培优专题04 三角形章末常考13易错7压轴题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形章末易错点与压轴题，以“易错+压轴”双模块构建方法体系，通过典例变式实现从概念理解到综合应用的逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错题型（13题型）|每题型1典例+3变式|含三边关系验证、中线倍长法、角平分线性质等13类解题技巧|从三角形概念→三线性质→内角和/外角定理，形成“概念-性质-应用”基础链条| |压轴题型（7题型）|每题型1典例+3变式|涵盖新定义问题、折叠角度计算、内外角综合等7类压轴方法|从易错点延伸至综合应用，体现“基础-迁移-创新”进阶逻辑，培养模型意识与创新思维|

培优专题04 三角形章末常考易错压轴题型 （题型突破·举一反三） 易错题型 题型01 三角形的相关概念 题型02 三角形的三边关系 题型03 构成三角形的条件 题型04 根据三角形的中线求解 题型05 重心的相关概念 题型06 三角形角平分线的概念 题型07 画三角形的高 题型08 与三角形的高有关的计算问题 题型09 三角形内角和定理的证明 题型10 与平行线有关的三角形内角和问题 题型11 与角平分线有关的内角和问题 题型12 直角三角形的性质 题型13 三角形的外角性质 压轴题型 题型14 与三角形三边关系有关的新定义问题 题型15 与三角形中线有关的计算问题 题型16 与三角形的高线有关的计算问题 题型17 三角形内角和定理的综合 题型18 三角形折叠中的角度问题 题型19 三角形内外角的综合问题 题型20 三角形内外角的新定义问题 ▌题型01 三角形的相关概念 【典例】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【变式1-2】（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ▌题型02 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先找最长边，只需验证较短两边之和大于最长边即可；已知两边，第三边取值范围为两边之差＜第三边＜两边之和。注意边长为正数，等腰三角形要分类讨论并检验能否构成三角形，舍去不合理解。 【典例】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． ▌题型03 构成三角形的条件 【典例】（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【变式3-3】（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 ▌题型04 根据三角形的中线求解 三角形中线平分对边，分得两条线段相等。中线将三角形分成面积相等的两部分。遇中线倍长构造全等三角形，转移边与角。已知两边和中线，利用倍长转化求取值范围；等腰三角形中线兼具高、角平分线性质。做题勿忘检验边长合理性，结合中线带来的线段等量关系列式计算。 【典例】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【变式4-2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． ▌题型05 重心的相关概念 三角形三条中线交点叫重心。重心分中线比为 2∶1，顶点到重心长度是重心到对边中点的 2 倍。重心和三顶点连线，把原三角形分成三块面积相等的小三角形。解题常利用线段比例求线段长，结合面积相等转化计算，遇到中线、重心综合题，直接套用 2:1 比例关系，注意分清两段线段不要颠倒。 【典例】（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． ▌题型06 三角形角平分线的概念 三角形角平分线平分内角，分得两个角相等。角平分线上的点到角两边距离相等，常用来证线段相等、求面积。三角形三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。解题可作垂线转化距离，结合角平分线模型推导角度，计算时注意区分角平分线与中线、高，做完检验角度关系是否符合题意。 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】（25-26七年级下·河南商丘·期末）如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 【变式6-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． ▌题型07 画三角形的高 【典例】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【变式7-1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【变式7-3】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； (2)过点C画，交于点E；再画，交于点F； (3)连接，图中与面积相等的三角形是 ． ▌题型08 与三角形的高有关的计算问题 三角形的高是顶点向对边作的垂线段，高可能在三角形内部、边上或外部。利用面积法：同一三角形面积相等，可由底求高或由高求底。直角三角形两条直角边互为高。钝角三角形有两条高在形外，做题注意分类讨论高的位置，计算时看清对应底边，避免底高不匹配而出错。 【典例】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【变式8-2】（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【变式8-3】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． ▌题型09 三角形内角和定理的证明 【典例】（25-26七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【变式9-1】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【变式9-2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【变式9-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） ▌题型10 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【变式10-2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． ▌题型11 与角平分线有关的内角和问题 【典例】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【变式11-1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 【变式11-2】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【变式11-3】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． ▌题型12 直角三角形的性质 【典例】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【变式12-1】（25-26七年级下·山东德州·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【变式12-3】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． ▌题型13 三角形的外角性质 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，外角大于任意一个不相邻内角。三角形外角和为 360°。解题多用外角性质快速求角度，替代内角和简化计算。遇到折叠、模型题优先找外角，分清相邻与不相邻内角，不要错用相邻内角相加，结合内角和定理综合列式求解。 【典例】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2025八年级上·广东东莞·竞赛）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【变式13-3】（25-26七年级下·吉林·期末）【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． ▌题型14 与三角形三边关系有关的新定义问题 【典例】（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【变式14-1】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【变式14-2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【变式14-3】（2025·四川成都·一模）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有_____个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有_____个．（用含n的代数式表示） ▌题型15 与三角形中线有关的计算问题 【典例】（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 【变式15-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【变式15-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 【变式15-3】（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． ▌题型16 与三角形的高线有关的计算问题 【典例】（2025七年级下·安徽合肥·竞赛）如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【变式16-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【变式16-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【变式16-3】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． ▌题型17 三角形内角和定理的综合 【典例】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【变式17-1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 选第二种： 过三角形内任取一点作， 选第三种： 如图所示，， 【变式17-2】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【变式17-3】（25-26七年级下·河南濮阳·期末）【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． (1)当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． (2)若，，直接写出的度数． 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． ▌题型18 三角形折叠中的角度问题 【典例】（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式18-1】（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 【变式18-2】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 【变式18-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． ▌题型19 三角形内外角的综合问题 【典例】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 【变式19-1】（25-26七年级下·北京·期末）如图1，已知直线，直线分别交、于点M、N，，的角平分线交最靠近的n等分线于点P． (1)若，则__________； (2)如图2，直线分别交直线、直线、直线、直线于点G、H、Q、R，设： ①若，求与n的数量关系； ②将直线沿直线进行平移，直接写出平移过程中与的数量关系． 【变式19-2】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图1，当点G在F右侧时，求证：； (2)如图2，当点G在F左侧时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分交于点，连接，若，，求的度数． 【变式19-3】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． ▌题型20 三角形内外角的新定义问题 【典例】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【变式20-1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 【变式20-2】（24-25七年级下·上海·期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 【变式20-3】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题04 三角形章末常考易错压轴题型 （题型突破·举一反三） 易错题型 题型01 三角形的相关概念 题型02 三角形的三边关系 题型03 构成三角形的条件 题型04 根据三角形的中线求解 题型05 重心的相关概念 题型06 三角形角平分线的概念 题型07 画三角形的高 题型08 与三角形的高有关的计算问题 题型09 三角形内角和定理的证明 题型10 与平行线有关的三角形内角和问题 题型11 与角平分线有关的内角和问题 题型12 直角三角形的性质 题型13 三角形的外角性质 压轴题型 题型14 与三角形三边关系有关的新定义问题 题型15 与三角形中线有关的计算问题 题型16 与三角形的高线有关的计算问题 题型17 三角形内角和定理的综合 题型18 三角形折叠中的角度问题 题型19 三角形内外角的综合问题 题型20 三角形内外角的新定义问题 ▌题型01 三角形的相关概念 【典例】（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 【变式1-2】（25-26七年级下·上海·期末）在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1-3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． ▌题型02 三角形的三边关系 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。解题时先找最长边，只需验证较短两边之和大于最长边即可；已知两边，第三边取值范围为两边之差＜第三边＜两边之和。注意边长为正数，等腰三角形要分类讨论并检验能否构成三角形，舍去不合理解。 【典例】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 【变式2-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示，若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ） A．3 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 【变式2-2】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）一木工师傅有两根长分别为，的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择的木条长度合适的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项得到正确答案． 【详解】解：设第三根木条的长度为， 在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， 观察选项可知，只有选项B在该范围内． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南洛阳·期末）已知为奇数，且，满足，若，，为三角形三边长，则第三条边长的值是________． 【答案】 【分析】先利用非负数的性质求出，的值， 再根据三角形三边关系得到的取值范围， 最后结合为奇数确定的值. 【详解】解：， ，， 解得，， ，，是三角形的三边长， 根据三角形三边关系可得 ， 代入的值得， 即， 又为奇数， . ▌题型03 构成三角形的条件 【典例】（2026·湖南长沙·中考真题）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 【变式3-1】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 【答案】 【分析】分两种情况：腰长为和腰长为，根据构成三角形的条件验证能否构成三角形后，计算符合条件的周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）若三根长度分别为2、4、x（x为正整数）的木棒顺次相接能够组成三角形，则（     ） A．组成的三角形中，周长最小为8 B．组成的三角形中，周长最小为7 C．组成的三角形中，周长最大为 D．组成的三角形中，周长最大为 【答案】D 【详解】∵三角形三边长为，，， ∴，即， 又∵为正整数， ∴的可能取值为，，， 当时，周长最小，最小周长为，因此选项A，B错误， 当时，周长最大，最大周长为，因此选项C错误，选项D正确． 【变式3-3】（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 【详解】解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． ▌题型04 根据三角形的中线求解 三角形中线平分对边，分得两条线段相等。中线将三角形分成面积相等的两部分。遇中线倍长构造全等三角形，转移边与角。已知两边和中线，利用倍长转化求取值范围；等腰三角形中线兼具高、角平分线性质。做题勿忘检验边长合理性，结合中线带来的线段等量关系列式计算。 【典例】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 【变式4-1】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 【变式4-2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，为边上的中线． （1）若的周长比的周长大4，，则___________； （2）若的面积为17，则的面积为___________； （3）若，，则的面积的最大值为___________． 【答案】 5 12 【分析】（1）先得出，再根据三角形的周长公式可得，与联立求解即可； （2）根据三角形的中线性质即可得； （3）过点作于点，先求出的面积为，再根据垂线段最短求出的最大值即可． 【详解】解：（1）∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长大4， ∴， ∴，即， ∵， ∴联立， 解得． （2）∵在中，为边上的中线，且的面积为17， ∴． （3）如图，过点作于点， ∵， ∴的面积为， ∴要使得的面积最大，则需的值最大， 由垂线段最短可知，（当且仅当点重合时，等号成立）， ∵， ∴， ∴的最大值为4， ∴的面积的最大值为． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若D、E、F分别是、、边上的中点，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)16 【分析】（1）先根据同角的补角相等得到，则，利用平行线的性质得到，结合已知得到，则，然后利用平行线的性质可证得结论； （2）设，利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵D、E、F分别是、、边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴． ▌题型05 重心的相关概念 三角形三条中线交点叫重心。重心分中线比为 2∶1，顶点到重心长度是重心到对边中点的 2 倍。重心和三顶点连线，把原三角形分成三块面积相等的小三角形。解题常利用线段比例求线段长，结合面积相等转化计算，遇到中线、重心综合题，直接套用 2:1 比例关系，注意分清两段线段不要颠倒。 【典例】（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 【变式5-2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点是的重心，，则阴影部分的面积之和为__________． 【答案】8 【分析】根据三角形重心的定义可知是的中线，再利用三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，，， ∴阴影部分的面积之和． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型06 三角形角平分线的概念 三角形角平分线平分内角，分得两个角相等。角平分线上的点到角两边距离相等，常用来证线段相等、求面积。三角形三条角平分线交于内心，内心到三边距离相等。解题可作垂线转化距离，结合角平分线模型推导角度，计算时注意区分角平分线与中线、高，做完检验角度关系是否符合题意。 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫做重心． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义，以及三角形相关交点的名称，逐一判断每个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：对四个说法逐一判断： ① 三角形的中线是连接三角形顶点和它对边中点的线段，角平分线是三角形内角平分线与对边相交，顶点到交点的线段，高是三角形顶点到对边所在直线的垂线段，因此三者都是线段，故①正确； ② ∵钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高在三角形的边上，∴②错误； ③ ∵直角三角形有三条高，两条直角边本身就是两条高，还有一条斜边上的高，∴③错误； ④ ∵三角形三条中线的交点叫做重心，三条角平分线的交点不是重心是内心，∴④错误； 综上，只有1个说法正确，故选A． 【变式6-1】（25-26七年级下·河南商丘·期末）如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ； (2)证明：由（1）得， ， ， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合角度的关系可得，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由平行的性质可得，进而得到，根据同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式6-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【答案】 证明：∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，即可得出，进而根据平行线的性质可得，即可得出，即平分． 【详解】略 ▌题型07 画三角形的高 【典例】（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 【变式7-1】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 【变式7-2】（25-26七年级下·上海·期中）如图，在三角形中，点是边的中点，根据下面的要求画出图形并填空． (1)画出三角形的边上的高； (2)过点画，直线交边于点； (3)点到直线的距离是线段______的长度； (4)写出图形中面积相等的两个三角形：______． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) (4)和 【分析】（1）过点A作交延长线于点F，则即为所求； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据点到直线的距离的定义求解即可； （4）根据线段中点的意义得到，再由三角形面积公式得到，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴点到直线的距离是线段的长度； （4）解：∵点是边的中点， ∴， ∴， 即图形中面积相等的两个三角形为和． 【变式7-3】（25-26七年级上·四川乐山·阶段检测）如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： (1)过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 的长； (2)过点C画，交于点E；再画，交于点F； (3)连接，图中与面积相等的三角形是 ． 【答案】(1)如图，即为所求；； (2) 如图，即为所求． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴点E到的距离与点F到的距离相等， ∴， 即与面积相等的三角形是． ▌题型08 与三角形的高有关的计算问题 三角形的高是顶点向对边作的垂线段，高可能在三角形内部、边上或外部。利用面积法：同一三角形面积相等，可由底求高或由高求底。直角三角形两条直角边互为高。钝角三角形有两条高在形外，做题注意分类讨论高的位置，计算时看清对应底边，避免底高不匹配而出错。 【典例】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，、分别是的高和中线，若，，， (1)求的长 (2)求与的周长差 【答案】(1) (2) 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，此时即为边上的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据“垂线段最短”可知，当点与点重合时，线段的长度最小，最小值为的长， ，， ， ，解得 线段的最小长度为． 【变式8-2】（25-26八年级下·广东河源·期末）在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式8-3】（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 【答案】(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 【分析】（1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． 【详解】（1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． ▌题型09 三角形内角和定理的证明 【典例】（25-26七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过撕、拼的方法，而是在的顶点处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在中，过点作直线， 根据_____________________________ 得到_________，_________， 根据平角定义，___________________________， 因此，，即． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求 (2)如图，在中，过点作直线， 根据两直线平行，内错角相等， 得到，， 根据平角定义，． 因此，，即 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式9-1】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 (1)图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 (2)请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】(1)A (2)选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点睛】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 【变式9-2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③过上一点D作， ④过点C作于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是”的方法是①②③； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 故①能证明“三角形内角和是”； ②∵， ∴，， ∵， ∴， 故②能证明“三角形内角和是”； ③∵，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 故③能证明“三角形内角和是”； ④∵， ∴， 故④不能证明“三角形内角和是”． 【变式9-3】（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理． 已知： 求证： （2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理． 如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明． 请完善以下内容： 证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：________________③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得（补充完整后面过程） 【答案】 （1）证明：如图，过点A作直线l，使． ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，，组成平角， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）证明：中，设，① 则内角和为，② 内角和为：③ ∵，④ ⑤ 并用代入，得 解得． 【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键． （1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答； （2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型10 与平行线有关的三角形内角和问题 【典例】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式10-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 【变式10-2】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式10-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【答案】(1) 第一种情况：如题图②，． 理由：， ， 即． ， ． 第二种情况：如题图③，． 理由：， ． ， ， 即． (2) 如图，； 如图，； 如图，； 如图，． 【分析】（1）①如题图②中，结论：．利用平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．②如题图③中，结论：．利用平行线的性质，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可． （2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． ▌题型11 与角平分线有关的内角和问题 【典例】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 【变式11-1】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 【答案】或 【分析】分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 当时，， ； 当时，， ，， ， 综上，的度数为或． 【变式11-2】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 【变式11-3】（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． ▌题型12 直角三角形的性质 【典例】（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 【变式12-1】（25-26七年级下·山东德州·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 【变式12-2】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，在直角三角形与直角三角形中，，比大，则________． 【答案】/度 【分析】根据比大，并结合它们互余可求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴． 【变式12-3】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在的延长线上，”，其他条件不变，求的度数； (3)如图③，若把“”变成“平分”，其他条件不变，的大小是否变化，并请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数大小不变，理由： ∵平分， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）先求出的度数，利用即可求出的度数； （2）先求出的度数，利用即可求出的度数； （3）利用平分，平分，求出即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 ▌题型13 三角形的外角性质 三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，外角大于任意一个不相邻内角。三角形外角和为 360°。解题多用外角性质快速求角度，替代内角和简化计算。遇到折叠、模型题优先找外角，分清相邻与不相邻内角，不要错用相邻内角相加，结合内角和定理综合列式求解。 【典例】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外角，过点作射线，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式13-1】（2025八年级上·广东东莞·竞赛）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．、与有什么样的关系（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形外角的性质，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， 即． 【变式13-2】（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． (3)如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）略 【变式13-3】（25-26七年级下·吉林·期末）【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 【答案】(1)①；②； (2) (3)解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； (4) 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； ②将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（3）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； （3）略； （4）解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ▌题型14 与三角形三边关系有关的新定义问题 【典例】（25-26七年级下·山东日照·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为（     ） A．4 B．4或6 C．1．5 D．1．5或4 【答案】D 【分析】先根据三边关系确定第三边的取值范围，再分情况讨论符合“倍长”定义的边长，舍去不能构成三角形的情况即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 若第三条边是已知边的2倍： 当，满足，符合题意； 当，，不满足三边关系，舍去； 若已知边中有一条是第三条边的2倍： 当，得，不满足，不能构成三角形，舍去； 当，得，满足，符合题意； 综上，第三条边的长为或． 【变式14-1】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 【变式14-2】（25-26八年级下·山东青岛·期中）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为10，其中一边长为4，则它的“优美比”为_____． 【答案】或 【分析】分腰长为4和底边长为4这两种情况，根据三角形的周长公式求出对应的底边长或腰长，结合三角形三边关系验证即可求解． 【详解】解：当为腰长时，等腰的周长为， 的底边长为， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 当为底边长时，等腰的周长为， ∴等腰的腰长为 ， ∵， ∴此时能构成三角形， “优美比”为； 综上所述，“优美比”为或． 【变式14-3】（2025·四川成都·一模）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有_____个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有_____个．（用含n的代数式表示） 【答案】 3 【分析】本题考查了三角形三边关系．熟练掌握是解题的关键． 根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数． 【详解】当时， 当时，，c为偶数，则，不满足，舍去； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 当时，，c为偶数，则，满足条件； 综上，当时，“幸运三角形” 有3个； 当（为不小于2的正整数）时， 当时，，c为偶数，则c无解； 当时，，c为偶数，则，有1个； 当时，，c为偶数，则，有2个； …； 当时，，c为偶数， 则，有个； 所以满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个． 故答案为：3；． ▌题型15 与三角形中线有关的计算问题 【典例】（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长度是（    ） A．8 B．4 C．16或8 D．8或4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的三边关系、二元一次方程组的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 设，，则，然后分且和且两种情况，分别根据题意列方程组求解并运用三角形的三边关系验证即可． 【详解】解：设，，则． 当且时，即，解得； ∴，， ∵， ∴能构成三角形，即，符合题意； 当且时，即，解得． ∴，， ∵， ∴不能构成三角形，即，不符合题意； 综上，． 故选：B． 【变式15-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． (1)求、的长； (2)若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了三角形的中线．熟练掌握三角形的中线的性质，三角形周长公式，三角形面积公式，是解题的关键． （ 1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （ 2）先求得的面积，根据，计算即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴． ∴的周长的周长 ． 即①． 又②， 得．， 解得． ∴． ∴和的长分别为：． （2）∵， ∴． ∵是边上的中线，E为的中点， ∴． ∴． 【变式15-2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 【变式15-3】（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． ▌题型16 与三角形的高线有关的计算问题 【典例】（2025七年级下·安徽合肥·竞赛）如图所示，分别延长的三边、、至、、，使得、、．若，则（   ） A．18 B．19 C．24 D．27 【答案】B 【分析】连接，，，利用已知条件求出，同理可得，然后由即可求解． 【详解】解：连接，，， ∵，， ∴． 又∵ ∴， 同理可得： ∴． 【点睛】解答此题的关键是连接，，，利用两三角形同高这一特点，求出． 【变式16-1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点．当四边形的面积为7时，则中边上的高为___________． 【答案】10 【分析】连接，设、，根据四边形的面积得到，利用和等高求出，同理求出和利用的面积列出方程，求出的面积，从而求出边上的高即可． 【详解】解：连接， 、， ， 解得：， ， ， ， 设、， 四边形的面积为7， ，即， 、和等高， ， ， 和同高、， ， ， ， 和同高、， ， 和同高、， ， ， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， 中边上的高为：． 【变式16-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 【变式16-3】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）如图，中，点是边的中点，是边上靠近点的三等分点，点在上，且满足，连接、，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据中点、三等分点、线段倍数关系得到各部分三角形面积与面积的比例，再结合四边形面积为建立等式，进而求出的面积． 【详解】解：连接，四边形可拆分为和， 设的面积为， 点是的中点， ， ∵和等高 ， 是上靠近的三等分点， ， 和等高， ， ，， ， 和等高， ， ∵， ， 解得：． ▌题型17 三角形内角和定理的综合 【典例】（25-26八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问题 三角形内角和为什么等于 问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于呢？    思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和等于．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述．    逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于的理由． 触类旁通 小华同学通过思考，发现在边上任意取一点（不与点、重合）．如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．    (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长至点，过点作___________、利用平行线的性质得到即可求解． 方法二：如图3，过点作，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．    (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4画出图形，写出证明过程）    【答案】(1)． ，内角和为． (2)选择图2，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； 选择图3，证明过程如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， 即内角和为； (3)证明：过点作交于点，过点作交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴ 即内角和为． 【分析】（1）方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，即可求解． 方法二：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点作交于点，过点作交于点，由两直线平行，同位角相等，内错角相等易证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式17-1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在边上任取一点，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 (1)请从上面三种方法中任选一种进行证明； (2)在第二种方法中：若点为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？___________（填“可以”或“不可以”）． 【答案】(1) 选第一种： 证明：过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是； 选第二种： 过三角形内任取一点作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 即：三角形的内角和为：； 选第三种： 如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 即：三角形的内角和为：； (2)可以 【分析】根据平行线的性质进行角的转换即可进行论证. 【详解】（1） 略 （2）可以，理由如下： 如图所示： 过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：三角形的内角和是. 【变式17-2】（25-26八年级上·天津南开·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式17-3】（25-26七年级下·河南濮阳·期末）【问题探究】 已知，点E，F分别为和上的点，点P是平面内一点．数学兴趣小组的同学们想探究与，的数量关系（，，均为大于且小于的角）． (1)当点P在直线和之间时． ①若点P在线段右侧，如图1，小明和小亮给出了不同的解决方法，请你将两位同学的过程补充完整． 小明：如图2，过点P作． ． （____________________） 小亮：如图3，过点F作交于点N．… ②若点P在线段左侧，如图4，请直接写出与，的数量关系． (2)若，，直接写出的度数． 【方法应用】 (3)上述两位同学都是过某个点作已知直线的平行线，利用平行线的性质来解决问题．请你利用上述方法解决下面的问题． 已知：如图5，三角形． 求证：． 【答案】(1)①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 小亮：如图，过点F作交于点N． （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又 ② (2)或 (3)证明：过点S作 ， 【分析】（1）①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补； （2）根据，，分类讨论进行求解； （3）两直线平行，内错角相等；三角形内角和为． 【详解】（1）①略 ②过点P作． ， ． ， ； （2）解：，， 当到的右侧且在之间时， ； 当到的右侧且在上方时， ， ， ； （3）略 ▌题型18 三角形折叠中的角度问题 【典例】（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质得，，，根据平行线的性质求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式18-1】（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在三角形中，，，，点D在上运动，E是上一定点，将三角形沿所在直线折叠，点A的对应点为F，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点在的右边时，当点在的左边时，分别利用平行线的性质求出的度数，再结合折叠的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当点在的右边时，如图所示， ∵，， ， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点，， ，，， ， ， ， ； ②当点在的左边时，如图， ，， ， 将沿所在直线折叠，点的对应点为点， ，， ， ∴， ； 综上所述，为或． 【变式18-2】（25-26七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得到，则可推出；当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况，据此根据，求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数，再验证是否为“倍角三角形”即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 在中，， ∴当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴此时不是“倍角三角形”，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时是“倍角三角形”，符合题意； 综上所述，． 【变式18-3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． ▌题型19 三角形内外角的综合问题 【典例】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）已知直线，将的直角三角板（其中，）的顶点M，N分别放在上，交于点Q，且，现将三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周，当三角形的一条直角边与平行时，则运动的时间为______秒． 【答案】或或或 【分析】根据题意得出，，然后分四种情况分析：分别作出相应图象，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴， ∴旋转角为：， ∴时间为：秒； 当时，如图所示： ∴， ∴旋转角为：， ∵三角形绕点P以每秒的速度顺时针旋转一周， ∴时间为：秒； 综上可得：运动的时间为或或或秒． 【变式19-1】（25-26七年级下·北京·期末）如图1，已知直线，直线分别交、于点M、N，，的角平分线交最靠近的n等分线于点P． (1)若，则__________； (2)如图2，直线分别交直线、直线、直线、直线于点G、H、Q、R，设： ①若，求与n的数量关系； ②将直线沿直线进行平移，直接写出平移过程中与的数量关系． 【答案】(1)10 (2)①；②或或 【分析】（1）过P作，根据平行线的性质，结合已知求得，，进而可求解； （2）①根据平行线的性质，平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，结合已知和三角形的内角和定理可求解； ②先求得，再根据平移性质以及G、Q、H、R的相对位置分情况画出图形，利用三角形的内角和定理和平角定义分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过P作，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵的角平分线交最靠近的n等分线于点P，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：根据题意，点G、H、Q、R的位置有六种情况，如图2、图3、图4、图5、图6、图7， ①如图2，∵，，， ∴，， ∵直线， ∴，则， ∵， ∴， 同理，由图3、图4、图5、图6、图7，可知， 综上，当时，与n的数量关系为； ②由（1）和①可知，， ∴， 由图2知，，，， ∴， ∴； 由图3知，，，， ∴， ∴； 由图4知，，， ∴， ∴； 由图5知，， ∵， ∴， ∴； 由图6知， ， ∴； 由图7知， ， ∴ 综上，与的数量关系为或或． 【变式19-2】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图1，当点G在F右侧时，求证：； (2)如图2，当点G在F左侧时，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)证明：平分， ， 又， ， ∴， ， ， ， ∴； (2)证明：过点作，交于点，如图， 由（1）同理可证：， ， ，， ， ； (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用； （1）通过证明，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）过点作，交于点，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论； （3）设，则，，；利用已知条件用含的式子表示，，，，再利用，得到关于的方程，解方程求得的值，则，结论可求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， 则，，， 平分， ， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 解得：， ． 【变式19-3】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，直线，直线与，分别交于点，，若过点作，平分，，交于点．设． (1)若，则________； (2)点是平面内一点，连接，，依题意回答下列问题： ①如图2，若，分别平分，，则的度数是多少？（用含的式子表示） ②若点在直线上，，且，求的值． 【答案】(1)10 (2)①；②或 【分析】（1）首先利用角平分线的定义，由得到的度数，再结合，根据平行线的同旁内角互补性质的得到的度数；因为，所以，进而可推导的度数． （2）对于①，先根据角平分线定义分别得到和的表达式，再过点作平行于的辅助线，利用平行线的内错角相等的性质，将拆分为两个角的和，代入已知表达式化简即可．对于②，先确定的度数，结合得到的度数；因为点在直线上，所以分在线段上和在的延长线上两种情况，分别利用三角形内角和定理或角的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①过点作，过点作， ， ，， 平分，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ②， ， 当点在延长线上时， 过点作， ， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 当点在线段上时， 过点作， ， ， 由①得，， ， ， ， ， ， 又， ， 解得， 所以的值为或． （用三角形内角和解也可） ▌题型20 三角形内外角的新定义问题 【典例】（25-26八年级上·湖北黄石·期中）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则 °； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①是“准互余三角形”，理由如下； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答， ②由题意可得，所以分两种情况，或． 【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：略； ②∵点是边上一点，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 【变式20-1】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是___________（填序号）． ①②③． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明．“准互余三角形”． 【答案】(1) (2) (3) 解：是“准互余三角形”，理由如下： ∵平分， 又∵是的外角，且 ， ， ， ∴是“准互余三角形”． 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：∵为“准互余三角形”，与为“准互余角”， ， ， ， 又， ； （3）略 【变式20-2】（24-25七年级下·上海·期中）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”．如图，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，则等于________． 【答案】/36度 【分析】本题考查三角形内角和定理、邻补角的性质、平行线的判定与性质等知识点，理解“优美三角形”的定义是解题的关键． 根据邻补角的性质得到，根据平行线的性质得到，推出得到，根据角平分线的定义得到求得，再根据“优美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， 是“优美三角形”， ， ，即， ． 故答案为：． 【变式20-3】（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在中，如果， ，那么与互为“和谐角”，为“和谐三角形”． (1)如图①，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD． ①________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； ②若，请判断是否为“和谐三角形”，并说明理由． (2)如图②，中，，，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若是“和谐三角形”，则的度数为________． 【答案】(1)①是 ②是“和谐三角形”．理由如下： ，， ． ， ， ， ， 是“和谐三角形”． (2)或 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根据三角形内角和定理求出的度数，由可知，再求出各角的度数，进而可得出结论； （2）由“和谐三角形”的定义可知分或两种情况求解，据此得出结论． 【详解】（1）解：①是“和谐三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴是“和谐三角形”； 故答案为：是． ②略 （2）解：或   【提示】由题意知，，． ，， ， ． 又，， ∴当是“和谐三角形”时，分或两种情况求解． 当时，； 当时， ， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $