第二单元 第03&04课时 圆的周长（分层作业）数学西南大学版六年级上册（新教材）

**基本信息** 本练习以“圆的周长”为核心，通过基础巩固、能力提升、思维训练三级分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养几何直观、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆周率概念、周长公式及简单应用|通过蚂蚁路线比较（转化思想）、半圆周长计算（公式变式），强化概念理解与基础运算| |能力提升|公式灵活运用、实际情境问题|结合跑道内外圈差（半径差与周长关系）、长方形内圆直径计算（数形结合），发展推理意识| |思维训练|复杂情境综合应用|通过狗的运动轨迹（多段圆弧求和）、两圆滚动（无滑动滚动规律）、机器人环形轨道相遇（周期问题），培养空间观念与模型意识|

第二单元 第2课时 圆的周长 1. 圆周率的认识： （ ），我们把它叫作圆周率，用希腊字母π(读作pai)表示。π是一个（ ），计算时通常保留两位小数，取3.14； 2. 圆的周长的计算： 如果用C表示圆的周长，那么（ ）。 1．如下图，两只蚂蚁分别选择甲、乙两条路线从A地爬向B地，下面说法正确的是（    ）。 A．甲路线长 B．乙路线长 C．两条路线一样长 D．不能确定甲、乙两条路线哪条长 2．把一个直径是2厘米的圆分割成两个半圆形后，每个半圆形的周长是（    ）厘米。 A．6.28 B．3.14 C．4.14 D．5.14 3．如图，我们在研究“圆的周长”时，先借助( )的思想方法测量出了圆的周长，然后观察测得的周长和直径的数据，发现了圆的周长和直径的关系是( )。 4．用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 5．小明在测量一枚纪念币，如图，该纪念币的半径是( )cm，周长是( )cm。 6．如图，同同在外圈跑步，乐乐在内圈跑步，内、外圈之间相距1m，两人沿圆形跑道各跑了一圈后，同同比乐乐多跑了（    ）m。 A．1 B．2 C．3.14 D．6.28 7．如果一个圆的半径增加1cm，那么它的周长增加（    ）cm。 A．3.14 B．6.28 C．9.42 D．1 8．哈勃空间望远镜是设置在地球轨道上用于探测宇宙目标的反射式天文望远镜，主镜面周长为7.536m，直径为( )m。 9．如图，一个长方形内有3个完全相同的圆。若长方形的周长是24cm，则每个圆的直径是( )cm，周长是( )cm。 10．每个标准的篮球场地中间都画有一个半径为1.8米的圆，这个圆的周长是( )米。（π取3.14） 11．如图，一只狗被拴在建筑物的墙角A点处。建筑物底面是一个边长为8米的正方形，拴狗的绳子长20米。狗从与A、D在同一直线的P点出发，沿顺时针方向奔跑，奔跑过程中绳子始终处于拉紧状态。当绳子完全贴合建筑物外沿时，狗跑过的路线总长是多少米？ 12．学校操场的跑道，两边是直道，两头是半圆形。半圆的半径是20米，直道长60米。操场跑道一圈的周长是多少米？ 13．如图，两个圆形纸板M和N交于点C，N的直径是M的3倍，如果让纸板M绕纸板N顺时针无滑动地滚一圈，C点大约落在哪里？请你写出思考过程并在图中把点C标出来。 14．在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 15．12月某小学迎来“科创节”，科学小组设计制作出机器人。 如图，环形轨道由两个圆组成，它们只有一个公共点C，大圆直径AC为80厘米，小圆直径BC为48厘米。甲、乙两个小机器人同时从C点出发，都按照每秒4厘米的速度沿顺时针方向滑行，甲机器人沿大圆圆周滑行，乙机器人沿小圆圆周滑行。（取3） (1)当乙机器人第一次回到C点时，滑行了多远？ (2)当乙机器人第一次回到C点时，甲机器人是否已经经过了A点？ (3)现在小朋友改变甲机器人的速度为原来的2倍，乙机器人的速度不变，甲、乙两机器人重新同时从C点出发，各自沿着圆周顺时针不间断地反复滑行，它们是否会在C点相遇？如果相遇，那么此时甲机器人至少滑行了几圈？如果不能相遇，请说明理由。 【知识加油站】 1. 圆的周长与直径的比值。无限不循环小数； 2. C=2πr，或C=πd。 【基础巩固】 1．C 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，分别计算两条路线的长度，并比较。 【详解】假设A到B的总长度是D： 甲路线是直径为D的圆的半圆弧，长度＝π×D÷2。 乙路线是两个小半圆弧的和，假设两个小圆的直径分别是d1和d2，从图里能看出d1＋d2＝D，那么乙的总长度＝π×d1÷2 ＋ π×d2÷2 ＝ π×（d1＋d2）÷2 ＝ π×D÷2。 所以两条路线的长度是相等的。 2．D 【分析】半圆形的周长＝圆的周长的一半＋直径，其中圆的周长公式：，圆的直径是2厘米，代入数据计算即可。 【详解】 ＝5.14（厘米） 所以把一个直径是2厘米的圆分割成两个半圆形后，每个半圆形的周长是5.14厘米。 故答案为：D 3． 转化 圆的周长和直径的比值是一个固定的数 【分析】把曲线的周长转化成直线的长度来测量，运用了“转化”思想，测量出圆的周长和直径，进而发现圆的周长与直径的关系。 【详解】我们在研究“圆的周长”时，先借助转化的思想方法测量出了圆的周长，然后观察测得的周长和直径的数据，发现了圆的周长和直径的关系是圆的周长和直径的比值是一个固定的数。 4． 6 15.42 【分析】圆规两脚尖之间的距离即所画半圆的半径，根据d＝2r，求出圆的直径；半圆的周长等于圆周长的一半加上直径，因为圆的周长公式，周长的一半即为，半圆的周长即为＋d，代入半径的值，π取3.14计算即可。 【详解】2×3＝6（cm） 3.14×3＝9.42（cm） 9.42＋6＝15.42（cm） 因此，用直尺和圆规画半圆，圆规两脚间的距离是3cm。这个半圆的直径是6cm，周长是15.42cm。 5． 1 6.28 【分析】观察图示刻度尺，左边三角板对应刻度值为2厘米，右边三角板对应刻度值为4厘米，两个刻度值的差为纪念币的直径，由此求出半径，根据圆周长＝πd计算出周长。 【详解】（4－2）÷2 ＝2÷2 ＝1（cm） 3.14×（4－2） ＝3.14×2 ＝6.28（cm） 该纪念币的半径是1cm，周长是6.28cm。 【能力提升】 6．D 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr可得出，外道与内道圆周长相差：2πR－2πr＝2π（R－r），已知外道与内道相距1m，即R－r＝1（m），代入公式计算即可。 【详解】2πR－2πr＝2π（R－r） R－r＝1（m） 2×3.14×1＝6.28（m） 同同比乐乐多跑了6.28m。 7．B 【分析】假设圆原来的半径是1cm，根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，分别求出半径增加前后的周长，求差即可得到周长增加的长度。 【详解】假设圆原来的半径是1cm。 原来的周长：2×3.14×1＝6.28（cm） 半径增加后的周长：2×3.14×（1＋1） ＝2×3.14×2 ＝12.56（cm） 增加的周长：12.56－6.28＝6.28（cm） 8．2.4 【分析】圆的周长＝圆周率×直径，圆周率π的近似值是3.14。已知主镜面是圆形，周长是7.536m，求直径就用周长除以圆周率。 【详解】7.536÷3.14＝2.4（m） 9． 3 9.42 【分析】观察图，长方形的长＝3个圆的直径，长方形的宽＝1个圆的直径。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出长＋宽的值，再求出每个圆的直径，进而求出圆的周长：周长＝π×直径。 【详解】长方形的长＝3个圆的直径 长方形的宽＝1个圆的直径 所以，长＋宽＝4个圆的直径 长＋宽＝24÷2＝12（cm） 因此4个圆的直径＝12 1个圆的直径＝12÷4＝3（cm） 即每个圆的直径是3cm。 周长＝π×3＝3.14×3＝9.42（cm） 即每个圆的周长是9.42cm。 10． 11.304 【分析】篮球场中间圆的半径是1.8米，求圆的周长，用圆的周长公式C＝2πr计算。 【详解】2×3.14×1.8 ＝6.28×1.8 ＝11.304（米） 所以这个圆的周长是11.304米。 【思维训练】 11．56.52米 【分析】圆的周长：C＝2πr，根据题意可知，最先以点A为圆心，20米为半径，跑了圆弧长的路程，再以点B为圆心，（20－8）米为半径，又跑了圆弧长的路程，最后以点C为圆心，（20－8－8）米为半径，又跑了圆弧长的路程，把这三段路程相加即为狗跑过的路线总长。 【详解】（m） ＝ ＝ ＝31.4（米） ＝ ＝ ＝ ＝18.84（米） ＝ ＝ ＝ ＝6.28（米） 31.4＋18.84＋6.28 ＝50.24＋6.28 ＝56.52（米） 答：狗跑过的路线总长是56.52米。 12．245.6米 【分析】如下图，跑道两头的两个半圆可拼成一个整圆，根据圆的周长公式：C＝2πr，计算出整圆的周长，再加上两条直道长度的和，就是操场跑道一圈的周长，代入数据计算即可。 【详解】3.14×20×2＋60×2 ＝62.8×2＋120 ＝125.6＋120 ＝245.6（米） 答：操场跑道一圈的周长是245.6米。 13．；初始时，点C是两圆的切点，位于两圆圆心连线上（即在大圆N上）。当小圆滚动一圈后，小圆圆心回到原处，且小圆恰好自转了4整圈，因此小圆上所有点相对于小圆圆心的方向与初始时刻相同，故点C也回到了初始位置。 【分析】解题关键在于理解“无滑动滚动”的含义：小圆圆心移动的距离等于小圆自身滚过的弧长。 设小圆M的半径为r，则大圆N的半径为3r。 小圆绕大圆滚动一圈，即小圆圆心绕大圆圆心旋转一周，其轨迹是以大圆圆心为圆心、半径为r＋3r＝4r的圆。该圆的周长为2π×4r＝8πr。 小圆M的周长为2πr。根据无滑动条件，小圆圆心移动的距离（即轨迹圆周长）等于小圆滚过的弧长，因此小圆自转的圈数为：8πr÷2πr＝4圈。 初始时，点C是两圆的切点，位于两圆圆心连线上。当小圆滚动一圈后，小圆圆心回到原位置，且小圆自转了4整圈，所以小圆上任意一点相对于圆心的方向与初始相同，故点C也回到初始位置。 【详解】解：设小圆M的半径为r，则大圆N的半径为3r。 小圆M绕大圆N顺时针无滑动滚动一圈，即小圆圆心绕大圆圆心转动一周，其轨迹是以大圆圆心为圆心、半径为r＋3r＝4r的圆。 该圆的周长为：2π×4r＝8πr。 小圆M的周长为：2πr。 因为无滑动，小圆圆心移动的距离等于小圆滚过的弧长，所以小圆自转的圈数为：8πr÷2πr＝4（圈）。 初始时，点C是两圆的切点，位于两圆圆心连线上（即在大圆N上）。当小圆滚动一圈后，小圆圆心回到原处，且小圆恰好自转了4整圈，因此小圆上所有点相对于小圆圆心的方向与初始时刻相同，故点C也回到了初始位置。 图略 【点睛】利用无滑动滚动中圆心移动距离等于小圆滚过弧长，求出小圆自转圈数，根据整数圈判断点C回归原位。 14．51.4米 【分析】如图，在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径相当于长方形的长，为20米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，即半圆的弧长，再加上一条直径的长度求出半圆的周长，即为篱笆的长度。 【详解】3.14×20÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（米） 答：需要51.4米的篱笆。 【点睛】在长20米、宽15米的长方形里，最大半圆的直径只能取20米（若取宽15米为直径，半圆会更小），且半径10米小于宽15米，满足半圆完全在长方形内的条件；篱笆是封闭半圆区域的边界，包含半圆弧长和直径两部分。 15．(1)144厘米 (2)经过了A点 (3)会相遇；6圈 【分析】（1）当乙机器人第一次回到C点时，它滑行的距离等于小圆的周长，小圆直径BC为48厘米，利用“”求出小圆的周长； （2）两个机器人的速度相同，当甲机器人到达A点时，它滑行的距离等于大圆周长的一半，利用“”求出此时甲机器人滑行的距离，最后和乙机器人滑行的距离相比较； （3）先根据“”求出大圆周长和小圆周长，再求出甲机器人的速度，最后根据“时间＝路程÷速度”求出甲机器人和乙机器人滑行一圈分别需要的时间，当它们滑行的经过时间是各自滑行一圈需要时间的公倍数时两个机器人在C点相遇，求此时甲机器人至少滑行了几圈，需要先求出它们各自滑行一圈需要时间的最小公倍数，甲机器人滑行的圈数＝总时间÷甲机器人滑行一圈需要的时间，据此解答。 【详解】（1）3×48＝144（厘米） 答：滑行了144厘米。 （2）3×48＝144（厘米） 3×80÷2 ＝240÷2 ＝120（厘米） 因为144厘米＞120厘米，所以甲机器人已经经过了A点。 答：甲机器人已经经过了A点。 （3）甲机器人滑行一圈需要的时间：3×80÷（4×2） ＝3×80÷8 ＝240÷8 ＝30（秒） 乙机器人滑行一圈需要的时间：3×48÷4 ＝144÷4 ＝36（秒） 30和36的最小公倍数：2×3×5×6＝180 经过180秒它们会在C点相遇。 180÷30＝6（圈） 答：它们会在C点相遇，相遇时甲机器人至少滑行了6圈。 【点睛】本题主要考查圆的周长的应用和用最小公倍数解决实际问题，掌握圆的周长计算公式并准确求出两个机器人滑行经过时间的最小公倍数是解答题目的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $