2.7 探索勾股定理 第2课时 课件 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理逆定理，通过古埃及人用13个绳结构造直角三角形的情境导入，衔接勾股定理“形到数”的知识，引导学生探索逆命题“数到形”的验证过程，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过合作学习（作三角形、计算边长平方和）和构造全等三角形证明培养数学思维，结合整数、分数、比例等多类型例题及实践作业（测量生活三角形物体）强化数学语言应用。学生提升逻辑推理与动手能力，教师可借助系统教学环节提高课堂效率。

2.7 探索勾股定理 第 2 章 特殊三角形 第2课时 浙教版八年级数学上册 1. 掌握勾股定理的逆定理，能运用逆定理判断已知三边的三角形是否为直角三角形. 2. 通过合作学习、实例分析等活动，经历逆定理的探索、猜想与验证过程，培养学生的动手操作能力、逻辑推理能力和数学建模思想. 3. 激发学生对数学的兴趣，体会数学与生活的紧密联系，培养学生的合作交流意识和探索精神. 重点 难点 学习目标 大约在公元前2700年，古埃及人已经建成了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔.当时的生产工具很落后，没有直角三角板，更没有任何的先进的测量仪器. 可是，这些金字塔的塔基却都是正方形，这确实是个谜？你想了解古埃及人用什么方法得到直角吗？ 情境导入 《几何原本》记载了古埃及人得到直角的方法： 古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 埃及三角形 为什么会是直角呢？ 情境导入 活动一：探究勾股定理的逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的长,那么a2+b2=c2. a b c 说出勾股定理的逆命题. 逆命题：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形. 这个逆命题正确吗? 探究新知 活动一：探究勾股定理的逆定理 合作学习 (1)作三个三角形，使其边长分别为3cm，4cm，5cm；1.5cm，2cm，2.5cm；5 cm，12cm，13 cm. (2)算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等. ① 3，4，5 → 32+42=25， 52=25 → 32+42=52，相等. ② 1.5，2，2.5 → 1.52+22=6.25， 2.52=6.25 → 1.52+22=2.52，相等. ③ 5 ，12，13 → 52+122=169， 132=169 → 52+122=132，相等. a2+b2=c2 探究新知 活动一：探究勾股定理的逆定理 合作学习 (3)古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 90度. 因为32+42=52，所以满足. (4)量一量所作每一个三角形最长边所对角的度数. 由此你得到怎样的猜想?用命题的形式表述你的猜想. (请与你的同伴交流) 由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 证明你的猜想. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 探究新知 活动一：探究勾股定理的逆定理 已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2. 求证： △ABC是直角三角形 要证明“如果三角形的三边长为a，b，c且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形”，我们可以通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质来证明. a c b A C B 探究新知 活动一：探究勾股定理的逆定理 证明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB， 在C1N上截取C1A1=b=CA，连接A1B1. a c b A C B b a C1 M N B1 A1 所以 △ABC ≌△A1B1C1 (SSS) 所以 ∠C=∠C1=90°， 所以△ABC是直角三角形. 探究新知 活动一：探究勾股定理的逆定理 几何语言： 因为在△ABC中，a2 + b2 = c2 所以△ABC是直角三角形. 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. b c C a B A 勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形. 探究新知 活动一：探究勾股定理的逆定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 区别 联系 两者都与三角形的三边有关系 探究新知 活动一：探究勾股定理的逆定理 　像(3，4，5)，(6，8，10)，(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数. 请你填表并探索规律． a 3 6 9 12 … 3n b 4 8 12 16 … 4n c 5 10 15 20 … 5n 一组勾股数中各数的相同整数倍组成一组新的勾股数，如3，4，5各数的n倍(n为正整数)组成的数组3n，4n，5n也是勾股数. 利用勾股数可以构造直角三角形. 探究新知 教材 例题 由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方. 应用新知 教材 例题 解：(1) 因为72＋242＝ 252 ， 所以以 7，24，25为边的三角形是直角三角形. 应用新知 利用边的关系判定直角三角形的步骤： 找：找出三角形三边中的最长边； 算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； 判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 1 2 3 应用新知 教材 例题 已知△ABC三角形的三边分别为a，b，c，且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(m>n，m，n都是正整数).△ABC是直角三角形吗？请你证明你的判断. 解：△ABC是直角三角形.证明如下： 已知a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(m>n，m，n都是正整数) 因为a2+b2 =(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2 所以△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理) 应用新知 经典例题 若△ABC的三边a，b，c满足a:b:c = 3:4:5，请判断△ABC的形状. 解：设a=3k，b=4k， c=5k (k＞0). 因为 (3k)2 + (4k)2 = 25k2， (5k)2 = 25k2， 所以 (3k)2 + (4k)2= (5k)2. 所以 △ABC是直角三角形. 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 应用新知 教材 练习 解：(1) 因为202＋212＝ 292 ， 所以以 20，21，29为边的三角形是直角三角形. 由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方. 课堂练习 教材 练习 解：(2) 因为52＋72 ≠82 ，也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，可知a，b，c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，所以以5，7，8为边的三角形不是直角三角形. 课堂练习 教材 练习 2.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形.已知这三个正方形构成的图形中，绿色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗?请证明你的判断. 解：△ABC是直角三角形.证明如下： 设AC=b，BC=a，AB=c，空白部分的总面积为S. S绿色=b2+a2-S ，S蓝色 =c2-S. 因为S绿色=S蓝色，所以b2+a2-S =c2-S. 所以a2b2c2，即 BC2 +AC2 =AB2. 所以这三个正方形的边构成的△ABC是直角三角形. a b c 课堂练习 3.三角形的三边分别是a，b，c且满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是( ) A. 直角三角形; B. 是锐角三角形; C.是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形. A 由(a+b)2-c2=2ab可得：a22ab+b2-c2=2ab 化简得：a2b2c2，满足勾股定理的逆定理. 故选：A. 课堂练习 4.边长满足关系(a-b)(a2+b2-c2)=0，△ABC是( ) A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形或等腰三角形 a-b=0 a=b 等腰三角形 a2+b2-c2=0 a2+b2=c2 直角三角形 直角三角形或等腰三角形 D (a-b)(a2+b2-c2)=0 课堂练习 解：因为a+b=4，ab=1, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又因为c2=14 所以a2+b2=c2 所以△ABC是直角三角形. 课堂练习 6.已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：因为AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2 =n4 -2n2+1+4n2 =n4 +2n2+1 AC2=(n2+1)2 =n4 +2n2+1， 所以AB2+BC2= AC2 . 所以△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角. 课堂练习 7.已知∠C=90°，BC=3 cm，BD=12 cm， AD=13 cm. △ABC的面积是6 cm2.  (1)求AB的长度； (2)求△ABD的面积. A B C D 课堂练习 7.已知∠C=90°，BC=3 cm，BD=12 cm， AD=13 cm. △ABC的面积是6 cm2.  (1)求AB的长度； (2)求△ABD的面积. A B C D 课堂练习 逆定理 如何 判断 ①找：找出三角形三边中的最长边； ②算：计算其他两边的平方和与最长边的平方；③判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理 总结归纳 实践作业：勾股定理逆定理的实践探究 主题：运用勾股定理逆定理判断实际图形是否为直角三角形 目标：巩固勾股定理逆定理的应用，提升将实际问题转化为数学问题的能力. 步骤：1.寻找生活中三角形物体，如三角形的晾衣架、三角形的支架等. 2.测该物体三条边长度(单位：厘米)，计算较短两条边的平方和与最长边的平方，判断两者是否相等，从而确定该三角形是否为直角三角形. 3.分析测量过程中可能产生的误差，并思考如何提高测量的准确性. 成果：实践报告(含测量数据、计算过程、结论及误差分析). $