专题5.5 一次函数的简单应用（知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

本讲义聚焦一次函数的简单应用核心知识点，先系统梳理利用图象建立一次函数模型、一次函数与二元一次方程(组)关系的基础内容，再通过13个考点讲练搭建从概念到实际应用的学习支架，衔接一次函数性质与综合问题解决。 该资料以核心素养为特色，通过分配方案、行程问题等实际情境培养数学眼光，借助几何综合题训练数学思维，采用典例+变式、分层练习及中考真题设计。课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生分层巩固，有效查漏补缺。

专题5.5 一次函数的简单应用 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：利用图象建立一次函数模型 2 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程(组)的关系 2 优选题型 考点讲练 2 考点1 分配方案问题(一次函数的实际应用) 2 考点2 最大利润问题(一次函数的实际应用) 3 考点3 行程问题(一次函数的实际应用) 4 考点4 梯度计价问题 5 考点5 其他问题(一次函数的实际应用) 6 考点6 一次函数与几何综合 7 考点7 已知直线与坐标轴交点求方程的解 8 考点8 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 9 考点9 利用图象法解一元一次方程 9 考点10 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 10 考点11 根据两条直线的交点求不等式的解集 11 考点12 两直线的交点与二元一次方程组的解 11 考点13 求直线围成的图形面积 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 15 基础夯实 15 培优拔高 18 知识点梳理01：利用图象建立一次函数模型 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法的基本步骤： (1)通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. (2)建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图象. (3)观察图象特征，判定函数的类型. 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程(组)的关系 1.一次函数与二元一次方程(组)的关系 任意一个关于x,y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k≠0)的形式，二元一次方程的解有无数个. 以这个二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同.即每一个二元一次方程都对应着一个一次函数，也对应 着一条直线，所以对二元一次方程组而言，都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线. (1)从“数”的角度来看，解二元一次方程组就相当于求自变量为何值时，相应的两个一次函数的值相等，以及这个函数的值是多少 (2)从“形”的角度来看，解二元一次方程组相当于确定对应两条直线交点的坐标 (3)一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标(a,b).利用一次函数的图象解二元一次方程 组，就是依据这个道理. 2.二元一次方程组的图象解法的主要步骤 (1)先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式； (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象； (3)写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数就是二元一次方程组的解中的两个数值 考点1 分配方案问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南周口·期中）某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 考点2 最大利润问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）学校需要添置教师办公桌椅、两型共套，已知套型桌椅和套型桌椅共需元，套型桌椅和套型桌椅共需元． (1)求，两型桌椅的单价； (2)若需要型桌椅不少于套，型桌椅不少于套，平均每套桌椅需要运费元．求出总费用最少的购置方案． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 考点3 行程问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为x（h），两艘轮船距离杭州的路程y（km）关于x（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：游轮与货轮何时相距12km？ 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）甲、乙两地相距，A，B两辆货车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车B比货车A晚出发一个小时．若它们都保持匀速行驶，货车A，货车B距乙地的距离与时间之间的关系如图所示． (1)求货车B出发后距乙地的距离y与时间x的关系式； (2)求货车B到甲地后，货车A还需多长时间到达乙地． 考点4 梯度计价问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）以下是某市自来水价格调整表（部分）：（单位：元/）则调整水价后某户居民月用水量x（）与应交水费y（元）的函数大致图象是（　　） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户0～30 第二阶梯：月用水量每户超过30 部分 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 考点5 其他问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）声音在空气中传播的速度是气温的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： 气温 … 5 10 15 20 … 音速y（m/s） … 334 337 340 343 … (1)求与之间的函数关系式； (2)当声音在空气中的传播速度为时，求此时的气温． 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数与装置高度满足我们学过的某种函数关系．如表，这是一组实验数据，根据表中的数据，当弹簧测力计读数为时，此时装置高度为（    ） 装置高度 0 弹簧测力计的读数 2 4 6 A． B． C． D． 考点6 一次函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，已知网格的单位长度为，点，，均在格点上，要求回答下列问题： (1)画与关于轴的对称图形； (2)、、的坐标分别是______、______、______； (3)在轴上求作点，使的值最小，直接写出点的坐标______． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)若直线与直线关于轴对称（如图），直线与轴交于点．求直线的解析式． (2)在（1）的条件下，若在射线上有一动点 ，且不与重合，连接，试求的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)如图，过点画平行于轴的直线． ①连接，，求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿轴平移，当平移恰当长度（长度不为0）的时候，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形?若存在．请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点7 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，已知直线，则方程的解是 ． 考点8 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 考点9 利用图象法解一元一次方程 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (3)若该一次函数的图象、函数（为常数，）的图象和轴所围成的三角形的面积等于8，求出的值． (4)在第（3）的条件下，若此时围成的三角形面积大于8，请直接写出的取值范围______． 