吉林省长春市实验中学2026年高二数学暑假作业（1）

**基本信息** 聚焦函数与导数、概率统计等核心模块，通过构造转化、分类讨论等方法体系，系统整合概念生成与应用逻辑，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|6题（3,5,7,17-19）|构造函数法、单调性转化、极值分类讨论|从函数性质（奇偶性/单调性）到导数应用（极值/最值）的递进| |概率统计|3题（9,11,16）|条件概率公式、全概率公式、分布列构建|事件独立性与随机变量期望的逻辑推导| |排列组合与二项式定理|3题（12,13,15）|插空法、二项式系数性质|计数原理与二项展开式的应用拓展|

长春市实验中学2027届新高三数学暑假作业（1） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 二、多选题 9．下列命题正确的是（    ） A．已知，则 B．若，，且，则A，B相互独立 C．若随机变量，则 D．二项展开式的所有项的系数和为 10．若正实数满足，则（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是 11．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，，下列结论正确的是（ ） A． B．若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 C． D．若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 三、填空题 12．某班举行中国民族音乐晚会，晚会安排了1个吹奏节目，2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，安排演出顺序时，要求2个弹拨节目不能相邻，且吹奏节目排在最前或最后，不同的排法种数为__________.（用具体数字作答） 13．已知能够被15整除，其中，则__________． 14．已知是奇函数，则不等式的解集是______. 四、解答题 15．已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． (1)求和的值及展开式中项的系数； (2)求的展开式中的常数项． 16．年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； (2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； (3)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 17．已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 18．已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 19．已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)设函数，若为的极小值点，求实数a的取值范围． 《2026年6月23日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C C D A B BC BC 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】由题可得，同乘得且， 解得或，所以， 可知，解得，所以， 则. 2．C 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】或， 因为是或的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件． 3．C 【分析】将条件转化为函数在区间上单调，根据二次函数对称轴与区间的位置关系列不等式求解的取值范围． 【详解】二次函数图象的对称轴为直线， ∵对于任意，且，都有，即在区间上是单调函数， ∴或， ∴或，即实数的取值范围为． 故选：C． 4．C 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 5．C 【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解即可. 【详解】由题意，设，则， 当时，有，所以当时，， 所以函数在上为增函数， 因为函数是偶函数，所以是偶函数， 由，得，又，所以， 所以，所以，又函数在上为增函数， 所以，解得或，所以成立的的取值范围是. 6．D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 7．A 【分析】将问题转化为函数，图象与直线有且只有一个交点，然后利用导数知识研究性质，画出大致图象，据此可得答案. 【详解】定义域为，则有且只有一个零点， 等价于方程在有且只有一个根， 即函数，图象与直线有且只有一个交点. ，，， 则在上单调递减，在上单调递增. 则在时取得极大值， 又时，，，； 时，，，远远大于，. 据此可得大致图象如下： 则由图可得为使函数，图象与直线有且只有一个交点， 8．B 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 9．BC 【分析】对于A，由组合数性质或即可求得的值，对于B，使用条件概率公式后可得，即A，B相互独立，对于C，由题意得，根据二项分布概率公式即可求解，对于D，令即可求二项展开式所有系数和. 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，令则有二项展开式的所有项的系数和为，故D错误. 故选：BC. 10．BC 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式判断A，利用基本不等式判断BC，根据条件转化为关于的二次三项式配方求最值即可判断D. 【详解】，当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值是9，故A错误； 由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； ，当时，取得最小值，故D错误． 11．ACD 【分析】由条件概率计算公式和全概率计算公式可判断AC，由贝叶斯公式可判断BD. 【详解】奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A正确； 奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故C正确； 对于B、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 （2）当甲更改选择时 若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 又甲更改选择时，选号箱或号箱的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故D正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故B错误. 12．144 【分析】根据分布计数原理以及不相邻问题插空法研究得到答案. 【详解】吹奏节目排在最前或最后，共有2种排法； 剩余2个弹拨节目，1个拉弦节目，2个打击乐节目，要求2个弹拨节目不能相邻， 所以排列非弹拨节目，共有种排法，其非弹拨节目3个，形成4个空， 再排放个弹拨节目，共有排法，因为弹拨节目有顺序，所以弹拨节目插入方式共有种排法， 所以除吹奏外，排列方式共有种； 所以不同的排法种数为， 故答案为：144. 13．14 【分析】由，结合二项式定理可得除以的余数，从而能到的值 ， 【详解】 . 因为75可以被整除， 所以可以被整除. 由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以. 14． 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 15．(1)，； (2) 【分析】（1）二项式系数和为即可求出，再令可得各项系数和，即可求出，写出展开式的通项，利用通项求出项的系数； （2）由，利用（1）中的通项计算可得. 【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得； 所以，令可得，解得； 所以展开式的通项为：， 令，解得， 所以项的系数为； （2） ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 16．(1) (2) (3)分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率； （2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解； （3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望． 【详解】（1）“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：． （2）小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：， 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ． （3）的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 期望为：． 17．(1)1 (2) 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； （2）由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 18．(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 19．(1)， 令，则，恒成立， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增． (2) 【分析】（1）通过多次求导，即可判断单调性； （2）求导，通过，，，讨论单调性，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）， 由（1）知当时，，即， 又，且，所以为奇函数，其图象关于对称， 所以当时，，即． ①若，则，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点． ②若，当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ③若，则与同号，所以， 所以在上单调递增，无极值点，不合题意． ④若，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为函数的极大值点，不合题意． 综上，实数a的取值范围为． 答案第4页，共16页 答案第5页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $