2.1.2两条直线平行和垂直的判定6题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦高中数学“两条直线平行和垂直的判定”核心知识点，系统梳理斜率存在与不存在两种情况下的判定条件，平行需斜率相等或均不存在，垂直需斜率之积为-1或一条斜率不存在另一条为0，作为直线倾斜角与斜率知识的延伸，为解析几何学习搭建基础支架。 该资料以6类题型分层设计，从基础判定到参数应用再到图形形状判定，结合具体例题（如已知点坐标判断直线位置关系、利用平行垂直求参数值），培养学生用数学眼光观察数量关系，用数学思维推理逻辑联系，用数学语言规范表达结论。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.1.2两条直线平行和垂直的判定6题型分类 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定： 图示 对应关系 l1⊥l2(斜率都存在) ⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在， l2的斜率为0⇔l1⊥l2 （一） 两条直线平行的判定 判断两条不重合的直线是否平行的方法： 题型1：两条直线平行的判定 1．（2026高二·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 2．（2026高二·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 3．（2026高二·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 4．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 5．（2026高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 6．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 【答案】AD 【分析】由题意，先求出两直线的斜率，当斜率相等再看两直线是否重合，从而得出结论. 【详解】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合， 又，故，A选项正确； 对于B．由题意知，所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误； 对于C．由题意知，，所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误； 对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以，D选项正确． 故选：AD 题型2：两条直线平行的应用 7．（2026高二·福建三明·阶段检测）若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】计算直线的斜率，再根据两直线平行，则斜率相等，可得方程，求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，得. 故选：B 8．（2026高三·辽宁锦州·阶段检测）已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【分析】首先表示出直线的斜率，直线的斜率，依题意，从而得到方程，解得即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 故答案为： 9．【多选】（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【分析】通过向量平行的坐标关系建立方程,求解得到的可能值. 【详解】，， 由,得， 展开并整理得，解得或. 当时，, 由图可知，符合题意. 当时，， 由图可知，符合题意. 综上所述，或. 故选：BC 10．（2026高三·全国·一轮复习）过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 【答案】/ 【分析】利用两点间的斜率公式结合两条平行直线斜率关系即可求解. 【详解】由题可得：，因为，所以，解得：； 故答案为： 11．（2026高二·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. （二） 两条直线垂直的判定 判断两条直线是否垂直： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 题型3：两条直线垂直的判定 12．（2026高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 13．（2026高二·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【分析】设两直线的斜率分别为，利用根与系数的关系，即可得到，即可判断. 【详解】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直. 故选：C 14．【多选】（2026高二·全国·专题练习）(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】依题意，直线的斜率分别为：，， ，，， 由得，故A正确； 由得，由得，故B，D正确； 而得与不平行，即C不正确. 15．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 【答案】(1)垂直 (2)垂直 【详解】（1）由题意得直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以与垂直． （2）而直线的斜率不存在，故与轴垂直， 直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． 16．（2026高二·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 17．（2026高二·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据直线垂直得出斜率关系结合两点的斜率公式计算求解参数即可. 【详解】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 题型4：两条直线垂直的应用 18．（2026高二·湖南长沙·期末）已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合两直线垂直的性质进行求解即可. 【详解】两直线垂直，斜率之积为. 由一元二次方程根与系数关系可知，，故，解得. 故选：A 19．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】由题可得，由两点间的斜率公式求解即可. 【详解】设,且为直角，则直线的斜率存在， 则，所以,解得：或, 所以点的坐标为或， 故答案为：或 20．（2026高二·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】根据直线垂直转化为向量的数量积为0求解即可. 【详解】, 因为直线与垂直， 所以， 解得或， 当时，，与题意不符，故舍去. 故选：A 21．（2026高二·全国·课后作业）设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，正实数或 【分析】对的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果. 【详解】若为直角，则，所以． 即，所以（舍去）． 若为直角，则，所以， 即，解得； 若为直角，则，所以， 即，解得或（舍去）． 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形． （三） 两条直线平行或垂直的综合应用 利用两条直线的平行或垂直判断图形形状 题型5：利用两条直线平行或垂直判定图形形状 22．（2026高二·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 23．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 24．（2026高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 25．（2026高二·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 26．（2026高二·广东东莞·阶段检测）【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 27．（2026高二·全国·课后作业）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________. 【答案】矩形 【分析】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【详解】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 28．（2026高二·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】略 题型6：两条直线平行或垂直的综合应用 29．（2026高二·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 30．（2026高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 31．已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，且四边形ABCD为直角梯形，求点D的坐标. 【答案】点D的坐标为(3，3)或（）. 【分析】先分析AB、BC都不可作为直角梯形的直角边分CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边两种情况考虑；设所求点D的坐标为(x，y)，由直线垂直和平行得出方程组，解之可得出点D的坐标. 【详解】解：设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB=3，kBC=0， 则kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3. 又∵kAD=kBC，∴=0，即y=3.此时AB与CD不平行. 故所求点D的坐标为(3，3). ②若AD是直角梯形的直角边， 则AD⊥AB，AD⊥CD，kAD=，kCD=. 由于AD⊥AB，则·3=-1. 又AB∥CD，∴=3. 解上述两式可得此时AD与BC不平行. 故所求点D的坐标为（）. 综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3，3)或（）. 【点睛】本题考查四边形构成梯形的条件和直线垂直、平行的条件，属于中档题. 32．（2026高二·云南玉溪·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据直线斜率的定义，运用数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点； 时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为， 当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，． 故答案为：    1．（2026高二·全国·专题练习）为两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与直线的斜率相等，则 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．若直线，的斜率均不存在，则 D．若两直线的斜率都存在且不相等，则两直线不平行 【答案】D 【分析】根据两条直线的斜率相等时，这两条直线平行或重合，两条直线平行时，这两条直线的斜率相等或它们的斜率不存在，判断即可． 【详解】解：对于A，直线l1与l2斜率相等时，l1∥l2或l1与l2重合，∴A错误； 对于B，直线l1∥l2时，k1＝k2或它们的斜率不存在，∴B错误； 对于C，直线l1、l2的斜率不存在时，l1∥l2或l1与l2重合，∴C错误； 对于D，直线l1与l2的斜率不相等时，l1与l2不平行，∴D正确． 故选：D． 2．（2026高二·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断． 【详解】由于与为两条不重合的直线且斜率分别为，，所以，故①②正确； 由于与为两条不重合的直线且倾斜角分别为，，所以，故③④正确， 所以正确的命题个数是4． 故选：D． 3．（2026高二·安徽·期末）平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角为，求出直线的斜率；再根据两直线与垂直，斜率积为，从而求出的斜率. 【详解】因，所以， 易知，故直线的斜率为. 故选：B. 4．（2026高二·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直求得对应的斜率. 【详解】边所在直线的倾斜角为，则斜率为， ，即，故， 解得. 故选：A. 5．（2026高二·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线的斜率，再结合直线垂直的性质，即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 6．（2026高二·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系及两条直线之间的位置关系可得. 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即. 故选：C. 7．（2026高二·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标，利用垂直关系，结合斜率公式列式求解. 【详解】设点，则直线的斜率必存在，分别为， 由，得，即， 而，解得，点的纵坐标为. 故选：A 8．（2026高二·四川眉山·阶段检测）若过点的直线与过点的直线平行，则的值为（    ） A．3 B．-2 C．-2或3 D．2或-3 【答案】A 【分析】由两直线平行有，结合斜率的两点式列方程，即可求参数a的值. 【详解】由过点，可确定斜率存在， 故直线与平行，则，即， 解得：或. 当时，，此时方程为：，的方程为：重合，故舍去，； 当时，，此时方程为：，的方程为：符合， 故选：A. 9．（2026高二·全国·专题练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】由题意利用根与系数的关系可得两直线的斜率乘积为，从而可判断出两直线的位置关系. 【详解】设两直线的斜率分别为，， 因为，是方程的两根， 所以利用根与系数的关系得， 所以两直线的位置关系是垂直． 故选：A． 10．（2026高二·广东广州·阶段检测）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式，结合两直线位置关系与斜率的关系进行判断即可. 【详解】因为直线经过点，， 所以直线的斜率为：， 又因为， 所以两直线垂直， 故选：B 11．（2026高二·福建三明·期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率，可知斜率乘积为，从而得到垂直关系. 【详解】由题意可得：直线的斜率，直线的斜率， ∵，则与垂直. 故选：B. 12．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用根与系数的关系和两直线垂直列方程，即可求得. 【详解】因为，是关于的方程的两根， 所以. 又，所以， 所以， 解得：2. 故选：C 13．【多选】（2026高二·广东汕头·期中）若，且直线AB与CD平行，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BD 【分析】分直线斜率存在和不存在讨论即可. 【详解】当AB与CD斜率均不存在时， 故得，此时； 当时，即时，，解得，此时. 故选：BD． 14．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 15．（2026高一·全国·课后作业）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果. 【详解】为的垂心    ， 又， 直线斜率存在且， 设，则，解得：     本题正确选项： 【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系. 16．【多选】（2026高二·福建福州·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.     故选：AD. 17．【多选】（2026高二·江苏扬州·期末）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 【答案】BC 【分析】AD选项，可举出反例；BC选项，根据斜率于直线的平行，垂直关系可以判定. 【详解】A选项，当斜率均不存在，也平行，故A错误； B选项，根据两直线平行的判定定理，当两条不重合的直线斜率存在且相等时，两直线平行，故B正确； C选项，根据两直线垂直的判定定理，若两直线的斜率都存在，且乘积为，则两直线垂直，故C正确； D选项，当两直线中，其中一条斜率不存在，另一条斜率为0，也垂直，故D错误. 故选：BC 18．【多选】（2026高二·湖南岳阳·阶段检测）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【分析】求出直线的斜率可判断A；由两直线的位置关系可判断B，C，D. 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 19．（2026高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】根据两条斜率存在的直线垂直时，斜率乘积为，求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 20．（2026高二·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 【答案】A 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 21．（2026高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数______. 【答案】3 【分析】根据可知，则，利用两点连线斜率公式可构造方程求得结果. 【详解】由题意得： 又    ，解得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用直线与直线垂直关系求解参数值的问题，属于基础题. 22．（2026高一·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 23．（2026高一·全国·专题练习）已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 【答案】0或5 【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在， 而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在， 由得，即，解得； 综上，a的值为0或5. 故答案为：0或5. 24．（2026高二·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先求两条直线的斜率，由得，列关系式求解; (2)由得，列关系式求解。 【详解】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. （2）由得,由(1)可得，所以. 25．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 【答案】(1)垂直 (2)不垂直 (3)垂直 (4)当或时，直线，当且时，与不垂直． 【分析】（1）的斜率为，根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （2）根据过两点的斜率公式可求的斜率，判断斜率的乘积是否为即可； （3）根据二倍角的正切公式求出的值，判断斜率的乘积是否为即可； （4）分的斜率是否存在进行分类讨论，当两条两条直线垂直，可以是一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0， 也可以是两条直线斜率均存在时，斜率之积为，从而确定直线与垂直时的值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为，所以． （2）由题意知，直线的斜率为，直线的斜率为， 而，所以与不垂直． （3）记的斜率为，因为，所以， 解得或， 又因为为锐角，所以． 因为的斜率为，且，所以． （4）由题意，直线的斜率一定存在，直线的斜率可能存在或不存在． ①当直线的斜率不存在时，，即，此时，满足． ②当直线的斜率存在时，，由斜率公式，得，． 若，则，即，解得． 综上所述，当或时，直线，当且时，与不垂直． 26．（2026高二·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （272） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.1.2两条直线平行和垂直的判定6题型分类 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定： 图示 对应关系 l1⊥l2(斜率都存在) ⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在， l2的斜率为0⇔l1⊥l2 （一） 两条直线平行的判定 判断两条不重合的直线是否平行的方法： 题型1：两条直线平行的判定 1．（2026高二·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 2．（2026高二·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3．（2026高二·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 4．（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 5．（2026高二·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 6．【多选】（2026高二·全国·课后作业）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 题型2：两条直线平行的应用 7．（2026高二·福建三明·阶段检测）若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 8．（2026高三·辽宁锦州·阶段检测）已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 9．【多选】（2026高二·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．（2026高三·全国·一轮复习）过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 11．（2026高二·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. （二） 两条直线垂直的判定 判断两条直线是否垂直： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 题型3：两条直线垂直的判定 12．（2026高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 13．（2026高二·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（   ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 14．【多选】（2026高二·全国·专题练习）(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 15．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； 16．（2026高二·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 17．（2026高二·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 题型4：两条直线垂直的应用 18．（2026高二·湖南长沙·期末）已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 19．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知点和，点在轴上，且为直角，则点的坐标为________． 20．（2026高二·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 21．（2026高二·全国·课后作业）设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． （三） 两条直线平行或垂直的综合应用 利用两条直线的平行或垂直判断图形形状 题型5：利用两条直线平行或垂直判定图形形状 22．（2026高二·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 23．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 24．（2026高二·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 25．（2026高二·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 26．（2026高二·广东东莞·阶段检测）【多选】以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 27．（2026高二·全国·课后作业）已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________. 28．（2026高二·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 题型6：两条直线平行或垂直的综合应用 29．（2026高二·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．（2026高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    31．已知点A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，且四边形ABCD为直角梯形，求点D的坐标. 32．（2026高二·云南玉溪·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是___________． 1．（2026高二·全国·专题练习）为两条直线，则下列说法正确的是（    ） A．若直线与直线的斜率相等，则 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．若直线，的斜率均不存在，则 D．若两直线的斜率都存在且不相等，则两直线不平行 2．（2026高二·北京·期中）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列命题 ①若，则斜率；    ②若斜率，则； ③若，则倾斜角；④若倾斜角，则， 其中正确命题的个数是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高二·安徽·期末）平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 4．（2026高二·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ）    A． B． C． D． 5．（2026高二·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．（2026高二·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·四川眉山·阶段检测）若过点的直线与过点的直线平行，则的值为（    ） A．3 B．-2 C．-2或3 D．2或-3 9．（2026高二·全国·专题练习）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 10．（2026高二·广东广州·阶段检测）若直线的斜率为，经过点，，则直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．重合 11．（2026高二·福建三明·期中）已知直线经过，两点，直线倾斜角为，那么与（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 12．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 13．【多选】（2026高二·广东汕头·期中）若，且直线AB与CD平行，则m的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 14．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2026高一·全国·课后作业）已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A． B． C． D． 16．【多选】（2026高二·福建福州·阶段检测）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 17．【多选】（2026高二·江苏扬州·期末）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（    ） A．若，平行，则，的斜率相等 B．若，斜率相等，则，平行 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，垂直，则，的斜率乘积等于 18．【多选】（2026高二·湖南岳阳·阶段检测）已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 19．（2026高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 20．（2026高二·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 21．（2026高一·全国·课后作业）已知的三个顶点分别是，，，点在边的高所在的直线上，则实数______. 22．（2026高一·内蒙古乌兰察布·期中）直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 23．（2026高一·全国·专题练习）已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 24．（2026高二·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 25．判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且； (4)经过点和，经过点和． 26．（2026高二·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $