22.1.1 成比例线段 教学设计 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“成比例线段”核心知识，涵盖线段的比、成比例线段概念、比例基本性质及黄金分割。通过回顾全等图形过渡到形状相同的图形，引导学生发现大小差异，自然引出线段比，搭建知识迁移支架。 此资料以情境化探究融合核心素养，如用格点图计算矩形、三角形对应线段比推导概念，结合人体下半身与身高比的实例应用黄金分割，培养抽象能力与应用意识。小组合作与分层例题提升推理能力，助学生建立数学与生活联系，便于教师高效开展教学。

1.成比例线段 课题 1.成比例线段 授课人 教 学 目 标 　　1.结合现实情境,感受学习线段的比的必要性,了解线段的比和成比例线段. 2.掌握比例的基本性质,并会灵活运用;通过例题了解合比性质并能进行简单应用;巩固设“k”法解答比例问题. 3.会求两条线段的比,会应用比例的基本性质. 4.了解黄金分割的定义,认识黄金分割在现实生活中的应用,通过找一条线段的黄金分割点,培养学生的理解与动手能力. 5.通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系. 教学 重点 理解成比例线段及比例的基本性质. 教学 难点 比例的基本性质及其简单应用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　同学们,全等图形的概念是什么?如图22-1-4所示的图形中有全等图形吗?图中还有什么样的图形? 图22-1-4 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　如图22-1-5,请从图中找出形状相同的图形.你能发现这些形状相同的图形有什么不同吗? 图22-1-5 　　通过发现这些形状相同的图形的不同点,引出线段的比的概念,引发学生思考相似图形的特征,激发学生的学习兴趣. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 相似图形的概念 教师活动:让学生以小组为单位进行思考、探讨和交流,教师以巡视的方式参与到学生的交流活动中,各组汇报交流讨论的结果,教师板书,引出相似图形的概念. 相似图形的概念:形状相同(大小可以不同)的平面图形叫做相似图形. 【探究2】成比例线段的概念 活动:1.由图22-1-6中的格点图可知,=　2　,=　2　.这样,与之间有什么关系?  图22-1-6 [答案:] 2.观察图形,计算大三角形与小三角形对应边的比,观察它们对应边的比值有什么关系. 图22-1-7 [答案:=2] [归纳]成比例线段:对于给定的四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比,如(或a∶b=c∶d),那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例. 　　1.通过两个矩形、两个三角形的对应线段的比值的计算,引导学生发现两组(或多组)对应线段的比相等,进而引出成比例线段的概念. 活动 二: 探究 与 应用 例1　判断下列线段a,b,c,d是不是成比例线段: (1)a=4,b=8,c=5,d=10; (2)a=2,b=2,c=,d=5. 解:(1)∵,,∴. ∴线段a,b,c,d是成比例线段. (2)∵,,∴. ∴这四条线段是成比例线段. 【探究3】成比例线段的基本性质 问题1:利用等式的基本性质,把等式两边的分母去掉,会得到什么? ·bd=·bd→ad=bc. 问题2:由等式ad=bc还能得到上面的比例式吗?除此之外还能得到哪些等比例式? ad·=bc·→. 师生活动:学生先独立思考,再合作交流、互相补充,各组汇报交流讨论的结果,教师板书出解决方案,由学生说明其理由.最后板书成比例线段的基本性质. [归纳]比例的基本性质:如果,那么ad=bc; 如果ad=bc,那么. 练一练: (1)若,则mn=　　　　;  (2)若,则. [答案:(1)12　(2)3　4] 例2　已知. (1)求证:; (2)求证:(a≠b). 证明:(1)∵,等式两边都加上1,得+1=+1, ∴. (2)∵,∴ad=bc. 等式两边都减去ac,得ad-ac=bc-ac, ∴ac-ad=ac-bc.∴a(c-d)=c(a-b). 由a≠b,且,知c≠d,从而a-b≠0,且c-d≠0, 上式两边都除以(a-b)(c-d),得. 2.引导学生根据等式的性质从正、反两个方面进行推导.由ad=bc除了可以得到,还可以引导学生得到,,等比例式. 活动 二: 探究 与 应用 【探究4】黄金分割的概念 例3　如图22-1-8,已知AB=1,试在线段AB上插入点P,使,即AP2=AB·PB. 图22-1-8 解:设AP=x,由题意,有x2=1×(1-x). 化简,得x2+x-1=0. 解此方程,得x=,舍去负解,所以x=. 即所需点P与端点A的距离为. 讲解概念 将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP>PB),使AP2=AB·PB,我们称AP为AB和PB的比例中项,点P为线段AB的黄金分割点,将线段AB黄金分割. 由于≈0.618,所以长为1的线段的黄金分割点,与一个端点的距离大约为0.618. 例4　人体下半身(即脚底到肚脐的长度)与身高的比越接近0.618越给人以美感,遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68 m,下半身长1.02 m,她应选择穿多高的高跟鞋可使她看起来更美丽?(结果精确到1 cm) 处理方式:教师充分引导学生观察、思考、交流、讨论、解决问题,根据做题情况点评总结. 　　3.引导学生通过自主探究、合作交流、教师讲解,掌握黄金分割的概念. 【拓展提升】 1.比例的意义及计算 例5　下列结论不正确的是 (B) A.已知三数a,b,c满足a∶b=b∶c,且a=4.5,c=2,则b=±3 B.三条线段d,e,f使等式d2=ef成立,且e=3,f=1,则d=± C.已知1,,2三个数,再添上一个数,使它们成为一个比例式,这个数可以是或2或 D.如果线段a,b,c,d满足,可得出和,当a+b≠0,c+d≠0时,进一步可得 [解析] 选项A中a,b,c表示的是数,所以b=±3;选项B中d,e,f表示的是线段,d不能是-;选项C是正确的,其比例式可以为∶1=∶2,1∶=2∶2,1∶∶2;选项D,因为a+b≠0,c+d≠0,所以将,,即可得到. 　　学以致用,通过几道练习题进一步巩固比例的基本性质. 活动 二: 探究 与 应用 　　2.等比性质的应用 例6　如果,且x+y+z=12,求x,y,z的值. 解: 设=a,则x=3a-4,y=2a-3,z=4a-8,∴x+y+z=3a-4+2a-3+4a-8=12,∴a=3,∴x=5,y=3,z=4. 　　 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.课本P58练习T1,T2,T3,T4. 2.课本P65习题22.1T1,T2,T3,T4,T5,T6. 　　当堂检测,及时反馈学习效果. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 课堂内容的导入是本节课的一个亮点,通过生活中常见的图形,由熟悉的全等形到相似形,再通过身边的线段引入线段的比,让学生自然而然地进入本节课的学习. ②[讲授效果反思] 在探究成比例线段的同时紧扣生活,让学生在解决身边的具体问题的过程中更好地理解所学知识,认识到学习数学要服务于生活. ③[师生互动反思] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $