专题21.6 一元二次方程的根与系数关系（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题21.6 一元二次方程的根与系数关系 教学目标 1. 由一元二次方程的求根公式计算两根之和与两根之积； 2. 学习韦达定理的内容； 3. 利用韦达定理进行有关计算。 教学重难点 1.重点 （1）得到韦达定理的计算、推理过程； （2）利用韦达定理研究一元二次方程两根的关系； （3）韦达定理的有关计算与应用。 2.难点 （1）韦达定理的代数应用—化简、变形、求值等； （2）一元二次方程的多参数问题。 知识点1 一元二次方程的根与系数关系 一元二次方程的根与系数关系 我们知道一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况完全是由a、b、c确定的，判别式△=b²-4ac的值与其实数根的情况有密切关系，当△≥0时，求根公式x1=，x2=表达了方程的每一个根与系数之间的关系.现在我们进一步研究一元二次方程的两个根与系数之间的关系. 我们试着计算两根之和与两根之积. 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2满足 x1+x2=+ = = x1•x2=• = = 由此得到下述关于一元二次方程的根与系数关系的定理： 韦达定理 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、x₂,那么 ，x1•x2 = 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练】 1．若实数，是方程：的两个根，则 ． 2．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．设、是方程的两个根，且，则 ． 4．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 5．若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点2 一元二次方程的根与系数关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练】 1．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 3．若，是一元二次方程的两根，则的值为 . 4．已知是方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 5．设、是方程的两根，则 ． 题型01 直接利用韦达定理求解 【典例1】．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】．方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【变式2】．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型02 已知一根求另一根 【典例1】．若是方程 的一个根，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 题型03 已知两根之间的数量关系 【典例1】．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 【变式1】．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 【变式2】．已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式3】．若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 题型04 韦达定理的应用-求值问题（Ⅰ） 【典例1】．若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D．3 【变式2】．若 的两个根为，则 ． 题型05 符号问题 【典例1】．已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若关于x的一元二次方程两根为，，且与同号，则m可能的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式2】．已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 【变式3】．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是 ． 题型06 利用韦达定理求代数式的值 【典例1】．已知、方程的两个实数根，则的值是 ． 【变式1】．若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式2】．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【变式3】．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【变式4】．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式5】．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为 【变式6】．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 题型07 韦达定理的应用-求值问题（Ⅱ） 【典例1】．已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（   ） A． B． C．2 D．8 【变式2】．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 题型08 韦达定理的综合应用 【典例1】．已知关于x的一元二次方程没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为和4，则的值为 ． 【变式1】．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 【变式2】．已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 题型09 一元二次方程的一般形式综合辨析 【典例1】．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【变式1】．下列命题：①若是一元二次方程的根，则也是方程的根；②若，则一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若一元二次方程的两根为，则一元二次方程的两根为；④一元二次方程的两根为，若．则． 其中正确的是 （填序号）． 题型10 新定义题 【典例1】．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式1】．将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ． 题型11 解答题 【典例1】．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【变式1】．已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【变式2】．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【变式3】．某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 一、单选题 1．已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A． B．2 C． D．3 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（　　） A． B． C．3 D．5 4．已知 是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是（    ） A． B．7 C．5 D． 6．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 7．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 10．已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知2是方程的一个根，则另一个根为 ． 12．方程的两个根为，，若，则 ． 13．已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 14．若a，b是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 15．从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 16．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 17．设、是方程的两根，则 ． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、解答题 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两根互为相反数，求m的值． 20．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 21．已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使该方程的两个实数根满足，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 24．如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知，是方程的二根，则 (2)已知、、满足，，求正数的最小值． (3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 25．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.6 一元二次方程的根与系数关系 教学目标 1. 由一元二次方程的求根公式计算两根之和与两根之积； 2. 学习韦达定理的内容； 3. 利用韦达定理进行有关计算。 教学重难点 1.重点 （1）得到韦达定理的计算、推理过程； （2）利用韦达定理研究一元二次方程两根的关系； （3）韦达定理的有关计算与应用。 2.难点 （1）韦达定理的代数应用—化简、变形、求值等； （2）一元二次方程的多参数问题。 知识点1 一元二次方程的根与系数关系 一元二次方程的根与系数关系 我们知道一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况完全是由a、b、c确定的，判别式△=b²-4ac的值与其实数根的情况有密切关系，当△≥0时，求根公式x1=，x2=表达了方程的每一个根与系数之间的关系.现在我们进一步研究一元二次方程的两个根与系数之间的关系. 我们试着计算两根之和与两根之积. 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2满足 x1+x2=+ = = x1•x2=• = = 由此得到下述关于一元二次方程的根与系数关系的定理： 韦达定理 如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x₁、x₂,那么 ，x1•x2 = 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练】 1．若实数，是方程：的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 先把方程变形为一般形式，再根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵实数，是方程：即的两个根， ∴； 故答案为：2． 2．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．对于方程 ，若其两根为 和 ，则 ． 【详解】解题目中方程为 ，对应系数 ，，． 根据根与系数的关系，两根的积为： 故选A． 3．设、是方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 5．若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次方程根与系数的关系及代数式求值．首先根据一元二次方程根与系数的关系可得：, ，根据多项式乘以多项式的法则计算可得：，然后现整体代入求值即可． 【详解】解：方程 的两根为 和 ， , ， ， ． 故选：B． 知识点2 一元二次方程的根与系数关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练】 1．已知方程的两根分别为，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次方程根与系数的关系，直接计算两根的倒数和． 【详解】已知方程 的两根为 和 ，由根与系数的关系可得： 根的和：， 根的积：， 所求表达式为 ，通分后得： ， 将根的和与积代入： ． 故选： B． 2．已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题的关键．将转化为，根据一元二次方程根与系数的关系即可进行求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为、， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若，是一元二次方程的两根，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程两根之间的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，将代数式因式分解，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ 故答案为：． 4．已知是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 5．设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，根据一元二次方程的解的定义和根与系数关系可得，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ， ， 故答案为：． 题型01 直接利用韦达定理求解 【典例1】．若方程的两根为， 则 的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．对于方程 ，若其两根为 和 ，则 ． 【详解】解题目中方程为 ，对应系数 ，，． 根据根与系数的关系，两根的积为： 故选A． 【变式1】．方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 【变式2】．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是其两个实数根，则．解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ∴， 将，代入，则 故选C． 题型02 已知一根求另一根 【典例1】．若是方程 的一个根，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为，根据根与系数的关系，即可求出另一个根． 【详解】解：设另一个根为， 根据题意，得， 解得． 故选：B． 【变式1】．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：4． 题型03 已知两根之间的数量关系 【典例1】．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（    ） A．或1 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 先设，，根据根与系数的关系得到，解这个方程，求出的值，再求得：，，从而可得，求出． 【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根， ∵其中一根是另一根的3倍， ∴设，， ， 解得：，， ∴， ， 故选：D． 【变式1】．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根于系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设其中一个根为，另一个根为， ， 解得：， 故答案为：4． 【变式2】．已知方程 有两个实数根，且这两根之比为 ，则 的值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，设两个根是，再根据两根之和求出a，然后根据两根之积求出答案． 【详解】解：由题意，得， 设两个根是， 则， 解得， ∴这两个根是， ∴， 解得． 故选：C． 【变式3】．若关于x的方程的两根互为倒数，则（   ） A．2 B．2或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，是关于的一元二次方程，为常数)的两个实数根，则． 根据已知和根与系数的关系得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的的值． 【详解】解：设是方程的两根， ， ∵两根互为倒数， ∴， 解得或2； ∵方程有两个实数根，， ∴当时，，舍去， 故的值为． 故选：C． 题型04 韦达定理的应用-求值问题（Ⅰ） 【典例1】．若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，由，即可直接得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实根为， ∴，， ∴． 故选B． 【变式1】．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．6 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：． 【变式2】．若 的两个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若、是关于的方程的两个实数根，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵、是关于的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05 符号问题 【典例1】．已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 是关于的方程的两个根， ；故A正确，B错误； ，故选项C错误； 异号或其中一个的值为， 的值可能大于 0 ，可能等于 0 ，也有可能小于 0 ，故D错误； 故选：A． 【变式1】．若关于x的一元二次方程两根为，，且与同号，则m可能的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出，再结合一元二次方程的判别式，即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、， ∴， ∵与同号， ∴， ∴， ∴， 当时，原方程为，则，方程无解，不符合题意； 当时，原方程为，则，方程有两个不相等的实数根，符合题意； ∴可能的值为， 故选：B． 【变式2】．已知关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，一元二次方程的判别式，根与系数的关系，结合题意，得出，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：记关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根之积为正数， ∴， 即，， ∴， 故答案为：． 【变式3】．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，且，，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系，先由根的判别式可得方程有两个实数根则，根据根与系数的关系得出，，再由，，解出不等式组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 题型06 利用韦达定理求代数式的值 【典例1】．已知、方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】2028 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，方程的解的含义，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系：，可直接求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 【变式1】．若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，即可求出的值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，即，， ， 故答案为：． 【变式2】．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3】．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，由根与系数的关系结合一元二次方程的解，可得出，，，将其代入中，即可得出结论． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式4】．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式5】．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为 【答案】 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系；由有两个相等的实数根，可得，进而根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴两根之积为 故答案为：． 【变式6】．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是先得出，再求代数式的值． 【详解】解：已知是一元二次方程的两个不相等的实数根， 则， 则， 故答案为：． 题型07 韦达定理的应用-求值问题（Ⅱ） 【典例1】．已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】解：化为， ，且， 实数，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 【变式1】．已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，然后将方程化简、代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 解得， 经检验：是原方程的解， 故选：B． 【变式2】．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质和一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值，解题的关键是熟悉非负数和的性质和一元二次方程根与系数的关系． 由非负数的性质求出a、b的值，再利用根与系数的关系将所求代数式转化为关于根的和与积的表达式，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式3】．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 题型08 韦达定理的综合应用 【典例1】．已知关于x的一元二次方程没有实数根．甲由于看错了某一项的符号，误求得两根为和4，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 对甲看错的符号进行分类讨论，再结合误求的两根，利用根与系数的关系得出b，c的值，进一步根据此方程没有实数根对b，c的值进行取舍，最后代入2b+3c即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程没有实数根， 所以． 因为因为甲看错了某一项的符号，误求得两根为和4， 则当甲看错b的符号时， ， 解得， 此时， 故不符合题意，舍去． 当甲看错c的符号时， ， 解得， 此时， 故符合题意， 所以． 故答案为：6． 【变式1】．已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（　　） A．若方程有一根为1，则 B．若异号，则方程必有解 C．若，则方程两根互为相反数 D．若，则方程有一根为0 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键. 将代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将代入方程，根据直接开平方法解方程即可判断C，将代入方程，可判断D. 【详解】A．若方程有一根为1，把x=1代入原方程，则，故A正确； B．若a、c异号，则，∴方程必有解，故B正确； C．若，方程变为，若方程有解，则，此时两根和为0，互为相反数，但若、同号，方程无实数根，故C错误； D．若，则方程变为，必有一根为0．故D正确． 故选：C． 【变式2】．已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先根据，，求出，得到整数或，再验证满足的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴整数或， 当时，，方程有两等根，不合题意； 当时，，方程有两不等根，符合题意； 故答案为：． 题型09 一元二次方程的一般形式综合辨析 【典例1】．已知关于x的一元二次方程： ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程有一根为； ③无论或，方程都有两个不相等的实数根； ④若是方程的一个根，则式子一定成立． 以上说法正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，灵活应用方程的根与等式的变形是解题关键． ①利用根与系数关系求出b、c表达式，验证等式是否成立； ②代入验证是否满足方程； ③根据所给式子，利用判别式分别对方程的根的情况进行判断即可； ④将所求式子作差，判断差的情况即可． 【详解】解：①∵方程的两个根为和1， ∴ ， ，∴，， ∴，故说法①不正确； ②若，代入得，即方程有一根为，故②正确； ③当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 当时，，所以该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④∵是方程的一个根，∴ ， ∵ ∴，故说法④正确． 综上，正确说法为②③④， 故选：C． 【变式1】．下列命题：①若是一元二次方程的根，则也是方程的根；②若，则一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若一元二次方程的两根为，则一元二次方程的两根为；④一元二次方程的两根为，若．则． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． ①把分别代入方程和进行判断即可；②根据根的判别式进行判断即可；③根据根与系数的关系进行判断即可；④根据时，满足，由，，得出，即可判断此项错误． 【详解】解：①把分别代入方程和得： ，， ∴， ∴若是一元二次方程的根，则也是方程的根，故①正确； ②设，满足， 但， ∴一元二次方程没有实数根，故②错误； ③∵， ∴， ， ∴是一元二次方程的两根，故③正确； ④当时，满足， 此时，， ∴，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③． 故答案为：①③． 题型10 新定义题 【典例1】．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 【变式1】．将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝ ，的最大值是 ． 【答案】 4； -3 【分析】利用（）与方程是“同源二次方程”得出，，即可求出；利用一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出，设（），得，根据方程有正数解可知，求出t的取值范围即可求出的最大值． 【详解】解：根据新的定义可知，方程（）可变形为， ∴， 展开，， 可得，， ∴； ∵，， ∴， ∵方程（）有两个根为、， ∴，且， ∴， 设（），得， ∵方程有正数解， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为：4，-3． 【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到是解题的关键． 题型11 解答题 【典例1】．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：当时，原方程为， ∵原方程的两实数根分别为和， ∴， ∴． 【变式1】．已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 【变式2】．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键： （1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，，再将其代入得出，求解即可 【详解】（1）证明： ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， ， ， ，． 故m的值为或． 【变式3】．某数学小组对根与系数的关系进行探究，关于x的方程有n个实数根，且有．其中为该方程各项系数．当时，这一性质也称作韦达定理． 设：当时，有方程， 该方程有两个实数根和，且， 展开得， 即， 又由题知， 则， 故，． 当，求式子和的值(用系数表示)． 【答案】， 【分析】本题考查了高次方程根与系数的关系．解题的关键是通过展开因式分解形式的方程，与原方程对比系数，推导根的乘积之和及根的乘积的表达式． 设三次方程为表示为展开因式分解式，整理为多项式形式；对比原方程系数，求出和与系数的关系． 【详解】解：由题意，当时，方程为． 又设该方程有三个实数根， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴，． 一、单选题 1．已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得． 【详解】解：根据根与系数的关系得， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，． 2．设一元二次方程的两个实根为和，则（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】， ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，是解题的关键． 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（　　） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系即可求解 【详解】∵一元二次方程的两根分别为， ∴、 ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系和代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 4．已知 是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的混合运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是（    ） A． B．7 C．5 D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出：，，然后将代数式变形，代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 6．关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 7．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 【详解】∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 8．已知，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值． 【详解】原式 ∵，是方程的两个实数根 ∴ 则原式 故选：A． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，韦达定理，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．根据，，可得，结合，从而最后确定的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵，， ∴ 又∵， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为：． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，关键是得到． 10．已知一元二次方程（）的两个实数根为，，则，，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数，关于的一元二次方程的两个根记作，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，继而，那么，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 11．已知2是方程的一个根，则另一个根为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．设另一个根为a，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设另一个根为a，根据题意得： ， ∴． 故答案为：3 12．方程的两个根为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据，可求出m的值；再由，即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键． 先对进行变形得，利用一元二次方程的根与系数的关系得、，后整体代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，， ． 故答案为：． 14．若a，b是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于是解题的关键． 根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，，然后整理得，最后整体代入即可解答． 【详解】解：∵a，b是方程 的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2024． 15．从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意分别将，，代入原方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个正实数根 ∴ ∴或 当时，原方程无实数根，不合题意， 当时，原方程为 解得都小于，不合题意， 当时，原方程为 解得：都大于，符合题意， 故答案为：． 16．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．设、是方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，根据一元二次方程的解的定义和根与系数关系可得，然后代入式子求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ， ， 故答案为：． 18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三、解答题 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 20．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1)且 (2)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式大于零，即可求解； （2）用含的式子表示出方程的两个实数根的倒数和等于，计算出的值，再结合实际实际情况进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的方程，，，， ∵有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴且． （2）解：设是关于的方程的两个根据，且， 若，则， ∴， ∵， ∴， 当时，关于的方程为，则，无解， ∴不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，两根之和，两个之积的关系是解题的关键． 21．已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根的判别式为，将系数代入即可证得． （2）把代入方程可求得，由根与系数的关系可求得n值，即可求解． 【详解】（1）证明：    ．      无论m取何实数时，总有．      ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）把代入方程，得．   即．   ∵，∴．    由根与系数的关系，．      ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使该方程的两个实数根满足，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，且 (2)存在， 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可知，且，即可求得m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可知：，，代入，列出方程即可求得m的值，然后再检验即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ∴，， 解得，且； （2）解：存在，理由如下： 根据根与系数的关系可知：，． ∵． ∴， 解得． 经检验是分式方程的解， ∴． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，由根与系数的关系列出关于m的方程是一种经常使用的解题方法． 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若是原方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的值或 【分析】（1）原方程总有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）方程有两个根，根据韦达定理，分别表示出，的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：原方程总有两个不相等的实数根，中，，， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程的判别式恒大于零， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）解：中，，，且是原方程的两根，， ∴，， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， 整理得，， 解方程得，，， ∴的值或． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根据的情况求出参数，掌握一元二次方程中根的判别式，根据与系数的关系，韦达定理是解题的关键． 24．如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)已知，是方程的二根，则 (2)已知、、满足，，求正数的最小值． (3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值； （2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值； （3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，是方程的二根， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴、是方程的解， ∴， ∴， ∵是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数的最小值是； （3）存在，当时，．理由如下： ∵， 由①得：， 由②得：， ∴，即， 由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 则， ∵和是关于，的方程组的两个不相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法． 25．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$