吉林省长春市实验中学2027届高三数学暑假作业（3）

**基本信息** 长春市实验中学2027届新高三数学暑假作业（3）围绕函数、概率、导数等核心知识，通过冬奥会滑雪、心理暗示试验等真实情境设计问题，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高三暑期巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合运算、命题否定、函数单调性|基础概念辨析，如第3题复合函数单调性考查逻辑推理| |多选题|3题|函数最值、基本不等式|多选项分层设计，如第10题综合不等式与函数性质考查数学思维| |填空题|3题|正态分布、条件概率、排列组合|实际应用情境，如第13题市场灯泡合格率考查数据分析| |解答题|5题|二项式定理、导数应用、概率统计|综合情境设计，如17题冬奥会滑雪概率、18题心理试验抽样，贴合高考真题趋势，考查数学语言表达|

长春市实验中学2027届新高三数学暑假作业（3） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．现有编号为的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为（ ） A． B． C． D． 6．函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设函数，存在最小值时，实数的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 10．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 11．已知函数，则下列结论正确的是（      ） A．函数与轴有两个不同的交点 B．函数既存在最大值又存在最小值 C．若当时，，则的最大值为 D．若方程有1个实根，则 三、填空题 12．已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______. 13．某市场供应的灯泡中，甲厂产品占30%，乙厂产品占70%，甲厂产品的合格率是70%，乙厂产品的合格率是90%，在该市场中随机购买一个灯泡，已知买到的是合格品，则这个灯泡是甲厂生产的概率是________． 14．某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种． 四、解答题 15．设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求，的极值． 17．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月在北京市和张家口市联合举行.甲､乙是单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种. (1)甲在每次挑战中，成功的概率都为.设为甲在3次挑战中成功的次数，求的分布列和数学期望； (2)乙在第一次挑战时，成功的概率为，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1.求乙在3次挑战中有且只有2次成功的条件下，第三次成功的概率. 18．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率． (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列． 19．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 《暑假作业三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B A B D C ABC ABD 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2．A 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题，，是存在量词命题， 其否定是全称量词命题，注意到要否定结论， 所以为，. 3．D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4．B 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 5．A 【分析】根据给定条件，利用排列、组合计数问题求出试验及所求概率的事件含有的基本事件数，再求出古典概率. 【详解】把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒子装1个小球的试验的基本事件总数为， 恰好有2个小球与盒子的编号相同的事件含有的基本事件数为， 所以恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为. 故选：A 6．B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 7．D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 8．C 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 9．ABC 【分析】根据函数解析式，分、、三种情况讨论，当时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可； 【详解】解：因为， 若，当时在上单调递增，当时，此时函数不存在最小值； 若，则，此时，符合题意； 若，当时在上单调递减， 当时， 二次函数对称轴为，开口向上，此时在上单调递增， 要使函数存在最小值，只需，解得， 综上可得. 故选：ABC 10．ABD 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 11．AC 【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得. 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A正确； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B错误； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：AC. 12．9 【分析】利用正态分布的对称性求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且，则由对称性得， 又， 所以，故， 又因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 13．/0.25 【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“购买一个甲厂灯泡”，事件为“购买一个乙厂灯泡”，事件为“购买的灯泡是合格品”， 依题意，， 因此， ， 所以这个灯泡是甲厂生产的概率是. 故答案为： 14． 【分析】分为值班人数为人和人两种情况，结合排列组合即可求解. 【详解】由题意可得，值班的人数为人或者人， 若值班人数为人，则需要一个人值班首尾两天，另外一人值班中间一天，故， 若值班人数为人，则每人值班一天，故， 所以可能的安排方法有种. 故答案为：. 15．(1)-2； (2)-2； (3)128. 【分析】（1）根据二项式定理得到方程，求出； （2）赋值得到，，计算出答案； （3）令得到答案. 【详解】（1）根据二项式定理可得， ，解得； （2）由（1）知，，令得 再令得 所以； （3）在式子中， 令可得 16．(1) (2)时无极值 时极小值为，无极大值 【分析】（1）利用导函数求得斜率，利用原函数求得切点坐标，代入点斜式即可得切线方程； （2）对的取值分类讨论，利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性可得函数的极值点，再代入原函数即可得极值． 【详解】（1）（1），， 则 ，， 所以在点处的切线方程为：， 即： ． （2）（2）由题意知的定义域为， 则， ①当时， 在上恒成立，在上单调递减，所以在上无极值； ②当时，令 ，则，令 ，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时，取得极小值 ，无极大值； 综上所述：当时，在上无极值， 当时，在上有极小值 ，无极大值． 17．(1)分布列见解析，数学期望： (2) 【分析】（1）由二项分布概率公式求解 （2）由条件概率公式求解 【详解】（1）由题意得，则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 （2）设“乙在3次挑战中有且只有2次成功”，“乙在3次挑战中第三次成功” 18．(1)； (2)答案见解析﹒ 【分析】(1)基本事件总数，其中接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的基本事件有：，由此能求出接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率． (2)设表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，则的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列． 【详解】（1）现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． 基本事件总数， 其中接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的基本事件有： ． 接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率． （2）设表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，则的可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 19．(1) (2)函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． (3)3 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线方程； （2）利用零点存在定理求解函数的零点个数； （3）将原不等式问题等价转化为，从而得到整数k的最大值. 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略； （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 答案第4页，共16页 答案第5页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $