5.2 认识函数 第2课时课件 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数中的函数表达式推导、自变量取值范围确定及应用，通过复习函数定义和表示方法搭建学习支架，衔接旧知与新知，以探究活动引导学生从等腰三角形周长、棋子图案等情境中抽象函数关系。 其亮点在于以“数学眼光”观察实际与几何问题，如游泳池放水、嵌套正方形，培养抽象能力，通过分类归纳自变量取值范围类型和逻辑推理发展推理意识，用函数表达式和不等式组规范表达强化模型观念。学生提升应用能力，教师获得结构化资源，突出重难点。

5.2 认识函数 第 5 章 一次函数 第2课时 浙教版八年级数学上册 1.能根据实际情境推导函数表达式，掌握确定自变量取值范围的方法(结合代数意义、几何性质、实际意义). 2.会运用函数表达式解决简单的实际问题(如求边长、存水量)和几何问题(如正方形面积、棋子总数). 3.通过探究活动，培养从图形中抽象规律、建立函数关系的能力. 4.感受函数在解决实际问题和几何问题中的应用价值，增强数学学习的实用性认知. 重点 难点 学习目标 回顾1：什么是函数？ 回顾2：函数有哪些表示方法? 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x叫作自变量. 图象法 列表法 解析法 复习回顾 活动一：探究函数自变量的取值范围 01 有分母，分母不能为0. 解：（1）因为x-1≠0 所以x≠1 开2次方，被开方数是非负数. （2）因为2a-4≥0 所以a≥2 探究新知 活动一：探究函数自变量的取值范围 02 儿童节的时候，每人发2颗糖果，总人数x与总发的糖果数y的函数关系式为_________, 其中人数x的取值范围是_____________. y= 2x x为正整数 求自变量的取值范，要注意什么? （1）必须使含有自变量的代数式有意义； （2）满足实际问题的意义，如 S = xr2 中，若 r 表示圆的半径，则 r > 0. 探究新知 活动一：探究函数自变量的取值范围 不同类型的函数表达式中自变量取值范围的求法 类型 特点 举例 取值范围 整式型 分式型 偶次根式型 综合型 等号右边是整式 y = 2x2+3x-1 全体实数 等号右边是分式，且自变量在分母的位置上 使分母不为0的全体实数 等号右边的自变量出现在偶次根式的被开方数中 使被开方数为非负数的全体实数 等号右边是复合式 使各式都有意义的公共解 探究新知 活动二：探究如何求函数表达式及相关问题 03 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x. (1)求y关于x的函数表达式. 求函数表达式，关键是寻找自变量x与函数y之间的数量关系. 解：(1)因为三角形的周长为10， 所以2x+y=10， 得函数表达式为y=10-2x. 探究新知 活动二：探究如何求函数表达式及相关问题 03 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x. (2)写出自变量x的取值范围. 解：(2)因为x，y是三角形的边长， 所以x>0，y>0，2x>y 两边之和大于第三边 探究新知 活动二：探究如何求函数表达式及相关问题 03 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x. (3)当腰长AB=3时，底边BC的长为多少? 解：(3)当AB=3，即x=3时，y=10-2×3=4. 所以当腰长AB=3时，底边BC的长为4. 当x＝6时，y＝10－2x的值是多少?对本例有意义吗?当x＝2呢? 解：当x=6时，y=10-2×6=-2<0，底边BC不存在. 当x=2时，y=10-2×2=6，边长分别为2，2，6，这样的三角形不存在. 探究新知 活动二：探究如何求函数表达式及相关问题 函数的三类基本问题： (1)求解析式 (2)求自变量的取值范围 (3)已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值 (1)自变量自身表示的意义，如时间、耗油量等不能为负数； (2) 问题中的限制条件. 此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围. 在实际问题中确定自变量的取值范围，主要考虑两个因素： 探究新知 活动二：探究如何求函数表达式及相关问题 04 如图，每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)枚棋子，设每个图案的棋子总数为S. (1)图中，棋子的排列有什么规律? 解：(1)观察图案可知，由于正方形四个顶点的棋子被两条边共用，所以呈现出每条边棋子数每增加1，总数增加4的规律. 探究新知 活动二：探究如何求函数表达式及相关问题 04 如图，每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上都有n(n≥2)枚棋子，设每个图案的棋子总数为S. (2)S与n之间能用函数表达式表示吗? (3)自变量n的取值范围是什么? 解：(2)观察图案可知， 当n=2时，S =4=4×(2-1)；当n=3时，S =8=4×(3-1)； 当n=4时，S =12=4×(4-1)；当n=5时，S =16=4×(5-1). 所以每条边有n枚棋子(n ≥2)，棋子总数S与n的关系为S = 4(n-1)(或S=4n-4). (3)自变量n的取值范围是n ≥ 2且n为整数. 探究新知 教材 例题 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔以每小时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t小时，游泳池内的存水量为Q立方米. (1)求Q关于t的函数表达式和自变量的取值范围. 应用新知 教材 例题 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔以每小时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t小时，游泳池内的存水量为Q立方米. (2)放水2小时20分后，游泳池内还剩多少立方 米的水？ 应用新知 教材 例题 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔以每小时312立方米的速度将水放出.设放水时间为t小时，游泳池内的存水量为Q立方米. (3)放完游泳池内全部水需要多少时间? 解：(3)放完游泳池内全部水时，Q=0， 即936-312t=0，解得t=3. 所以放完游泳池内全部水需要3小时. 应用新知 经典例题 暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，内容如下： 活动一：购买一张30元优惠卡，每次仅需5元； 活动二：不购买优惠卡，凭学生证，每次需7元. 若某学生暑假期间游泳x次，按活动一、活动二分别花费m，n元. (1)请你写出m，n与x之间的关系. (2)小明计划暑假期间游泳25次，你认为参与哪种活动比较合算? 解：(1)根据题意得： 活动一：m=30+5x； 活动二：n=7x； 应用新知 经典例题 暑假期间，某游泳馆针对学生推出两种优惠活动，内容如下： 活动一：购买一张30元优惠卡，每次仅需5元； 活动二：不购买优惠卡，凭学生证，每次需7元. 若某学生暑假期间游泳x次，按活动一、活动二分别花费m，n元. (1)请你写出m，n与x之间的关系. (2)小明计划暑假期间游泳25次，你认为参与哪种活动比较合算? 解：(2)把x=25代入得：m=30+5×25=30+125=155 n=7×25=175 因为155< 175，所以活动一比较合算. 应用新知 教材 练习 分式的分母不能为0. 解：(1)因为x-1≠0，所以x≠1. (2)自变量x的取值范围是全体实数. 课堂练习 教材 练习 解：因为四边形ABCD与EFGH均为正方形. 所以HG=EH，D=A=90°，GHE=90°. 所以DHG + AHE =90°= AHE+ AEH 所以DHG=AEH 所以△HAE≌△GDH(AAS) 所以DH= AE =x，所以AH=1-x， 在Rt△HAE中，由勾股定理得： D C G E A B x F H 课堂练习 教材 练习 D C G E A B x F H HE2=AE2+AH2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1 所以y= 2x2-2x+1； 又因为x>0，且1-x>0，所以0<x<l 所以y=2x2-2x+1(0<x<1)； 课堂练习 C 等腰三角形的内角和为180°，两个底角相等，所以顶角y＝180－2x. 又因为三角形的角必须大于0°且小于180°，底角x需满足0 < x< 90° 综上，函数关系为y＝180－2x(0<x<90)，故选C. 课堂练习 圆筒形水管的外径R必须大于内径6，因为若R< 6，则横截面积S＝π(R2－36)会小于等于0，不符合实际意义(横截面积应为正数).所以R的取值范围是所有大于6的实数. 4.如果一个圆筒形水管的外径是R，内径是6，它的横截面积S关于外径R的函数关系式为S＝π(R2－36)，那么R的取值范围为（ ） A.全体实数 B.全体正实数 C.全体非负实数 D.所有大于6的实数 D 课堂练习 设鸡场的宽为x m，则长为(36-2x)m. 根据长方形面积公式，面积y=x(36-2x)=-2x2+ 36x. 因为墙长为18 m，所以长36-2x需满足0 < 36-2x≤18. 解得 9 ≤ x < 18. 5.如图，在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为36m，则鸡场的面积y(m2)与宽x(m)的函数关系式为_______________，自变量的x取值范围为____________. y＝－2x2＋36x 9≤x＜18 课堂练习 课堂练习 7．2025年，某市启动了“美丽乡村”建设工程，为加强公民的节水意识，制定了如下用水收费标准:每户每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米1.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米1.8元收费. (1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元?若用水14立方米呢? (2)求出每户每月用水量超过10立方米时应交水费y(元)与用水量x(立方米)之间的关系式. 解：(1)用水8立方米时应交水费：1.2×8=9.6(元) 用水14立方米时应交水费：10×1.2+(14-10)×1.8=19.2(元) (2)由题意：y=10×1.2+(x-10)×1.8 整理，得：y=1.8x-6. 课堂练习 三类基本问题 认识函数 ①求解析式. ②求自变量的取值范围. ③已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值. 求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑: ①代数式要有意义. ②符合实际. 自变量取值范围 总结归纳 $