第3章 习题课 圆锥曲线的离心率（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线离心率的求法及范围问题，先以直接法（求a、c代入e=c/a）为基础，再通过齐次式法（利用定义、正余弦定理、几何性质构造a、c齐次式）深化，形成从基础到综合的学习支架，衔接椭圆、双曲线的定义与几何性质。 该资料以“数学思维”为核心，通过分类例题（如例2用椭圆定义、例3用余弦定理）培养推理能力，结合几何图形（如切线、焦点三角形）发展几何直观的“数学眼光”。课中例题解析助教师高效授课，课后对点练含选择、填空、解答题，帮助学生巩固方法，查漏补缺，提升用数学语言表达问题的能力。

习题课　圆锥曲线的离心率 学习目标　1.掌握圆锥曲线的离心率的求法(重点).2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题(难点). 一、直接法 例1　已知椭圆C：+=1(a>)的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，若△ABF2的周长为16，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题可知4a=16，即a=4， c==， 所以椭圆C的离心率e==. 反思感悟　根据已知条件求出a和c的值，代入e=，即可求出离心率. 跟踪训练1　已知F为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为，过F且垂直于x轴的直线交双曲线C于A，B两点，若|AB|=10，则C的离心率为(　　) A.2 B. C.4 D.6 答案　B 解析　双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0， 所以焦点F(c，0)到渐近线bx-ay=0的距离为 ==b=. 由-=1，令x=c，得-=1， 则y2=5=5×==， 所以y=±， 所以|AB|==10，a=1， 所以c==，所以e==. 二、齐次式法 根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式(方程或不等式)，进而得到关于e的方程或不等式，得出离心率e的值或范围，我们在解题时，经常从以下几个角度构造齐次式. 角度1　利用圆锥曲线的定义 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若过F1(-c，0)的直线与圆x2+y2=相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为　　　　.  答案　 解析　如图，设过F1(-c，0)的直线与圆x2+y2=相切于点Q，则OQ⊥PF1， 由于|OQ|=|OF1|， 所以∠PF1F2=30°， 因为PF2垂直于x轴， 所以tan∠PF1F2===， 所以|PF2|=， 则|PF1|=， 因为|PF1|+|PF2|=2a， 所以+=2a， 化简得a=c， 所以离心率e===. 反思感悟　根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 跟踪训练2　设F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|·|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为　　　　.  答案　 解析　不妨设P为双曲线右支上一点， |PF1|=r1，|PF2|=r2. 根据双曲线的定义， 得r1-r2=2a， 又r1+r2=3b， 故r1=，r2=. 又r1·r2=ab， 所以·=ab， 解得=(负值舍去)， 故e=== ==. 角度2　利用正余弦定理 例3　设F1，F2为双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若|F1P|=|F1F2|，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率为　　　　.  答案　2 解析　设直线l的倾斜角为α， 则cos α=， 由P在第一象限内， 且|F1P|=|F1F2|， 则|F1P|=|F1F2|=2c， ∴|F2P|=2c-2a， 由余弦定理可得 cos∠PF1F2=cos α==， 整理得3c2-8ac+4a2=0， 则3e2-8e+4=0， 解得e=2或e=(舍去). 反思感悟　如果已知条件中涉及三角形中的一些角度和长度的信息，可以借助正、余弦定理来得到a，c的齐次式. 跟踪训练3　过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2作倾斜角分别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为(　　) A. B.-1 C. D. 答案　C 解析　由题意知，在△PF1F2中，∠F1PF2=30°， 由正弦定理可得= ==， 所以 =， 所以该椭圆的离心率 e=== = = =. 角度3　利用图形的几何性质 例4　已知椭圆+=1(a>b>c>0，其中c为椭圆的半焦距)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b-c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作该圆的切线.切点为T，且|PT|的最小值不小于(a-c)，则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　.  答案　 解析　依题意，如图所示，当P点位于椭圆的右顶点时， |PF2|最小， 且最小值为a-c. ∵|PT|=≥(a-c)， ∴≥(a-c)， ∴(a-c)2≥4(b-c)2， ∴a-c≥2(b-c)，∴a+c≥2b， ∴(a+c)2≥4(a2-c2)， 化简得5c2+2ac-3a2≥0， 即5e2+2e-3≥0，结合0<e<1. 可得≤e<1. ① ∵b>c，∴b2>c2， ∴a2-c2>c2，∴a2>2c2， ∴e2<. ② 解得0<e<.由①②解得≤e<. 故椭圆离心率的取值范围为. 反思感悟　解析几何的本质是几何，将数量关系转化为几何关系，根据平面图形的几何性质求离心率的值或范围. 跟踪训练4　已知双曲线-=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、二象限，△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率e等于(　　) A. B.5 C. D.7 答案　C 解析　由题意知|AF2|=|AB|=|BF2|， |AF1|-|AF2|=2a， 即|AB|+|BF1|-|AF2|=2a， 则|BF1|=2a，又|BF2|-|BF1|=2a， 所以|BF2|=4a， 取AB的中点D，连接DF2， 由△ABF2为等边三角形，得DF2⊥AB， 且|BD|=2a，所以|DF2|=2a， |DF1|=|BD|+|BF1|=2a+2a=4a， 因为△F1DF2为直角三角形，所以|F1F2|2=|DF1|2+|DF2|2，则(2c)2=(4a)2+(2a)2， 所以e==. 1.知识清单： (1)圆锥曲线的离心率的求法. (2)圆锥曲线的离心率的范围问题. 2.方法归纳：直接法和齐次式法. 3.常见误区：忽略离心率的范围导致出错. 1.设双曲线-=1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为双曲线-=1(a>0)的两焦点之间的距离为10， 所以2c=10，c=5， 所以a2=c2-9=16，所以a=4. 所以离心率e==. 2.已知圆C：x2+y2-6x+5=0与中心在原点、焦点在x轴上的双曲线D的一条渐近线相切，则双曲线D的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　圆C：(x-3)2+y2=4的圆心C(3，0)， 半径r=2， 设双曲线D的方程为-=1(a>0，b>0)， 则其渐近线方程为bx±ay=0， 于是=2，即=， 因此双曲线D的离心率 e===. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x-y+5=0，弦的中点坐标是M(-4，1)，则椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM=-xM，代入M(-4，1)，解得=，e==. 4.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的角平分线与x轴的交点，若|QF2|=2|OQ|，则椭圆离心率的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵|QF2|=2|OQ|， ∴|QF2|=c，|QF1|=c. ∵PQ是∠F1PF2的角平分线， ∴==2，则|PF1|=2|PF2|， ∴|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a，解得|PF2|=. 由a-c<<a+c，可得e=>. 又0<e<1，∴椭圆离心率的取值范围是. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.已知焦点在x轴上的椭圆C：+=1(a>0)的长轴长为4，则其离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意得2a=4，b2=4，所以a=2， 所以c===2， 所以椭圆C的离心率e===. 2.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线-=1的离心率为(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　由椭圆的离心率为，得=， ∴a2=4b2.∴在双曲线中，e2===. ∴双曲线的离心率e=. 3.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2=，则椭圆的离心率e等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)， 如图，在△F1AF2中， cos∠F1AF2==， 即1-2e2=，解得e=. 4.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，过点A的直线l与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切，与C交于另一点B，且∠BAF=，则C的离心率为(　　) A.3 B. C.2 D. 答案　A 解析　显然圆(x-c)2+y2=(c-a)2的圆心为F(c，0)，半径为c-a，令直线l与圆相切的切点为D，连接FD， 则FD⊥AB，有∠DAF=，而|AF|=a+c，又|AF|=2|FD|，因此a+c=2(c-a)，解得c=3a，所以双曲线C的离心率为e==3. 5.关于椭圆有如下结论：“过椭圆+=1(a>b>0)上一点P(x0，y0)作该椭圆的切线，切线方程为+=1.”设椭圆C：+=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过F且垂直于x轴的直线与C的一个交点为M，过M作椭圆的切线l，若切线l与直线AM的倾斜角互补，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知A(a，0)，F(-c，0)， 将x=-c代入椭圆方程可得y=±， 不妨设M， 则切线l：+=1， 即y=ex+a， 又直线AM的斜率 kAM==-=e-1， 切线l的斜率为e， 由题意可知e-1+e=0，则e=. 6.(多选)已知双曲线-=1(m>0)，则(　　) A.离心率的最小值为4 B.当m=1时，离心率最小 C.离心率最小时双曲线的标准方程为-=1 D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y=0 答案　CD 解析　由题意可得e2===m+，因为m>0，所以e2=m+≥2=4，即e≥2，当且仅当m=，即m=2时取等号，此时双曲线的标准方程是-=1，渐近线方程是x±y=0. 7.(5分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上顶点为B，两个焦点分别为F1，F2，线段BF2的垂直平分线过点F1，则椭圆的离心率为　　　　.  答案　 解析　如图，设BF2的垂直平分线与BF2交于点H， 由题意可得，F1(-c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，则H， ∴==， ==-， ∵·=-1， ∴·=-1，化简得b2=3c2， 由a2=b2+c2，解得a2=4c2， ∴e2==，即e=. 8.(5分)已知F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2 ，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2 ，则+的最小值为　　　　.  答案　6 解析　设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c， 由于线段PF1的垂直平分线过F2， 所以有|F1F2|=|PF2|=2c. 根据双曲线和椭圆的定义有 两式相减得到4c=2(a1-a2)，即a1-a2=2c， 所以+=+=4++ ≥4+2=6，当且仅当c=2a2时，等号成立，即最小值为6. 9.(10分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的中心为原点O，左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F. (1)若|AF|=9，|OB|=3，求椭圆C的标准方程；(4分) (2)若∠ABF=90°，求椭圆C的离心率.(6分) 解　(1)由|AF|=9，|OB|=3， 则a+c=9，b=3， 由b==3，则(a+c)(a-c)=9， 可得a-c=1， 解得a=5，所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由+=1， 则A(-a，0)，B(0，b)，F(c，0)， 所以直线AB的斜率k1==， 直线BF的斜率k2==-， 由AB⊥BF，则k1k2=-1，即b2=ac， 由b2=a2-c2，则a2-c2=ac， 则1-e2=e，由e=∈(0，1)，解得e=， 所以椭圆C的离心率为. 10.(12分)双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0). (1)若双曲线C为等轴双曲线，且过点P(2，)，求双曲线C的方程；(4分) (2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率.(8分) 解　(1)∵双曲线C为等轴双曲线， ∴-=1， ∵双曲线过点P(2，)，将其代入得=1， 解得a2=1， ∴双曲线C的方程为x2-y2=1. (2)方法一　∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，∠MOF=45°， ∴△OMF是等腰直角三角形，|OF|=c， 过M作MA⊥x轴于点A，如图所示， 则A，M， 设左焦点F1(-c，0)，由双曲线定义知|MF1|-|MF|=2a， ∴2a= -=c-c=c， ∴e=. 方法二　同方法一得M， ∵点M在双曲线C：-=1(a>0，b>0)上， ∴-=1， 即-=4， ∴e2-=4， 整理得e4-6e2+4=0， 解得e2=3±， ∵e>1，∴e2=3+， ∴e== ==. ∴e=. 11.已知圆C1：x2+y2=b2与椭圆C2：+=1(a>b>0)，P为椭圆C2的右顶点，由点P作圆C1的两条切线，其夹角为60°，则椭圆C2的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　圆C1：x2+y2=b2的圆心C1即为O(0，0)，半径为b， 由题意作图，由点P(a，0)作圆C1的两条切线PA，PB， ∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPA=30°， ∴|OP|=2|OA|，即a=2b， 则a2=4b2=4(a2-c2)，即3a2=4c2， 得e==. 12.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|=4|F1Q|，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程得+=1， 解得|PF2|=. 如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E， 设Q(x0，y0)， 根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1， ∵=4， ∴==4， ∴|EF1|===， ∴x0=-c-=-. 又∵y0=-|QE|=-=-. ∴点Q的坐标为. 将点Q的坐标代入椭圆方程， 得+=1. 结合b2=a2-c2， 解得e==. 13.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点， 设左焦点为F'. ∴|AF'|+|AF|=2a， 根据对称关系知四边形AF'BF为矩形， ∴|AB|=|FF'|=2c. 由于AF⊥BF，∠ABF=α， ∴|AF|=2csin α，|AF'|=2ccos α， ∴2csin α+2ccos α=2a， ∴e===， 由于α∈，故α+∈， ∴<sin<1， ∴<<-1， 即离心率的取值范围是. 14.(5分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)虚轴的一个端点为D，直线x=3a与C交于A，B两点，若△ABD的垂心在C的一条渐近线上，则C的离心率为　　　　.  答案　 解析　如图，设△ABD的垂心为H，则有DH⊥AB， 不妨设D(0，b)， 因为H在渐近线y=x上，所以H(a，b)， 直线x=3a与C交于A，B两点， 所以-=1， 解得y=±2b， 不妨令A(3a，2b)，B(3a，-2b)， 又因为AD⊥BH， 所以kAD·kBH=·=-1， 整理得=， 所以e===. 15.过双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若|AF2|=|F2B|，则双曲线C的离心率是(　　) A. B.或 C. D.3 答案　B 解析　如图①，当=时，设∠F2OA=α，则∠AOB=2α，双曲线的渐近线方程为y=±x，所以tan α=，在Rt△OAF2中，tan α==，设|AF2|=bt，|OA|=at，t>0，因为|AF2|2+|OA|2=|OF2|2，所以(bt)2+(at)2=c2，又c2=a2+b2，所以t=1，所以|OA|=a，|OF2|=c，|AF2|=b，|BF2|=3b，则|AB|=4b，则tan 2α==，且tan 2α==. 所以=，结合c2=a2+b2， 得c2=a2，则e=. 如图②，当=时， 设∠F2OA=α，∠AOB=β，双曲线的左焦点为F1， 则∠F2OB=α+β，∠F1OB=π-(α+β)， 在Rt△OAF2中，tan α==， 设|AF2|=bt，|OA|=at，t>0， 因为|AF2|2+|OA|2=|OF2|2， 所以(bt)2+(at)2=c2， 又c2=a2+b2，所以t=1， 所以|OA|=a，|OF2|=c，|AF2|=b，|BF2|=3b， 则|AB|=2b，tan β==， 所以tan∠F1OB=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β) =-=-=， 又tan∠F1OB=tan∠F2OA， 则=，结合c2=a2+b2， 得c2=3a2，则e=. 综上所述，双曲线C的离心率为或. 16.(12分)如图，已知在梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线经过C，D，E三点，且以A，B为焦点.当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围. 解　设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)， 则离心率e=. 由题意可知CD⊥y轴. ∵双曲线经过C，D，且以A，B为焦点， 由双曲线的对称性知C，D关于y轴对称. 依题意，记A(-c，0)，C，E(x0，y0)， 其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高. 由定比分点坐标公式得x0=，y0=. ∵点C，E在双曲线上， ∴将点C的坐标代入双曲线方程得-=1， ① 将点E的坐标代入双曲线方程得-=1. ② 再将e=代入①得-=1， ∴=-1， ③ 将e=代入②， 得-=1. ④ 将③式代入④式， 整理得e2(1-λ)=1+2λ， ∴λ=1-. 由题设≤λ≤， 得≤1-≤， 解得≤e≤. ∴双曲线离心率的取值范围是[]. 学科网（北京）股份有限公司 $