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期中）一次函数的图象经过点和，则当 时，．（  ） A． B． C． D． 考点10 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图在平面直角坐标系中直线与直线的交点的横坐标为，求出关于的不等式组的解集． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线＝＋与轴交于点，与轴交于点，则不等式的解集为 ． 考点11 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为 ． 【变式训练】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与正比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，的取值范围； (3)是第二象限内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 考点12 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过点作直线交于点D，交y轴于点E，且； (1)点B的坐标为 ，线段的长为 ． (2)求直线的函数表达式及点D的坐标． (3)如图，M是线段上一动点不与点C，E重合，交于点N，连接 ①在点M的移动过程中，线段与的数量关系是否变化？请说明理由； ②求 的最小面积． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宣城·月考）如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 考点13 求直线围成的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【变式训练】（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，函数为常数，与均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，已知一次函数（k为常数，且）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数交于点C，已知点C的横坐标为2，下列说法错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．将的图象向下平移2个单位长度后所得图象经过原点 C．对于一次函数，当时， D．关于x、y的方程组的解为 4．（2024·福建南平·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是等腰三角形，，点D与点E分别是与上的中点，点P是线段上的一动点，当最小时，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且．求证：． 基础夯实 1．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）已知直线和（、为常数，且）交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）若一次函数与的图像交点坐标为，则 ． 5．（25-26八年级上·广东茂名·月考）体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x之间的关系式为 ． 6．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在物理学中有很多的公式可以直接或者间接看作一次函数，例如求物体质量公式是正比例函数．在真正的物理问题中，一个变量随着另一个变量变化的例子有很多．例如匀速直线运动中，路程随着时间的变化而变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加．这些都是物理学中，应用最简单的知识．如图所示，某弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是 ． 7．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）如图，一次函数的图象经过点，则关于的方程的解是 ． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 9．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准∶ 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 3 第二档 4 第三档 5 (1)当时，写出水费y（单位∶元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是940元，求该户去年一年的用水量． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与轴、轴的交点分别为，，求直线的表达式及的面积． 培优拔高 11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）某小汽车的油箱最多可装汽油升，原有号汽油升，现再加升同型号的号汽油，其价格是每升元，求油箱内所有汽油的总价（元）与（升）之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，点的坐标为，线段所在直线与直线（为常数，且）交于点，则的值为（    ） A．8 B． C．1 D． 13．（25-26八年级上·广西崇左·月考）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示： ①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升； ②饮水机里的水全部放完，需要20分钟； ③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟； ④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水； 以上结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知直线与轴、轴分别交于、两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为 ． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）一次函数与的图像如图，则关于的不等式的解集为 ． 16．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于 ． 17．（25-26八年级上·全国·月考）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积等于面积时，求点的坐标． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为元天，该种产品的原料及加工成本为元件，每天生产的产品以元件全部售出．（成本包括固定成本、原料及加工成本） (1)求利润（元天）与生产数量（件天）的函数表达式； (2)如果某天生产了件产品，那么这天的利润是多少元； (3)若每天最多生产件产品，求一天利润的最大值． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高．勤学小组的同学们利用量筒和完全相同的玻璃球进行了模拟实验，实验过程中量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出．研究发现量筒中水面高度与投入玻璃球数量之间是一次函数关系． 根据实验结果得到表格数据： 投入玻璃球数量粒 0 5 10 15 20 水面高度 10 11 12 13 14 (1)量筒中原来装有　　的水； (2)求与之间的关系式； (3)若量筒高，最多可以投入多少粒玻璃球？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5 一次函数的简单应用 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：利用图象建立一次函数模型 1 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程(组)的关系 2 优选题型 考点讲练 2 考点1 分配方案问题(一次函数的实际应用) 2 考点2 最大利润问题(一次函数的实际应用) 4 考点3 行程问题(一次函数的实际应用) 5 考点4 梯度计价问题 8 考点5 其他问题(一次函数的实际应用) 10 考点6 一次函数与几何综合 11 考点7 已知直线与坐标轴交点求方程的解 17 考点8 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 19 考点9 利用图象法解一元一次方程 21 考点10 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 23 考点11 根据两条直线的交点求不等式的解集 25 考点12 两直线的交点与二元一次方程组的解 27 考点13 求直线围成的图形面积 30 中考真题 实战演练 34 难度分层 拔尖冲刺 40 基础夯实 40 培优拔高 46 知识点梳理01：利用图象建立一次函数模型 确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是利用图象去获得经验公式，这种方法的基本步骤： (1)通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值. (2)建立合适的直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数图象. (3)观察图象特征，判定函数的类型. 知识点梳理02：一次函数与二元一次方程(组)的关系 1.一次函数与二元一次方程(组)的关系 任意一个关于x,y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k≠0)的形式，二元一次方程的解有无数个. 以这个二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同.即每一个二元一次方程都对应着一个一次函数，也对应 着一条直线，所以对二元一次方程组而言，都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线. (1)从“数”的角度来看，解二元一次方程组就相当于求自变量为何值时，相应的两个一次函数的值相等，以及这个函数的值是多少 (2)从“形”的角度来看，解二元一次方程组相当于确定对应两条直线交点的坐标 (3)一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标(a,b).利用一次函数的图象解二元一次方程 组，就是依据这个道理. 2.二元一次方程组的图象解法的主要步骤 (1)先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式； (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象； (3)写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数就是二元一次方程组的解中的两个数值 考点1 分配方案问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南周口·期中）某运输公司拟用载重量分别为20吨和15吨的两种货车共12辆运输一批货物，已知这批货物总重量不超过220吨． (1)设载重量20吨的货车为x辆，求x的取值范围； (2)若载重量20吨的货车每辆租金为1500元，15吨的货车每辆租金为1200元，求总租金最少的租车方案及最少租金． 【答案】(1)（为整数） (2)总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元 【思路点拨】本题一次函数的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据题意列出不等式，解出的范围即可； （2）设总租金为元，则列方程为，根据一次函数的图象性质可知，当时，最小，最小值为14400元，据此解答即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得， 解得， 由于，且为整数， 则的取值范围是（ x为整数）； （2）解：设总租金为元，则， 由于， 所以随的增大而增大， 当时，最小，最小值为14400元， 此时租车方案为：载重量20吨的货车0辆，15吨的货车12辆， 因此，总租金最少的租车方案是租12辆15吨货车，最少租金为14400元． 【变式训练】（24-25八年级上·广东佛山·期中）在“综合与实践”活动课时，小明关注了佛山移动公司手机资费两种套餐： A套餐：月租0元，市话通话费每分钟元； B套餐：月租费48元，免费市话通话时间48分钟，超出部分每分钟元． 设A套餐每月市话话费为元，B套餐每月市话话费为元，月市话通话时间为x分钟． (1)分别写出，与x的函数关系式； (2)小明爸爸每月市话通话时间为200分钟，请说明选择哪种套餐更合算． 【答案】(1) (2)选择B种套餐更合算 【思路点拨】（1）根据已知，列出函数关系式即可； （2）结合（1），求出时，两种套餐的费用，再比较即可． 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【规范解答】（1）解：根据题意得：，； （2）解：当时， ， ， 选择B种套餐更合算． 考点2 最大利润问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）学校需要添置教师办公桌椅、两型共套，已知套型桌椅和套型桌椅共需元，套型桌椅和套型桌椅共需元． (1)求，两型桌椅的单价； (2)若需要型桌椅不少于套，型桌椅不少于套，平均每套桌椅需要运费元．求出总费用最少的购置方案． 【答案】(1)型桌椅的单价为元，型桌椅的单价为元 (2)总费用最少的购置方案是购买型桌椅套，型桌椅套 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组或不等式是解本题的关键． （1）根据“2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，3套A型桌椅和2套B型桌椅共需3400元”，建立方程组即可得出结论； （2）根据题意建立函数关系式，由A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，确定出x的范围；根据一次函数的性质，即可得出结论． 【规范解答】（1）设型桌椅的单价为元，型桌椅的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 答：型桌椅的单价为元，型桌椅的单价为元； （2）设购买型桌椅套，则购买型桌椅套， 根据题意得：， 解得：， 设总费用为元， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，总费用最少， 此时，， 答：总费用最少的购置方案是购买型桌椅套，型桌椅套． 【变式训练】（25-26八年级上·辽宁锦州·月考）某纪念品店准备购进一批北京冬残奥运会纪念品．购进2件A纪念品和6件B纪念品共需180元，购进4件A纪念品和3件B纪念品共需135元． (1)求A、B两种纪念品每件的进价． (2)该店计划将2500元全部用于购进A、B两种纪念品，设购进A纪念品x件，该店进货时，厂家要求A纪念品的购进数量不超过40件．已知A纪念品每件售价为20元，B纪念品每件售价为30元．设该店全部售出这两种纪念品可获利W元，应该如何进货才能使该店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 (2)当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）设A种纪念品每件的进价为元，B种纪念品每件的进价为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进A纪念品x件，则，由题意得：，再利用一次函数的增减性求最值即可． 【规范解答】（1）解：设A种纪念品每件的进价为元，B种纪念品每件的进价为元， 则，解得：， 答：A种纪念品每件的进价为15元，B种纪念品每件的进价为25元 （2）解：设购进A纪念品x件，则， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时购进B纪念品件， 答：当该商店购进A纪念品40件，B纪念品76件时，该店获利最大，最大利润是580元． 考点3 行程问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为x（h），两艘轮船距离杭州的路程y（km）关于x（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长． (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：游轮与货轮何时相距12km？ 【答案】(1)C点横坐标表示游轮从杭州出发前往衢州共用了23小时，游轮在“七里扬帆”停靠的时长为 (2)当游轮出发21.6或22.4小时时，游轮与货轮相距12km 【思路点拨】本题为一次函数应用题，考查了函数与图象，待定系数法求函数解析式，一元一次方程应用等知识，根据题意读懂图象是解题关键． （1）根据题意结合图象即可求解； （2）先确定点B坐标为，点D坐标为，点E坐标为，再求出线段解析式为，线段解析式为，分货轮未追上游轮，相距12km和货轮超过游轮，相距12km两种情况列方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23小时； ∵游轮的速度为20km/h， ∴游轮航行时间为（h）， （h）， ∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长为； （2）解：由题意得游轮到达七里扬帆用时（h）， （h），（h）， ∴点B坐标为，点D坐标为，点E坐标为， 设线段解析式为， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， 解得， ∴线段解析式为； 设线段解析式为， ∵点D坐标为，点E坐标为， ∴， 解得， ∴线段解析式为． 当货轮未追上游轮，相距12km时， ， 解得， 当货轮超过游轮，相距12km时， ， 解得． 答：当游轮出发21.6或22.4小时时，游轮与货轮相距12km． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期中）甲、乙两地相距，A，B两辆货车分别从甲、乙两地出发相向而行，货车B比货车A晚出发一个小时．若它们都保持匀速行驶，货车A，货车B距乙地的距离与时间之间的关系如图所示． (1)求货车B出发后距乙地的距离y与时间x的关系式； (2)求货车B到甲地后，货车A还需多长时间到达乙地． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数的图象中获取有用的信息． （1）先求出货车B行驶速度，根据路程、时间、速度关系列函数表达式即可； （2）先求出货车A行驶时间，减去货车B所用时间即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知，货车B用行驶， 货车B的速度是， ， 货车B出发后距乙地的距离y与时间x的关系式为 （2）解：由图象可知，货车A出发3小时与货车B相遇， 货车A的速度为， 货车A从甲地到乙地所需时间为， 而货车B在时到达甲地， 货车B到甲地后，货车A还需到达乙地． 考点4 梯度计价问题 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽六安·期中）以下是某市自来水价格调整表（部分）：（单位：元/）则调整水价后某户居民月用水量x（）与应交水费y（元）的函数大致图象是（　　） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户0～30 第二阶梯：月用水量每户超过30 部分 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是理解题意，正确列出函数解析式．本题列出解析式后即可求解． 【规范解答】解：当用户用水量位于第一阶梯时，， 当用户用水量位于第二阶梯时，， ∴两段图象都是一次函数的图象，排除选项A与选项C， ∵， ∴第二段图象比第一段上升更快， 故选：B ． 【变式训练】（25-26八年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，三明市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量（） 单价（元） 第一档 3.5 第二档 5.0 第三档 6.5 (1)当时，写出水费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是1020元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是920元 (3)该户去年一年的用水量是 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的应用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据得到某用户的用水量处于第二档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用水量处于第二档，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，第一档的水费为元，超过部分的水量为，这部分按单价5元计费． 所以水费，化简可得：， 即当时，与之间的关系式为； （2）解：因为，将代入可得： （元）， 所以该户这一年的水费是920元； （3）解：当时，代入可得： （元）， 因为， 所以该用户用水量在第二档，即． 将代入，可得， 解得． 所以该户去年一年的用水量是． 考点5 其他问题(一次函数的实际应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西渭南·月考）声音在空气中传播的速度是气温的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： 气温 … 5 10 15 20 … 音速y（m/s） … 334 337 340 343 … (1)求与之间的函数关系式； (2)当声音在空气中的传播速度为时，求此时的气温． 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)当声音在空气中的传播速度为时，此时的气温是 【思路点拨】本题考查了一次函数的实际应用．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，由函数值求自变量的值． （1）先设函数解析式为，根据题意取点和，代入求解即可； （2）把y=325代入（1）结果，求出x值即可． 【规范解答】解：设与之间的函数关系式为， 由表格可知该一次函数图像经过点和， 所以解得 所以与之间的函数关系式为． 当声音在空气中的传播速度为时，有， 解得， 所以当声音在空气中的传播速度为时，此时的气温是． 【变式训练】（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数与装置高度满足我们学过的某种函数关系．如表，这是一组实验数据，根据表中的数据，当弹簧测力计读数为时，此时装置高度为（    ） 装置高度 0 弹簧测力计的读数 2 4 6 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 设一次函数为，根据题意代入和，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解． 【规范解答】解：设一次函数为， 代入和得，， 解得：， 一次函数为， 当时，， 解得：． 故选：A． 考点6 一次函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格中，已知网格的单位长度为，点，，均在格点上，要求回答下列问题： (1)画与关于轴的对称图形； (2)、、的坐标分别是______、______、______； (3)在轴上求作点，使的值最小，直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)． 【思路点拨】本道题主要考查平面直角坐标系中轴对称的坐标特征、轴对称图形的作图方法，以及利用将军饮马模型结合一次函数求解最短路径问题，是几何变换与函数应用的综合考查。 （）先确定各顶点坐标，再根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变”，找到对称点； 依次连接，得到； （）求对称点坐标：依据轴对称的坐标变化规律，直接由原顶点坐标推出的坐标； （）找轴上使最小的点，利用“轴对称求最短路径”的方法，作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，通过设直线解析式、求与轴交点坐标，得到点坐标 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． 分别找出点关于轴的对称点；依次连接，得到(画图时注意格点对应，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变) （2）先确定原各点坐标： ，关于轴对称后，， ，关于轴对称后，， ，关于轴对称后，． 故答案为：；；． （3）如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值， ∵点关于x轴的对称点， 设直线的解析式为，代入， ， 解得， ∴， 令，得， 则点即为所求， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)若直线与直线关于轴对称（如图），直线与轴交于点．求直线的解析式． (2)在（1）的条件下，若在射线上有一动点 ，且不与重合，连接，试求的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)如图，过点画平行于轴的直线． ①连接，，求证：是等腰直角三角形． ②将直线沿轴平移，当平移恰当长度（长度不为0）的时候，直线与轴交于点，与轴交于点，在直线上是否存在点（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形?若存在．请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②存在，或 【思路点拨】（1）求出 的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可；②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：在函数 中， 当时，，当时， ∴ ∵直线与直线关于x轴对称，直线与y轴交于点C， ∴C与B关于x轴对称，直线过点A， ∴ 设直线 ，将代入得，解得 ∴直线的解析式为 （2）解：∵ ∴ 如图1，当点 D 在线段上，且不与A 重合，即 时， 如图2，当点D在线段的延长线上，即时， 综上， （3）①证明:∵ ∴是等腰直角三角形 ②存在 点P的坐标为或 如图3，当点 P 为直角顶点时，设 设直线的解析式为 当时，，当时，， ∴ 过点作于G，设交x轴于点H ∵为等腰直角三角形，轴 ∴ ∴ ∴ ∴当时，或(舍去)，当时， 或(舍去) ∴P的坐标为或 如图4，当点为直角顶点时， 过点P作轴于H，则 易证 ∴或(舍去) ∴直线向上平移了2个单位， ∴直线的解析式为 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ 当点为直角顶点时，易知点在x轴正半轴上，在y轴负半轴上，设交x轴于H， 设直线的解析式为 当时，，当时， ∴ 如图5，当在的右侧时， 易证 解得 此时与重合，故舍去 如图6，当在 的左侧时， 易证 ∴ ∴ （不合题意，舍去） 综上,点P的坐标为或. 考点7 已知直线与坐标轴交点求方程的解 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点E为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在x轴正半轴上存在点F，使得以O、E、F为顶点的三角形与全等，这样的点F有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的性质、勾股定理等知识，正确分类讨论是解题关键．先分别求出，，，，再分两种情况：①和②，根据全等三角形的性质和一次函数的性质求解即可得． 【规范解答】解：将代入得：，解得， ∴， 将代入得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的斜边， ∴也是以为顶点的三角形的斜边， 则分以下两种情况： ①如图1，当时， ∴， ∴此时点的坐标为； ②如图2和图3，当时， ∴， ∴点的纵坐标为或， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为； 综上，这样的点有3个． 故选：C． 【变式训练】（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，已知直线，则方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查利用函数图象解一元一次方程，能够掌握数形结合思想是解决本题关键． 根据一次函数图象中的信息可得到方程的解． 【规范解答】解：根据图象可知：在的图象中，当时， ， 则的解为， 故答案为：． 考点8 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【典例精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点． (1)求直线，的函数表达式． (2)若点在直线上，且的面积为10，求点的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)点的坐标为或 【思路点拨】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设，由三角形面积的计算得到，解绝对值方程即可求解． 【规范解答】（1）解：直线：与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴直线的函数表达式为， 直线：与轴交于点， ∴， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：直线：与轴交于点， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴设， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； ∴点的坐标为或． 考点9 利用图象法解一元一次方程 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏镇江·月考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求一次函数的表达式； (2)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当______时，； (3)若该一次函数的图象、函数（为常数，）的图象和轴所围成的三角形的面积等于8，求出的值． (4)在第（3）的条件下，若此时围成的三角形面积大于8，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2)图象见解析， (3)或 (4)且 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元一次不等式的应用、一次函数图象上点的坐标特征，综合应用各知识点是解题关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数与坐标轴的交点坐标画出一次函数图象，根据函数图象求解即可； （3）分别求出两个函数图象分别与轴、轴的交点，建立两直线与轴所围成的三角形的面积为8时关于的方程，求解即可； （4）结合图形，即可求解． 【规范解答】（1）解：设一次函数解析式为， 一次函数的图象经过点，， , 解得， 故一次函数解析式为． （2）解：一次函数图象如图： 由图象可知，当时，， 故答案为：． （3）解：由（1）知，该一次函数为， 与轴交于点，与轴交于点， 的图像与轴交于点，与轴交于点， 故两个一次函数图像与轴围成的三角形面积为， 即，或， 解得或． （4）解：如图所示，当围成的三角形面积大于8时， 且， 【变式训练】（25-26八年级上·河南周口·期中）一次函数的图象经过点和，则当 时，．（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的增减性、一次函数与不等式等知识点，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 由一次函数的增减性可得，再根据一次函数的图象即可解答． 【规范解答】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴y随x的增大而减小， ∴． 又∵一次函数的图象经过点， ∴当时，． 故选A． 考点10 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图在平面直角坐标系中直线与直线的交点的横坐标为，求出关于的不等式组的解集． 【答案】 【思路点拨】先求直线与轴的交点坐标为，根据函数图象可得，当时，时，由此即可得． 本题考查了一次函数与一元一次不等式、解一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键． 【规范解答】解：当时，，解得， 直线与轴的交点坐标为， 由图象得：当时，时， 所以不等式组的解集为． 【变式训练】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线＝＋与轴交于点，与轴交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴下方部分图象的取值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线与轴交于点， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 考点11 根据两条直线的交点求不等式的解集 【典例精讲】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，一次函数和相交于点且与x轴相交于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数交点与不等式的解集问题． 直接根据函数图象作答即可． 【规范解答】解：由函数图象可知，当时，． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数与正比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，的取值范围； (3)是第二象限内一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2) (3)或 【思路点拨】本题考查一次函数，全等三角形的判定与性质； （1），代入可求一次函数关系式，代入可求正比例函数关系式； （2）根据函数图象，写出在上方时，的取值范围； （3）分两种情况：①点在第二象限，，；②点在第二象限，，，利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可得． 【规范解答】（1）解：，代入得： ，解得， 一次函数关系式为， 代入得： ，解得， 正比例函数关系式为； （2）根据函数图象可得，当时，； （3）解：对于一次函数， 当时，，即，， ， ， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， 在和中，， ∴， ，， ， ； ②如图，当点在第二象限，，时， 过点作轴于点， 则， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ， 综上，点的坐标为或． 考点12 两直线的交点与二元一次方程组的解 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过点作直线交于点D，交y轴于点E，且； (1)点B的坐标为 ，线段的长为 ． (2)求直线的函数表达式及点D的坐标． (3)如图，M是线段上一动点不与点C，E重合，交于点N，连接 ①在点M的移动过程中，线段与的数量关系是否变化？请说明理由； ②求 的最小面积． 【答案】(1)；3 (2)， (3)①不变，理由见解析；② 【思路点拨】（1）令求出y的值，即可求出点B的坐标；先求出点A的坐标即可求出的长； （2）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （3）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出； ②根据三角形的面积公式可得面积 ，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解． 【规范解答】（1）解：直线交坐标轴于A，B两点，且当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为； （2）解：点，，， ，， 点E的坐标为 设直线的函数表达式为，则 解得， ∴直线的函数表达式为 由得 即点D的坐标为 （3）解：①在点M的移动过程中，线段与的数量关系保持不变． 理由：， ，， ，， ， 即， 在和中， ，，， ∴， 故在点M的移动过程中，与的数量关系保持不变，始终相等． ②由①知， ， 的面积是， 当取得最小值时，的面积最小． ，，， ， ∵当时，取得最小值， 此时， ，解得， 的最小面积为 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宣城·月考）如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的交点问题，根据一次函数的交点坐标即为由一次函数解析式所构成的方程组的解即可求解，掌握一次函数的交点坐标的意义是解题的关键． 【规范解答】解：∵直线和直线交于点， ∴关于的二元一次方程组即的解为， 故答案为：． 考点13 求直线围成的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)在直线上存在异于点的另一点，使得是的面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的坐标为或 【思路点拨】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键． （1）设的解析式为，由图可得，；，，代入可得方程组，即可求出，的值； （2）根据直线的解析式为，求出点D坐标，联立直线，方程组，求出交点的坐标，继而可求出； （3）与底边都是，根据的面积是面积的倍，可得点的坐标． 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为，把，；， 代入得 ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：由，令，得， ， ； 由， 解得， ， ， ； （3）解：与有公共底边且在x轴上，的面积是面积的倍， ∴点到直线轴的距离是点到直线轴的距离的倍， 即纵坐标的绝对值是，则到轴距离为， 点纵坐标是， 将代入， ， 解得， ， 将代入， ， 解得， ， 综上所述，的坐标为或． 【变式训练】（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)存在，，见解析 【思路点拨】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【规范解答】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． ∴存在，． 1．（2024·广东深圳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． 依据题意，由直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，可得，从而，然后分两种情形分析即可计算得解． 【规范解答】解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴， ∴． 分两种情形， ①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴()． ∴． ∴． ∴． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线解析式为； ②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E， 同理可得． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线BC为． 综上，直线为或． 故答案为：或． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，函数为常数，与均为常数且都不为的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】由图可得过原点的直线是函数的图象，不等式表示直线在上方时的取值范围，通过交点可得当时满足条件；本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的图象和性质，熟练运用数形结合的思想，掌握两个图象的交点是两个函数值大小关系的分界点是解题的关键． 【规范解答】解：由图得直线是函数的图象， 解不等式即求直线在上方时的取值范围， 又∵两直线相交于点， ∴当时满足条件， 故不等式的解集为． 故答案为：． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，已知一次函数（k为常数，且）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数交于点C，已知点C的横坐标为2，下列说法错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．将的图象向下平移2个单位长度后所得图象经过原点 C．对于一次函数，当时， D．关于x、y的方程组的解为 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程可以化成一次函数．根据已知条件得到，把代入得到，即可求得，，再逐项分析即可得解． 【规范解答】解：A、∵点C的横坐标为2， ∴当时，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， 当时，，当时，， ∴，， 故选项A正确，不符合题意； B、将的图象向下平移2个单位长度后所得解析式为，其函数图象经过原点， 故选项B正确，不符合题意； C、由函数图象可知，对于一次函数，当时，， 故选项C错误，符合题意； D、方程组可变形为， ∵， ∴方程组的解为， 故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4．（2024·福建南平·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，是等腰三角形，，点D与点E分别是与上的中点，点P是线段上的一动点，当最小时，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数与几何综合，连接，由题意得垂直平分，推出两点关于对称，，当三点共线时，取得最小值；求出直线的解析式即可求解； 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵，点是的中点， ∴垂直平分， ∴两点关于对称， ∴； ∴当三点共线时，取到最小值； ∵点D是的中点，, ∴; 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴点P的坐标是； 故选：D 5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x负半轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．连接，如图2且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出B，C的坐标，对称性求出A点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）根据等边对等角得，结合,根据角的和差可得结论． 【规范解答】（1）解：函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． 当时，得：， 当时，得：， 解得， ∴，， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点A，点B的坐标分别代入得：， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：∵点C与点A关于y轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 基础夯实 1．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）已知直线和（、为常数，且）交于点，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一次函数交点问题，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标，掌握该知识点是解题的关键． 方程组的解即为两条直线的交点坐标，已知交点为，即可得到答案． 【规范解答】解：∵方程组 可变形为 ，即两条直线的方程，且已知两直线交于点， ∴ 方程组的解为． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【规范解答】解：关于x，y的方程组可变形为． 由于一次函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【规范解答】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）若一次函数与的图像交点坐标为，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将交点坐标代入两个函数解析式，得到两个方程，相加后消去，即可求出的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵一次函数与的图像交点坐标为， ∴，， ①②，得， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广东茂名·月考）体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉，x天后的体重为，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，掌握 根据实际数量关系列函数关系式 是解题的关键．根据题中所给条件求解即可． 【规范解答】解：由题意，初始体重为，每天减重，则x天后的体重． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在物理学中有很多的公式可以直接或者间接看作一次函数，例如求物体质量公式是正比例函数．在真正的物理问题中，一个变量随着另一个变量变化的例子有很多．例如匀速直线运动中，路程随着时间的变化而变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加．这些都是物理学中，应用最简单的知识．如图所示，某弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，则弹簧不挂物体时的长度是 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意是关键． 由题意得，设函数关系式为，根据函数图象可得把代入进行求解解析式，进而即可得到弹簧不挂物体时的长度． 【规范解答】解：由题意得，设函数关系式为， 把代入得：， 解得， ∴弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是， 当时， ， ∴弹簧不挂物体时的长度是； 故答案为：9． 7．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）如图，一次函数的图象经过点，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的联系是解题关键． 观察图象得知的图象经过点，即可求解． 【规范解答】解：观察函数的图象知： 的图象经过点， 即当时，， 所以关于的方程的解为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·月考）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元． (1)请求出与的函数关系式； (2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1) (2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少 【思路点拨】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解； （2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解． 【规范解答】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套， 由题意得：， 即与的函数关系式为（，且x为整数）； （2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：， 随的增大而减小， 当时，有最小值， 即若型健身器材买套， 则型健身器材买套， 答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少． 9．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费，下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准∶ 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 3 第二档 4 第三档 5 (1)当时，写出水费y（单位∶元）与x之间的关系式； (2)某户一年用水量是，求该户这一年的水费； (3)某户去年一年的水费是940元，求该户去年一年的用水量． 【答案】(1) (2)该户这一年的水费是780元 (3)该户去年用水量为 【思路点拨】本题主要考查一次函数的运用，理解表格信息，掌握一次函数中自变量，函数值的计算是关键． （1）根据表格信息运用第二档的计费方式列式计算即可； （2）根据信息，该用户处于第二档的计费，把代入（1）的式子计算即可； （3）根据题意得到该用户处于第二档的计费，把代入（1）的式子计算即可． 【规范解答】（1）解：由题可得，； （2）解：∵属于第二档， ∴将代入得，， ∴该户这一年的水费是780元； （3）解：因为， 所以该户去年用水量x满足， 把代入（1）中函数关系式可得：， 解得， 答：该户去年用水量为． 10．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与轴、轴的交点分别为，，求直线的表达式及的面积． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，利用三角形的面积公式求出的面积，掌握待定系数法是解题的关键． 【规范解答】解：设直线的表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∵，， ∴，， ∵， ∴． 培优拔高 11．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）某小汽车的油箱最多可装汽油升，原有号汽油升，现再加升同型号的号汽油，其价格是每升元，求油箱内所有汽油的总价（元）与（升）之间的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，根据总价等于汽油总升数乘以单价，结合油箱容量限制确定的取值范围即可，根据题意找到所求量的等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵原有汽油升，再加升，总升数为升，单价为元升， ∴， ∵油箱最多装升， ∴，即， ∴， ∴函数关系为， 故选：． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，点的坐标为，线段所在直线与直线（为常数，且）交于点，则的值为（    ） A．8 B． C．1 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查勾股定理求线段长、待定系数法求一次函数解析式、代数式求值等，利用待定系数法求出线段所在直线的表达式是解决问题的关键． 先由勾股定理求出长，从而得到，再由待定系数法求出线段所在直线的表达式，由线段所在直线与直线（为常数，且）交于点，代入求出，进而得到，代入直线求出，代入代数式计算即可得到答案． 【规范解答】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则， ，则， 设直线， 将、代入表达式得 ， 解得， 直线， 线段所在直线与直线（为常数，且）交于点， 将代入直线，得， 解得， 则， 将代入得， 解得， ， 故选：C． 13．（25-26八年级上·广西崇左·月考）教室里放有一台饮水机（如图），饮水机上有两个放水管．课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水．假设接水过程中水不发生泼洒，每个同学所接的水量都是相等的．两个放水管同时打开时，他们的流量相同．放水时先打开一个水管，过一会儿，再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着．饮水机的存水量y（升）与放水时间x（分钟）的函数关系如图所示： ①当放水时间10分钟时饮水机的存水量9.8升； ②饮水机里的水全部放完，需要20分钟； ③如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要7分钟； ④如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，在课间10分钟内班级中最多有32个同学能及时接完水； 以上结论正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查一次函数的应用，根据题意判断出函数表达式是解题的关键． 对于，根据题意判断出函数表达式为，对当时、当时求出对应的变量值，即可判断正误；对于需要根据题意作逐步判断． 【规范解答】设时，存水量y与放水时间x的解析式为， 把、代入得， ， 解得：， 则解析式为：； 当时，升，故该项正确； 当时，，故该项错误； 由图可知，前2分钟排水量为1升，则每个学生接水量是升， 则个同学需接水升， 存水量升， ∵两个放水管同时打开时，他们每分钟的流量为：（升）， ∴所用时间分钟， 故该项正确； ④当时，按照这种方法接水则前2分钟接4个同学，还剩8分钟饮水机的存水量， 这8分钟饮水机的流水量为：（升）， 则8分钟接水的人数为：， 则课间10分钟内班级中能及时接完水的人数一共有：． 故课间10分钟最多有32人及时接完水， 故该项正确； 则正确的有共三个． 故选：C． 14．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知直线与轴、轴分别交于、两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一次函数的综合运用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是作辅助线构造全等三角形求解．先根据一次函数的性质求得点和点的坐标，作轴，垂足为， 利用等腰直角三角形的性质结合角的等量代换证明，根据全等三角形的性质求，的长，即可确定点的坐标． 【规范解答】解：对于，令，则有， ，， 令，即，解得， ，， 如图所示，作轴，垂足为，   是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在第二象限， ， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）一次函数与的图像如图，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据图像法解不等式． 直接根据图像求解即可． 【规范解答】解：由图像可得，当时，的图像在的图像的下方， 关于的不等式的解集为． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，根据函数图象经过的象限可知一次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，再根据直线与坐标轴围成的三角形面积建立方程求解即可． 【规范解答】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象与x轴的交点在x轴的负半轴上， ∴， ∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， ∴（已检验是原方程的解）， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·全国·月考）如图，点在x轴上，直线与两坐标轴分别交于B，C两点，D，P分别是线段，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度，分别求出，和的长度，根据，可得，求出的长度，即可确定的最小值． 【规范解答】解：作点A关于y轴的对称点E，过点E作于点H，交y轴于点，连接，连接，则的最小值即为的长度， 由题意得：点E坐标为， ∵直线与两坐标轴分别交于B，C两点， 令，则， ∴点C坐标为， 令，则， ∴点B坐标为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积等于面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路点拨】（1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）首先求得直线与x轴的交点的坐标，直线与x轴的交点D的坐标，进而可求得的长，于是可求得的面积； （3）设点的坐标为，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 设直线的表达式为，把点和点代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：直线与x轴相交于点， 令，则， 解得：， ， 直线与x轴相交于点， ∴令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：点是y轴上一动点， 可设点的坐标为， 的面积等于的面积， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 19．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为元天，该种产品的原料及加工成本为元件，每天生产的产品以元件全部售出．（成本包括固定成本、原料及加工成本） (1)求利润（元天）与生产数量（件天）的函数表达式； (2)如果某天生产了件产品，那么这天的利润是多少元； (3)若每天最多生产件产品，求一天利润的最大值． 【答案】(1)（为非负整数） (2)元 (3)元 【思路点拨】（）根据题意列出函数表达式即可； （）把代入（）所得的函数表达式计算即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 即（为非负整数）； （2）解：当时，， ∴如果某天生产了件产品，那么这天的利润是元； （3）解：∵， ∴的值随着的增大而增大， 又∵每天最多生产件产品， ∴当时，一天利润的最大，最大值元． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高．勤学小组的同学们利用量筒和完全相同的玻璃球进行了模拟实验，实验过程中量筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出．研究发现量筒中水面高度与投入玻璃球数量之间是一次函数关系． 根据实验结果得到表格数据： 投入玻璃球数量粒 0 5 10 15 20 水面高度 10 11 12 13 14 (1)量筒中原来装有　　的水； (2)求与之间的关系式； (3)若量筒高，最多可以投入多少粒玻璃球？ 【答案】(1)10 (2) (3)100粒 【思路点拨】本题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意即可得到解答； （2）设一次函数关系式为，再将表格数据代入求解即可； （3）根据量筒高结合（2）的关系式列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，当投入玻璃球数量时，水面高度即为原来水的高度，由表格得：， 故答案为：10； （2）解：设一次函数关系式为， 由表格可得，将和代入， 得， 解得． ∴与之间的关系式为； （3）解：量筒高，即水面高度， ∴ 解得， ∴最多可以投入粒玻璃球． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $