2.7 探索勾股定理（第1课时） 课件 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理，从直角三角形已知性质（直角、锐角互余）导入，通过合作学习剪拼全等直角三角形，引导学生观察面积关系推导定理，搭建从性质到边关系的学习支架。 其亮点是用拼图法和赵爽弦图直观推导定理培养几何直观，分层练习（基础计算、提升应用、拓展证明）发展推理能力，实际问题（零件图距离计算）体现模型意识。学生通过动手与实例理解定理，教师借助清晰结构和分层设计提升教学效率。

第2章 特殊三角形 2.7探索勾股定理（第1课时） （浙教版）八年级 上 01 教学目标 01 02 掌握定理内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方， 通过拼图法（如赵爽弦图）、面积割补法等直观方式，理解定理的几何推导过程。 已知任意两边，能准确求出第三边（注意区分斜边与直角边），解决含特殊比例的直角三角形问题（如3:4:5，5:12:13等常见勾股数）。 应用勾股定理解决实际问题. 03 02 新知导入 A B C 说一说直角三角形有哪些性质？ ① 有一个直角，∠C = 90° ② 两个锐角互余，∠A + ∠B = 90° a b c 对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 03 新知讲解 合作学习 （1）剪四个全等的直角三角形纸片（图 2-34），把它们按图 2-35放入一个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。 （2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c。 分别计算图 2-35中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积。 （3）比较图2-35中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？ 你还有其他拼图方法得到这些结论吗？ 03 新知讲解 合作学习 S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 03 新知讲解 直角三角形的三条边长的关系： 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 a b c 03 新知讲解 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 此结论被称为“勾股定理”. 03 新知讲解 文字语言： 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2 + b2 = c2. 直角三角形的性质定理： （勾股定理/毕达哥拉斯定理） 变式： a2＝ c2－ b2， b2＝ c2－ a2 几何 代数 勾股定理 勾股定理反应了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁. 03 新知讲解 证明 利用拼图来验证猜想： 1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）. 2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！ a b c 03 新知讲解 a b c 黄实 朱实 朱实 朱实 这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”． 赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）. 03 新知讲解 赵爽拼图证明法 a b c b a2 + b2 c2 a 证法 1: a b c = 03 新知讲解 赵爽拼图证明法 a b c b－a 证法 2: = c2， = (b－a)2， = 4S三角形 + S小正方形， c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2. 这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理. 03 新知讲解 已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。 （1）若a＝1，b＝2，求c； （2）若a＝15，c＝17，求b。 例1 c2=a2+b2=12 +22 =5 因为c>0,所以c= 解:(1)根据勾股定理，得 (2)根据勾股定理，得 因为b>0 , 所以b=8. =172 -152 =64. =(17＋15)(17－15) b2 = c2 -a2 03 新知讲解 如图是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离。 例2 解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB＝90°， AC＝90－40＝50（mm）， BC＝160－40＝120（mm）。 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2 =502+1202=16900（mm2）因为AB＞0，所以AB＝130（mm）。 答：两孔中心A，B之间的距离为130 mm。 分析：解决问题的关键是构造出含所求 线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。 03 新知讲解 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 04 课堂练习 基础题 1.下列说法中，正确的是（ ） A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2 B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2 D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2 C 2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 A 04 课堂练习 基础题 3. 在 △ABC 中，∠C = 90°. (1) 若 a = 15，b = 8，则 c = ________. (2) 若 c = 13，b = 12，则 a = ________. 4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边 长的平方为_________. 17 5 74 或 24 04 课堂练习 基础题 5. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c. （1）已知 a = 6，c = 10，求 b； （2）已知 a = 5，b = 12，求 c； （3）已知 b = 15，c = 25，求 a. 解：由勾股定理：（1） （2） （3） 04 课堂练习 提升题 1. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝5，CD＝4，且AC＝AD. 记AB的长为x，AC的长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　A　） A. x2－y2 B. x2＋y2 C. x－y D. x＋y A 04 课堂练习 提升题 2.如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，且BE⊥AC. 若DE＝5，AE＝8，EC＝ ，则BC的长为（　C　） A. B. 8 C. D. C 04 课堂练习 拓展题 如图，在锐角三角形ABC中，AC＝2，AC边上的中线BD＝ .过点A作AE⊥BC于点E，记BC的长为a，BE的长为b.求证：当a，b的值发生变化时，ab的值不变. 04 课堂练习 拓展题 解：如图，连结DE，过点D作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝90°. 因为BD是AC边上的中线，所以D是AC的中点. 因为AE⊥BC，AC＝2，所以DE＝ AC＝CD＝1. 因为DF⊥EC，所以EF＝FC＝ CE. 04 课堂练习 拓展题 因为BC的长为a，BE的长为b，所以CE＝BC－BE＝a－b. 所以EF＝FC＝ CE＝ （a－b）. 所以BF＝BE＋EF＝b＋ （a－b）＝ （a＋b）. 在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF2＝BD2－BF2＝（ ）2－ ； 在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2＝CD2－CF2＝12－ ， 所以（ ）2－ ＝12－ .整理，得ab＝2，即ab的值不变。 05 课堂小结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 证明 06 板书设计 2.7探索勾股定理（第1课时） 1.勾股定理： 2.勾股定理的应用： $