广东梅州市大埔县田家炳实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，通过导数应用、概率计算、排列组合等题型，融合“六艺文化”排课情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数运算、全概率公式、排列组合|基础概念辨析，如导数运算正误判断| |多选题|3/18|函数极值与零点、“六艺文化”排列|多维度能力考查，如结合文化情境的排列方案分析| |填空题|3/15|导数计算、函数极小值、有限制条件排列|简洁考查关键能力，如学生甲不站两端的站法| |解答题|5/77|割线斜率与切线方程、排列组合应用、二项式定理、函数单调性与极值|综合性问题设计，如含参数函数单调性讨论及最小值探究，体现逻辑推理与数学建模|

■口口▣ 实验中学高二级期中考数学答题卡 [o] [o] 0] [o] [o] [ [1] [1 [ [1 E9 原班级 姓名 试室 座位号 [4] 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或铅笔填写准考证号姓名、试室号、 团SS 座位号，再用2B铅笔把试室号、座位号的对应数字涂黑。 [9] [9] [9] [9] [9] [9 [9] [9] [9] [9] 2、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 第1页（共2 单择题： (每小题5分， 共40分) 1 [A][B][C][D] 6 [A][B][C]D] 2 [A][B][C][D] [A][B][C][D] [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4 [A][B][C] [D] 5 [A][B][C][D] 二、 多选题。 (每小题6分，共18分， 全部选对的得6分，部分选对的得2分) 9、[A][B] [c][D] 10、[A] [B] [c][D] 11、[A][B]C][D] 三、 填空题： (每题5分，共15分) 12. 13. 14. 四、解答题（共5小题，共77分) 15.(13分) ■ 16.(15分) 17.(15分) ■ ■ 18.(17分) ■ ■ 19.(17分) ■ ■ a ■ 2025-2026学实验中学高二数学下学期期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为（    ） A．0.65 B．0.075 C．0.145 D．0 3．从4名男教师和2名女教师中选出3名教师，分配到3个班担任班主任(每班一个班主任)，要求男女教师都要有，则不同的安排方法种数为（    ） A．96 B．72 C．60 D．16 4．函数的图像如图所示，则（   ） A． B． C． D．的正负不确定 5．展开式中的系数为（    ） A． B． C．30 D．90 6．已知函数，则（   ） A．4 B． C．2 D． 7．若，则m的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B．-1 C． D．0 二、多选题（本题一共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。要求全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．直线是曲线的切线 D．若在区间上的最大值为3 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　　) A．课程“射”“御”排在前两周，共有24种排法 B．某学生从中选5门，共有6种选法 C．课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有36种排法 D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 11．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．若，则______． 13．函数的极小值为__________． 14．现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 4、 解答题 15． （本小题满分13分）已知点P和点Q是曲线上的两点，且点P的横坐标是1，点Q的横坐标是4。求 （1） 割线的斜率 （2） 点P处的切线方程 16.（本小题满分15分）．甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. (1)6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ (2)6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ (3)6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 17．（本小题满分15分）．在的展开式中，第4项的二项式系数和第2023项的二项式系数相等. (1)求展开式中所有二项式系数的和； (2)求展开式中所有奇数项的系数和； (3)求展开式中系数最大的项是第几项？ 18．（本小题满分17分）．已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直． (1)求l的方程； (2)求的极值． 19．（本小题满分17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度高中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A B D D B A AB BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】利用基本初等函数的导数即可得解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．C 【分析】根据全概率公式进行求解即可. 【详解】设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到． 易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai) ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145． 3．A 【分析】选出3名教师分为两男一女和两女一男两类，然后分配到三个班，再分步计数原理求解即可 【详解】解：选出3名教师分为两男一女和两女一男两类，共有种方法， 再分配到3个班，故不同的安排方法种数为. 故选：A 4．B 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由题中图像可知，函数在上单调递减，故在上有．故． 故选：B 5．D 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为. 故选：D 6．D 【分析】将给定的极限形式转化为导数的定义形式，然后通过求导计算出结果. 【详解】. . 7．B 【分析】根据已知条件列方程，化简求得. 【详解】依题意，， 即， 即. 故选：B 8．A 【分析】对函数进行求导，然后运用赋值法进行求解即可. 【详解】，因此有， 故选：A 9．AB 【分析】利用导数判断函数的单调性求得函数极值、最值，及根据导数的几何意义、零点存在定理计算即可逐一判断. 【详解】由题意可知， 易知时，时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以在上取得极大值，在上取得极小值，即A正确； 又， 所以在区间上分别各有一个零点，即B正确； 联立与得， 若直线是曲线的切线，则切点为，而，所以C错误； 由上可知，而，在区间上的最大值为，故D错误. 故选：AB 10．BCD 【分析】根据特殊元素优先法，判断ACD；利用组合的应用判段； 【详解】先把课程“射”“御”排在前两周共种，再排其他四门共，所以共种排法，故A错误； 6门中选5门共有种，故B正确； 课程“礼”“书”“数”排在后三周，共有种排法，故C正确； 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【分析】根据条件概率公式，以及概率的性质，即可判断选项. 【详解】由乘法公式可知选项A正确，则选项B不正确， 因为，，所以，所以C正确； 因为，，所以，所以D正确． 故选：ACD 12．/0.7 【分析】正用逆用条件概率计算即可. 【详解】由，得，故． 故答案为：. 13．/ 【分析】先求导得，利用导数研究单调性进而求极值即可. 【详解】由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为. 故答案为：. 14．72 【分析】由题意先安排学生甲，再对另外四名学生进行全排即得. 【详解】根据题意，可分两步完成：第一步，先在中间三个位置上安排学生甲，有3种方法； 第二步，在留下的四个位置上安排另外4名学生，有种方法. 由分步乘法计数原理，不同站法数为种. 故答案为：72. 15.(课本选修二103面） （1）3 根据函数的解析式求出P,Q的坐标，计算PQ的斜率 （1） 利用导数求出P点的斜率，写出过点P的切线方程 【详解】（1）因为 当时，，当 所以P（1，-4），Q（4，5） 所以割线PQ的斜率 （2） 因为 所以 当时， 所以点P处的切线方程为 即 16．(1)120 (2)144 (3)540 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【详解】（1）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； （2）从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二项式系数的性质求出值，进而可得二项式系数的和； （2）设，则，则所有奇数项的系数和等于 ，计算可解； （3）设展开式中系数最大的项是第项，列不等式计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以. 所以展开式中所有二项式系数的和等于. （2）设，则， 所以展开式中奇数项的系数即为展开式中奇次项的系数 所以展开式中所有奇数项的系数和等于. （3）设展开式中系数最大的项是第项， 则，解得， 又因为，所以， 所以展开式中系数最大项是第1351项. 18．(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）得，求得函数的单调区间，进而求得函数的极值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为曲线在点处的切线l与直线相互垂直， 可得，解得，所以 又因为， 故所求切线方程为，即． （2）解：由（1）可知，， 令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增， 故的极大值为， 极小值为． 19．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可. （2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由，可得， 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为， 则，可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. 又，令，解得，即， 故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $