吉林省长春市实验中学2026年高二数学暑假作业（5）

**基本信息** 以函数、概率、逻辑为核心，通过导数应用、概率公式、充要条件判断等方法体系，构建概念生成-原理推导-应用拓展的知识逻辑链，培养数学思维与表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|5（如2、7、15题）|分段函数单调性分析、导数求极值最值|函数性质→导数应用→实际问题转化| |概率统计|3（如8、9、18题）|分布列性质、全概率/贝叶斯公式|随机变量→期望方差→概率模型应用| |逻辑与命题|4（如4、5、6、12题）|充要条件定义法、命题否定规则|命题真假判断→条件关系推导→参数范围求解|

长春市实验中学2027届新高三数学暑假作业（5） 一、单选题 1．在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A大学有5个自己感兴趣的专业，B大学有6个自己感兴趣的专业，C大学有3个自己感兴趣的专业，这三个大学他感兴趣的专业各不相同，若他只能从这三个大学中选1个专业，则他的选择共有（   ） A．3种 B．14种 C．30种 D．90种 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 3．一个等腰三角形的周长为20，底边长是一腰长的函数，则（    ） A． B． C． D． 4．若：，：，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列命题错误的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．若等比数列公比为q，则“”是“为递增数列”的充要条件 C．在中，若“”，则“” D．命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题 6．已知命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在区间上的偶函数，当，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 8．随机变量X的概率分布为，其中a是常数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．甲､乙两名射击运动员在同样条件下进行射击比赛，甲、乙命中的环数分别是，的分布列如下表，下列结论正确的是（    ） X（环） 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2 Y（环） 8 9 10 P 0.3 0.4 0.3 A．两人的平均成绩一样 B．甲的平均成绩比乙高 C．甲发挥比乙稳定 D．乙发挥比甲稳定 10．设函数的定义域都为R，且是减函数，是增函数，则下列说法中正确的有（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 11．北京时间年月日凌晨，瑞典哥德堡田径室内赛展开多个项目角逐，在男子米比赛中，“中国飞人”苏炳添以秒夺冠，取得新赛季开门红．本站赛事是苏炳添的个人新赛季首秀，岁的他是名参赛者中年龄最大的选手，与他同场竞技的还有年出生的选手，这极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为、、．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知：，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 13．命题：“”的否定是__________． 14．函数，若，则的值等于_______． 四、解答题 15．已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 16．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 17．已知函数，. (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 19．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程. (2)讨论函数(a+1) f (x1) 的单调性； (3)设函数．证明：存在实数，使得曲线 关于直线对称. 《2026年6月24日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D B B C A B AC BD 题号 11 答案 AC 1．B 【详解】根据分类加法计数原理可得他的选择共有种. 2．A 【分析】去绝对值化简函数，再利用分段函数单调性列不等式即可 【详解】因为，所以，即， 故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查二次函数单调性，是基础题 3．D 【分析】结合等腰三角形性质可得，变形得关于表达式，再结合三角形三边性质确定自变量范围即可. 【详解】∵，∴. 由题意得解得. ∴. 故选：D. 4．B 【解析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】由不能推出，例如， 但必有， 所以：是：，的必要不充分条件. 故选：B. 5．B 【分析】对于A:用配方法解一元二次方程即可判断； 对于B：列举特殊数列-1，-2，-4，-8……作为反例否定结论； 对于C:根据大边对大角及正弦定理即可判断； 对于D:先写出原命题的逆命题，再利用判别式解得m的范围，即可判断. 【详解】对于A:由，∴A正确； 对于B：数列-1，-2，-4，-8……是公比的数列，但是是递减数列，故B错误； 对于C: 在中，根据大边对大角，；又有正弦定理得：,所以，即若“”，则“”，故C正确； 对于D：命题“若，则方程有实根”的逆命题是“若方程有实根，则”， ∵方程有实根，∴，解得：，故D正确. 故选:B 【点睛】（1）要说明一个命题为真命题，需要严格证明；要说明一个命题为假命题，只需要举一个反例就可以了； （2）判断充要条件的四种方法：①定义法；②传递性法；③集合法；④等价命题法. 6．C 【分析】由命题为假得到其否定为真，分离参数得到，由函数单调性的定义判断函数在上的单调性，从而得到最小值，得到的取值范围. 【详解】因为命题为假命题， 所以命题为真命题， 由得恒成立， 所以， 设，，， 因为，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 7．A 【详解】试题分析：偶函数在上是减函数，∴其在上是增函数，由此可以得出，自变量的绝对值越小，函数值越大，∴不等式可以变为，解得，故选A． 考点：函数的奇偶性与单调性. 8．B 【分析】由分布列的性质求出，再由均值的公式即可求出答案. 【详解】，∵， ∴，解得， 则， ∴． 故选：B 9．AC 【分析】根据给定的分布列，求出的期望、方差，再比较并判断作答. 【详解】依题意，，，， ，， 显然，A正确，B不正确；，甲发挥比乙稳定，C正确，D不正确. 故选：AC 10．BD 【分析】根据单调性的性质即可根据选项逐一求解. 【详解】对于A;如 故不一定为增函数，故A错误， 对于B;是增函数,则为减函数，又是减函数，故为减函数，故B正确， 对于C;如不满足增函数，故C错误， 对于D;由于是增函数,且,所以且单调递减，又为减函数，故为减函数，故D正确 故选：BD 11．AC 【分析】求出、、的表达式，利用基本不等式可判断AB选项，根据、、的表达式可验证CD选项. 【详解】对于甲，因为甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑， 则，所以． 对于乙，全程以速度奔跑，则， 对于丙，丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，则． 由基本不等式可得，， 所以，，当且仅当时等号全部成立， 故，故A选项正确，B选项错误； ，故C选项正确；， 当且仅当时等号成立，故D选项错误． 故选：AC． 12． 【分析】解一元二次不等式求得为真命题时的取值范围.由此根据必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由解得.由得.由于是的一个必要不充分条件，即是的必要不充分条件，所以，解得 故答案为：. 【点睛】本小题主要考查根据必要不充分条件求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 13． 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可写出命题的否定. 【详解】命题：“”的否定是:. 故答案为： 14． 【分析】对函数进行求导，把代入导函数中，化简即可求出的值. 【详解】函数    . 故答案为：. 15．(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 16．(1)当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 (2) 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 17．答案：(1) (2) 解：（1）若不等式的解集为， 即1，2是关于的方程的两个根， 则，即， 则，由得， 即，得，解得或， 即不等式的解集为． （2）不等式对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 令，， 则， 令，解得， 当时，当时时 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 故，所以． 18．(1)； (2)； (3)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用全概率公式整合不同生产线的次品率，计算整体次品概率； （2）利用贝叶斯公式，结合全概率结果计算次品来自甲生产线的条件概率； （3）通过二项分布的相邻概率比值分析，确定使最大的的取值范围，进而得到最值. 【详解】（1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. （2）由贝叶斯公式，. （3）由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 19．(1)； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，，和四种情况，解不等式，求出函数单调性； （3）先求函数定义域，根据定义域的对称性得到，再求出，证明出结论. 【详解】（1），， 又， 故在处的切线方程为， 即； （2），定义域为， ， 当时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得或，令得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3）证明：函数， 函数的定义域为． 若存在，使得曲线关于直线对称， 则关于直线对称，所以 由 ． 可知曲线关于直线对称． 【点睛】结论点睛：函数的对称性： 若，则函数关于中心对称， 若，则函数关于对称， 答案第14页，共15页 答案第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $