精品解析：广东省南澳县南澳中学2025-2026学年第二学期期中质检高二数学试题

南澳中学2025～2026学年度第二学期期中质检 高二级数学科试题 答卷时间：120分钟，全卷满分150分，使用黑色水性笔答题，不准使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 下列错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数 ，其中为虚数单位，，则 A. B. C. D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. （0，2） D. 5. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则角（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了（　　　　） A. 24里 B. 6里 C. 18里 D. 12里 7. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. 在内单调递增 C. 的极大值为 D. 在上的最小值是 10. 已知函数的图象的一个对称中心为，则（ ） A. 最小正周期 B. 函数的单调递减区间是 C. 函数是最小值为0的奇函数 D. 函数图象的对称轴为， 11. 下列正确的是（ ） A. 展开式第9项的二项式系数最大 B. 在的展开式中，各项系数的和是 C. 的展开式中，的系数是120 D. 的展开式中的常数项为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在 内的学生中选取的人数应为________． 13. 已知平面向量与的夹角为，，，则__________． 14. 过点A（－1，0）且斜率为k（k＞0）的直线与抛物线相交于B，C两点，若，则k的值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？ （2）在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.求抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ （3）求的展开式中的系数. 16. 已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是常数． （1）求以及数列、的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知椭圆，它的一个焦点为，且经过点. （1）求椭圆C的方程； （2）已知圆的方程是，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线与，求证. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若在区间上存在一点，使得成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南澳中学2025～2026学年度第二学期期中质检 高二级数学科试题 答卷时间：120分钟，全卷满分150分，使用黑色水性笔答题，不准使用计算器. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，再根据集合的关系及运算逐一判断选项. 【详解】解：， 又，则， 之间没有包含关系，， 故选：C. 【点睛】本题考查集合间的关系及运算，是基础题. 2. 下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由组合数性质，得，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由二项式定理，， 令得：，D正确. 3. 已知复数 ，其中为虚数单位，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，应选答案B． 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. （0，2） D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时求解不等式，当时求解不等式，两段的x的范围取并集即可. 【详解】当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得. 综上所述，的解集为. 故选：D 【点睛】本题考查分段函数不等式，涉及对数不等式、指数不等式，属于基础题. 5. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则角（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，结合余弦定理进行求解 【详解】, 所以，所以. 所以. 6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第5天和第6天共走了（　　　　） A. 24里 B. 6里 C. 18里 D. 12里 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意这个人每天走的路程成公比为等比数列，该数列的前6项和为378，可求出通项，即可求出结论. 【详解】设第1天走了里，每天所走的路程为， 依题意成公比为，前6项和为378 ，解得， . 故选:C 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列前项和，通项公式基本量的运算，属于基础题. 7. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对函数求导得，故所求切线的斜率为， 故所求切线的方程为，即. 8. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在 中， ， 由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径）， 又∵球心到平面的距离 ∴球的半径 ， 故球O的表面积 故选D 【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知函数在处有极值，则（ ） A. B. 在内单调递增 C. 的极大值为 D. 在上的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到函数，利用导数求得单调性，极值以及区间上的最值，即可求解. 【详解】对于A，由函数，可得， 因为函数在处有极值，可得，解得，经检验满足题意，所以A正确； 对于B，由，令，可得，解得或， 所以在，上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值，极大值为，所以C正确； 对于D，由选项C，可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以D正确. 10. 已知函数的图象的一个对称中心为，则（ ） A. 最小正周期 B. 函数的单调递减区间是 C. 函数是最小值为0的奇函数 D. 函数图象的对称轴为， 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意，，. 又，所以，. 所以. 对A，函数的最小正周期为，故A错误； 对B，由，可得，. 所以函数的单调递减区间是，故B正确； 对C，函数的最小值为，故C错误； 对D，由，，. 即函数图象的对称轴为，.故D正确. 11. 下列正确的是（ ） A. 展开式第9项的二项式系数最大 B. 在的展开式中，各项系数的和是 C. 的展开式中，的系数是120 D. 的展开式中的常数项为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质计算判断A；利用赋值法计算判断B；结合组合数的运算根据二项式定理的定义求出系数判断C；先求得的通项公式，要求常数项，令或或，解得不同的值，结合题意计算判断D. 【详解】对于A，展开后共有项，所以展开式第项的二项式系数最大，故A错误； 对于B，令，得，当为偶数时，展开式各项系数的和是，当为奇数时，展开式各项系数的和是，故B错误； 对于C，可以看成在5个因式“”的乘积中，在其中一个因式选择“”，再在剩下的4个因式“”中有两个因式中选择“”，两个因式中选择“”， 所以项的系数为，故C正确； 对于D，因为的通项公式为，， 所以要求常数项，则令或或， 解得或（舍）或， 当时，， 当时，， 所以常数项为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在 内的学生中选取的人数应为________． 【答案】0.030 , 3 【解析】 【详解】因为,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为人. 13. 已知平面向量与的夹角为，，，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】∵平面向量与的夹角为，，∴，即，解得，故答案为2. 14. 过点A（－1，0）且斜率为k（k＞0）的直线与抛物线相交于B，C两点，若，则k的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】联立过点A的直线与抛物线，利用设而不求的方法，依据题给条件得到关于k的方程，即可求得k的值 【详解】设过点A的直线为（k＞0）， 由，整理得 则，即，， 由，可得，则 则有，即 ， 整理得，解之得或（舍） 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？ （2）在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.求抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ （3）求的展开式中的系数. 【答案】（1）1440；（2）9604；（3） 【解析】 【详解】（1）； （2）； （3）∵展开式的通项是， ∴，，∴x2的系数是. 16. 已知正项等差数列满足，，等比数列的前项和满足，其中是常数． （1）求以及数列、的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），；，；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的性质得，结合，求出，进而求出的通项公式；由已知等比数列的前项和，利用通项与前项和关系，可求出结论； （2）由，用错位相减法，即可求解. 【详解】解：（1）数列为正项等差数列，公差， ，又， ，，可得，即可得； ① 当时，， 当时，② ①②即可得，，又为等比数列， ，即可得，，； （2）由题意得， ，③ ，④ ③④可得：． ． 【点睛】本题考查等差数列通项基本量的运算，考查已知等比数列的前求参数及通项，考查错位相减法求数量的前和，属于中档题. 17. 如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）在矩形中，且， 因为、分别为线段、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，从而， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 连接，因为四边形为矩形，所以，，且， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为，所以，且， 故四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取得， 易知平面的一个法向量为，， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆，它的一个焦点为，且经过点. （1）求椭圆C的方程； （2）已知圆的方程是，过圆上任一点P作椭圆C的两条切线与，求证. 【答案】（1） （2）设，若过点P的切线斜率都存在，设其方程为 ， 由得， ， 因为直线与椭圆相切，， ， 整理得， 椭圆C的两条切线的斜率分别为，， 点P在圆上，，即， . 若过点的切线有一条斜率不存在，不妨设该直线为， 则的方程为，的方程为， 所以.综上，对任意满足题设的点，都有. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的焦点坐标得到，结合与椭圆的定义可得椭圆的标准方程. （2）设圆上一点，利用直线与椭圆方程联立，令判别式为零，得到椭圆切点坐标满足的关系，结合点在圆上得到，进而证明. 【小问1详解】 由椭圆的一个焦点为可知，故椭圆的另一个焦点为, 则， ，. 椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若在区间上存在一点，使得成立，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】(1) 利用导函数的正负讨论函数的单调性； (2) 先将变形后转化为求函数在区间上的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为. ， ①当，即时， 因为当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 因为当时，，故在上单调递增. 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 在上存在一点，使得，即， 也就是在上存在一点，使得， 即函数在上的最小值小于零. 由（1）可知：①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由，可得. 因为，所以. ②当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为，由，可得. ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以， 故，此时，不成立. 综上讨论可得所求的范围是：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $