第五章 平面向量与复数（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦平面向量与复数综合应用，通过基础题型、新定义及实际情境题，整合线性运算、数量积、复数几何意义等核心知识，考查数学眼光、思维与语言能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|10题（含新定义变换、卫星平移应用题）|涵盖线性运算、数量积、最值问题，结合几何图形与实际情境|从向量概念生成，到线性运算、数量积推导，再到几何意义与最值拓展| |复数|9题（含方程根、几何意义题）|包含基础运算、几何表示、新考法命题判断|从复数定义出发，关联方程根与几何意义，构建代数与几何的逻辑链条|

第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·海南海口·模拟预测）在复平面内，复数所对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2026·浙江台州·二模）设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 6．【新定义】（2026·辽宁·模拟预测）定义变换：，变换可以将平面向量逆时针旋转（）角得到向量，其中 ， ．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 8．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 10．【新考法】（2026·辽宁朝阳·一模）已知复数满足，则下列命题为真命题的有（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为 B．存在两个实数t，使得 C．若，则 D．以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围是________． 13．（2026·广东·模拟预测）已知，，若，则的最小值为__________. 14．（2024·天津·二模）已知中，，，记，则_________；若，当最大时，___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 16．（15分）（2026·河南郑州·模拟预测）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 17．（15分）已知在复平面内，复数所对应的点分别为，.为坐标原点，是虚数单位. (1)若，求与； (2)向量，对应的复数分别为，，若，求实数； (3)已知复数满足，求的最值. 18．（17分）已知点、、． (1)求； (2)若C在以原点为圆心的单位圆上，求的取值范围； (3)若动点C满足，求的最小值及的值． 19．【新定义】（17分）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. (1)若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； (2)当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 (3)设，若对恒成立，求的最大值. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章平面向量与复数（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 个 A C C C D 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD ABC ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. [2,3] √10 13.2 1 14.3/3-1 2W5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.【详解1（少已知2=m+2+(0-2,则2=m+2-m-2 ，.2分 由于2+2=6，得” m+2+(m-2)i+m+2-（m-2)i=2m+4=6 .4分 解得：m=1 .6分 (2)由(1)可知，2=3-i,将2-3=3-4代入方程可得：(6-4+a(6-4)+b=0 1/7 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-7+3a+b=0 即：（-7+3a+b）-(4a+24)i=0,得：4a+24=0,8分 解得：a=-6,b=25,. 10分 代入一元二次方程中得：x2-6x+25=0, 2程七=6+√64i三3+4ix=。—64=3-4好 2 2 即方程另外一个复数根为3+4i. 13分 16.【详解】(1)已知1,3)、B(m,-2) 则01=8+36,0B=m6-2g 1s分 又0丽=2G+46 .AP=OP-OA=e+e;AB=(m-1)e-5e; 又“从、B、P三点共线，则存在实数入使行丽=2D, 即(m-10g-58=(6+g)=e+g ，4分 m-1=元 由平面向量基本定理得-5=入，解得m=-4, ∴.实数m的值-4， .6分 (2)由平面向量数量积的定义可得号·6，=1x1cos60°= .7分 P=2e+4e, 由题意可得 8分 om=22+4⊙=(2g+46-v46+16g-e+16e=4+16×)+16=27 2 10分 月理网-+同可-尽+2gg+-+2兮1- 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 om.00-+4g)6+8)=2G+6g6+46=246x宁49， 12分 .cos POO= 0p.00 93W21 00@27×314, 13分 又0<∠P00<180 ..sinLPOQ=1-cos2LPOQ= 321 14 14, .14分 oo sin Po 142.15分 17.【详解】(1若5=4-3=-5-1，则=(4-3刘(5-4)-20-16+151-12=-2-i,2分 由于=4对应向量0☑=(4，-)， 5-对应向量0Z=(54), 3分 所以0Z0Z=4×(-5)+(-3)×(4)=-8 .4分 7-i(7-i00+10_7+1+6i=4+3i (2)由于1-i(1-i)1+i) 2 ,.5分 所以0Z=(4,3).0元=6.(2-) 则ZZ=0z-0z=(2-月-(4,3)=-4,1-) 则ZZ=V-4}+(-y=5,… 7分 化简可得：1-3t-4=0,解得：t=4或t=-1;8分 (3设=a+abeR）,则2=a-M, 由子=，可得：(a+b=a-b 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化简得：b=0,所以a=0或b=0,… 10分 由于s1 当a=0时，z=bi,且-1≤b≤1，所以2-1-3列=1+(b-3)=1+(b-3}, 所以b=-1时，-1-3列x=1+(1-3=7 .12分 当b=1时，2-1-3列=V1+1-3y=5】 13分 当b=0时，z=a,且-1≤a≤1，所以2-l-3列=a-1-3列=V(a-l+9 所以a=-1时，k-1-3列=3 当a=l时，b-1-3到=5=3 .14分 综上.--刘的最大植为万，最小值为5 .15分 18,【详解】(1)由题可得B=(2,0),MP-(2,3) 则2-3P=22,0)）-325)=(-2,3) 2分 (2)设C(cos8,sin0),0e(0,2m,由Pc.PB+PC-Pm=Pc(Pm+P列. 注忘到P历=(0)A=(2）,故P丽+A-(2-2,又P元-(os0-lsmg-5) 则（西+网）-2eos8-小-25(m0--8-(5s0+2ac0小8-46m0+君) ,6分 因为血0+则心(@网K以 8分 (3)设C(,),因Ac=CP,则+山)=A-5-) 可小品品 [x+1=(1-x) .11分 4/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当BC取最小值时，BC表示B到直线AP距离，此时BC上严 所以BC.4P=(x-l)2,5)=2x+5y-2=0 13分 143 则252-0，解得-手则号49 λ+1 λ+1 14分 36,482√21 77, 17分 19.【详解】（1)01-05=3c+6,-(6+9)=2E】 所以向量01-0B的仿射坐标为2,0) 11 其中一个“完美向量”的仿射坐标为3’3 2分 (②)因为当9=了时，O=(a.)是0仿射坐标系下的“完美向量”， 所-m列片 由题应得0<a<h3,则0<骨a骨6<元，0<a<b 兀， π 3 66 2' π 可得3a +b=元，0<b-a -a< 66 2 5分 m小-y百-29.m--2g 所以m（56-o-or（行msn（g}m[o） 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+33 9,8分 所以sm6-小-y -cos 3- 2√2 2 3 10分 (3)因为01：0B=(3+)(6+e)=3e2+4ee+e,=4+4os0 0l-=3c+eg=V9e2+e2+6ee,=0+6cos0】 0丽=g+e=V+e,+286,=V2+2cos0】 12分 因为可1-0≥5，所以0-2x01.0+r0n≥3， 所以2r0+cos0)-8+cs0r+7+6cos020对1eR恒成立. 又因为1+c0s0>0,所以△=[8(1+cos0]-4×2(1+c0s0)x(7+6cos0)≤0 得-1<cos0≤ 2 14分 OA.OB 4+4cos0 1+cose 2 2 cosa= =2 此时 OB0+6c0s0.2+2co50 V5+3cos0 5+3c0s0, 因为0<0<π： 2,且-1<cos0s- 0 2 所以2<5+3c0s0≤7， 2 0<1 svi 所 5+3cos0 7, OA·OB2 2 coSa= 所以 o:o丽5V √7 5+3c0s0的最大值为7 17分 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7/7 第五章 平面向量与复数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·海南海口·模拟预测）在复平面内，复数所对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】复数所对应的点为， 又， 所以复数所对应的点在第一象限． 2．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因此。 又因为，， 所以. 化简可得，即. 又，， 因此. 3．（2025·贵州遵义·模拟预测）在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为点沿平移后，坐标为， 点沿平移后，坐标为； 点沿平移后坐标为， 因为三次平移后坐标为，故，解得. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 5．（2026·浙江台州·二模）设复数，是关于x的方程的两个根，，在复平面内所对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．为纯虚数 【答案】B 【详解】由题知，方程无实数根，则两个复数根，必为共轭复数，，故C错误； 又，故为实数，故A，D错误； 又，则方程的根为， 即， ， 由 得，， 故，故B正确. 6．【新定义】（2026·辽宁·模拟预测）定义变换：，变换可以将平面向量逆时针旋转（）角得到向量，其中 ， ．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，所以， 同理 所以 ，，所以， ， ． 记与的夹角为，则． 7．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由，则，如下图示，    令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 8．（2024·江西·模拟预测）已知向量，其中，，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，， 则， 即， 因为，所以，则， 所以，则， 整理得， 令，因为，所以，，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题决的关键是利用三角恒等变换将转化为关于的表达式，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，向量，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B正确； 对于C选项，向量，，所以， 又，所以与不共线，故C错误； 对于D选项，因为，，所以， 所以，故D正确. 综上所述，选项ABD均正确. 10．【新考法】（2026·辽宁朝阳·一模）已知复数满足，则下列命题为真命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】先证：. 设，其中均为实数，则， 所以 又 . 对于A，得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误. 11．（2026·山西忻州·模拟预测）已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为 B．存在两个实数t，使得 C．若，则 D．以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于选项A， ，故选项A正确； 对于选项B，由，则， 即， 由于，故存在两个实数t，使得，选项B正确； 对于选项C，若，则，即， ， ，当时，方程不成立，故选项C错误； 对于选项D，以，为邻边的平行四边形，设，夹角为， 则， 由于，则 那么以，为邻边的平行四边形面积 ，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为，，故； ； 故等价于， 即，即，解得：； 故的取值范围是． 13．（2026·广东·模拟预测）已知，，若，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】将复数转至复平面上进行研究，则复数对应的向量为，复数对应的向量为， 若复数，则其所对应的向量，故复数在复平面上对应的点在直线上. 直线的斜率，所以直线的方程为，即， 因为,所以的最小值为原点到该直线的距离. 故答案为：. 14．（2024·天津·二模）已知中，，，记，则_________；若，当最大时，___________. 【答案】 / 【详解】 因为，所以， ， 所以，； 因为，所以，以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，， 设，则，，则，， ，当且仅当时取等号， 此时，，最小，最大， 所以当最大时，. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 【详解】（1）已知，则， 2分 由于，得， 4分 解得： 6分 （2）由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：， 8分 解得：，， 10分 代入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 13分 16．（15分）（2026·河南郑州·模拟预测）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)设、，若、、三点共线，求实数的值； (2)设，求的面积． 【详解】（1）已知、， 则，， 1分 又， ，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 4分 由平面向量基本定理得，解得， 实数的值． 6分 （2）由平面向量数量积的定义可得， 7分 由题意可得， 8分 ， 10分 同理， ， 12分 ， 13分 又， ， 14分 ． 15分 17．（15分）已知在复平面内，复数所对应的点分别为，.为坐标原点，是虚数单位. (1)若，求与； (2)向量，对应的复数分别为，，若，求实数； (3)已知复数满足，求的最值. 【详解】（1）若，则， 2分 由于对应向量， 对应向量， 3分 所以； 4分 （2）由于， 5分 所以，， 则， 则， 7分 化简可得：，解得：或； 8分 （3）设，则， 由，可得：， 化简得：，所以或， 10分 由于， 当时，，且，所以， 所以时，， 12分 当时，， 13分 当时，，且，所以， 所以时，， 当时，， 14分 综上，的最大值为，最小值为 15分 18．（17分）已知点、、． (1)求； (2)若C在以原点为圆心的单位圆上，求的取值范围； (3)若动点C满足，求的最小值及的值． 【详解】（1）由题可得，， 则； 2分 （2）设，由， 注意到，故，又， 则 ， 6分 因为，则； 8分 （3）设，因，则， 即，解得，则， 11分 当取最小值时，表示B到直线AP距离，此时， 所以， 13分 则，解得，则， 14分 即，则. 17分 19．【新定义】（17分）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. (1)若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； (2)当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 (3)设，若对恒成立，求的最大值. 【详解】（1）， 所以向量的仿射坐标为. 其中一个“完美向量”的仿射坐标为. 2分 （2）因为当时，是仿射坐标系下的“完美向量”， 所以， 由题意得，则，， 可得，， 故，， 5分 所以，， 所以 ， 8分 所以. 10分 （3）因为， ， ， 12分 因为，所以， 所以对恒成立， 又因为，所以， 得， 14分 此时， 因为，，且， 所以， 所以， 所以的最大值为. 17分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $