创新综合训练1-2027届高三数学一轮复习

创新综合训练 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.若函数f(x)满足f(x)=f”(x)在其定义域内恒成立，则称f(x)为“n级导同函数”，对“n 级导同函数”f(x)有如下两个命题，则() 命题①：f(x)为奇函数的充要条件为'(x)为偶函数 命题②：若f(x)经过一二象限，则f(x)一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A.①②都正确B.①②都错误C.①正确，②错误D.①错误，②正确 2.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科如图，球O的半径为R,A,B,C 为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a,设O。表示以O为圆心，且过B,C的圆，同理，圆 O,,O.的劣弧AC,AB的弧长分别记为b,c,曲面ABC(阴影部分)叫做曲面三角形，a=b=c, 则称其为曲面等边三角形，线段OA,OB,OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥， 记为球面O-ABC.设∠BOC=a,∠AOC=B,∠AOB=y,则下列结论正确的个数是 () b a, ①若平面△4BC是面积为5R的等边三角形，则a=b-c=R 4 ②若a2+b2=c2,则2+B2=y2 国若a=b=c-雪R,则球面0-A8C的体积r,5R 12 ④若平面aABC为直角三角形，且∠ACB=子则d+公-c A.1 B.2 C.3 D.4 3.对于无穷数列{a}和正整数k(k之2)，若存在h,乃，，x满足<h<<且 试卷第1页，共6页 凸===，则称数列红，}具有性质￡.给出以下两个命题： nn n. ①存在数列{a}和也n},使得{a}和也}均不具有性质乃，且{a+b}具有性质26： ②若数列{a}和也n}均具有性质B26,则{a+bn}具有性质乃6； 则下列判断正确的是() A.①为真命题，②为假命题 B.①为假命题，②为真命题 C.①与②均为真命题 D.①与②均为假命题 4.命题卫：已知{b,m}为无穷数列，对于任意正整数m,若令首项4=b,m,由递推式41=4-1 生成的数列{4}，最终都会从某一项起变为同一个常数. 命题4：4且物，}的公差为d=1: 命题42：数列{bm}的通项公式为b,m=sin. 则下列说法正确的是(). A.4、9都是P的充分条件 B.只有4是P的充分条件 C.只有92是P的充分条件 D.4、4都不是P的充分条件 5.设数列{a}的前n项的和为Sn,若对任意的n∈N,都有Sn<awH,则称数列{a}为攀 登数列”.有下列命题： ①存在递增数列{4}，使得它是“攀登数列'： ②存在周期数列{a},使得它是“攀登数列”： ③存在等差数列{a},使得它是攀登数列”： ④若数列{a}为公比为q的等比数列，对于任意q∈ 1-5。 、2 ,0,存在a1,使得{a}为攀登 数列 其中所有正确命题的序号是() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 6.己知函数f(x)=snr+nx,将f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列 试卷第2页，共6页 {x},对于任意的正整数k,则四个命题成立是() ①x1-<π；②.x-1是极大值点：③xk1-k-1<2π；④f(3+H)>f(3k1): A.①②： B.②③④： c.①③： D.③④： 二、填空题 7.在以点(3,2)为圆心，2为半径的圆上取任意一点P(x,y),若3x+4y+d+6-3x-4y的 取值与x,y无关，则实数a的取值范围是 8.如图，△ABC的顶点C∈平面a,点A,B在平面&的同一侧，且AC=2√2，BC=2.若 AC,BC与平面a所成的角分别为：，则aABC的面积的取值范围为 9.球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣 弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），己知PQ为球O的直径，点M,N在球 面上，且△PMN是等边三角形，若球O体积的大小与表面积的大小相同，且 P0·(PM+PW)=18,则M,N两点的球面距离为 10.在n维空间中(n≥2，n∈N),以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐 标(4，a,,a),其中4∈{0,1}(1≤i≤n,ieN).定义：在n维空间中的两点(a,a,,a)与 (么，b2,…,b)的曼哈顿距离为4-b+凸-b,+…+4.-b,若在6维空间立方体”中任取两 个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E(X)=一· 11.学生的考试成绩往往与上一门考试的情况有直接联系，某校分析了学生的考试情况，用 频率估计概率，得到：学生第一门考好与考差的概率都是}，从第二门考试起，若前一门考 金，则这一门出现考差、考好的概率分别为}，子，若前一门出现考好，则这一门出现考差 考好的解率分别为子，则该校学生某次考试第五门考差的平均概率为 (精确 试卷第3页，共6页 到0.001) 12.若数列b}满足b+2+bn≥2b.+H(n∈N,当且仅当n为奇数时取“=”)，么=2，b=5, b∈N,若b=2026,则正整数k的最大值为 13.球O是一个半径为1的球，其大圆O上有一个内接正二十四边形乃…4，A是球 面上一点，B是正二十四边形BBP3乃4边上一点，A,B均不与P(1≤i≤24，i∈N)重合， 24 记4=1AP,4=B2,则2(a+b)的取值范围是 i=1 14.己知平面上两点A,B距离为2，P为平面上任一点，动点C,(i=1,2)均满足 PC+PA.PB=PAPC+PB.PC,则ACBC,的最大值是 15.正三棱锥P-ABC中，底面边长AB=2,侧棱PA=3,向量a,b满足 a:(a+AC)=a:AB,方.(6+AC)=万.AP,则a-的取值范围为 16.若对任意的0eR,总存在x∈ +0，m+日 3 使得si≤5，则m的取值范围是 2 17.已知随机变量X,Y相互独立，且X服从N(3,3),Y服从B(6,0.5),若Z=X+Y,则 2Pz≤= 18.设b∈R,若存在p∈R使得4cosx-cos(4x+p)≤b对x∈R恒成立，则实数b的最小值 为 19.已知k∈R,存在0eR,当x∈(0，+oo)时，都有cos8(x-k)+sin6(lnr-1+k)<0,则k 的取值范围是 20.己知在△4BC中，AB=6AC=2,且2AB+(3-3)AC(2∈R)的最小值为35，若 P为边AB上任意一点，则PBPC的最小值为 21.将数列4，中随机剔除两项4、a,(其中1≤i<j≤h,i,j∈N)然后在原数列中添加一项 4+口+44叫做数列4，的一次变换，那么数列1，，LL经过2025次变换后数 2'32025’2026 列中还剩下的一项为 22.已知函数y=f(x)的定义域为R.若非空集合I满足：对于任意x∈R,任意k∈I(k≠0， 试卷第4页，共6页 有周 则称函数y=f(x)为伸缩增函数，其中[x]表示不超过x的最大整数， 若函数y=f(x)在区间+∞)上为增函数是“函数y=f(x)为(0,4伸缩增函数”的必要条件，则 t的最小值= 23.己知△ABC的内角A,B,C对边分别为a,b,c,h是AB边上的高，若a+b=c+h, 则sinC的最小值为. 三、解答题 24.己知函数f(x)=n(1+x)+x-asinx,a>0. (1)若函数f(x)在(-1,0)单调增，求实数a的取值范围： 回当(-时，f)0,求实数a的值： (3)求证： n+l n 25.若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中n∈N,n≥1），则称l为曲线C的Tn 切线”. (1)若曲线y=f(x)在点(1，-2)处的切线为工-切线，另一个公共点的坐标为(3,4)，求'(1) 的值： (2)求曲线y=x3-3x2所有T-切线的方程； )设f)-x+sim,是否存在1c0引，使得卧线y=f)在点cf0)处的切线为g 切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由。 26.定义：设函数y=f(x)在定义域R上可导，若曲线y=f(x)上存在三个不同的点 A(:,f(3),B(化，f(),C(s,f()(3<x<x),使得直线AC与曲线y=f(x)在点B 处的切线平行或重合，且x,x2,x3成等比数列，则称∫(x)为“等比函数”. (1)试判断f(x)=x3-9x2是否为等比函数”并说明理由 (2)求证：任意二次函数都不是“等比函数” (3)若a∈[0,1]UZ,幂函数f(x)=x是等比函数”，求：a的取值范围 试卷第5页，共6页 27.设函数f(x)的定义域为R,若对任意实数x,恒有f(f(x)+f(x)=2x成立，则称函 数具有“性质2”. (1)若一次函数f(x)=ax+b具有性质2，其中a>0,求实数a,b的值： (2)若函数f(x)具有性质2，且f(x)在R上严格增，证明：f(x)=x: (3)若具有性质2的函数∫(x)满足：存在常数M>0,使得对任意x∈R,都有 f(x)-x≤M.证明：具有该性质的函数f(x)是唯一的，并写出其解析式. 试卷第6页，共6页 《创新综合训练》参考答案 题号 1 2 4 5 6 答案 B B B B 1.A 【分析】首先利用导数的知识求出f(x)的表达式，然后结合表达式判断两个命题的真假. 【详解】f(x)为n级导同函数”，即f(x)=f(x), 若f(x)=0,则f'(x)=0,满足f(x)=f'(x), 若f(田≠0，则n≠0， f元m0=京+CY供中C是常数， ")-1 所以fx=Ce(其中C=e5为常数)，f)=士ce, 所以f(x)=士Ce(C>0)或f()=0. 命题①，充分性：f'(x)为偶函数， 若=Ce,则了m=±Se,)既不是奇函数，也不是偶两数， 所以若f"x)为偶函数，则必有f(x)=0,而f(x)=0是奇函数，充分性满足： 必要性：f()为奇函数，fx)=士Cei无奇偶性，则f)=0,因此f()=0是偶函数，必 要性满足 所以命题①正确： 命题②，若f(x)经过一二象限，则f(x)=Ce(C>0), 由于C>0且e点>0，故fx)恒为正，其图像只经过第一、二象限： 同时，当≠0时，f(x)为单调函数，故不具有周期性，所以命题②正确， 2.B 【详解】球O的半径为R,A,B,C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a,劣弧AC,AB的 弧长分别记为b,c, 记为球面O-ABC,设∠BOC=L,∠AOC=B,∠AOB=y, 若平面△MBC是面积为5R的等边三角形， 4 则AB=BC=AC=R,则a=P=7=牙，a=b=c=R,故①不正确： 若a2+b2=c2,则(aR)+(BR)2=(yR)},则a2+B=y2,故②正确： 答案第1页，共26页 若a=b=c=R,则a=P=7=X,ABBC=AC=R, 3 1R√3R 则平面△ABC的外接圆半径为2n三了， 则O到平面ABC的距离 R 3 1 则三棱锥0-ABC的体积o®c-3S.知ch= R, 12 则球面0-ABC的体积V>o-c R,故③正确： 12 BC2=2R2-2R'cosa, 由余弦定理可知 AC2=2R2-2R'cosB, AB2=2R2-2R'cosy, 因为C=乃 所以BC2+AC2=AB2,则c0sa+cosB-cosy=1, 7-子则a=b-背，c-, 取a=B=亚 3 2 则a+B=2元R<R=c2,放@不正确 9 4 3.A 【分析】对于①，取a=,b=-n+n利用性质B的定义判断即可；对于②，取 n,n为奇数 n+1,n为奇数 d= (n+1为偶数’及= ,内偶数，再利用性质A的定义判断即可。 【详解】对于①，取a=i,因为a,=i,则鸟-n,由于M,乃是2个不同的正整数， 4,8=不可能相等，故数列{和}不具有性质B， 因此8=4,9 取b=-+n,则=-n+1,由于4，是2个不同的正整数， 因此名。-4+1总。-+1不可能相等，故数列}不具有性质乃， 则a,+h=n,即马+也=1， n 故任取乃，乃，，n026为2026个不同的正整数， 答案第2页，共26页 有+=8+6==+b=1,则数列{a,+b}具有性质Pms,故O正确： 12026 n,n为奇数 [n+l,n为奇数 对于②，取a= (n+l,n为偶数’ b.= n,n为偶数 则当n为奇数时， =1,故取M,h,,乃26为2026个不同的奇数，此时 n :-=1，故数列a,}具有性质B h乃 1h026 当n为偶数时， 么=1，故取4，h,,乃s为2026个不同的偶数， 此时。是=1，放数别私，}其有性质马： nn 1L026 2+。=2n+1,即0十么三2+由于4，，，6为2026个不同的正整爱 则凸+凸=2+1,0+=2+1，，+=2+1不可能相等， h’h 2026 1026 此时数列{a+b}不具有性质o26,故②错误。 综上，①为真命题，②为假命题， 4.B 【分析】结合递推关系及充分条件的定义，结合特殊值法判断即可 【详解】对于首项4=bm,由递推式41=4.-1生成的数列{a},最终都会从某一项起变 为同一个常数， 若数列员华为带数，则长-1小，游得大=子即员终税定为宁 命藏4：乌号且么}的公差为-1，所以a=+(m-)1=m+分 取m=2,则-则a-马 5 13 212 4}行a卡号从a起恒为 取任意正整数L,4=b。=m 2 递推过程中数值会逐渐减小，最终都会到达号并保持， 所以4→卫，4是卫的充分条件 答案第3页，共26页 命影4：么-m,对m=-1,么=sm1t分，且0<nl1, 递推得4=sinl,a,=sinl-1=1-sinl, a=(1-sin1)-1=sinl,a=sin1-1=1-sin1,... 数列在sinl和1-sinl之间循环，不会稳定为同一常数， 不满足命题P,所以92推不出P,q2不是P的充分条件. 综上，只有4是P的充分条件. 5.B 【分析】可通过列举数列判断①②，对于③，求出S,41,作差后，分类讨论公差的d的 3种情况来判断；对于④，求出S,a+1,作差后对n分奇偶分析即可确定. 【详解】对于①，当a=3-1时，满足{a}为递增数列， 而3=1-3”3”1 1-322 ，qH=3, 则S,-a=22 313”三-2-5<0，即8n<a, 因此，存在递增数列{a},使得它是“攀登数列”，故①正确： 对于②，当周期数列{4}为-2，-1，-2，-1，-2-1，…时，周期为2， 对任意的neN,都有S,<a, 因此，存在周期数列{4}，使得它是“攀登数列'，故②正确： 对于©，设等差数列a}的公差为d,则S.=m+u0”d,a4=4+d, 2 要使数列{}为攀登数列'， 测S-&=+01-d-a-a+&-an-4<0,对任意的ueN恒成立 2 2 当d>0时，侧=r+4n-a是开口向上的=次商藏 3, 2 当n→+o时，f(n)→+oo,故不符合题意； 当d=0时，S=4=4,不符合题意； 当d<0时，S=4>4,不符合题意。 答案第4页，共26页 综上所述，不存在等差数列{4}，使得它是“攀登数列”，故③错误； 对于④，由于等比数列{a}的公比为9，。 则3=91- 1-q ,4+1=41q”, 所以Sn-a+1= 0-4-ag-g-2g+ 1-4 1- 当n为奇数时，由于q∈ 则d+-2q”+1>0,1-q>0, 要使S,-4+1<0,则需使A<0,即符合题意： 当n为偶数时，由于q∈ 则q”H-2q”+1≥q-2q+1(*), 因q-2q+1=q-1-2(q2-1)=(g-1)(g+q+1)-2(q-1)(q+1)=(q-1)(q-q-1), 随于方程-4-10的龈为a5，,而g2之，0则gg-1<0, 2 而q-1<0,则由(*)可得q1-2q”+1≥(q-1)(q-q-1)>0, 又1-q>0,要使S,-a+1<0,需使4<0，即符合题意. 综上所述，存在4<0，对于任意q∈ 1-5.0, 使得{4}为攀登数列，故④正确. 2 6.B 【分析】本题考查利用导数研究函数极值点、三角函数与反比例函数的图象性质、数列的单 调性判断，重难点为函数极值点的判定、交点横坐标的大小关系推导及函数值的变化分析. 【详解】f(x)=sinr+lhr的定义域为(0，+o),且f'(x)=cosx+二 令f'(x)=0,得cosx=-1(x>0), y=osx与y=一>0)的图象如图所示， 答案第5页，共26页 对于①，由图可得石<6<3领，5西<5<3玩，则3江<-，<-元， 22 2 所以π<x-x2<2π，故①错误。 对于②，由图可得x2-1是极大值点，故②正确. 对于回，0s31=-1 而1、-1 X2k X2k-1 X2k X2k-1 当时，6-无=2， X2k+1X2k-1 1>-1 所以由了1 ，可得x2kH-X2k-1<2π，故③正确。 对于@由图可得5层小（经对(r吾必- 即(2x2不小，所以sn>0, 1 因为C0sX2k-1=- ,所以sink-1= X2k-1 X2k-1 1 所以f(-）=sin-1+lh1=hx2k-1+h- 易知∫(x2-1)关于x-1单调递增，且{xk-1}为递增数列， 所以f(x-1)为单调递增函数，则f(x2+)>f(x2-1),故④正确. 7.（←0，-27] 【分析】先将z转化为点P到两直线距离之和的5倍，根据z取值与x,y无关得出距离和与P 位置无关，再由圆心到直线1距离判断圆与直线l相离，最后根据直线与圆相切求出α的 值并确定a的取值范围， 【详解】由己知可得P(x,y)所在的圆的方程为(x-3)+(y-2)2=4, 设z=Bx+4y+d小+l6-3x-4圳=5Bx+4w+d+ 3x+4y-6 、32+42 V32+4 答案第6页，共26页 故z可看作点P到直线：3x+4y+a=0与直线l:3.x+4y-6=0 距离之和的5倍， 因为3x+4y+d+6-3x-4y的取值与x,y无关， 所以这个距离之和与P点在圆上的位置无关， m m 圆心(3,2)到直线1的距离为 ×3+4x2-6_1>2, √32+4 5 所以圆与直线1相离，如图所示，可知直线平移时， P点与直线，1的距离之和均为直线，1之间的距离，此时可得圆在两直线之间， 当直线m与圆(x-3)2+(y-2)2=4相切时， 3×3+4×2+d=2,解得a=-7(舍去.或a=-27,所以a≤-27. V32+42 故答案为：（-0，-27] 8.「V3-1,5+1 【分析】由题意，点A,B分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线AC,BC与轴1 在同一平面内时，三角形面积可取最大最小值。 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面α， 因为AC,BC与平面¤所成的角分别为餐？，则点AB分别在如图所示的两个不同的圆周上 运动，当直线AC,BC与轴I在同一平面内时，△ABC的面积可取最大最小值， 答案第7页，共26页 于是，有香名s4C8后即品sc 46 12 12 所以m言snA0ss各.尉6,5 ACUz6,E 12 4 4 所以6MBC的面积为S-号4CBCs血∠4CB=2W5s血∠4CB, 所以√3-1≤S≤V3+1, 故答案为：[V3-1,V3+]. 9.π 【分析】先求出球的半径，再利用向量条件求出等边三角形△PMN的边长长度，最后利用 几何关系求解。 【详解】根据球的体积与表面积相等4R2=4πR',则球的半径R=3,设aPMN的边长为 3 a, 则PM=PN=MN=a,又因PO·(PM+PW)=l8,设线段MN的中点为E, 则PE⊥MN根据向量加法的平行四边形法则，有PM+P=2PE,则PO·PE=9, 连接OM,ON,OP,O0,所以OM=ON=OP=O0=3,因为O为PQ的中点， 则PQ=00-OP=-20P,同时PE=OE-0P, 则0亚0P(@0列9，解得0.0：}， 又因OM=ON=R,所以△OMN为等腰三角形，故OE⊥N,且PE⊥MN, PB和OE相交于B,所以N⊥面PBO,在APN的边长为a,PB=5a,MB=a, 2 因为RtOME,故O=OE+ME,即3=OB+月， 解得OB2=9- (9,代入0m0死-号 得OP.oE=os∠POB=3 xcos∠P0E=9 2 则Olo∠P0B-多，因为i-O死-OP, 所以p2=oE-oPP=OEP+oPP-20正.oP, 4 答案第8页，共26页 故a2=9,a=3. 因为N=a=3,PM=ON=R=3,所以△ON为等边三角形， 所以球心角∠MON-60-行则4N的距离为1=Rx日-3x胥r 3 M N 10. 64 【分析】由离散型随机变量的分布列步骤，数学期望公式即可求解。 【详解】对于X=k(1≤k≤6，k∈Z)的随机变量，在坐标(4，a,4,…,)与（亿，b,b,,b) 中有k个坐标值不同，剩下(6-k)个坐标相同，此时对应情况数有C。·2种，所以 P(x=)-C宁2-C监 C29-1' 则X的分布列为： X 1 2 6 器 品 C 2°-1 所以0号+器 6.Cg kCk=k. n! (n-1! +.+ 26-1 l(n-k)=n (化-10a-产nC, )2e+c-c++c 6.219264 26-16321 故答案为： 64 11.0.474 【分析】设第a门考差的率是公，为只分利用全概率公式求得儿与几：的关系，结合 等比数列的通项公式求得n,令n=5计算即得. 【详解】设A=“第n-1门考差”，A2=“第n-1门考好”，B=“第n门考差”， 4)-B,4)1-,®)=2，PrBA0-3PB4)-R- 答案第9页，共26页 由全概率公式得D=P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A) 所以及=+0-2.乃=+号 9191 所以积吕是等比数列，首项是8公比是 91 44≈0.474. 1 12.85 【分析】根据数列{b}满足的不等关系，推出数列bn}的单调性，将问题转化为：数列bn} 增长速度最慢时，根据b.=2026,求k的值即可. 【详解】因为b+2+b,n≥2bn+1,则b,+2-b+H≥b+H-b.,（neN,当且仅当n为奇数时取 6=”), 又b-b=3,所以数列{bn}为递增数列. 问题转化为：数列}增长速度最慢时，由b=2026,求k的值. 设4=b+1-b.,则4=b2-b=5-2=3: 当n=1时，b-b=b-b=3,所以4=3： 当n=2时，b-b>b-b2=3,又b∈N,所以4=4： 当n=3时，b-b4=b4-b=4,所以a4=4: 当n=4时，b。-b>b-b4=4,又bn∈N,所以a=5: 当n=5时，b-b。=b。-b=5,所以4=5； 归纳得：当”为奇数时，《”；当？为偶数时，4，-”片4. 21 又b.=(b.-b-1)+(b-1-b-2)+…+(b-b)+(b2-b)+b=a-1+4-2+4+4+2. 若k=2n-1(neN*）, 答案第10页，共26页 由2+4+a++am2=2+2[3+4++0u+1明=2+2x0-1+=r+3m-2, 2 即b2-1=n+3n-2; 若k=2n(n∈N), 由 2+4+a++a3+41=2+2+4++1++2=2+2x@-1++a+2)=f44n 2 即bn=n2+4n. 此时65=432+3×43-2=1976，b6=432+4×43=2021,b7=442+3×44-2=2066, 又2021<2026<2066，所以数列色n}应该是在第85项之后，突然改变增长速度，使得 66=2026。 故k的最大值为86， 13.「48+36+32,60) 【分析】首先建立坐标系与几何模型，根据题给条件分析4，和b的表达式，根据数量积的运 24 24 算律计算出∑4和∑h,再根据半角公式算出结果。 i=1 【详解】设球心O为坐标原点(0,0,0)，正二十四边形所在平面为y平面， 点(i=1,2,24)都在单位圆上，即0=1. 点A是球面上一点，所以OA=1,点B是正二十四边形上一点，所以OB<1· 已知g4,=09-01, 则A=(o2-0A=o+oA-209.0A=2-202.oA, 4-g1o0,京a04am丽 2 又因为乃4是正二十四边形且内接于以O为圆心的圆，其顶点的向量和为零向量， 4 o丽0，故o42o9=p i= 2 即4=12 答案第11页，共26页 BP=(O2-0B)2=OB+1-202.0B, 故4=24(0@+)-20丽2o9,同理2oP-0,即oB20=0, 故兑=2400+D, 当点B位于正二十四边形B乃4边上（非顶点）时，OB最小值为中心到边的距离， 趋近于顶点时，OB最大值趋近于1. 故0oeco4,则or 46 4622224 由半角公式可得o心无1c0正_4针6+互 242 8 则∑(a+b)∈「48+3W6+3W2,60): 【分析】依题意建系，设C(x,),由P℃-(PA+PB)PC,+PAPB=0推得C的轨迹方程 x2+y2=1,设C1(cosa,sina),C2(cosB,sinB),求出 AC·BC=(cosa+1)cosB+sinasinB-cosa-l,将其看成关于角B的函数，可得 (4C·BC)nr=1+cosa+sina-cosa-1,化简得t(aC·BC)m=2cos2 -2cos2 2 2 设1人@[0小，换元化成-次高流，求其0大值即可得解 【详解】如图以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则A(-1,0),B(1,0),设C(x,y) 由PC+PAPB=PA.PC+PB.PC可得PC-(PA+PBPC+PAPB=0, 整理得(PC-PA(PC-PB)=0,即ACBC=0, 又AC=(x+1,y),BC,=(x-1,y),则(x+1)(x-1)+y2=0,即x2+y2=1, 故动点C在以AB为直径的单位圆上，其轨迹方程为x2+y2=1, 不妨设C1(cosu,sina),C2(cosB,sinB),则AC=(cosu+l,sina),BC,=(cosB-1,sinB), 答案第12页，共26页 ACBC.=(cosa+1)(cosp-1)+sinasing cosacosB-cosa+cosB-1+sinasinB =(cosa+1)cosB+sinasing-cosa-1, 将上式看成关于角B的函数， 则可得(4G·BC)=V1+cos°+sina-cosa-1 &-ou别4cac=--24号 故当t时，即cos号=+时，(aGG)m号 2 C B 15.[0,4] 【分析】利用向量运算化简变形，设a=CM,b=CN,将向量等式转化为两动点轨迹均为球 面，再利用球心距求两球面上任意两点间距离的最值即可. 【详解】已知正三棱锥P-ABC,则AP=BP=CP=3,且AB=BC=CA=2, 由a(a+Ac=a:AB化简得a=a.CB, 由五（石+AC)=万.A亚化简得6=b.Cp 设a=CM,i=CcN,代入&=a.CB,i=b.Cp, 分别化简得MC.MB=0,且NC.=0, 故点M在以BC为直径的球面上，半径6-号BC=1: 点N在以C为直径的球面上.半格5CP=月 2 分别取线段BC、PC的中点E、F, 答案第13页，共26页 0 则B歌BP=子，显然这两球相交： 故a-孔.=.=E++5-1 24, la-万=Nan=0, 故a-的取值范围为[0,4]， 16 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于x的命题P:对任意的O∈R,总存在x∈ +，m+6 3 使得sinys5 其否定为卫：存在BeR,x∈ 3+8m+0,使得imx> 2 若p为真，由sin>5,得5+2x 2元+2m,k∈Z, 则后40m0(g+a5】 所以t0 写+2a且m+8<2+2a, 3 所以m+2<m+0<+2,得m< 3 由上，老P为真、则加：号，即加的取值国 「2π 1n号 【分析】根据正态分布的对称性、二项分布及组合数的性质得X与6-X同分布，Y与6-Y 同分布，进而有Z=X+Y与12-Z=(6-X)+(6-)同分布，得P(Z≤)=P(Z≥12-)，利 用对称性求概率和 【详解】由X~N(3,3),则X与6-X同分布， 答案第14页，共26页 r-8ao5,则Pw-c9合c周 显然P(Y=k)=P(Y=6-k),即Y与6-Y同分布， 随机变量X,Y相互独立，所以Z=X+Y与12-Z=(6-X)+(6-)同分布， 则P(Z≤)=P(12-Z≤)=P(Z≥12-)，即Z=X+Y的概率分布关于Z=6对称， 其中X为连续性随机变量，则Z=X+Y为连续型随机变量，故 P(Z≤i)+P(Z≤12-i)=P(Z≥12-i)+P(Z≤12-)=1， 所以∑P(Z≤i)=P(Z≤1)+P(Z≤11)+.+P(Z≤5)+P(Z≤7)+P(Z≤6) 1-1 -5x1+111 2-2 18.5v5+5 4 【分析】先考虑p=0,π时b的范围，对于p∈(0，π)时，可利用存在ye[a-8,a+]使得 c0sy≤c0s0,结合特值法求得b≥5V5+5,从而可得b的最小值 4 【详解】记h(x)=4cosx-cos(4x+p), 因为h(x+2π)=4cos(x+2)-cos(4x+8π+p)=h(x), 故h(x)为周期函数且周期为2π，故只需讨论x∈[0,2，p∈[0，π]的情况. 当p=兀时，h(x)=4cosx-cos(4x+π)=4cosx+cos4x≤5， 当p=0时，(x)=4cosx-cos4x, 此时k(x)=-4six+4sin4x=8cos5sin3x 2 n2xe(02m), 令h(=0,则x=亚，2,3元4r7m9 535, 3’5’5 ,h(=-5, 3 5 4 A0)=hM2m=3,故)x=hC5=h=N5+5, 4 当p∈(0，兀)，先证：给定8e(0,和a∈R,证明：存在y∈[a-B,a+]使得cosy≤cosB; 由余弦函数的性质得cosx≤cos0的解为[2阮+6,2π+2L-],k∈Z, 答案第15页，共26页 若任意[2km+0,2kr+2π-6]l,k∈Z与[a-6,a+0]交集为空， 则a-0>2m+2π-0且a+0<2m+2π+0，此时a无解，矛盾，故无解； 故存在k∈Z,使得[2m-6,2km+6](a-6,a+8)≠0， 在上面结论中取p=a,则存在y∈[p-0,p+],使得cosy≤cosB, 取g=,则c≤cs4-5+1,限=9∈ 44’4] 即x=y9∈「江 5 4 455 故4cosr≥4y5+1,故4 cosx-cos(4x+0列≥4cos 5cos155+5 54 综上D≥55+5，可取x=行，”=0使得等号成立 4 综上，b-5545 4 19.(-0,1) 【分析】令P(cos0,sin0),Q(t,ln(t+k)-1+k),得Op.Oo=tcos0+sin0(1n(t+k)-1+k)<0, 故点P在圆心为原点的单位圆上，点Q在曲线f(t)=h(t+k)-1+k上，转化为向量OP与 页的夹角大于受，利用数形结合即可解出 【详解】令x-k=t∈(-k,+o),故x=t+k,故原不等式可化为： tcos0+sine(In(+)-1+<0, P(cose,sine),2(1,In(t+k)-1+),OP.o0=icos0+sine(In(t+k)-1+k<0, 故点P在圆心为原点的单位圆上，点2在曲线f(t)=(t+k)-1+k上， 作出大致图象如下： 故不等式的几何意义是：向量O丽与0@的夹角大于号， 设m(x)=nx-x+1, 答案第16页，共26页 则当x>1时，m(x)=1-1<0,m(x)单调递减，当0<x<1时，m(w)>0,m(x)单调递增， 故当m(x)≤m(1)=0,故hx≤x-1,当且仅当x=1时取等号，故x≥1+lnx, 故k=1时，函数f(t)与直线y=t恰好相切，切点为原点， 易知存在0eR,在k<1时使得tcos8+sinn(t+k)-1+k)<0恒成立， 当k≥1时，不存在一个给定的0eR,使得tcos8+sine(n(t+k)-1+k)<0恒成立， 综上，k的取值范围是(-0,1). 故答案为：（-0,1). 【点砖】有结论点暗：常月的不等式<m0<引，h6以a0, nx≤x-1≤x2-x(x>0),e≥x+1,e*≥ex>x(x>0),e*>x2(x>0) 20.-25 4 【分析】利用向量的平方求模，借助二次函数求最小值，然后可求得角A,再由余弦定理求 边，由正弦定理求角，再进行向量的数量积运算可求得最小值， 【详解】设∠A=0,对2AB+(3-3)AC平方得： 2AB+(3-32)AC=362+(3-3n}×4+2(3-32)1×2×6×c0s日 =7212+36-721+72c0s01-72c0s02 =(72-72cos0)22+(72c0s6-72)2+36=(72-72cos0)(22-2)+36, 由于0∈(0，π)，72-72cos0>0, eR,所以当-时，2+(6-3ad取到最小值(3=27， 即-2-72co96)+36=27→cos0=2 因为8∈(0，)，所以∠A=日=亚 3 由余弦定理可得：BC2=36+4-2×6×2×c0s60°=28→BC=27, 取BC中点为T,则 丽元（所+西）（所+）(7+)（所-到示万-可-（同-1 答案第17页，共26页 因为P为边AB上任意一点，则TP的最小值为点T到AB的距离， 22√7 3 再由正弦定理可得： sinB sin60° →sinB= 2√7 所以。r如万源，即秀元的录小省为 3)3 2 7-25 4 21.2026 【分析】根据变换的特点，构造一个新的乘积式：(1+4)1+4)=1+4+4+4,4，正好是1+ 新添加的项求解 【详解】题目中一次变换是：删除两项4、4，添加4+4，+44， 观察这个变换的特点，构造一个新的乘积式：(1+4)1+a)=1+a+a,+44, 这正好是1+新添加的项， 也就是说，整个数列所有项的(1+4)的乘积在变换前后是不变的。 原数列是11,1 11 2320252026 共2026项， 初始乘积为： 0}器m 每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026项，经过2025次变换后， 数列只剩1项，设为x,根据不变量，有：1+x=2027, 解得x=2026, 故答案为：2026 2025 【分析】根据题意先说明1=上符合题意，再说明t<}不符合题意，即可求得的最小值， 1 【详解】我们首先说明：1=}符合思意 4 当1时，我们证明：对于任意5<4-5<子，均有出)2f(), 令，则1< 1 4≤2,0<k≤4 答案第18页，共26页 由题设知∫ 即f(x2)≥f(x)得证 1 对于任意 ≤<，取正整数k使得>4(，)，则，<号 k )飞+会5-2发f+）), 即f()小上fs).放f心)在[行+上单调递指 其次，我们说明t<上不合题意 0,x<0或x≥ 令f(x)= 4，我们以下证明f(x)是(0,4]伸缩增函数 1 x,0≤x< 4 对于任tea.①若1，则只好做住，倒 0符合题意： ②若0≤x<1则J 只闾 ③若x<0, 则风0，故用=四 0,符合题意 统上所达，了9是(0,4]伸缩增函数但对于任意1<子了)在k+0)上均不是增函数，此 时必要性不成立 故答案为：号 23. 24 【分析】由题结合余弦定理可得c0sC+1=-+2血，然后由三角形面积公式结合三角函数 2ab 1 h +1 恒等变换可得 C2c,然后通过图形可得tam)范围，最后由tan二与sinC关系可得 tan- 2 2 答案 【详解】a+b=c+h→cosc=+°-c2_a+b-2b-c2 2ab 2ab 答案第19页，共26页 =cosC+1c+)2cabsinc=ch=2ab=2ch 2ab 2ab 2 sinC 则cosc+1=花+2 .sinC→cosC+1-htl. 2ch sinC 2c 又注意到cosC+1」 2cos2C 1 h 2 1 sinC 2 sincos C、 ,则 +1 C 2c 2 tan C an- 2 如图，过C点做AB垂线CE,则CE=h,又过B点做AB垂线BD,使BD=2h, 过C做AB平行线，交DB为F,易得四边形CEBF为矩形，则CE=BF=h, 从而DF=BF=h,则aCBD为等腰三角形，则CB=CD=a,则由图结合三角形三边关系 可得AC+CD=b+a=c+h≥AD=VAB2+BD2=VC2+4h2, 则(c+)≥c2+4h→hs1, 3 tan。 3 2 C 2tan- 因nC= 2 2 2 1+tan2C C+1, tan 2 tan 2 则构造函数f)-x+,因/)-+上在[子小上单调运减，则)吕习 242 2 则2525≤smC<21,则simC最小值为 =1 4 25 12 故答案为： 24 25 D E B 【点睛】结论点睛：本题涉及的一些常见恒等式： sinC 1-cosC 1+sin C-cosC C tan 1+cosC sinC 1+sin C+cosC 2 答案第20页，共26页 C 2 tan :CosC= 2 1-tan2C sin C=- 1+tan2- 1+tan 2 24.(1)0<a≤2 (2)a=2 ⑧证明：由2)知：h0+)<2nx对xe0号)担度立。 ◆m动 所g小斗台女 +m2+m2-1 n+l n 【分析】(1)函数在某区间单调递增，可通过其导数在该区间大于等于0恒成立来求解参数 范围； (2)要根据函数在给定区间的取值情况确定参数值，需结合函数的单调性等性质进行分析： (3)证明不等式需要利用前面得到的函数性质以及一些常见的放缩技巧变形，结合裂项求 和即可. 解】①题意：1-acox,了四anrJ (1+x)2, 则当x∈(1,0)时，f"(x)≤0，则f'(x)在(-1,0)单调减，所以f'(x)n=f'(0)=2-a, 由于f(x)在(-1,0)单调增，则f"(x)≥0恒成立，即2-a≥0，故0<a≤2. （2)下面证明：当a=2时，f(x)≤0恒成立，此时f(x)=h(1+x)+x-2sinx, 由(1)知，当x∈(-1,0)时，f(x)≤f(0)=0,符合： 当-0副时：e)112,"2 1 (（1+x)2, 了创-2g0,则r到习米网于010， )=1-1-+8>0.则存在0tr0=0,测<00s,即r 答案第21页，共26页 在0)单调减，)>01<<名即在（单润增，又了0）=0， r1+}1511-5;5e0,所以r00对0引 恒成立， 6 即f)在0，单调减，故f(x)sf(0)=0.、 6 综上，a=2. (3)略 【点睛】方法点睛：在证明导数与数列不等式综合问题时，经常将第一问的结论直接应用到 证明当中去，再综合考虑不等式特征合理选取方法巧妙放缩求和，即可实现问题求解 25.(1)3 (2)曲线y=x3-3x2所有T-切线仅有一条，切线方程为y=-3x+1. (3)存在，理由如下：因为f(x)=x+sinx,所以f'(x)=1+cosx,f(t)=t+sint 所以曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线方程为y-(t+sint)=(1+cost)(x-t),即 y=(1+cost)x+sint-tcost g(x)=x+sinx-(1+cost)x-sint+tcost=sinx-xcost-sint+tcost, 所以g'(x)=cosx-cost, 因为te0, 所以cost∈(0,1)， 2 当k∈Z,x∈(2km-t,2kπ+t)时，g'(x)=cosx-cost>0,g(x)单调递增： 当x∈(2km+t,2m+2π-t)时，g'(x)=cosx-cost<0,g(x)单调递减. 所以8(x)的所有极大值为g(2k阮+t)=-2机cost, 当k=0时，极大值为0，即g(t)=0 当k为正整数时，极大值均小于0，所以8(x)在(t,+o)无零点. 当k为负整数时，极大值均大于0，g(x)的所有极小值为g(2机-t)=(2t-2km)cost-2sint, 当k=0时，极小值g(-t)=2 t cost-2sint=2cost(t-tant)<0,且随着k的增大，极小值 (2t-2km)cost-2sint越来越小， 答案第22页，共26页 因此菌线y=了d)在点么了@)0<1习处的切线为乃-切线，等价于=8)有三个零 点，等价于(2t+2π)cost-2sint=0,即tant-t=π有解. 所以m)在0单调递增，又m(O)=0<元，m 3 2 12.6>π， 所以存在唯一实数1(0 ,满足tant-t=元， 所以存在庵实数0引使得售线y=了)在点了)处的切线为万-切线 【分析】(1)利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可： (2)求出函数y=x3-3x在点(x,x-3x)处的切线方程，在应用T-切线的定义求解即可： (3)根据f(x)=x+sinx,求得导数，从而求得y=f(x)在点(t,f(t)处的切线方程，构造 新函数g(x)=sinx-x cost--sint+tcost,则g(x)有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【详解】(1)曲线y=f(x)在点(1，-2)处的切线为T-切线，另一个公共点的坐标为(3,4)， 所以切线斜率为4(2=3， 3-1 所以f'(1)=3 (2)y=x3-3x2,所以y'=3x2-6x. 设切点为(，-3x),则切线斜率为3x号-6， 所以切线方程为y-(x号-3x6)=(3x哈-6x)(x-),即y=(3x-6x)x-2x号+3x 设h(x)=x3-3x2-(3x-6x)x+2x话-3x=(x-广(x+2-3), 因为切线为T-切线，所以(x)=0有且仅有1个根， [x=Xo, 所以 x+2-3=0.解得=1， 所以曲线y=x3-3x2所有T-切线仅有一条，切线方程为y=-3x+1. （3)略 26.(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 答案第23页，共26页 (3)a=1 【分析】（1)取x=1,x3=2,x3=4,计算即可判断： (2)设二次函数f(x)=2+bx+c(a≠0)，由题意可得3+x=2x2,结合已知可得x3=x1, 从而可得结论； (3)由a∈[0,1)和a<0时，由定义域可知不符合题意，从而a=1且a∈Z,由a=l,可得 符合题意，进而可得a≥2均不符合题意 【详解11)服气=1=25=4，则)广).月9X甲9x4).-24, 龙-X 1-4 由f(x)=x3-9x2,得f'(x)=3x2-18x,所以f'(2)=3×22-18×2=-24, 又1,2,4成等比数列，所以f(x)=x3-9x2是“等比函数” (2)设二次函数f(x)=ax2+br+c(a≠0)，求导得f'(x)=2ax+b, 由直线AC与曲线y=∫(x)在点B处的切线平行或重合， 所以色）-f）-2m,+h,所以+，+c=-b-c-2,+b, X3-X1 X3-为 所以(x3+)+b=2a2+b,所以x3+1=2.x2,所以(x3+)=4x号， 又因为，2，x3成等比数列，所以x1=x,所以(33+x)=4x, 所以（飞3-）=0，所以=x,与x<x2<x矛盾， 故任意二次函数都不是“等比函数”. (3)若a∈[0,1)，可得f(x)的定义域不为R或在x=0处不可导，所以a∈}UZ. 当a<0且a∈Z时，函数f(x)在x=0处无意义，所以f(x)的定义域不为R, 所以a≥1且a∈Z,结合已知可得 当a=1时，可得f(x)=x,所以f(x)=1,所以f"(x2)=1, 又)上)5=1，满足)f)-=f),符合题意： X3-X1X3-X1 3-x1 当a=2时，由(2)可知幂函数f(x)=x2不是“等比函数”，故不符合题意： 答案第24页，共26页 当a23时，由，)-k）,得车至-m, - Xz-X 因为x,x2,x3成等比数列，所以x2=19,3=1, agi以等二a可， xg-x 所以1+d+g++g2a-2=ag-1, 又1++q++g2a-2≥a1q4.…a-7=a.g-可=a-1, 当且仅当1=q=g=…=q2-2,即qd=1时取等号，又q≠1，故等号不成立， 所以91 g-1 ag-1方程在a≥3时无解. 综上所述：a=1. 27.(1)a=1,b=0 (2)假设存在实数t,使得∫(t)≠t,分两种情况讨论： 若f(t)>t,结合函数严格增，可得f(f(t)>f(t), 再由f(f(t)=2t-f(t),代入得2t-f()>f(t),整理可得f(t)<t,与f(t)>t矛盾： 若f(t)<t,因为f(x)严格增，可得f(f(t)》<f(t), 结合f(f(t)=2t-f(t),代入得2t-f()<f(t),整理可得f(t)>t,与f(t)<t矛盾， 综上可知，假设不成立，即对任意的x∈R,都有f(x)=x,得证 (3)已知f(x)-x≤M对所有x∈R成立，令g(x)=f(x)-x,即g(x≤M, f(x)=x+8(x), f(f(x))=f[x+g(x)=x+g(x)+g[x+g(x)], 代入f(f(x)+f(x)=2x,可得x+g(x)+8[x+g(x)]+x+g(x)=2x, 化简得：8x+8(x)]=-28(x), 对任意∈R,构造数列{xm}满足xm+=xn+8(化) 由8x+8(x)]=-2g(x)可知，8(3)=8[x+8(3n)】=-2g(n), 答案第25页，共26页 则数列{8(x)}为等比数列，则8(xn)=-2g(x-1)=(-2)g(x-2)==(-2)g(), 所以g(3=(-2)g()=2g(，若8()≠0， 则当n→+∞时，2”g()→+∞，与g(x≤M矛盾，因此必须有g()=0, 即对任意的x∈R,g(x)=0,故f(x)=x,其函数唯一 【分析】(1)由函数新定义列出方程，利用对应系数相等即可求出4，b: (2)由反证法结合严格增函数的性质推导，分∫(t)>t与(t)<t两种情况讨论： (3)利用函数的递推，求证与g(x)≤M矛盾，即可求解 【详解】(1)因一次函数f(x)=m+b具有性质2， f(f(x))+f(x)=a(@x+b)+b+ax+b=(d+a)x+ab+2b=2x, a2+a=2 则可得： ab+2b=0'解得a=1或a=-2, 因为a>0,所以a=1,b=0. (2)略 (3)略 答案第26页，共26页