精品解析：上海外国语大学附属外国语学校2021-2022学年高二上学期期中数学试题

上海外国语大学附属外国语学校2021-2022学年高二上期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为____________． 2. 某圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为____． 3. P是所在平面外一点，是点P在平面上的射影．若，则O是的________心． 4. 正方体的棱长为，是棱的中点，则异面直线与的距离为________. 5. 给出下列命题： ①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； ②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行； ③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. 其中所有正确命题的序号为___________. 6. 如图，在坡面与水平面所成二面角为的山坡上，有段直线型道路与坡脚成的角，这段路直通山顶，已知此山高米，若小李从沿着这条路上山，并且行进速度为每分钟30米，那么小李到达山顶需要的时间是_____分钟. 7. 如图是正四面体的平面展开图，、、分别为，，的中点，则在这个正四面体中，与所成角的大小为______.（结果用反三角函数值表示） 8. 已知正四棱锥的底面边长为2，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为1：4，若截去的小棱锥的侧棱长为2，则此棱台的表面积为______________. 9. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为、，过直线的平面截该圆柱所得的截面是正方形.底面圆的内接正三角形面积为，则该圆柱的表面积为__. 10. 已知正四棱锥的棱长都相等，侧棱、的中点分别为、，则截面与底面所成的二面角的正弦值是__. 11. 直三棱柱中，平面平面，且，则与平面所成的角的取值范围是__. 12. 如图，三棱柱中，，若，则三棱柱体积最大时，______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 设为空间中的四个不同点，则“中有三点在同一条直线上”是“在同一个平面上”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 在下列四个正方体中，能得出的是（ ） A. B. C. D. 15. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ） A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 斛 16. 如果底面是菱形的直棱柱（侧棱柱与底面垂直的棱柱）的所有棱长都相等，,分别为的中点，现有下列四个结论：①平面 ② ③平面④异面直线与所成的角为，其中正确结论的个数为 A 个 B. 个 C. 个 D. 个 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 如图，已知、两点分别是正方形边、的中点，交于点，垂直于所在平面．求证：⊥平面． 18. 如图，长方体中，，与底面所成的角为. （1）求长方体的体积； （2）求异面直线与所成角的大小. 19. 如图，已知点在圆柱底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求三棱锥体积； （2）求点到平面距离. 20. 如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元. （1）将圆柱高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？ 21. 如图，在四面体中，平面，，，．M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海外国语大学附属外国语学校2021-2022学年高二上期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知某圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形，则该圆柱的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱体积公式，结合侧面展开图的性质进行求解即可 【详解】因为圆柱的侧面展开图是边长为6的正方形， 所以该圆柱的底面圆的周长为6，因此半径为，而圆柱的高为6， 故该圆柱的体积为． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆柱体积公式的计算，考查了数学运算能力. 2. 某圆锥的底面积为，侧面积为，则该圆