主题3 第6章 第4节 复数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 以复数概念为基础，通过代数运算与几何意义的结合，系统覆盖定义、运算、轨迹及方程应用，突出数学思维与几何直观的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1,5,6|纯虚数判定、共轭复数性质|从定义出发，结合充要条件推理| |代数运算|2,3,8|复数四则运算、模的计算|运算规则→结果化简→虚部/实部分析| |几何意义|4,9,13|模的距离转化、轨迹方程|复数坐标化→几何图形（圆/椭圆）→最值求解| |方程应用|7,10,14|方程根代入、韦达定理|实系数方程虚根成对→根与系数关系应用|

课时冲关39　复　数 [基础训练组] 1．已知z∈C，则“z为纯虚数”是“z＋＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由题意，z为纯虚数，则设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z＋＝bi－bi＝0； 当z＋＝0时，可取z＝＝0，则z为纯虚数不成立．故“z为纯虚数”是“z＋＝0”的充分不必要条件．] 2．(2025·全国一卷)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1　　 B．0 C．1　　 D．6 解析：C　[由(1＋5i)i＝－5＋i，即知虚部为1，选C.] 3．若复数z满足＝－i，则z在复平面内的对应点(　　) A．在直线y＝－x上 B．在直线y＝x上 C．在直线y＝－2x上 D．在直线y＝2x上 解析：B　[∵＝－i，∴＝－i(1＋i)＝1－i， ∴z＝1＋i，∴z在复平面内的对应点的坐标为(1,1)，在直线y＝x上．] 4．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如|z|＝|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．已知复数z满足|z|＝2，则|z－3－4i|的最大值为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 解析：C　[∵|z|＝2，∴z对应的点Z(x，y)的轨迹为圆x2＋y2＝4；∵|z－3－4i|的几何意义为点Z(x，y)到点(3,4)的距离，∴|z－3－4i|max＝＋2＝7.] 5．设复数z的模长为1，在复平面对应的点位于第一象限，且满足|z＋|＝1，则＝(　　) A.＋i B.＋i C.－i D.－i 解析：C　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为在复平面对应的点位于第一象限，所以a＞0，b＞0， 由|z＋|＝|2a|＝1，得a＝， 因为复数z的模长为1， 所以＝＝1，解得b＝， 所以z＝＋i，＝－i.] 6．(多选)关于复数z＝cos＋isin (i为虚数单位)，下列说法正确的是(　　) A．|z|＝1 B.在复平面上对应的点位于第二象限 C．z3＝1 D．z2＋z＋1＝0 解析：ACD　[z＝cos ＋isin＝－＋i，所以|z|＝＝1，故A正确； ＝－－i，则在复平面上对应的点为位于第三象限，故B错误； z＝－＋i⇒z2＝2＝2＋2×＋2＝－－i， z3＝z2·z＝2 ＝＝2－2 ＝－i2＝＋＝1，故C正确；z2＋z＋1＝－－i－＋i＋1＝0，故D正确．] 7．(多选)已知复数z满足方程(z2＋9)(z2－2z＋4)＝0，则(　　) A．z可能为纯虚数 B．该方程共有两个虚根 C．z可能为1－i D．该方程的各根之和为2 解析：ACD　[由(z2＋9)(z2－2z＋4)＝0， 得z2＋9＝0或z2－2z＋4＝0， 即z2＝－9或(z－1)2＝－3， 解得z＝±3i或z＝1±i， 即方程的根分别为z1＝3i，z2＝－3i，z3＝1＋i，z4＝1－i. 所以z1＋z2＋z3＋z4＝3i＋(－3i)＋(1＋i)＋(1－i)＝2.] 8．i为虚数单位，复数z＋|z|＝8＋4i，复数z的共轭复数为，则的虚部为________． 解析：解法一： 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋ ＝8＋4i， 由复数相等，得解得x＝3， 即复数z＝3＋4i， 所以＝3－4i，所以的虚部为－4. 解法二： 由z＋|z|＝8＋4i，得z＝8－|z|＋4i. 因为|z|是实数，所以8－|z|也是实数， 则有＝8－|z|－4i，所以的虚部为－4. 答案：－4 9．设x∈R，记[x]为不大于x的最大整数，{x}为不小于x的最小整数．设集合A＝{z|2≤[|z|]≤3，z∈C}，B＝{z|2≤{|z|}≤3，z∈C}，则A∩B在复平面内对应的点的图形面积是______． 解析：依题意由2≤[|z|]≤3，所以2≤|z|＜4，由2≤{|z|}≤3，所以1＜|z|≤3，所以A＝{z|2≤[|z|]≤3，z∈C}＝{z|2≤|z|＜4，z∈C}，B＝{z|2≤{|z|}≤3，z∈C}＝{z|1＜|z|≤3，z∈C}，所以A∩B＝{z|2≤|z|≤3，z∈C}， 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由2≤|z|≤3，所以2≤≤3，所以4≤x2＋y2≤9，所以复数z在复平面内对应的点为在复平面内到坐标原点的距离大于等于2且小于等于3的圆环部分， 所以圆环的面积S＝π(32－22)＝5π. 答案：5π 10．已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根． (1)求实数a，b的值； (2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明． 解：(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0， ∴解得 (2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0. 设另一个根为x2，由根与系数的关系， 得－1＋i＋x2＝－2， ∴x2＝－1－i. 把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0， 则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边， ∴x2＝－1－i是方程的另一个根． [能力提升组] 11．已知复数z对应的点在第二象限，为z的共轭复数，有下列关于z的四个命题： 甲：z＋＝－2；乙：z－＝2i；丙：z·＝4；丁：z÷＝－i.如果只有一个假命题，则该命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：B　[设z＝a＋bi，＝a－bi，由于z对应的点在第二象限，所以a<0，b>0，z＋＝2a<0，z－＝2bi， z·＝a2＋b2，＝＝ ＝＝＋i. 甲⇒2a＝－2，a＝－1，乙⇒2b＝2，b＝1，丙⇒a2＋b2＝4，丁⇒＝－，＝－⇒b＝－a，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，b的值应为.] 12．(多选)设复数z＝(a∈R)，当a变化时，下列结论正确的是(　　) A．|z|＝||恒成立 B．z可能是纯虚数 C．z＋可能是实数 D．|z|的最大值为 解析：ABD　[z＝＝＝－i， 对选项A，＝＋i，|z|＝||＝，故A正确； 对选项B，z＝－i，当a＝0时， z＝－i为纯虚数，故B正确； 对选项C，z＋＝－i＋a＋2i ＝＋i，令2－＝0， 即a2＋3＝0无解，故C错误； 对选项D，|z|2＝＋＝≤，当且仅当a＝0时取等号．所以|z|的最大值为，故D正确．] 13．已知复数z1，z2满足|z1＋－i|＋|z1－＋i|＝2，z2＝2＋2i，(其中i是虚数单位)，则|z1－z2|的最小值为________． 解析：设复数z1，z2＝2＋2i，－＋i，－i在复平面内对应的点分别为Z1(x，y)，Z2(2，2)，F1(－，1)，F2(，－1)， 由题意可知：|Z1F1|＋|Z1F2|＝2＞4＝|F1F2|， 可知点Z1的轨迹表示焦点分别为F1(－，1)，F2(，－1)的椭圆， 则长半轴长为a＝，半焦距c＝2，短半轴长为b＝＝1，且该椭圆的长轴所在直线为y＝－x，短轴所在直线为y＝x. 因为点Z2在y＝x上，且|OZ2|＝4， 若使得|z1－z2|最小，则需|Z1Z2|取得最小值， 即点Z1为第一象限内的短轴端点， 此时|z1－z2|＝|OZ2|－1＝3. 答案：3 14．已知虚数z满足|2z＋1－i|＝|z＋2－2i|. (1)求|z|的值； (2)若mz＋∈R，求实数m的值． 解：(1)设虚数z＝a＋bi(a、b∈R且b≠0)， 代入|2z＋1－i|＝|z＋2－2i|， 得|2a＋1＋(2b－1)i|＝|(a＋2)＋(b－2)i|， ∴(2a＋1)2＋(2b－1)2＝(a＋2)2＋(b－2)2， 即4a2＋4b2＋4a－4b＋2＝a2＋b2＋4a－4b＋8， 可得a2＋b2＝2，因此|z|＝. (2)由(1)知，z＝a＋bi，其中a、b∈R，且b≠0，a2＋b2＝2， 又知m∈R，mz＋∈R. ∴mz＋＝m(a＋bi)＋＝m(a＋bi)＋＝m(a＋bi)＋ ＝＋i， ∵mz＋∈R，∴mb－b＝0，解得m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $