为0、斜率不存在、过原点等），代入计算，快速得到定点、定值结果； 2.一般情况严格证明（大题得分核心）：设动直线方程，联立抛物线，借助韦达定理化简式子，消去所有参数，证明结果为恒定值。 上海抛物线压轴偏爱定点类设问，特殊值预判可规避复杂运算，大幅降低解题难度。 【变式训练6-1】将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记作.斜率为且不经过点的直线与抛物线相交于、两点，设、的斜率分别为、. (1)求抛物线的方程； (2)判断是否为定值.如果是，求出的值.如果不是，请说明理由； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【变式训练6-2】（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知抛物线的焦点为，点的坐标为. (1)若点在上，且，求点的坐标； (2)若是上的任意一点，求的最小值； (3)过点的动直线与抛物线交于、两点，过点、分别作的切线，切线交点为，求证：点的轨迹是一条直线. 【变式训练6-3】（2026·上海浦东新·三模）已知抛物线，为坐标原点，为焦点，、为抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于、两点，点在轴上方．设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线与的倾斜角分别为、，求的最小值． 题型7 向量、面积与参数范围综合压轴 例7-1已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 例7-2如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方.    (1)若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标； (2)若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积； (3)分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴. 例7-3（2026·上海黄浦·三模）设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． (1)若，求点的坐标； (2)若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； (3)求的取值范围． 方法技巧 1. 三角形面积速算公式 直线AB过抛物线焦点F，，其中，全程整体代换，无需单独求坐标。 2. 向量条件转化 向量共线、数量积正负、垂直等条件，全部坐标化处理，转化为方程或不等式，求解参数值或参数范围。 3. 范围双重约束 参数范围需同时满足：直线与抛物线相交Δ>0、抛物线上点的坐标定义域约束，避免漏条件失分。 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【变式训练7-2】（25-26高三下·上海宝山·期中）将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足. (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：直线的斜率； (3)若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【变式训练7-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求：直线OD与直线DF的夹角； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求：直线PQ斜率的取值范围． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 2．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 3．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a． (1)若A到准线距离为3，求a； (2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离； (3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．求抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标． 2．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求． 3．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图，已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.    4．已知探照灯的轴截面是抛物线（如图），平行于x轴的光线照射到抛物线上的点，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点．试确定点Q的坐标．    5．已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线，分别交C于A，B两点，交C的准线l于P，Q两点. (1)若F在线段上，R是的中点，与平行吗？ (2)若的面积是的2倍，求中点的轨迹方程. 6．如图，是抛物线对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B.    (1)若，求弦AB中点的轨迹方程； (2)过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．抛物线方程为，则此抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点是抛物线：的焦点，点，在抛物线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点到其准线的距离为______． 4．在平面直角坐标系中，焦点为的抛物线的标准方程为_______． 5．（2026·上海松江·模拟预测）已知抛物线的准线恰好平分圆的周长，则该抛物线的焦点坐标为__________. 6．若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 8．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 9.抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为 ，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线 于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 ______. 10．抛物线上任意一点都满足，则抛物线的焦点到准线的距离为__________． 11.下左图是一段柱体状的水沟的直观图，其横断面（平行于底面的截面）如下右图所示，其中的曲线段AOB是顶点为O且AO、BO相互对称的抛物线弧，沟宽AB为2米，沟深（O到直线AB距离）为1米.若要将水沟改挖（不填土）为横断面为等腰梯形的水沟，使得水沟底面与地面平行，则改挖后水沟的底部宽为________米（近似到0.01米）时，所挖土最少． 12.抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 13．（2026·上海·三模）设抛物线上的一点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为__________． 14．（25-26高二上·上海·期末）抛物线，直线交于不同两点. (1)如果直线经过焦点，求的值； (2)如果，判断直线是否一定经过焦点？请说明理由. 重难·创新演练 1．对于问题“已知直线l过抛物线的焦点F，且交抛物线于P、Q两点，由P、Q分别向准线引垂线PR、QS，垂足分别为R、S，设，，M为线段RS的中点，求的长度”，甲同学解得，乙同学解得．则下列正确的选项为（   ） A．只有甲同学正确 B．只有乙同学正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 2.已知抛物线的焦点为F，点（，）是上互不相同的点，且存在实数A，B，使得对任意正整数n，均有．给出下列两个结论：①数列是等差数列；②存在正整数m，k，使得是，的等比中项；则（     ） A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②均正确 D．①②均不正确 3．（2026·上海杨浦·二模）掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.    4．（2025·上海虹口·一模）小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点. 若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时，____. （结果保留2位小数）    5.某地区新建农田灌溉系统，水渠横断面（垂直于水渠长度方向的截面）采用抛物线型设计（如图所示）：其中的曲线段是顶点为 、开口向上的抛物线弧，曲线段与曲线段关于抛物线的对称轴对称，渠宽 为2米，渠深（ 到直线 的距离）为1米．现要将该水渠向外扩建（只挖土不填土）变成横断面为等腰梯形的水渠，使得水渠底面与地面平行，不考虑其他因素的条件下，当扩建后水渠的底部宽度为__________米时，所挖的土方量最少．（精确到0.01米） 6.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程； (2)记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； (3)设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 7．（2025·上海黄浦·三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 8．（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 9．（24-25高三上·上海金山·期末）已知椭圆，抛物线与有一个相同的焦点F．过点F作互相垂直的两条直线l与，直线l与交于点A、B，直线与交于点C、D． (1)求椭圆的离心率及抛物线的方程； (2)若直线l的倾斜角为，求AB中点M的坐标； (3)四边形ACBD的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点． (1)设，求点的横坐标； (2)设为坐标原点，线段中点的纵坐标为，求的面积； (3)设线段的垂直平分线与抛物线交于点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程． 11.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． (1)求的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 12.已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． (1)求E的方程； (2)过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 13.已知抛物线，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为.记的坐标为. (1)当时，求； (2)设，证明：数列是等差数列； (3)设为的面积，证明：为定值. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $