20.2二次根式的运算（讲义，4知识2拓展6题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本初中数学讲义聚焦二次根式的运算核心知识点，系统梳理乘除运算法则、同类二次根式识别、分母有理化及混合运算方法，构建从概念理解到法则应用再到综合题型的学习支架，为后续勾股定理、一元二次方程学习奠定运算基础。 资料以培养数学运算核心素养为导向，通过“定义-法则-例题-变式练”分层设计，突出同类根式化简、乘法公式迁移等思维训练，如共轭根式整体求值法提升解题效率。课中助力教师系统授课，课后通过基础到创新的分层练习，帮助学生查漏补缺，强化运算规范性与应用能力。

第20章 二次根式 20.2二次根式的运算 课标要点 1. 了解最简二次根式、同类二次根式的概念，掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，适用于根号内含整数、简单字母的基础运算。 2. 熟练进行二次根式的四则运算，掌握分母有理化核心方法，所有运算结果必须化为最简二次根式。 3. 类比整式运算规律，理解数式通性，能够将平方差、完全平方等乘法公式迁移应用到二次根式混合运算中。 4. 培养数学运算核心素养，能用二次根式运算解决简单实际问题，为后续勾股定理、一元二次方程的学习奠定运算基础。 5. 明确二次根式运算法则的适用前提，掌握被开方数非负、除法分母不为0的取值限制。 学习重难点 学习重点 1. 掌握二次根式乘、除运算法则，能够熟练对基础二次根式进行化简。 2. 精准识别同类二次根式，熟练掌握二次根式加减运算的核心步骤：一化、二找、三合。 3. 掌握分母有理化方法，熟记常见根式的有理化因式，彻底去除分母中的根号。 4. 熟练进行二次根式混合运算，灵活运用乘法公式简化复杂计算。 学习难点 1. 运算法则的取值条件：乘法法则 ；除法法则 ，易忽略取值范围直接套用公式。 2. 多项式型分母的有理化运算，难以精准匹配平方差公式完成化简。 3. 二次根式混合运算中符号处理、运算顺序易错，难以保证结果化为最简形式。 知识点 二次根式乘除运算 1. 乘法法则 核心公式： 多根式推广： 逆用作用：，用于拆分根式，提取被开方数中的完全平方因数，完成化简。 2. 除法法则 核心公式： 逆用作用：，专门用于化简分数型二次根式。 特别提醒 运算要求：所有乘除运算结果，必须整理为最简二次根式。 随学随练 1．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 知识点 同类二次根式与加减运算 1. 同类二次根式定义 将二次根式化为最简形式后，被开方数完全相同的二次根式，互为同类二次根式。 关键注意：必须先化简、再判断，不可直接根据原式被开方数判定。 2. 二次根式加减三步法 ①化：将所有根式统一化为最简二次根式； ②找：精准筛选出所有同类二次根式； ③合：合并同类二次根式，系数相加减，被开方数和根号保持不变，非同类根式无法合并。 合并公式： 随学随练 2．（25-26八年级上·上海青浦·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 知识点 分母有理化与有理化因式（重点） 1. 分母有理化定义 通过恒等变形，将分母中含有的根号全部消去，使最终结果分母为有理数，是根式运算的必备步骤。 2. 常见有理化因式（核心考点） - 的有理化因式： - 的有理化因式： - 的有理化因式：（依托平方差公式去根号） 特别提醒 分母有理化时，分子分母同乘分母的有理化因式，保证分式值不变。 随学随练 4．分母有理化：_______． 知识点 二次根式混合运算 1. 运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号优先计算括号内的内容。 2. 运算规律 整式的运算律全部适用，包含加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律。 3. 常用乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 特别提醒 必须化为最简二次根式，分母无根号、被开方数无完全平方因数、被开方数为整数。 随学随练 5． （25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 拓展 共轭根式整体求值法 若题干给出 ，无需单独求解 的近似值，优先计算 的值，再对目标代数式变形，整体代入求解，大幅简化计算量。 活学活用 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 拓展 二次根式大小比较 常用三种方法：①平方比较法（正数根式适用）；②分母有理化后比较分子大小；③估算根式近似值直接比较。 活学活用 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小： (1)______； (2)______． 题型 根式乘除计算 ▌例1-1 （25-26八年级下·上海·期中）计算： ▌例1-2 计算：． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海金山·期末）计算：．解题贴士 解题技巧：计算前优先对被开方数因式分解，提取完全平方因数，先化简再乘除，规避大数复杂运算；全程牢记根式取值限制条件。 避坑要点：不满足非负条件时，严禁直接拆分根号。 ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）计算：． 题型 同类根式识别与加减运算 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 ▌例2-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． ▌例2-3 （25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 解题贴士 解题口诀：先化简，再找同类，系数加减，根号不动。 解题陷阱：原式被开方数不同，化简后可能为同类根式；非同类二次根式绝对不能合并。 ▌对点练2-1 合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． ▌对点练2-2计算：．（） ▌对点练2-3（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： ▌对点练2-4（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 题型同类根式求参数 ▌例3-1 （25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． ▌例3-2 若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． ▌例3-3 若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 解题贴士 解题关键：先将含参数根式化为最简形式，根据“同类根式被开方数相等”列方程求解，同时必须验证被开方数 的取值范围，避免漏解、错解。 ▌对点练3-1（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． ▌对点练3-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______． ▌对点练3-3（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． ▌对点练3-4若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 题型分母有理化 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． ▌例4-2 计算：________． ▌例4-3 （25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集为_____． 解题贴士 1. 单项式分母：分子分母同乘 ，直接去根号； 2. 多项式分母 ：分子分母同乘 ，利用平方差公式消去分母根号。 避坑要点：互为有理化因式的符号切勿抄反，避免计算失误。 ▌对点练4-1（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集是__________． ▌对点练4-2计算：． ▌对点练4-3阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 题型二次根式混合运算 ▌例5-1 （24-25八年级上·上海·期中）计算：． ▌例5-2 （25-26八年级下·上海·阶段检测）计算：． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 解题贴士 能套用乘法公式的优先用公式简化运算；使用分配律展开时，保证每一项都参与运算，不遗漏、不错符号；所有项计算完成后，统一化简至最简形式。 ▌对点练5-1计算：． ▌对点练5-2（25-26八年级上·上海·期末）计算：． ▌对点练5-3（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 题型根式化简求值 ▌例6-1 先化简，再求值：，其中：，． ▌例6-2（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) ▌例6-3在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 解题贴士 解题原则：先整体化简代数式，再代入根式数值计算，禁止直接代入硬算，减少计算误差和失误。 整体代入求值（高频考题） 针对已知 ，求 、 等题型，无需单独求解 ，先算出 ，再将目标代数式变形为含 的形式，整体代入求解。 结合条件化简 解题核心：所有平方开根先转化为绝对值，再根据题干条件、数轴信息判断字母正负，精准去掉绝对值符号化简。 ▌对点练6-1（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． ▌对点练6-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：已知，求的值． ▌对点练6-3（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． ▌对点练6-4阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海松江·期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：______． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算：________． 6．（23-24八年级上·上海·期中）计算：________． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_____． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将代数式分母有理化，结果是______． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数轴上，点表示，点表示，则点与点之间的距离是_________． 10．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：_____． 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）解不等式：． 12．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）计算：． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 14． （25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 4．（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集是______． 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：__ ． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 7．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知，求的值． 8．（25-26八年级上·上海·期中）若、是实数，且，求的值． 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数是（   ） ①；②是最简二次根式；③和不是同类二次根式；④的有理化因式是；⑤不等式的解集是；⑥的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，则________． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）计算的结果为______． 4．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如，已知： ，则的“对偶式”是，通过，可以得到，同样也可以得到，从而解决相应的问题．请运用上述方法解决下列问题： 已知实数、满足，则______． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． (1)点C表示的数是 ； (2)对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为 ； (3)若点C所表示的数的整数部分为，小数部分为，求的值． 7．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_________；（直接写出答案） (2)计算：；（直接写出答案） (3)计算：； (4)计算：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 20.2二次根式的运算 课标要点 1. 了解最简二次根式、同类二次根式的概念，掌握二次根式加、减、乘、除运算法则，适用于根号内含整数、简单字母的基础运算。 2. 熟练进行二次根式的四则运算，掌握分母有理化核心方法，所有运算结果必须化为最简二次根式。 3. 类比整式运算规律，理解数式通性，能够将平方差、完全平方等乘法公式迁移应用到二次根式混合运算中。 4. 培养数学运算核心素养，能用二次根式运算解决简单实际问题，为后续勾股定理、一元二次方程的学习奠定运算基础。 5. 明确二次根式运算法则的适用前提，掌握被开方数非负、除法分母不为0的取值限制。 学习重难点 学习重点 1. 掌握二次根式乘、除运算法则，能够熟练对基础二次根式进行化简。 2. 精准识别同类二次根式，熟练掌握二次根式加减运算的核心步骤：一化、二找、三合。 3. 掌握分母有理化方法，熟记常见根式的有理化因式，彻底去除分母中的根号。 4. 熟练进行二次根式混合运算，灵活运用乘法公式简化复杂计算。 学习难点 1. 运算法则的取值条件：乘法法则 ；除法法则 ，易忽略取值范围直接套用公式。 2. 多项式型分母的有理化运算，难以精准匹配平方差公式完成化简。 3. 二次根式混合运算中符号处理、运算顺序易错，难以保证结果化为最简形式。 知识点 二次根式乘除运算 1. 乘法法则 核心公式： 多根式推广： 逆用作用：，用于拆分根式，提取被开方数中的完全平方因数，完成化简。 2. 除法法则 核心公式： 逆用作用：，专门用于化简分数型二次根式。 特别提醒 运算要求：所有乘除运算结果，必须整理为最简二次根式。 随学随练 1．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 知识点 同类二次根式与加减运算 1. 同类二次根式定义 将二次根式化为最简形式后，被开方数完全相同的二次根式，互为同类二次根式。 关键注意：必须先化简、再判断，不可直接根据原式被开方数判定。 2. 二次根式加减三步法 ①化：将所有根式统一化为最简二次根式； ②找：精准筛选出所有同类二次根式； ③合：合并同类二次根式，系数相加减，被开方数和根号保持不变，非同类根式无法合并。 合并公式： 随学随练 2．（25-26八年级上·上海青浦·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． B选项：，被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式． C选项：，被开方数为6，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． D选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 知识点 分母有理化与有理化因式（重点） 1. 分母有理化定义 通过恒等变形，将分母中含有的根号全部消去，使最终结果分母为有理数，是根式运算的必备步骤。 2. 常见有理化因式（核心考点） - 的有理化因式： - 的有理化因式： - 的有理化因式：（依托平方差公式去根号） 特别提醒 分母有理化时，分子分母同乘分母的有理化因式，保证分式值不变。 随学随练 4．分母有理化：_______． 【答案】 【详解】． 知识点 二次根式混合运算 1. 运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；有括号优先计算括号内的内容。 2. 运算规律 整式的运算律全部适用，包含加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、分配律。 3. 常用乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 特别提醒 必须化为最简二次根式，分母无根号、被开方数无完全平方因数、被开方数为整数。 随学随练 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 拓展 共轭根式整体求值法 若题干给出 ，无需单独求解 的近似值，优先计算 的值，再对目标代数式变形，整体代入求解，大幅简化计算量。 活学活用 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 拓展 二次根式大小比较 常用三种方法：①平方比较法（正数根式适用）；②分母有理化后比较分子大小；③估算根式近似值直接比较。 活学活用 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小： (1)______； (2)______． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ∵，， ∴， ∴． 题型 根式乘除计算 ▌例1-1 （25-26八年级下·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． ▌例1-2 计算：． 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海金山·期末）计算：．解题贴士 解题技巧：计算前优先对被开方数因式分解，提取完全平方因数，先化简再乘除，规避大数复杂运算；全程牢记根式取值限制条件。 避坑要点：不满足非负条件时，严禁直接拆分根号。 【答案】 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海松江·期末）计算：； 【答案】 【详解】解：原式 ． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 题型 同类根式识别与加减运算 ▌例2-1 （25-26八年级上·上海·期末）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A．，，被开方数均为2，是同类二次根式，故A不符合题意； B．，，被开方数均为10，是同类二次根式，故B不符合题意； C．被开方数为，，化简后非二次根式，不是同类二次根式，故C符合题意； D．，，被开方数均为，是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． ▌例2-2 （25-26八年级上·上海奉贤·期末）下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； C、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； D、与是同类二次根式，故能与合并，符合题意； 故选：D． ▌例2-3 （25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 解题贴士 解题口诀：先化简，再找同类，系数加减，根号不动。 解题陷阱：原式被开方数不同，化简后可能为同类根式；非同类二次根式绝对不能合并。 ▌对点练2-1 合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． ▌对点练2-2计算：．（） 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练2-3（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】0 【详解】解：∵式子和有意义，且， ∴， ∴ ． ▌对点练2-4（25-26八年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型同类根式求参数 ▌例3-1 （25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． ▌例3-2 若与是同类二次根式，则的最小正整数是________． 【答案】 【详解】∵与是同类二次根式， ∴设（为正整数）， 整理得， 当 时，，不是正整数，不符合要求， 当 时， ，是正整数，符合要求， ∴的最小正整数是． ▌例3-3 若最简二次根式和是同类二次根式，求x、y平方和的平方根． 【答案】 【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式， ，， 即， 解得， x、y的平方和为， x、y平方和的平方根为． 解题贴士 解题关键：先将含参数根式化为最简形式，根据“同类根式被开方数相等”列方程求解，同时必须验证被开方数 的取值范围，避免漏解、错解。 ▌对点练3-1（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 【答案】28 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． ▌对点练3-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 化简得，， 解得， ∴， 故答案为：． ▌对点练3-3（25-26八年级上·上海金山·期中）已知、是实数，，且最简二次根式与是同类二次根式，求代数式的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的平方根为． ▌对点练3-4若最简二次根式与可以合并． (1)求的值； (2)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“※”如下：※＝，如：3※2＝＝．请求※[※（－2）]的值． 【详解】（1）∵最简二次根式与可以合并， ∴， ∴， （2）当时 ． 题型分母有理化 ▌例4-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． ▌例4-2 计算：________． 【答案】 【详解】解：． ▌例4-3 （25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】 移项，得. 合并同类项，得. ， . . 即． 解题贴士 1. 单项式分母：分子分母同乘 ，直接去根号； 2. 多项式分母 ：分子分母同乘 ，利用平方差公式消去分母根号。 避坑要点：互为有理化因式的符号切勿抄反，避免计算失误。 ▌对点练4-1（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 由于，系数为负，不等号方向改变，得， 即． 故答案为：． ▌对点练4-2计算：． 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练4-3阅读理解：化简：． 解：原式 ； 依照上述方法解答下列各题： (1)化简：； (2)化简：． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ； ∴原式. 题型二次根式混合运算 ▌例5-1 （24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】【 【详解】解：原式 ． ▌例5-2 （25-26八年级下·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． ▌例5-3 （25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 解题贴士 能套用乘法公式的优先用公式简化运算；使用分配律展开时，保证每一项都参与运算，不遗漏、不错符号；所有项计算完成后，统一化简至最简形式。 ▌对点练5-1计算：． 【答案】 【详解】解： ． ▌对点练5-2（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ▌对点练5-3（25-26八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型根式化简求值 ▌例6-1 先化简，再求值：，其中：，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，代入得： 原式． ▌例6-2（25-26八年级上·上海·期末）已知，求下列代数式的值． (1) 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． ▌例6-3在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)_______；_______； (2)比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； (3)若，求的值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；． （2）解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． （3）解：， ， ，，即 解题贴士 解题原则：先整体化简代数式，再代入根式数值计算，禁止直接代入硬算，减少计算误差和失误。 整体代入求值（高频考题） 针对已知 ，求 、 等题型，无需单独求解 ，先算出 ，再将目标代数式变形为含 的形式，整体代入求解。 结合条件化简 解题核心：所有平方开根先转化为绝对值，再根据题干条件、数轴信息判断字母正负，精准去掉绝对值符号化简。 ▌对点练6-1（25-26八年级上·上海普陀·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， ∴， ， 把代入，原式． ▌对点练6-2（25-26八年级上·上海·阶段检测）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】； 【详解】解： ； 当时， 原式． ▌对点练6-3（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 ▌对点练6-4阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ； (4)，理由如下： ， ， ， 故． 基础通关 1．（25-26八年级上·上海松江·期末）在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：对于A∶ ∵，被开方数为3，与的被开方数2不同，∴不是同类二次根式． 对于B∶∵，被开方数为2，与的被开方数相同，∴是同类二次根式． 对于C∶∵，化简后不再是二次根式，是二次根式，∴不是同类二次根式． 对于D∶∵和的被开方数分别为和，被开方数不同，∴不是同类二次根式． 故选B． 2．（25-26八年级上·上海崇明·期末）下列各选项中，的有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为有理式， ∴是的有理化因式． 故选：B． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，∴A错误． 对于选项B：，∴B错误． 对于选项C：，，，∴C正确． 对于选项D：， ∴ D错误． 故选C． 4．（25-26八年级上·上海崇明·期末）计算：______． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算：________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 8．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将代数式分母有理化，结果是______． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数轴上，点表示，点表示，则点与点之间的距离是_________． 【答案】 【详解】解：与点之间的距离为 故答案为： 10．（25-26八年级上·上海普陀·期末）计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）解不等式：． 【答案】 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 12．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）计算：． 【答案】17+ 【详解】解： . 14．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 素养提升 1．（25-26八年级上·上海·期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 大正方形的面积是， ∴ 大正方形的边长， ∵ ， ∴ 长方形的宽为， ∴ 小正方形的边长为， ∴ 小正方形的周长为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）最简二次根式与是同类二次根式，则________，________． 【答案】 1 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）化简：＝__________． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：4． 4．（25-26八年级上·上海·期末）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解： ∴原不等式的解集为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）计算：__ ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）比较大小：______．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海崇明·期末）已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ． 当时，原式． 8．（25-26八年级上·上海·期中）若、是实数，且，求的值． 【答案】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得， ， ∴， ∴， ∴， 将，代入上式得， 原式． 9．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知的小数部分为，的小数部分为． 先化简，再求值：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，的整数部分为1， ∴的小数部分为，的小数部分为， ∴原式 迁移创新 1．（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列结论中正确的个数是（   ） ①；②是最简二次根式；③和不是同类二次根式；④的有理化因式是；⑤不等式的解集是；⑥的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：① ，错误； ② 被开方数无平方因子，是最简二次根式，正确； ③，，被开方数不同，不是同类二次根式，正确； ④，有理化因式是 ，不是 ，错误； ⑤，不等式两边除以负数需变号：，解集应为 ，结论错误； ⑥，小数点后第一个非零数字是1，之间有4个0，结论错误． 综上，正确结论有②和③，共2个． 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）计算的结果为______． 【答案】 【详解】解：设，， ∴原式 ． ∴原式． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·上海·期中）表示不大于 的最大整数，如 ，则_________ 【答案】 【详解】解：∵，，，，，，，，，……，， ∴ ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如，已知： ，则的“对偶式”是，通过，可以得到，同样也可以得到，从而解决相应的问题．请运用上述方法解决下列问题： 已知实数、满足，则______． 【答案】2025 【详解】解：根据题意得：的对偶式，的对偶式， ∴①， ②， 得， ， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 6．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）已知数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． (1)点C表示的数是 ； (2)对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为 ； (3)若点C所表示的数的整数部分为，小数部分为，求的值． 【详解】（1）解：点C向左平移4个单位后与点A重合， 点C表示的数是 故答案为：； （2）解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则点A为线段的中点，即， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则点D为线段的中点，即， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则点B为线段的中点，即， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或； （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵点C所表示的数的整数部分为，小数部分为， ∴ ∴ ． 7．（25-26八年级上·上海·期中）对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： (1)的“友好无理数”是 ． (2)请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是 和 ． (3)将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为 ； ②如果，那么的值为 ． 【详解】（1）解：设的“友好无理数”是， ∴， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ∴， ∴，则， ∴， ， ∵是无理数，即， ∴， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ∴，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∵， ∴； ②根据上述计算，， 变形得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴． 8．（25-26八年级上·上海闵行·期中）材料一：观察等式，其左边是两个含有二次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ； ． 根据以上材料，请完成下列问题： (1)_________；（直接写出答案） (2)计算：；（直接写出答案） (3)计算：； (4)计算：． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $