第04讲 复数（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以题型分类为框架，系统覆盖复数概念、运算、几何意义及应用，通过基础到创新的层级训练，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|10类47题|聚焦四则运算、实虚部、模长等基础题型|从概念（实虚部、纯虚数）到运算（四则、高次方），再到几何意义（复平面、轨迹）递进| |重难创新|10题|融合旋转变换、轨迹最值、跨知识综合题|深化几何直观与运算能力，拓展三角表示及应用| |真题实战|9题|覆盖高频考点如共轭复数、模长计算|对接高考命题趋势，强化核心素养应用|

第04讲 复 数 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 复数的四则运算 2 题型02 复数的高次方计算 2 题型03 复数的实部与虚部 3 题型04 复数的分类（纯虚数 3 题型05 复数相等 3 题型06 共轭复数 4 题型07 复数的几何意义 4 题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题 5 题型09 复数范围内解方程 6 题型10 复数的三角表示 6 重难·创新演练 7 真题·实战演练 9 模拟·基础演练 考查重点：复数四则运算、复数高次幂运算、复数实部与虚部判断、纯虚数参数求解、复数相等应用、共轭复数相关计算、复平面内点的象限判断与对称旋转、复数模长计算及轨迹最值问题、复数范围内解方程、复数三角形式、棣莫弗公式与欧拉公式、复数几何旋转变换。 题型01 复数的四则运算 1．已知复数，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则（     ） A． B． C． D． 3.若复数满足，则（     ） A． B． C． D． 4．为实数，则为（     ） A． B． C． D． 5．已知，，，计算 ． 6．已知复数，化简得____________. 题型02 复数的高次方计算 7.（2026·山西朔州·一模）（     ） A． B． C． D． 8．复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 9.若复数，则____________. 10.若复数，则的虚部为 . 题型03 复数的实部与虚部 11．（2026·陕西商洛·一模）若复数满足，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 12.（2025·江西新余·模拟预测）若，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 13．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（     ） A．0 B． C． D．2 14．（25-26高三上·江苏南京·测试）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法错误的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 15．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）复数的虚部为____________. 题型04 复数的分类（纯虚数） 16．已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（     ） A． B．2 C．1 D． 17.设，则“”是“复数”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 18．（多选）已知复数、，则（     ） A．若，则 B．若为纯虚数，则也为纯虚数 C．若，则是实数 D．若，则 19．（25-26高三上·江苏·期中）若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 题型05 复数相等 20．若（a，，i为虚数单位），则的值为（     ） A．2 B．1 C． D． 21．已知复数满足，则（     ） A．3 B． C．2 D． 22．（2026·湖北·三模）已知复数z满足，则（     ） A．i B． C． D． 23．（25-26高二下·广东广州·期末）复数z满足，则（     ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 题型06 共轭复数 25．设，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 27．（2026·山东济南·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 28．（多选）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （     ） A． B．的模为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 29．（多选）（2026·四川攀枝花·一模）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（     ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 题型07 复数的几何意义 30．已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 31.在复平面内，对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 32．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 33.已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（     ） A． B． C． D． 34．已知复数. (1)当时，求； (2)设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题 35．（2026·河北张家口·一模）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（     ） A．1 B． C． D．2 36．（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（     ） A．1 B． C．2 D．4 37．若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为 ． 38.（多选）已知复数满足，则下列结论正确的是（     ） A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 39.（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（     ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．复数， D．若复数满足，则的最大值为6 题型09 复数范围内解方程 40.（多选）（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 41．（25-26高三上·浙江温州·期中）若是关于的方程的复数根，则____________． 42.已知复数是关于的方程的根，则 . 43.方程的复数根为，则 ，使得为纯虚数的实数的值为 . 题型10 复数的三角表示 44.（多选）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（     ） A． B． C． D． 45.殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式____________. 46．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为____________. 47.任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，，________． 重难·创新演练 设题创新: 融合复平面旋转对称变换求复数模、利用数形结合解决复数轨迹最值问题、复数与概率直角三角形实系数二次方程韦达定理综合命题、多选项辨析复数基础性质、拓展欧拉公式棣莫弗三角形式拓展类新颖题型。 1．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B． C．3 D．5 3．【新考法】若复数满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（多选）已知复数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则为纯虚数 D． 5．（25-26高三上·海南·阶段检测）（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 6．（多选）若复数（i为虚数单位），其中真命题为（     ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 7．【新考法】（多选）若，为复数，则下列选项一定正确的是（     ） A． B． 8．【新考法】若复数（其中是虚数单位）的实部、虚部均为 十个数字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是___________． 9．【新角度】已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数__________. 10．【新考法】已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 真题·实战演练 高频考点：复数基础四则化简、共轭复数运算、复数模长求解、利用复数相等求参数、复数简单代数求值计算。 1. （2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A. B. C. 2 D. 8 2. （2026·上海·高考真题）已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D．2 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（     ） A． B． C．10 D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）（     ） A．1 B．2 C． D．5 6．（2023·全国甲卷·高考真题）（     ） A． B．1 C． D． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（     ） A．-1 B．0    C．1 D．2 8．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 9．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数____________. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 复 数 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 复数的四则运算 2 题型02 复数的高次方计算 3 题型03 复数的实部与虚部 4 题型04 复数的分类（纯虚数 5 题型05 复数相等 7 题型06 共轭复数 8 题型07 复数的几何意义 10 题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题 11 题型09 复数范围内解方程 13 题型10 复数的三角表示 15 重难·创新演练 17 真题·实战演练 22 模拟·基础演练 考查重点：复数四则运算、复数高次幂运算、复数实部与虚部判断、纯虚数参数求解、复数相等应用、共轭复数相关计算、复平面内点的象限判断与对称旋转、复数模长计算及轨迹最值问题、复数范围内解方程、复数三角形式、棣莫弗公式与欧拉公式、复数几何旋转变换。 题型01 复数的四则运算 1．已知复数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数，. 故选：B. 2．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 3.若复数满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 故选：A. 4．为实数，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数是实数，所以，所以. 故选:B. 5．已知，，，计算 ． 【答案】 【详解】因为，，， 所以． 故答案为： 6．已知复数，化简得____________. 【答案】 【详解】， 故答案为： 题型02 复数的高次方计算 7.（2026·山西朔州·一模）（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化简得. 故选：C. 8．复数的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的乘方、除法得，结合虚部的概念即可得解. 【详解】因为，所以复数的虚部为. 故选：C. 9.若复数，则____________. 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 10.若复数，则的虚部为 . 【详解】因为，， 故复数，故的虚部为， 故答案为： 题型03 复数的实部与虚部 11．（2026·陕西商洛·一模）若复数满足，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，.所以的虚部是． 故选：B. 12.（2025·江西新余·模拟预测）若，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式利用复数的乘法和除法，求出复数，从而确定复数的虚部. 【详解】依题意，， 故的虚部为. 故选：C. 13．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（     ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的乘方运算和除法运算，以及实部和虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的实部为，虚部为，则实部与虚部和为. 故选：C. 14．（25-26高三上·江苏南京·测试）（多选）已知复数（为虚数单位），则下列说法错误的是（     ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据实部、虚部的定义，可判断A、B的正误；根据求模公式及共轭复数的定义，可判断C、D的正误. 【详解】由题意，所以z的实部为1，虚部为1，故A正确，B错误， 模为，共轭复数为，故C正确，D错误. 故选：BD. 15．（25-26高三上·江西新余·阶段检测）复数的虚部为____________. 【答案】 【详解】因为，所以的虚部为. 故答案为： 题型04 复数的分类（纯虚数） 16．已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则， 所以，所以，所以． 故选：B． 17.设，则“”是“复数”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】复数，则，解得，或， 解得，或.综上，；，则，充分性成立；，则，必要性成立， “”是“复数”的充要条件． 故选：C． 18．（多选）已知复数、，则（     ） A．若，则 B．若为纯虚数，则也为纯虚数 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】AC 【分析】设，根据共轭复数的定义、复数的模长公式、复数运算可判断AC选项；取，，结合复数的运算、复数的概念可判断BD选项. 【详解】对于A选项，设，若，则， 所以，A对； 对于B选项，不妨取，，则为纯虚数， 但为实数，B错； 对于C选项，设，若，则，所以为实数，C对； 对于D选项，不妨取，，则，但且，D错. 故选：AC. 19．（25-26高三上·江苏·期中）若复数是纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】0 【分析】根据纯虚数的定义，令复数的实部为0且虚部不为0，联立方程与不等式求解即可. 【详解】根据纯虚数的定义：对于复数，当且仅当且时，该复数为纯虚数， 因为复数为纯虚数，m为实数， 所以，即，解得. 故答案为：0 题型05 复数相等 20．若（a，，i为虚数单位），则的值为（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的乘法计算结合复数相等得出参数即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，，得，，所以． 故选：A． 21．已知复数满足，则（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数，根据复数的模长公式即可求解. 【详解】设，，由， ∴，解得，∴，∴. 故选：D. 22．（2026·湖北·三模）已知复数z满足，则（     ） A．i B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，设，，根据共轭复数结合复数运算可得，列式求解即可. 【详解】因为，即， 设，，则， 可得，，则， 可得，解得，所以. 故选：C. 23．（25-26高二下·广东广州·期末）复数z满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，代入题干所给的等式求解，根据模长公式计算模长，代入即可求解． 【详解】设，则，则， 则，解得；故，；故． 故选：D. 24．（25-26高三上·山东济宁·期中）已知复数，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 题型06 共轭复数 25．设，则在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断. 【详解】因为，所以，所以在复平面内对应的点为在第一象限. 故选：A. 26．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】复数，则的共轭复数为. 故选：D. 27．（2026·山东济南·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由复数，可得，所以 28．（多选）若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （     ） A． B．的模为 C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法化简得出复数，可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 29．（多选）（2026·四川攀枝花·一模）设复数z满足（i为虚数单位），记为z的共轭复数，则（     ） A． B．复数z的虚部为 C． D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】AC 【分析】由已知计算出，根据复数模的计算公式求解判断A，根据复数的概念判断B，根据复数的加法和乘法计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以，对于A：，A正确； 对于B：因为复数，所以复数的虚部为，B错误；对于C：因为，所以，所以，又，所以，C正确； 对于D：因为复数，所以复数在复平面内对应的点坐标为，在 第四象限，D错误； 故选：AC. 题型07 复数的几何意义 30．已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【详解】由题意可得，所以在复平面对应点，在第一象限， 故选：A 31.在复平面内，对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算、除法运算及复数的几何意义即可求解. 【详解】∵，∴对应的点为，∴对应的点位于第二象限. 故选：B. 32．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简复数，利用复数的几何意义得到关于的不等式组，求解即得. 【详解】因在复平面内所对应的点在第四象限， 所以，解得，故a的取值范围是． 故选：B． 33.已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用复数的除法运算法则化简，再根据对称性求解即可. 【详解】，因为z与在复平面内对应的点关于虚轴对称， 所以． 故选：B. 34．已知复数. (1)当时，求； (2)设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值. 【答案】(1)1 (2)1或 【分析】（1）根据共轭复数的定义及复数除法运算，复数模公式求解； （2）由题，利用复数的几何意义求得，，利用两向量垂直的坐标关系求解. 【详解】（1）当时，，则，，. （2）由题，，所以，，则， 由，则，解得或. 题型08 复数的模长及与模相关的轨迹问题 35．（2026·河北张家口·一模）已知复数，复数为复数的共轭复数，则（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由复数可得， 因此，所以. 故选：A. 36．（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，则，所以. 故选：B. 37．若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据可得z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义可得结果. 【详解】设，因为即， 所以z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆， 所以，其表示上述圆上的点到点的距离， 所以其最大值为到的距离加半径，为. 故答案为：. 38.（多选）已知复数满足，则下列结论正确的是（     ） A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D. 【详解】，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上， 复平面的点，其模为正确；错误； 令，则有，所以实部与虚部之积，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 39.（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（     ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．复数， D．若复数满足，则的最大值为6 【答案】AD 【分析】对于A，利用虚数单位的计算即得；对于B，利用复数的四则运算与复数的几何意义即可判断；对于C，利用复数的四则运算化简复数，求其模长即可；对于D，利用复数的几何意义数形结合即可得到. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由，则， 则复平面内对应的点位于第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C错误； 对于D，由可知复数对应的点表示以原点为圆心，半径为1的单位圆， 而则可以理解为点到该圆上的点的距离， 故该距离最大值为.故D正确. 故选：AD. 题型09 复数范围内解方程 40.（多选）（2026·河北沧州·一模）已知为复数，下列说法正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．若是方程的两根，则 【答案】ABD 【分析】设，，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取，判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D. 【详解】A，设，， ， ，所以，正确； B，设，则， 由，得，所以，正确； C，若，不妨取，，此时，但不成立，错误； D，若是方程的两根，根据韦达定理可知， 则，正确． 故选：ABD 41．（25-26高三上·浙江温州·期中）若是关于的方程的复数根，则____________． 【答案】31 【分析】易知是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个复数根， 所以是关于的方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：31 42.已知复数是关于的方程的根，则 . 【答案】26 【分析】依据题意可知也是方程的根，然后利用韦达定理可知. 【详解】由题可知：复数是关于的方程的根，则也是方程的根，所以. 故答案为：26 43.方程的复数根为，则 ，使得为纯虚数的实数的值为 . 【答案】 【分析】在复数范围内求解二次方程的根，结合复数的运算法则进行运算. 【详解】由，得，则. 若，则，所以，解得. 若，则，所以，解得. 故答案为：①；②. 题型10 复数的三角表示 44.（多选）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故，故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 45.殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式____________. 【答案】 【分析】根据欧拉公式可得，结合复数的加法可得. 【详解】，，所以． 故答案为：. 46．在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数虚部为____________. 【答案】 【分析】由复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可求得旋转后的复数，根据虚部的定义求解即可. 【详解】由题意，复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转， 可得， 所以，所得的向量对应的复数虚部为. 故答案为：. 47.任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，，________． 【答案】; 【详解】当，时，， 所以； ，令， 则，， ， 而， 则，， 所以． 重难·创新演练 设题创新: 融合复平面旋转对称变换求复数模、利用数形结合解决复数轨迹最值问题、复数与概率直角三角形实系数二次方程韦达定理综合命题、多选项辨析复数基础性质、拓展欧拉公式棣莫弗三角形式拓展类新颖题型。 1．（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）的共轭复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的共轭复数为. 故选：A 2．（2026·山西忻州·模拟预测）复平面上点P对应复数．将点绕原点逆时针旋转，再关于实轴对称，所得点对应复数，则（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【详解】将复数对应的点绕原点逆时针旋转，对应复数变为；再关于实轴对称，对应复数变为， 所得点对应复数为，旋转与关于实轴对称均不改变复数的模长，所以． 故选：B 3．【新考法】若复数满足，则的最大值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4，则的最大值为． 故选：C 4．（多选）已知复数，则下列说法正确的是（     ） A． B．若，则 C．若，则为纯虚数 D． 【答案】ACD 【分析】根据共轭复数及复数的乘法可判断；根据复数的分类可判断；根据纯虚数的定义可判断；表示点到的距离，数形结合即可判断. 【详解】，所以， 对于：，故正确； 对于：， 所以，或，或， 当时，不是实数，故错误； 对于：若，则，所以为纯虚数，故正确； 对于：对应的点表示圆上的点，对应的点， 表示点到的距离，由图可知，故正确. 故选：. 5．（25-26高三上·海南·阶段检测）（多选）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（     ） A．的对应点在第三象限 B．的虚部为 C． D．满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上 【答案】ACD 【详解】由题可得：， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限，A正确； 因为，则复数的虚部为，B错误； ，C正确； 由， 可知满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，D正确. 故选：. 6．（多选）若复数（i为虚数单位），其中真命题为（     ） A． B．若，则 C．若为虚数，则也为虚数 D．若，则的最大值为 【答案】ABC 【分析】A选项，；B选项，计算出，故；C选项，化简得到，由题意得，故也是虚数，C正确；D选项，根据复数的几何意义得到的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆，从而求出的最大值. 【详解】A选项，，则，故，A正确； B选项，若，则，， ，B正确； C选项，， 由题意得，故也是虚数，C正确； D选项，的几何意义为复平面内，到的距离为1的圆， 故此圆上的点到原点的距离最大值为，D错误. 故选：ABC 7．【新考法】（多选）若，为复数，则下列选项一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，利用复数的运算结合共轭复数逐一验证即可求解. 【详解】设，由， 所以，， 所以，故A正确； 由，，所以不一定成立，故B错误； 由，，所以，故C正确； 由，，所以不一定成立，故D错误. 故选：. 8．【新考法】若复数（其中是虚数单位）的实部、虚部均为 十个数字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是___________． 【答案】/ 【详解】因为实部、虚部均为十个数字中的一个，所以复数共有个， 若该复数为纯虚数，则且，故这样的纯虚数有9个，所以该复数为纯虚数的概率是. 故答案为：/ 9．【新角度】已知直角三角形ABC的顶点坐标分别为，若虚数是实系数一元二次方程的根，则实数__________. 【答案】 【分析】先利用韦达定理求出的值，再分类讨论，利用向量的数量积，分别求出实数的值即可. 【详解】由题意可知的两个根为和()， 由韦达定理可得，，即,解得，，则，， 于是，，.当时，有， 则，解得；当时，有， 则，即，解得； 当时，有，则，解得. 综上所述，的所有可能取值为. 故答案为： 10．【新考法】已知复数，复数在复平面内对应的点为． (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）由题意，将代入方程，可得m，n的值，即可得答案. （2）根据复数的运算法则，整理化简，可得复数，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】（1）由题意，将代入方程可得， 整理得，即， 所以，解得，所以. （2）由题意 ， 所以，则复数的共轭复数 真题·实战演练 高频考点：复数基础四则化简、共轭复数运算、复数模长求解、利用复数相等求参数、复数简单代数求值计算。 1. （2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【详解】由题意，则. 故选：A 2. （2026·上海·高考真题）已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】设，，由条件结合和互相伴随的定义可得，根据充要条件判断结论. 【详解】设，，，， 则，，，， ，， ，， 因为和互相伴随，所以， 若，则为实数，所以和互相伴随， 若和互相伴随，则，所以和互相伴随的充要条件为. 故选：D 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 4．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（     ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 5．（2023·全国乙卷·高考真题）（     ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：C. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（     ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：B. 9．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数____________. 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 4 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $