2.3 二次函数与一元二次方程 不等式（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了一元二次函数、方程和不等式的知识体系。从一元二次不等式的定义及解法入手，明确含参与不含参不等式的分类讨论步骤，进而建立二次函数、方程、不等式的内在联系，延伸至恒成立问题和根的分布应用，形成完整的学习支架。 知识链路按“定义-解法-关系-应用”逻辑递进，结合易错点警示和九类典型题型。通过归纳总结和方法技巧指导，培养数学思维（如分类讨论、逻辑推理）和数学语言（如模型构建、问题转化），助力学生构建知识网络，提升综合解题能力。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次方程 不等式 🔷知识点一　一元二次不等式及其解法 1、一元二次不等式的定义 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一般形式，，，（其中均为常数）． 2、一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式或，其中的实数组成的集合叫一元二次不等式的解集。 3、一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①求出相应的一元二次方程的根（根据判别式判断方程没有实根，用因式分解或求根公式求根）； ②根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若可以因式分解，则能求出两根来； ③若不能因式分解，先讨论判别式，再讨论有根的情况． ④求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论 ⚠️特别提醒 解一元二次不等式，先化为标准形式 （或<），确保a>0，再求对应方程的根，最后大于取两边，小于取中间。若判别式小于0，则看的符号判断解集为全体实数或空集。注意若二次项系数为负，先变号，重根时解集需排除该点（若为严格不等号）。 📌 归纳总结 只含有一个未知数且其最高次数为2次的才是一元二次方程，解一元二次方程分为含参与不含参，如果含参需要观察最高项系数是否含参。 🔷 知识点二　三个二次的关系 1、 二次函数的性质. （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： ②顶点式： ③两根式： （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便． （3）二次函数图象的性质 ①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是． ②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，． ③二次函数当时，图象与轴有两个交点． 2、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点． 3、三个“二次”之间的关系 二次函数 （） 二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 二次不等式 二次不等式 ⚠️特别提醒 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，三部分内容虽然先后不同时间学习，但是三者之间联系十分紧密，我们首先需要理解的是三者之间存在对应关系，当给定一个二次函数时，我们可以得到该二次函数所对应的一元二次方程和一元二次不等式，所以我们在处理相关问题时，如果题干给出的是一元二次不等式，那么我们可以利用这三者间的关系，把一元二次不等式转化为二次函数来处理，而二次函数存在图像，处理问题会更加形象直观。。 🔷 知识点三　一元二次不等式恒成立问题 （1）在R上恒成立（讨论） ①在上恒成立恒成立 ②在上恒成立 （2）在区间上恒成立（参变分离或讨论） ①若能参变分离，推荐参变分类，建立明确的参数和变量的关系，并利用函数最值求解。 ②若在参变分离时要谈论参数，就不用参变分离，直接在区间内讨论 ：开口，对称轴，区间端点的值，可以利用数形结合来讨论。 📌 归纳总结 单变量的恒成立问题可以将代数问题借助该一元二次不等式所对应的二次函数图像，将其转化成几何问题，通过研究图像所需满足的条件，进而得到一元二次不等式恒成立时需满足的条件。 🔷 知识点四　二次函数根的分布 1、二次函数的根与定值的位置关系（讨论开口向上的情况 ） 两根都小于， 即 两根都大于， 即 一根小于，一根大于，即 2、二次函数的根与区间的位置关系（讨论开口向上的情况） 两根都在外 两根都在内 两根有且仅有一根在内 一根内， 另一根在内 3、只有一根在之间 （1）当时，分两种情况，方程有两相同的根，且根在， 或方程有两个不相同的根，有一个根在 （2）当时, 方程有两不同的根，有一个根正好在或处，另一个根在则 或 📌 归纳总结 根的分布问题重点在于得到等价的代数条件，需依据二次函数的图像，数形结合得到限制条件。 ⚠️ 特别提醒 在书写限制条件时，特别容易漏写，一定要结合限制条件反推根的分布是否成立。 易错点 1 解一元二次不等式时，忽略二次项系数的正负，盲目套用口诀 · 错例：解不等式，直接套用“大于取两边”，得到解集为或 · 错因：口诀“大于取两边，小于取中间”的前提是二次项系数为正且方程有两个根。本例二次项系数为负，对应图像开口向下，结论完全相反 · 规避方法：解不等式前，第一步先确保。若，就在不等式两边同时乘以，同时改变不等号方向 易错点 2 在方程或不等式中，忽略二次项系数为零的可能 · 错例：已知关于的方程有实数根，求的范围。直接用判别式解得 · 错因：未讨论二次项系数是否为 0。当时，方程退化为一次方程，同样有实数根，但判别式失效 · 规避方法：见到“关于的方程”且二次项系数含参，必须分和两类讨论，不可直接使用判别式。 易错点 3 解分式不等式时，直接去分母导致符号错误或失根 · 错例：解不等式，两边同乘得，解得 · 错因：分母的符号不确定，直接相乘会破坏不等号方向，并可能丢失分母为负的情况 易错点 4 二次函数最值问题，忽略定义域或未区分“局部”与“整体”极值 · 错例：求函数在区间上的最值，直接由顶点得最小值 2，最大值不存在或误以为无穷大 · 错因：只考虑了顶点（整体最小值），忽略了闭区间端点处的函数值 易错点 5 处理“恒成立”与“有解”问题时，混淆条件 · 错例：一元二次不等式在上恒成立，认为只需 · 错因：忽略了二次项系数的前提。若且，图像开口向下且全在  轴下方，不等式恒不成立 易错点 6 解含参一元二次不等式时，分类讨论不完整 · 错例：解关于的不等式，因式分解得，直接写出解集为或 · 错因：，未讨论参数与 1 的大小关系。当、、时，两根大小不同，解集也完全不同 · 规避方法：解含参不等式，按“先定开口，再判根，最后比大小”的顺序讨论，做到不重不漏 题型一：二次函数的图像与性质 📝方法技巧 1．求二次函数的最值方法 求二次函数的最值时，往往先将函数配方成顶点式，则函数的最值一般在区间的端点或顶点处取得，比较这些值的大小即可得最值. 2．二次函数的图象分析与判断 解决二次函数的图象与系数的关系问题有以下两种常见方法: (1)排除法,抓住函数的特殊性质或特殊点; (2)讨论函数的图象，依据b对a进行讨论,画出a值不同时对应的函数图象，从而进行判断,显然(1)对解决选择题更为有效. 1. （25-26高一上·江苏南通·阶段练习）函数的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在上y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小， 所以当时，；当时，，故选B. 2. （25-26高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数的最小值为 【答案】-3 【详解】， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当x=1时，y取得最小值-3. 3. （2026高一上·河北保定·专题练习）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【答案】D 【详解】由题意可得:，解得 因为二次函数图象的对称轴在轴左侧， ，即， 二次函数有最小值为. 故选：D. 题型二：解一元二次不等式 📝方法技巧 解一元二次不等式，不含参时直接求根，大于取两边、小于取中间；含参时需先讨论二次项系数（是否为零、正负），再根据判别式讨论根的大小关系（若两根含参需比较大小），最后结合开口方向写解集。 1. （25-26高一上·安徽合肥·期末）求下列不等式的解集 (1) (2) 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为． （2）将不等式， 化简为，即， 解得或， 所以解集为． 2. （25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 3. （25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 4. （25-26高一下·山东潍坊·期中）设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 题型三：三个“二次”关系的应用 📝方法技巧 三个“二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）关系核心是根与图象：方程的根是对应函数与x轴交点的横坐标，不等式的解集由函数图象在x轴上方或下方决定。解题时先求根，再结合开口方向写解集；若含参则需讨论根的大小及判别式。二次函数的最值或恒成立问题常转化为判别式或顶点位置条件。 1. （25-26高一上·湖南常德·期末）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据一元二次不等式的解集，可判断的符号和关系，再逐项进行判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，抛物线开口向下，故函数有最大值，选项A正确； 不在解集内，，选项B正确； 已知，方程的两根分别为，故， 所以；，所以，故，选项C正确； 易知，不等式化为，可得， 即，解得，故选项D错误. 故选：ABC 2. （25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 3. （多选）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 4. （25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】A 【分析】先根据不等式的解集判断的符号和与的关系式，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，A正确； 且-3和4是方程的两个解，则. 所以，所以不等式可化简为， 解得或，所以不等式的解集为，B错误； ，所以C错误； 不等式化简为，即，解得， 所以不等式的解集为，D错误； 故选：A. 题型四：解分式不等式 📝方法技巧 1.解分式不等式的思路 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解. 2.一般的分式不等式的同解变形法则 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 1. （2026春•临夏县校级期中）求不等式的解集： （1）﹣x2+4x+5＜0； （2）2x2﹣5x+2≤0； （3）； （4）． 【分析】（1）不等式化为x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可； （2）不等式化为（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集； （3）不等式化为，再求解集； （4）不等式化为（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集． 【详解】（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0， 解得x＜﹣1或x＞5， 所以不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}； （2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0， 解得， 所以不等式的解集为； （3）由，可得， 解得x≤﹣1或x＞3， 所以不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞3}； （4）由，可得， 等价于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1， 所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜1}． 2. （23-24高一上·江苏苏州·开学考试）解下列分式不等式： （1）≤1； （2）<0. 【答案】（1）{或}；（2）{或}. 【分析】（1）将分式不等式转化为标准分式不等式，再转化为整式不等式，求解即可； （2）将分式不等式转化为整式不等式，求解即可. 【详解】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为 {或} （2）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为或}. 3. （25-26高一上·上海·阶段检测）已知分式不等式的解集为，则=__________． 【答案】 【分析】先对原不等式进行变形，解不等式求出集合，再根据补集的概念求出集合． 【详解】不等式可变形为，不等式等价于，解得或， 集合或， ， 故答案为：． 题型五：解高次不等式 📝方法技巧 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，从右到左在区间(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． 1. （24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由， 可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得. 2. （2026·江西九江·一模）求解高次不等式的解集A； 【答案】； 【详解】①当时，原不等式成立． ②当时，原不等式等价于， 解得. 综上可得原不等式的解集为， ∴． 3. （25-26高一上·黑龙江大庆·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】画出函数的大致图象如下图所示，    由图可知不等式的解集是或． 故选：D. 题型六：一元二次方程根的分布问题 📝方法技巧 一元二次方程根的分布，核心是结合二次函数图象的开口、对称轴、判别式及区间端点函数值列不等式组。常见类型（如两正根、一正一负、在区间内）需根据根的相对位置分类讨论，优先考虑判别式、韦达定理及对称轴位置。注意端点是否为根需单独检验，且含参时需讨论二次项系数是否为零。若根与区间关系复杂，可用分离参数或数形结合直观判断。 1. （25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 2. （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 3. （25-26高二下·福建福州·阶段练习）一元二次方程有两个不相等负根的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次方程判别式以及两根的符号，结合韦达定理列不等式求出a的取值范围,再根据充分、必要条件的定义可得答案 【详解】设两个不等负实数根分别为， 则需满足， 解得，即， 所以是方程有两个不相等负根的充要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是方程有两个不相等负根的既不充分又不必要条件； 是的真子集，所以是方程有两个不相等负根的必要不充分条件， 故选：B. 4. （25-26高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦达定理求出两根之和与两根之积，根据判别式大于零，结合列不等式组求解即可. 【详解】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 题型七：一元二次不等式的恒成立问题 📝方法技巧 1．一元二次不等式在R上恒成立的求解策略 （1）不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 （3）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 2．一元二次不等式在某区间上恒成立的两种求解策略： (1)分离参数法，先分离参数，把求参数的取值范围化归为求函数的最值问题.当函数y存在最值时，在某区间上恒成立；在某区间上恒成立. （2）当a>0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c<0在区间[m,n]上恒成立的条件是 （3）当a<0时，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0在区间[m,n]上恒成立的条件是 1. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 2. （25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 3. （25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 4. （25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】条件可转化为命题“，”是真命题，结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 由题意可得，解得， 故实数的取值范围是. 题型八：一元二次不等式有解问题 📝方法技巧 一元二次不等式有解，分R上有解或者在区间上有解。在R上有解则可以通过图像结合来判断。若在区间上有解，常分离参数转化为最值问题。注意“有解”与“恒成立”方向相反（有解是存在性，恒成立是任意性）。 1. （2026高一·全国·专题练习）已知命题，使得.则命题为真命题的一个充要条件是______. 【答案】 【详解】当时，显然，使得； 当时，，解得，即， 综上，命题为真命题的充要条件是. 2. （25-26高二下·河北沧州·阶段检测）若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解. 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即． 3. （25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 4. （25-26高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 题型九：一元二次不等式的实际应用 📝方法技巧 应用题先设未知数，用代数式表示相关量，根据题意（如面积限制、利润范围）列出一元二次不等式。解不等式后，结合实际问题背景（如数量为整数、长度为正）筛选解集，最终写出符合题意的答案。注意隐含条件（如非负、整数）及单位统一，若解集为区间，需说明范围内所有值均满足条件。 1. （25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 2. （25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. 3. （25-26高一上·广东广州·期末）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5，每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数；若在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元. (1)要使两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站多少千米处? (2)要使两项费用之和不超过13.5万元，仓库到车站的距离应该在什么范围内? 【分析】（1）根据题意，进而根据题意建立方程关系得，此时可建立函数关系，再结合基本不等式求解最值即可得答案； （2）根据题意解即可得答案. 【详解】（1）解：因为每月库存货物费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成正比，比例系数为1.5， 所以，当时， 因为每月土地占地费（单位：万元）与x之间的函数关系为，为常数 所以当时，， 因为在距离车站5km处建造仓库，则两项费用之和为11.5万元，、 所以，解得， 所以两项费用之和为， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，两项费用之和最小，为. 所以两项费用之和最小，应该把仓库建在距离车站千米处 （2）解：由（1）得两项费用之和为， 要使两项费用之和不超过13.5万元，即， 整理得，解得， 所以仓库到车站的距离应该在范围内. 4. （25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $