2026-2027学年人教版数学九年级上册第一次阶段性检测

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，通过车棚搭建、文创销售等生活情境及丢沙包轨迹、研学租车等跨学科问题，考查模型意识与应用能力，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、函数图像性质|基础概念辨析，如第4题增长率问题初现应用意识| |填空题|5/20|等腰三角形方程应用、韦达定理、函数图像变换|第15题矩形面积与直线交点结合，考查抽象能力| |解答题|8/70|方程解法、函数图像、实际应用（车棚/利润）、综合实践|第22题丢沙包轨迹构建二次函数模型，体现几何直观；第23题研学租车方案优化，发展推理能力与应用意识|

2026-2027学年第一学期九年级数学第一次阶段性检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版九年级上册一元二次方程、二次函数 一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 6．将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 12．已知，是方程的两个根，则__________． 13．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 15．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三．解答题(本大题有8小题，共70分) 16．（本题6分）用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 17．（本题9分）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 18．（本题8分）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 19．（本题8分）某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 20.（本题8分）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 21．（本题8分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 22．（本题11分）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 23．（本题12分）我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 第6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年8月15日初中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 6．将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 9．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 12．已知，是方程的两个根，则__________． 13．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 15．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题 16．用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 17．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 18．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 19．某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 20．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 21．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 22．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 23．我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年8月15日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D D B D C A B 11． 12． 13． 14． 15．1或或 16．【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 18．(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 19．(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 20．(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 21.(1)； (2)6米 【分析】（1）表示出的长，根据长方形的面积公式即可写出函数关系式，根据“篱笆的长为24米，墙的最大可用长度为9米”列出不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的长为24米， ∴（米）， ∴花圃的面积， 即． ∵墙的最大可用长度为9米， ∴，解得 ∴的取值范围是． （2）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长度为6米． 22．(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 23．(1)A型客车每辆载客量为人，B型客车每辆载客量为人； (2)本次研学活动学校的最少租车费用是元． 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为人，则B型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（人）． ∴A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆， 根据题意得， 解得， 设本次研学活动学校的租车总费用为元， 则， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 又∵， ∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小， 又∵m取正整数， ∴的可能取值为，，，，， ∵，，， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）， ∴本次研学活动学校的最少租车费用是元． 答案第2页，共7页 答案第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学第一次阶段性检测教师版 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：A. 方程的未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B. 方程只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； C. 方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D. 方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 2．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得判别式为正数，得关于m的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 4．某工厂四月份生产零件25万个，第二季度共生产零件91万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确第二季度包含四、五、六三个月，结合月增长率表示各月产量后根据总产量列方程． 【详解】解：四月份产量为25万个， 五月份产量为万个， 六月份产量为万个． ∵第二季度总产量为91万个， ∴． 5．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 6．将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 8．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 9．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将、两点坐标代入抛物线解析式，用含的代数式表示、，结合的取值范围推导函数值的大小关系． 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 二、填空题 11．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 12．已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 13．将抛物线向左平移一个单位，再向上平移两个单位，得到的新抛物线的解析式为_______________． 【答案】 【分析】原抛物线已经是顶点式，直接根据二次函数平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可． 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减自变量，上加下减常数项． ∵原抛物线解析式为， ∴向左平移1个单位，对自变量加1，得， 再向上平移2个单位，对整体加2，得， ∴最后得到的新抛物线解析式为：． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15．如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 三、解答题 16．用指定的方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据题目要求用因式分解法解方程即可； （2）根据题目要求用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 二次项系数化为1，得， 因式分解，得， 解得：，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根  ， ∴  ， 解得：，． 17．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3）解：由函数图象可知，当时，． 18．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 19．某文创店生产一款文创产品并进行销售．每件文创产品的生产成本是30元，售价定为每件50元时，每天能售出40件．经市场调研发现：每件文创产品的售价每降低1元，每天会多售出8件． (1)该文创店为了提升利润，决定降价销售，若每天利润达到1200元，且尽可能让利于顾客，请求出相应的降价方案； (2)该文创店通过降价销售，每天利润能够达到1400元吗？如果能，请求出相应的降价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)每件文创产品的售价应降低10元； (2)每天利润不能达到1400元，理由如下： 假设每天利润能够达到1400元，设每件文创产品的售价降低y元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即每天利润不能够达到1400元． 【分析】（1）设每件文创产品的售价降低x元，根据题意列方程解方程即可； （2）假设每天利润能够达到1400元，根据题意列一元二次方程，根据根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设每件文创产品的售价降低x元，则每件文创产品的销售利润为元，每天能售出件， 根据题意得：， 整理得， 解得， 又要尽可能让利于顾客， ． 答：每件文创产品的售价应降低10元； （2）略． 20．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 21.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 【答案】(1)； (2)6米 【分析】（1）表示出的长，根据长方形的面积公式即可写出函数关系式，根据“篱笆的长为24米，墙的最大可用长度为9米”列出不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的长为24米， ∴（米）， ∴花圃的面积， 即． ∵墙的最大可用长度为9米， ∴，解得 ∴的取值范围是． （2）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长度为6米． 22．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 23．我市文广旅局以“春启汉韵知行徐州”为主题，推出多条精品研学线路，诚邀师生在行走中研学彭城，在体验中读懂徐州．某校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“淮海印记——红色精神接力”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 某A型客车租车费用为2500元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供10辆A型客车； 学校参加研学活动教师30人，学生有500人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】(1)A型客车每辆载客量为人，B型客车每辆载客量为人； (2)本次研学活动学校的最少租车费用是元． 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为人，则B型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（人）． ∴A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆， 根据题意得， 解得， 设本次研学活动学校的租车总费用为元， 则， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象为开口向下的抛物线， 又∵， ∴时，随着的增大而增大，时，随着的增大而减小， 又∵m取正整数， ∴的可能取值为，，，，， ∵，，， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）， ∴本次研学活动学校的最少租车费用是元． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $