第一单元 确定位置 单元培优讲义-2026-2027学年六年级上册数学人教版

该小学数学“确定位置”单元培优讲义通过“知识梳理-考点讲练-综合训练”三级架构构建知识体系，用表格明确有序数对读写规则，分步骤梳理方向距离定位三要素，通过原理规律图呈现位置相对性，形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于“典例+变式”分层练习设计，如智能柜数对定位、灯塔方向距离计算等实例，结合易错点清单培养空间观念和应用意识，支持学生自主复习，助力教师精准教学提升复习效率。

第一单元 确定位置 单元培优讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、核心知识点详解 1 （一）用有序数对确定位置（坐标法） 1 （二）用方向和距离确定位置（极坐标法） 2 （三）位置的相对性 3 （四）简单路线图的描述与绘制 3 三、易错点与注意事项 4 四、知识拓展与生活应用 4 考点讲练 4 考点一：用有序数对确定位置 4 考点二：用方向和距离确定位置 7 综合训练 9 知识梳理 一、单元概述 本单元是小学数学图形与位置板块的核心内容，在学生低年级学习前后、左右、上下、东南西北等基础方位，以及五年级用有序数对确定平面位置的基础上，进一步拓展学习用方向和距离确定物体位置，并对两种定位方法进行系统整理复习。单元内容分为三大模块：有序数对确定位置、方向与距离确定位置、单元知识整理与复习，核心目标是让学生掌握两种确定平面内物体位置的方法，理解位置的相对性，能描述简单路线图。 二、核心知识点详解 （一）用有序数对确定位置（坐标法） 1. 基础概念 列与行的定义： 竖排称为列，确定第几列时，统一遵循从左往右的顺序依次计数 横排称为行，确定第几行时，统一遵循从前往后的顺序依次计数 行列计数方向固定，不受物体位置、观察视角影响，是数对统一规范的核心前提 有序数对（数对）： 概念：用一组有固定顺序的两个数，表示平面内唯一物体位置的组合，叫做有序数对 格式：用括号括起来，两个数中间用逗号隔开，形式为 (列数，行数) 有序性：两个数的顺序不能颠倒，(a,b) 与 (b,a) 表示不同位置，体现 “先列后行” 原则 2. 读写规则与应用 操作 具体要求 示例 读数对 先读列数，再读行数，“逗号” 读作 “，”，“括号” 读作 “左括号”“右括号” (3,5) 读作 “左括号 3，5 右括号” 或 “数对 3，5” 写数对 先写列数，再写行数，列数与行数之间用逗号隔开，整体用小括号括起来 第 4 列第 2 行写作 (4,2) 应用场景 方格图定位、座位表、经纬线、棋盘、坐标系统等 电影院座位 (8 排 12 座)、地球经纬度 (北纬 30°，东经 120°) 3. 方格图中的数对应用 方格图中，横线通常表示行，竖线通常表示列，交点表示具体位置 数对与方格图中的点一一对应，平面内任意一个点，对应唯一一组数对，任意一组数对也对应平面内唯一的点 特殊位置：原点 (0,0) 表示起始位置，x 轴上点的行数为 0，y 轴上点的列数为 0 （二）用方向和距离确定位置（极坐标法） 1. 确定位置的三要素（缺一不可） 观测点（参照点）：确定位置的基准点，位置描述都是相对观测点而言 方向（含角度）：精确描述物体相对于观测点的方位 距离：物体与观测点之间的长度 2. 方位描述规范 基本方向：东、南、西、北、东北、东南、西北、西南八个方向 精确方向：采用北偏东 / 北偏西 / 南偏东 / 南偏西+ 角度的表述方式，角度以南北方向为基准，通常不超过 45° 示例：北偏东 30°（不建议表述为东偏北 60°），南偏西 45°（即西南方向） 描述顺序：先说偏向，再说角度，最后说距离 示例：学校在小明家北偏东 30° 方向 400 米处 3. 角度测量与比例尺应用 角度测量：使用量角器，以观测点为顶点，以南北方向线为 0 刻度线，测量出偏向角度 比例尺：图上距离与实际距离的比，用于将图上距离换算为实际距离，或反之 公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺；图上距离 = 实际距离 × 比例尺 注意单位统一（如厘米换算为米或千米） 4. 平面图上标注物体位置的步骤 确定观测点，建立方向标（上北下南，左西右东） 用量角器确定物体的方向（角度） 根据比例尺计算出图上距离 以观测点为起点，沿确定的方向画出相应长度的线段，标出物体位置及名称 （三）位置的相对性 核心原理：两个物体的位置关系是相对的，观测点互换后，方向相反，角度相等，距离不变 描述变化规律： 方向：北↔南，东↔西，如 A 在 B 的北偏东 30°，则 B 在 A 的南偏西 30° 角度：保持相同度数，如上述例子中角度均为 30° 距离：两个物体之间的距离不变，如 A 到 B 的距离是 500 米，B 到 A 的距离也是 500 米 应用价值：理解位置相对性，能帮助我们在不同观测点之间准确转换位置描述，解决实际导航、地图阅读等问题 （四）简单路线图的描述与绘制 1. 路线图描述方法 分段描述：将复杂路线分解为若干段，每段描述遵循 “起点→观测点→方向→角度→距离→终点” 的顺序 明确转向：描述转弯时，需说明转向方向（如左转、右转、向东北转等）和转向角度 统一单位：全程使用统一的距离单位，避免混淆 示例：从学校出发，先向东偏南 20° 方向走 300 米到图书馆，再向正南方向走 200 米到公园，最后向西偏北 45° 方向走 500 米到体育馆 2. 路线图绘制步骤 确定起点，建立方向标 按描述顺序依次确定各段路线的观测点、方向、角度和距离 逐段绘制路线，标注关键地点和数据 检查路线连贯性和准确性，确保符合描述要求 三、易错点与注意事项 数对顺序错误：混淆列和行的顺序，写成 (行数，列数)，需牢记 “先列后行” 原则 方向基准错误：用东西方向为基准描述角度（如东偏北），应改为以南北方向为基准 观测点混淆：描述位置时未明确观测点，或在位置相对转换时观测点不变，导致方向描述错误 比例尺误用：未统一单位或计算错误，导致实际距离与图上距离换算错误 角度测量错误：量角器使用不当，如 0 刻度线未与南北方向线对齐，导致角度读数错误 四、知识拓展与生活应用 数对与坐标：数对是平面直角坐标系的基础，为初中学习直角坐标系打下基础，经度和纬度就是数对原理的实际应用 方向与距离的实际应用： 导航系统：如 GPS、高德地图等，通过方向和距离引导路线 军事定位：精确描述目标位置，实现精准打击 航海航空：确定航向和航程，确保安全航行 位置相对性的应用： 相对运动：如两车相向而行时的位置关系描述 摄影测量：通过不同观测点拍摄的照片计算物体位置和距离 考点讲练 考点一：用有序数对确定位置 【典例精讲】下图是存放快递的“智能柜”的平面图。 （1）请用数对表示出16号柜和28号柜的位置。 16号柜_____，28号柜_____。 （2）豆豆妈妈的两个快递到了，快递员将快递分别存放在（6，5）和（1，6）的位置，也就是在_____号和_____号柜。 （3）快递员将豆豆妈妈的快递存放好后，指示灯上显示13～16号柜、第5列的所有柜和另外两个数对表示为（4，3）和（6，3）的柜都是空的。请你在图中找出这些空着的柜并将它们用线连在一起，连起来后的图形像数字_____。 【答案】（1）（3，3）；（5，3） （2）32；1 （3）；4 【分析】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行。由图可知，16号柜在第3列，第3行；28号柜在第5列，第3行。 （2）（6，5）表示在第6列，第5行；（1，6）表示第1列，第6行。 （3）空柜包括：13～16号柜，即第3列第6、5、4、3行；第5列所有柜，即第5列第6、5、4、3、2、1行（25～30号柜）；（4，3）即第4列第3行（22号柜）；（6，3）即第6列第3行（34号柜）。然后把这些柜的位置连起来后，图形像数字4。 【详解】（1）16号柜在第3列，第3行；28号柜在第5列，第3行。 16号柜（3，3），28号柜（5，3）。 （2）32号柜在第6列，第5行；1号柜在第1列，第6行。 （6，5）和（1，6）的位置，也就是在32号和1号柜。 （3）连13～16号柜，22号柜，28号柜，34号柜，25～30号柜。 连线略； 连起来后的图形像数字4。 【变式训练】如图是小刚家所在社区的平面示意图，其中小区大门的位置用数对表示是。 （1）小刚从3号楼出发，先向正东方向走400米，再向正南方向走200米就到便民超市了，那么便民超市的位置用数对表示是___________。 （2）快递员每分钟走65米，他15：50从小区大门向正西方向走，16：00能到快递站吗？ 【答案】（1）（5，5） （2）能到 【分析】（1）已知小刚从3号楼出发，每个小方格相当于实际距离200米，先向正东方向走400米，400÷200＝2格，表示向东走了2格，再向正南方向走200米就到便民超市了，200÷200＝1格，据此得出便民超市的位置，用数对表示它的位置。 （2）从图中可知，每个小方格相当于实际距离200米；从小区大门到快递站图上距离是3个小方格，实际相距（200×3）米；已知快递员每分钟走65米，他15：50从小区大门出发16：00到快递站，先用快递员到达快递站的时间减去他从小区大门出发的时间，求出他用的时间；再根据“路程＝速度×时间”求出他行走的路程，再与小区大门到快递站的实际距离进行比较，得出结论。 【详解】（1）小刚从3号楼出发，三号楼的位置用数对表示为（3，6），每个小方格相当于实际距离200米，先向正东方向走400米，400÷200＝2格，表示向东走了2格，再向正南方向走200米就到便民超市了，200÷200＝1格，因此便民超市的位置用数对表示为（5，5）。 （2）200×3＝600（米） 16时－15时50分＝10（分钟） 65×10＝650（米） 650米＞600米 答：他15：50从小区大门出发16：00能到快递站。 考点二：用方向和距离确定位置 【典例精讲】如图，以灯塔为观测点。已知甲港口的位置是东偏北30°，实际距离灯塔6000m，图上距离是3cm。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)若乙港口到灯塔的图上距离是4cm，乙港口的位置是( )，实际距离灯塔( )m。 (3)丙港口的位置是南偏西60°，实际距离灯塔3000m，请在图上标出丙港口的位置。 【答案】(1) (2) 北偏西/西偏北 (3) 【分析】（1）求比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离； （2）确定乙港口位置和实际距离：根据题图方向标注，乙港口在灯塔北偏西45°方向；根据比例尺，1cm图上距离对应实际2000m，再据此求出实际距离； （3）标注丙港口：实际3000m换算后，图上距离为300000÷200000＝1.5cm，按照方向要求量取标注即可。 【详解】（1）6000m＝6000×100＝600000cm 比例尺：3∶600000＝（3÷3）∶（600000÷3）＝1∶200000 （2）4×2000＝8000（m） 若乙港口到灯塔的图上距离是4cm，乙港口的位置是北偏西45°（或西偏北），实际距离灯塔8000m。 （3）300000÷200000＝1.5（cm） 【变式训练】下图是一个十字路口，小兰在十字路口的正北方向，距离路口中心950米，小红在十字路口中心，小芳家在路口中心东偏南30°方向上，距离路口中心1000米。小红由西向东行，每分行100米，小兰由北向南行，两人同时出发，5分钟后小兰还没到路口，这时两人到路口中心的距离恰好相等。 (1)请在上图中用“▲”标出小芳家所在的位置。 (2)请在上图中用“●”分别标出小兰和小红行走5分后所在的位置。 (3)小兰每分走多少米？（写出解答过程） 【答案】(1) (2) (3)100×5＝500（米） 950－500＝450（米） 450÷5＝90（米/分） 答：小兰每分走90米。 【分析】（1）先根据1厘米表示500米求出小芳家到路口中心的图上长度，再以路口中心为顶点，向东偏南30°画射线，在射线上截取对应长度，标注▲。 （2）先算出小红5分钟走的路程，确定小红现在距离路口中心的距离；再结合两人此时到路口距离相等，得到小兰剩余到路口的距离，分别在对应方位标出两个●。 （3）先算出小红5分钟行走的路程，该路程等于小兰5分钟后剩余到路口的距离；用小兰初始总距离减去剩余距离，得到小兰5分钟走的路程，最后除以时间求出每分钟行走速度。 【详解】（1）1000÷500＝2（厘米） 图略 （2）100×5＝500（米） 图略 （3）略 综合训练 1．小芳看小丽在北偏东75°方向上，那么小丽看小芳在（    ）的方向上。 A．南偏东75° B．南偏西75° C．北偏西15° D．南偏西15° 【答案】B 【分析】已知东与西相对，南与北相对，东南和西北相对，东北和西南相对；观察两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向相反，角度大小不变。 【详解】小芳看小丽时，以小芳为观测点，小丽在小芳的北偏东75°方向；那么小丽看小芳时，则以小丽为观测点，此时小丽看到的方向与小芳看到的方向相反，即南偏西方向，角度不变，所以，小丽看小芳在南偏西75°方向上。 2．如图，下面路线描述错误的是（    ）。 A．从图书馆向西偏北30°方向走400米到达科技馆 B．从红红家向北偏东30°方向走600米到达科技馆 C．从科技馆向西偏南30°方向走600米到达红红家 D．从科技馆向东偏南30°方向走400米到达图书馆 【答案】B 【分析】图中的方向是上北下南，左西右东，每份线段表示200米，红红家到科技馆有3份线段，即有600米，图书馆到科技馆有2份线段，即有400米。 【详解】A．以图书馆为观测点，从图书馆向西偏北30°方向走400米到达科技馆，选项正确。 B．以红红家为观测点，从红红家向东偏北30°方向走600米到达科技馆，选项错误。 C．以科技馆为观测点，从科技馆向西偏南30°方向走600米到达红红家，选项正确。 D．以科技馆为观测点，从科技馆向东偏南30°方向走400米到达图书馆，选项正确。 3．甲、乙是同班同学，甲坐在第2列、第6行，用数对表示是（2，6）。乙的位置用数对表示是（6，2），那么乙坐在（    ）。 A．第6行、第2列 B．第6列、第2行 C．第2列、第6行 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据甲坐在第2列、第6行，用数对表示是（2，6）：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此解答。 【详解】乙的位置用数对表示是（6，2），那么乙坐在第6列、第2行。 4．根据中国象棋“马”走“日”的规则，“马”要想吃掉对方的“相”，应从当前（2，1）的位置走到（    ）的位置。 A．（2，4） B．（4，2） C．（4，1） D．（3，3） 【答案】B 【分析】用数对表示物体的位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。中国象棋“马”想吃掉对方的“相”，那么“马”要走到“相”的位置，且符合“马”走“日”的规则，据此用数对表示出“相”的位置。 【详解】“马”要想吃掉对方的“相”，应从当前（2，1）的位置走到（4，2）的位置。 5．下图是华华绘制的学校周边平面图，（    ）在学校的北偏西70°方向700m处。 A．广场 B．红绿灯 C．医院 D．公园 【答案】C 【分析】先明确方向规则：上北下南左西右东。学校到医院的连线和正西方向的夹角是20°，那么它和正北方向的夹角就是90°－20°＝70°，也就是医院在学校的北偏西70°方向。已知1cm代表350m，医院到学校的线段有2cm，总距离是350×2＝700m，符合题目描述。 【详解】90°－20°＝70° 350×2＝700（m） 医院在学校的北偏西70°方向700m处，符合要求。 公园在学校北偏东45°方向700m处；广场在学校南偏东45°方向700m处；红绿灯在学校西偏南20°方向3×350＝1050米处，都不符合要求。 6．图书馆在文化宫北偏东55°方向300m处，下图中标注的位置正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“北偏东55°”：观测点是文化宫，先指向正北方向，向东（向右）偏转55°，距离300m，据此逐项分析。 【详解】A．观测点是图书馆，文化宫在图书馆东偏北35°，错误。 B．55°是从正西往北量的角度（西偏北55°），不是北偏东，错误。 C．以文化宫为中心点，从正北线向东偏转90°－35°＝55°，线段长300m，指向图书馆，完全符合题意，正确。 D．观测点是图书馆，文化宫在图书馆西偏北55°，错误。 7．如图是小明家、广场和银行之间的位置关系。下面描述中错误的是（    ）。 A．广场在银行西偏北30°方向1500米处 B．小明家在广场南偏西25°方向1000米处 C．广场在小明家东偏北25°方向1000米处 D．银行在广场东偏南30°方向1500米处 【答案】B 【分析】图中的方向是上北下南，左西右东，每份线段表示500米，小明家到广场有2份线段，即有1000米，广场到银行有3份线段，即有1500米。 【详解】A．以银行为观测点，广场在银行西偏北30°方向1500米处。该选项正确。 B．以广场为观测点，小明家在广场南偏西65°方向1000米处，原题是25°。该选项错误。 C．以小明家为观测点，广场在小明家东偏北25°方向1000米处。该选项正确。 D．以广场为观测点，银行在广场东偏南30°方向1500米处。该选项正确。 8．如图，奇思看妙想在（    ）方向上，妙想看奇思在（    ）方向上。 A．东偏北50度；西偏南40度 B．北偏东50度；西偏南40度 C．北偏东50度；南偏西40度 D．东偏北50度；南偏西40度 【答案】B 【分析】（1）先明确观测点，奇思看妙想的观测点是奇思的位置，结合指向标“上北下南、左西右东”的方位规则，因为奇思位置的50°角是从正北方向偏向东的夹角，所以以此确定奇思看妙想的方位表述； （2）妙想看奇思的观测点是妙想的位置，由于两个地点的位置是相对的，所以可以用方向相反、角度相同表示，如果确定了奇思看妙想的方向，那么就能对应推出妙想看奇思的相反方向，确定该方位的表述。 【详解】（1）奇思看妙想的观测点是奇思的位置，结合方向标“上北下南、左西右东”，因为奇思位置的50°角是从正北方向偏向东的夹角，所以以此确定奇思看妙想的方位：北偏东50°方向；，所以还可以表示为：东偏北40°方向。 （2）妙想看奇思的观测点是妙想的位置，由于两个地点的位置是相对的，所以可以用方向相反、角度相同表示：所以妙想看奇思的方位：南偏西50°（方向相反，角度相同）；或西偏南40°（同样方向相反，角度相同）。 所以B选项是正确的。 9．如下图，已知东东家在明明家的北偏东70°方向，那么明明家在东东家的( )方向。 【答案】南偏西70° 【分析】依据物体位置的相对性，即方向相反，角度和距离相同，北偏东相对的方向是南偏西，据此解答即可。 【详解】 90°－70°＝20° 由上图可知：明明家在东东家的南偏西70°（或西偏南20°） 10．同一幅图中，数对（5，4）和（3，4）表示的位置在( )；数对（3，1）和（3，7）表示的位置在( )。（填“同一行”或“同一列”） 【答案】 同一行 同一列 【分析】根据用数对表示物体的位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；可知同一列则数对的第一个数字相同，同一行则数对的第二个数字相同。 【详解】同一幅图中，数对（5，4）和（3，4）的第二个数字都是4，表示都在第4行，所以表示的位置在同一行； 数对（3，1）和（3，7）的第一个数字都是3，表示都在第3列，所以表示的位置在同一列。 11．小鹿从家出发，向( )偏( )( )°方向走( )m到小兔家，再向( )偏( )( )°方向走( )m到小猫家，最后向( )方向走( )m到小松鼠家。 【答案】 北 东 45 220 南 东 45 250 正东 200 【分析】描述行走路线，需要每一段路程都以当前起点作为观测点，先看清角度靠近哪一个主方向，确定偏的方向与角度，再读取线段对应的距离，按顺序依次把从小鹿家到小兔家、小兔家到小猫家、小猫家到小松鼠家的行进方向、角度、距离完整写出来。 【详解】小鹿从家出发，向北偏东45°方向走220m到小兔家，再向南偏东45°方向走250m到小猫家，最后向正东方向走200m到小松鼠家。 12．学生们排队做广播体操时，从左往右数聪聪排在第8列，从前往后数他排在第12行，用数对（8，12）表示，欢欢排在聪聪正后方的第一个位置上，可用数对________表示。 【答案】（8，13） 【分析】数对（列，行），列：从左往右数；行：从前往后数，欢欢排在聪聪正后方的第一个位置上,说明列数没变，行数加1。 【详解】列数8不变，行数：12＋1＝13 可用数对（8，13）表示。 13．如图，少年宫在学校的( )方向300m处。 【答案】北偏东60° 【分析】图里的方向标遵循“上北下南、左西右东”的规则，观测点是学校，图中标出少年宫的位置和正北方向的夹角是60°，距离标注为300m，据此解答。 【详解】根据分析可得：少年宫在学校的北偏东60°方向300m处。（答案不唯一） 14．如图，文化馆的位置为，那么图书馆的位置为( )；位置为的是( )馆；与文化馆距离最近的是( )馆。 【答案】 （2，1） 体育 图书 【分析】数对中，第一个数表示列，第二个数表示行。据此找出图书馆在第几列第几行，用数对表示出图书馆的位置；再确定的位置上对应的地点；最后通过文化馆到其他场馆的横向和纵向的格子数差来估算距离，找出与文化馆距离最近的场馆。 【详解】观察可知，图书馆在第2列第1行，因此图书馆的位置用数对表示为（2，1）。 表示第3列第5行，观察可知，此位置上对应的是体育馆。 文化馆在（1，3），图书馆在（2，1）：横向差2－1＝1格，纵向差3－1＝2格，总“步数”为1＋2＝3格。 文化馆在（1，3），体育馆在（3，5）：横向差3－1＝2格，纵向差5－3＝2格，总“步数”为2＋2＝4格。 文化馆在（1，3），展览馆在（4，2）：横向差4－1＝3格，纵向差3－2＝1格，总“步数”为3＋1＝4格。 总步数越少，距离越短，所以图书馆离文化馆距离最近。 15．以小明家为观测点，描述出书店的位置是( )。 【答案】书店在小明家的北偏东30°方向4千米处 【分析】根据地图的“上北下南、左西右东”，以小明家为观测点，找出书店的方向，由于书店距离小明家2个小格，1小格表示2千米，2个小格：2×2＝4（千米），据此即可描述位置。 【详解】从图中可知，书店在小明家的北偏东30°方向4千米处。 16．如图中“我”的位置用数对（3，2）表示。按数对顺序找找看：（1，2）、（2，3）、（5，4）、（7，3）、（6，2）、（3，1）、（1，1）。找到的诗句是( )。 【答案】宝剑锋从磨砺出 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 【详解】（1，2）：1列2行所对应的字是：宝； （2，3）：2列3行所对应的字是：剑； （5，4）：5列4行所对应的字是：锋； （7，3）：7列3行所对应的字是：从； （6，2）：6列2行所对应的字是：磨； （3，1）：3列1行所对应的字是：砺； （1，1）：1列1行所对应的字是：出； 所以，找到的诗句是“宝剑锋从磨砺出”。 17．如图，图书馆在体育馆( )35°方向上，距离是1200m，体育馆在人民广场南偏西( )°方向上，距离是( )m。 【答案】 北偏西 60 900 【分析】在谁的什么方向就是以谁为准，根据“上北下南，左西右东”的方位辨别方法确定出方向，根据给出的角度确定出具体偏向的角度，图上1段表示300m，用图上的长度乘300即可得到实际距离，据此解答。 【详解】体育馆和人图书馆中间有4段 300×4＝1200（m） 体育馆和人民广场中间有3段 实际距离：300×3＝900（m） 图书馆在体育馆北偏西35°方向上，距离是1200m，体育馆在人民广场南偏西60°方向上，距离是900m。 18．明明从家去学校，先向______偏______方向走______米到达邮政大厦，再向______偏______度方向走800米到达学校。 【答案】 北 东 东 南 【分析】结合图形可知一段代表米。从家去学校，要以家为观测点，发现是北偏东方向，走了两段到达邮政大厦；接下来以邮政大厦为观测点，是东偏南方向走了段到达学校。 【详解】（米） 先向北偏东方向走了米到达邮政大厦，再向东偏南度方向走米到达学校。 19．在如图中标出下列场所的位置。 （1）商场在艺术中心的北偏西40°方向1500m处。 （2）体育馆在艺术中心的南偏东25°方向1000m处。 【答案】 【分析】地图上按上北下南左西右东确定方向，结合角度用量角器画出准确方向；实际m数÷500＝要画的cm数。 【详解】（1）1500÷500＝3（cm），图上商场在艺术中心的上偏左40°方向，3cm处； （2）1000÷500＝2（cm），图上体育馆在艺术中心的下偏右25°方向，2cm处。 作图略 20．画一画、填一填。（下图每个小方格的边长代表1厘米） (1)以线段AB为一条直角边，以A点为直角顶点，在方格纸上画一个面积是3平方厘米的直角三角形ABC。C点用数对表示为（    ）。 (2)以A点为中心，把三角形ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 (3)按的比画出三角形ABC放大后的图形，放大后的三角形与原三角形的面积比是（    ）∶（    ）。 【答案】(1)；（4，1）（答案不唯一） (2)（答案不唯一） (3)；4；1 【分析】（1）先确定线段AB的长度，因为直角三角形面积公式为，已知面积和AB这条直角边长度，所以可算出另一条直角边的长度；结合A是直角顶点，AC与AB垂直，即可确定C点位置，再根据数对“先列后行”的规则写出C点的数对。 （2）图形旋转时，因为旋转中心是A，旋转方向顺时针、角度90°，所以先确定AB、AC两条边旋转后的位置，再连接对应端点得到旋转后的三角形。 （3）按2∶1放大后的图形，就是把原来的三角形的底和高都扩大到原来的2倍，再根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出扩大后的三角形面积，再根据比的意义，用扩大后的三角形面积比原来三角形的面积，化简即可。 【详解】（1）A点位置是（4，4），B点位置是（6，4），因此AB长度为6－4＝2（厘米）， 3×2÷2＝6÷2＝3（厘米）。 因为A是直角顶点，AB是水平直角边，因此另一条直角边竖直，C点和A同列，即数对第一个数为4，第二个数为4－3＝1（或4＋3＝7）。 所以C点用数对表示为 （4，1）或（4，7）； 画图：依次连接A、B、C三点即可得到符合要求的直角三角形。 （2）将B、C两个顶点绕A点顺时针旋转，得到两个对应顶点，再依次连接A和两个对应顶点，即可画出旋转后的图形；图略。 （3）2×2＝4（厘米） 3×2＝6（厘米） 4×6÷2＝24÷2＝12（平方厘米） 因此放大后三角形与原三角形的面积比是12∶3＝4∶1。 图略。 21．按要求回答问题。 (1)军军上午第三节课要到实验楼上科学课，他从教学楼出发，向( )偏( )( )°方向走( )米可以到达实验楼。 (2)学校的正门位于教学楼正东方向200米处，请在图中用○标出正门的位置。 【答案】(1) 南 东 50 100 (2) 【分析】（1）以教学楼为观测点，根据“上北下南，左西右东”， 结合方向和角度，以及距离，图上1段代表100米，教学楼到实验楼的距离是100米。 （2）正东方向就是水平向右，200米对应图上2段（每段100米）。 【详解】（1）军军上午第三节课要到实验楼上科学课，他从教学楼出发，向南偏东50°方向走100米可以到达实验楼。（方向和角度答案不唯一） （2）略 22．操作。 (1)邮局在学校( )偏( )( )的方向上，距离是( )米。 (2)图书馆在学校( )偏( )( )的方向上，距离是( )米。 (3)电影院在学校( )偏( )( )的方向上，距离是( )米。 (4)书店在学校西偏北30°的方向上距离800米，在图中画出书店的位置。 【答案】(1) 北 东 45° 1000 (2) 南 西 15° 400 (3) 南 东 70° 600 (4) 【分析】根据上北下南，左西右东的规则，以学校为观测点，北与东之间夹角为，，邮局在学校北偏东的方向上，又因图上个单位长度表示实际距离米，而学校与邮局的图上距离为个单位长度，于是就可以求出学校与邮局的实际距离为（米）； 以学校为观测点，图书馆在学校南偏西的方向上，又因图上个单位长度表示实际距离米，，而学校与图书馆的图上距离为个单位长度，于是就可以求出学校与图书馆的实际距离为（米）； 以学校为观测点，南与东之间夹角为，，电影院在学校南偏东的方向上，又因图上个单位长度表示实际距离米，而学校与电影院的图上距离为个单位长度，于是就可以求出学校与电影院的实际距离为（米）； 以学校为观测点，在学校西偏北方向截取（个）单位长度，标出角度，终点处标注书店。 【详解】（1） （米） 邮局在学校北偏东的方向上，距离是米。（答案不唯一） （2）（米） 图书馆在学校南偏西的方向上，距离是米。（答案不唯一） （3） （米） 电影院在学校南偏东的方向上，距离是米。（答案不唯一） （4）（个） 书店在学校西偏北的方向上，个单位长度处。 23．象棋在我国有两千余年的历史，棋盘上有三十二枚棋子。如图是部分象棋棋盘和棋子。“马”所处的位置用数对表示是（7，2），“象”所处的位置用数对表示是（4，2）。 (1)“象”走一步可能到达的位置是哪里？用数对表示出来。 (2)“马”走一步可能到达的位置是哪里？用数对表示出来。 【答案】(1)（2，0），（2，4），（6，0），（6，4） (2)（5，1），（5，3），（6，0），（6，4），（8，0），（8，4） 【分析】用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 （1）按象棋的规则：“象”走“田”，根据用数对表示位置的方法表示“象”走一步可能到达的位置。 （2）按象棋的规则：“马”走“日”，根据用数对表示位置的方法表示“马”走一步可能到达的位置。 【详解】（1）“象”走一步可能到达（2，0），（2，4），（6，0），（6，4）。 （2）“马”走一步可到达（5，1），（5，3），（6，0），（6，4），（8，0），（8，4）。 24．一艘船从甲港出发，经过A岛和B岛，开往乙港。B岛在A岛的正北方向，航行路线如下图。 (1)A岛在甲港( )偏( )( )°方向上，距离是( ) 海里。 (2)B岛在乙港( )偏( )( )°方向上，距离是( ) 海里。 (3)在B岛西偏北45°方向100海里处有一座灯塔。请在图上标出灯塔位置。 (4)在乙港正南方向70海里处停泊了一艘油轮，则A岛与油轮之间的直线距离是( )海里。 【答案】(1) 北 东 60 100 (2) 南 西 45 150 (3) (4)150 【分析】首先要明确观测点，根据图中给出的方向标和角度、距离信息确认物体的位置。 （1）从甲港的方位图可知，角度是北偏东60°，距离为100海里的位置即是A岛的位置； （2）乙港为观测点，利用位置的相对性（如下图），因为乙港在B岛的北偏东45°方向，所以B岛在乙港的南偏西45°方向，B岛到乙港的距离为150海里。 （3）以B岛为观测点，先画出西偏北45°的方向射线，再沿该射线量出100海里的长度来确定灯塔位置。 （4）如下图，先确定油轮的位置，按照A岛—B岛—乙港—油轮的顺序连线，发现的连线构成一个平行四边形，所以A岛与油轮的直线距离等于B岛到乙港的距离，为150海里。 【详解】（1）（1）A岛在甲港北偏东60°方向上，距离是100海里 （2）（2）B岛在乙港南偏西45°方向上，距离是150海里 （3）图略。 （4）A岛、B岛、乙港、油轮的连线构成一个平行四边形，由平行四边形的对边相等可知，A岛到油轮的距离是150海里。 【点睛】利用方向、角度和距离确定物体的位置，并能通过路线的几何关系计算两点间的直线距离。 25．看图完成下列各题。 (1)如果公园的位置用（9，3）表示，请在图上标出下列地点。 商店（6，3）   乐乐家（2，2）  学校（2，6） (2)商店与公园相距300m，这幅图的比例尺是( )。 (3)青少年宫在博物馆的正北方向200m处，请在图上用“☆”标出青少年宫的位置。 (4)乐乐家到学校的实际距离是( )m。 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 (4)400 【分析】（1）根据数对的定义，括号里第一个数表示列，第二个数表示行，以此在图中标出商店、乐乐家和学校的位置； （2）由图可知，图上商店与公园相距3小格，每小格表示1cm，图上距离为（cm）；根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离：实际距离，据此写出这幅图的比例尺； （3）根据比例尺的定义，用实际距离乘比例尺计算出青少年宫和博物馆之间的图上距离；根据“上北下南，左西右东”的方向，从博物馆向北数对应的距离，以此在图中标出青少年宫的位置； （4）由图可知，乐乐家到学校的图上距离4小格，即（cm）；用图上距离除以比例尺，求出乐乐家到学校的实际距离，据此解答。 【详解】（1）作图如下： （2）图上距离：（cm） 比例尺： 因此，商店与公园相距300m，这幅图的比例尺是。 （3） 图上距离：（cm） （小格） 作图如下： （4）实际距离：（cm） 因此，乐乐家到学校的实际距离是400m。 26．这是张刚同学参加无人机比赛的飞行线路图。 (1)无人机从起点出发，向( )偏( )( )°方向，飞行( )米到达站。 (2)无人机的最终目的地是站，站位于站南偏东30°，距离站40米的位置上，请你在图上标出站的位置。 (3)如果无人机的飞行速度控制在10米/秒，在站各需停顿5秒调整航向，飞完全程需要( )秒。 【答案】(1) 北 西 30 60 (2) (3)28 【分析】（1）以起点为观测点，30°是以正北为基准向西偏转，比例尺每段长20米，起点到A站共3段，米。据此描述。 （2）以B站为观测点，正南方向为基准，向东偏转30°画一条射线，比例尺每段长20米，在射线上截取段线段。 （3）先用米求出总路程，再根据“时间＝路程÷速度”求出无人机飞行时间。再用飞行时间加上在A站和B站停留的时间即为无人机全程所用时间。 【详解】（1）根据分析： 无人机从起点出发，向北偏西30°方向，飞行60米到达A站。 （2）画图略。 （3） （米） （秒） （秒） 所以，飞完全程需要28秒。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 确定位置 单元培优讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、核心知识点详解 1 （一）用有序数对确定位置（坐标法） 1 （二）用方向和距离确定位置（极坐标法） 2 （三）位置的相对性 3 （四）简单路线图的描述与绘制 3 三、易错点与注意事项 4 四、知识拓展与生活应用 4 考点讲练 4 考点一：用有序数对确定位置 5 考点二：用方向和距离确定位置 6 综合训练 7 知识梳理 一、单元概述 本单元是小学数学图形与位置板块的核心内容，在学生低年级学习前后、左右、上下、东南西北等基础方位，以及五年级用有序数对确定平面位置的基础上，进一步拓展学习用方向和距离确定物体位置，并对两种定位方法进行系统整理复习。单元内容分为三大模块：有序数对确定位置、方向与距离确定位置、单元知识整理与复习，核心目标是让学生掌握两种确定平面内物体位置的方法，理解位置的相对性，能描述简单路线图。 二、核心知识点详解 （一）用有序数对确定位置（坐标法） 1. 基础概念 列与行的定义： 竖排称为列，确定第几列时，统一遵循从左往右的顺序依次计数 横排称为行，确定第几行时，统一遵循从前往后的顺序依次计数 行列计数方向固定，不受物体位置、观察视角影响，是数对统一规范的核心前提 有序数对（数对）： 概念：用一组有固定顺序的两个数，表示平面内唯一物体位置的组合，叫做有序数对 格式：用括号括起来，两个数中间用逗号隔开，形式为 (列数，行数) 有序性：两个数的顺序不能颠倒，(a,b) 与 (b,a) 表示不同位置，体现 “先列后行” 原则 2. 读写规则与应用 操作 具体要求 示例 读数对 先读列数，再读行数，“逗号” 读作 “，”，“括号” 读作 “左括号”“右括号” (3,5) 读作 “左括号 3，5 右括号” 或 “数对 3，5” 写数对 先写列数，再写行数，列数与行数之间用逗号隔开，整体用小括号括起来 第 4 列第 2 行写作 (4,2) 应用场景 方格图定位、座位表、经纬线、棋盘、坐标系统等 电影院座位 (8 排 12 座)、地球经纬度 (北纬 30°，东经 120°) 3. 方格图中的数对应用 方格图中，横线通常表示行，竖线通常表示列，交点表示具体位置 数对与方格图中的点一一对应，平面内任意一个点，对应唯一一组数对，任意一组数对也对应平面内唯一的点 特殊位置：原点 (0,0) 表示起始位置，x 轴上点的行数为 0，y 轴上点的列数为 0 （二）用方向和距离确定位置（极坐标法） 1. 确定位置的三要素（缺一不可） 观测点（参照点）：确定位置的基准点，位置描述都是相对观测点而言 方向（含角度）：精确描述物体相对于观测点的方位 距离：物体与观测点之间的长度 2. 方位描述规范 基本方向：东、南、西、北、东北、东南、西北、西南八个方向 精确方向：采用北偏东 / 北偏西 / 南偏东 / 南偏西+ 角度的表述方式，角度以南北方向为基准，通常不超过 45° 示例：北偏东 30°（不建议表述为东偏北 60°），南偏西 45°（即西南方向） 描述顺序：先说偏向，再说角度，最后说距离 示例：学校在小明家北偏东 30° 方向 400 米处 3. 角度测量与比例尺应用 角度测量：使用量角器，以观测点为顶点，以南北方向线为 0 刻度线，测量出偏向角度 比例尺：图上距离与实际距离的比，用于将图上距离换算为实际距离，或反之 公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺；图上距离 = 实际距离 × 比例尺 注意单位统一（如厘米换算为米或千米） 4. 平面图上标注物体位置的步骤 确定观测点，建立方向标（上北下南，左西右东） 用量角器确定物体的方向（角度） 根据比例尺计算出图上距离 以观测点为起点，沿确定的方向画出相应长度的线段，标出物体位置及名称 （三）位置的相对性 核心原理：两个物体的位置关系是相对的，观测点互换后，方向相反，角度相等，距离不变 描述变化规律： 方向：北↔南，东↔西，如 A 在 B 的北偏东 30°，则 B 在 A 的南偏西 30° 角度：保持相同度数，如上述例子中角度均为 30° 距离：两个物体之间的距离不变，如 A 到 B 的距离是 500 米，B 到 A 的距离也是 500 米 应用价值：理解位置相对性，能帮助我们在不同观测点之间准确转换位置描述，解决实际导航、地图阅读等问题 （四）简单路线图的描述与绘制 1. 路线图描述方法 分段描述：将复杂路线分解为若干段，每段描述遵循 “起点→观测点→方向→角度→距离→终点” 的顺序 明确转向：描述转弯时，需说明转向方向（如左转、右转、向东北转等）和转向角度 统一单位：全程使用统一的距离单位，避免混淆 示例：从学校出发，先向东偏南 20° 方向走 300 米到图书馆，再向正南方向走 200 米到公园，最后向西偏北 45° 方向走 500 米到体育馆 2. 路线图绘制步骤 确定起点，建立方向标 按描述顺序依次确定各段路线的观测点、方向、角度和距离 逐段绘制路线，标注关键地点和数据 检查路线连贯性和准确性，确保符合描述要求 三、易错点与注意事项 数对顺序错误：混淆列和行的顺序，写成 (行数，列数)，需牢记 “先列后行” 原则 方向基准错误：用东西方向为基准描述角度（如东偏北），应改为以南北方向为基准 观测点混淆：描述位置时未明确观测点，或在位置相对转换时观测点不变，导致方向描述错误 比例尺误用：未统一单位或计算错误，导致实际距离与图上距离换算错误 角度测量错误：量角器使用不当，如 0 刻度线未与南北方向线对齐，导致角度读数错误 四、知识拓展与生活应用 数对与坐标：数对是平面直角坐标系的基础，为初中学习直角坐标系打下基础，经度和纬度就是数对原理的实际应用 方向与距离的实际应用： 导航系统：如 GPS、高德地图等，通过方向和距离引导路线 军事定位：精确描述目标位置，实现精准打击 航海航空：确定航向和航程，确保安全航行 位置相对性的应用： 相对运动：如两车相向而行时的位置关系描述 摄影测量：通过不同观测点拍摄的照片计算物体位置和距离 考点讲练 考点一：用有序数对确定位置 【典例精讲】下图是存放快递的“智能柜”的平面图。 （1）请用数对表示出16号柜和28号柜的位置。 16号柜_____，28号柜_____。 （2）豆豆妈妈的两个快递到了，快递员将快递分别存放在（6，5）和（1，6）的位置，也就是在_____号和_____号柜。 （3）快递员将豆豆妈妈的快递存放好后，指示灯上显示13～16号柜、第5列的所有柜和另外两个数对表示为（4，3）和（6，3）的柜都是空的。请你在图中找出这些空着的柜并将它们用线连在一起，连起来后的图形像数字_____。 【变式训练】如图是小刚家所在社区的平面示意图，其中小区大门的位置用数对表示是。 （1）小刚从3号楼出发，先向正东方向走400米，再向正南方向走200米就到便民超市了，那么便民超市的位置用数对表示是___________。 （2）快递员每分钟走65米，他15：50从小区大门向正西方向走，16：00能到快递站吗？ 考点二：用方向和距离确定位置 【典例精讲】如图，以灯塔为观测点。已知甲港口的位置是东偏北30°，实际距离灯塔6000m，图上距离是3cm。 (1)这幅图的比例尺是( )。 (2)若乙港口到灯塔的图上距离是4cm，乙港口的位置是( )，实际距离灯塔( )m。 (3)丙港口的位置是南偏西60°，实际距离灯塔3000m，请在图上标出丙港口的位置。 【变式训练】下图是一个十字路口，小兰在十字路口的正北方向，距离路口中心950米，小红在十字路口中心，小芳家在路口中心东偏南30°方向上，距离路口中心1000米。小红由西向东行，每分行100米，小兰由北向南行，两人同时出发，5分钟后小兰还没到路口，这时两人到路口中心的距离恰好相等。 (1)请在上图中用“▲”标出小芳家所在的位置。 (2)请在上图中用“●”分别标出小兰和小红行走5分后所在的位置。 (3)小兰每分走多少米？（写出解答过程） 综合训练 1．小芳看小丽在北偏东75°方向上，那么小丽看小芳在（    ）的方向上。 A．南偏东75° B．南偏西75° C．北偏西15° D．南偏西15° 2．如图，下面路线描述错误的是（    ）。 A．从图书馆向西偏北30°方向走400米到达科技馆 B．从红红家向北偏东30°方向走600米到达科技馆 C．从科技馆向西偏南30°方向走600米到达红红家 D．从科技馆向东偏南30°方向走400米到达图书馆 3．甲、乙是同班同学，甲坐在第2列、第6行，用数对表示是（2，6）。乙的位置用数对表示是（6，2），那么乙坐在（    ）。 A．第6行、第2列 B．第6列、第2行 C．第2列、第6行 D．无法确定 4．根据中国象棋“马”走“日”的规则，“马”要想吃掉对方的“相”，应从当前（2，1）的位置走到（    ）的位置。 A．（2，4） B．（4，2） C．（4，1） D．（3，3） 5．下图是华华绘制的学校周边平面图，（    ）在学校的北偏西70°方向700m处。 A．广场 B．红绿灯 C．医院 D．公园 6．图书馆在文化宫北偏东55°方向300m处，下图中标注的位置正确的是（    ）。 A． B． C． D． 7．如图是小明家、广场和银行之间的位置关系。下面描述中错误的是（    ）。 A．广场在银行西偏北30°方向1500米处 B．小明家在广场南偏西25°方向1000米处 C．广场在小明家东偏北25°方向1000米处 D．银行在广场东偏南30°方向1500米处 8．如图，奇思看妙想在（    ）方向上，妙想看奇思在（    ）方向上。 A．东偏北50度；西偏南40度 B．北偏东50度；西偏南40度 C．北偏东50度；南偏西40度 D．东偏北50度；南偏西40度 9．如下图，已知东东家在明明家的北偏东70°方向，那么明明家在东东家的( )方向。 10．同一幅图中，数对（5，4）和（3，4）表示的位置在( )；数对（3，1）和（3，7）表示的位置在( )。（填“同一行”或“同一列”） 11．小鹿从家出发，向( )偏( )( )°方向走( )m到小兔家，再向( )偏( )( )°方向走( )m到小猫家，最后向( )方向走( )m到小松鼠家。 12．学生们排队做广播体操时，从左往右数聪聪排在第8列，从前往后数他排在第12行，用数对（8，12）表示，欢欢排在聪聪正后方的第一个位置上，可用数对________表示。 13．如图，少年宫在学校的( )方向300m处。 14．如图，文化馆的位置为，那么图书馆的位置为( )；位置为的是( )馆；与文化馆距离最近的是( )馆。 15．以小明家为观测点，描述出书店的位置是( )。 16．如图中“我”的位置用数对（3，2）表示。按数对顺序找找看：（1，2）、（2，3）、（5，4）、（7，3）、（6，2）、（3，1）、（1，1）。找到的诗句是( )。 17．如图，图书馆在体育馆( )35°方向上，距离是1200m，体育馆在人民广场南偏西( )°方向上，距离是( )m。 18．明明从家去学校，先向______偏______方向走______米到达邮政大厦，再向______偏______度方向走800米到达学校。 19．在如图中标出下列场所的位置。 （1）商场在艺术中心的北偏西40°方向1500m处。 （2）体育馆在艺术中心的南偏东25°方向1000m处。 20．画一画、填一填。（下图每个小方格的边长代表1厘米） (1)以线段AB为一条直角边，以A点为直角顶点，在方格纸上画一个面积是3平方厘米的直角三角形ABC。C点用数对表示为（    ）。 (2)以A点为中心，把三角形ABC顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 (3)按的比画出三角形ABC放大后的图形，放大后的三角形与原三角形的面积比是（    ）∶（    ）。 21．按要求回答问题。 (1)军军上午第三节课要到实验楼上科学课，他从教学楼出发，向( )偏( )( )°方向走( )米可以到达实验楼。 (2)学校的正门位于教学楼正东方向200米处，请在图中用○标出正门的位置。 22．操作。 (1)邮局在学校( )偏( )( )的方向上，距离是( )米。 (2)图书馆在学校( )偏( )( )的方向上，距离是( )米。 (3)电影院在学校( )偏( )( )的方向上，距离是( )米。 (4)书店在学校西偏北30°的方向上距离800米，在图中画出书店的位置。 23．象棋在我国有两千余年的历史，棋盘上有三十二枚棋子。如图是部分象棋棋盘和棋子。“马”所处的位置用数对表示是（7，2），“象”所处的位置用数对表示是（4，2）。 (1)“象”走一步可能到达的位置是哪里？用数对表示出来。 (2)“马”走一步可能到达的位置是哪里？用数对表示出来。 24．一艘船从甲港出发，经过A岛和B岛，开往乙港。B岛在A岛的正北方向，航行路线如下图。 (1)A岛在甲港( )偏( )( )°方向上，距离是( ) 海里。 (2)B岛在乙港( )偏( )( )°方向上，距离是( ) 海里。 (3)在B岛西偏北45°方向100海里处有一座灯塔。请在图上标出灯塔位置。 (4)在乙港正南方向70海里处停泊了一艘油轮，则A岛与油轮之间的直线距离是( )海里。 25．看图完成下列各题。 (1)如果公园的位置用（9，3）表示，请在图上标出下列地点。 商店（6，3）   乐乐家（2，2）  学校（2，6） (2)商店与公园相距300m，这幅图的比例尺是( )。 (3)青少年宫在博物馆的正北方向200m处，请在图上用“☆”标出青少年宫的位置。 (4)乐乐家到学校的实际距离是( )m。 26．这是张刚同学参加无人机比赛的飞行线路图。 (1)无人机从起点出发，向( )偏( )( )°方向，飞行( )米到达站。 (2)无人机的最终目的地是站，站位于站南偏东30°，距离站40米的位置上，请你在图上标出站的位置。 (3)如果无人机的飞行速度控制在10米/秒，在站各需停顿5秒调整航向，飞完全程需要( )秒。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $