2.2 基本不等式同步练习（一）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学基本不等式同步练，以“概念理解-单一应用-综合变形”为路径，分层覆盖基础巩固与能力提升，适配新授课学情。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式概念及直接应用（单选1-6，填空9-10）|聚焦“一正二定三相等”条件判断，如单选1辨析等号成立条件| |进阶层|多条件综合应用（多选7-8，解答11）|通过多选项辨析深化适用范围，如多选7整合正数、负数情境| |综合层|复杂变形与系统应用（解答12-13）|以多问设计实现方法迁移，如解答12涵盖配凑、常数代换等技巧|

2.2 基本不等式同步练习（一） 建议时长：45分钟 一、单选题：本大题共6小题.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 2．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 4．已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 6．已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 二、多选题：本题共2小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 7．下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题. 把答案填在填空处的横线上. 9．设，则的最小值为__________． 10．若，则的最大值是______． 四、解答题：本大题共3小题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 12．求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 13．已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 《2.2 基本不等式同步练习（一）》参考答案 1．D 【解析】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 2．B 【解析】若，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12. 3．D 【解析】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去），符合取值要求， 故的最小值为6. 4．C 【解析】因、都是正数，，则由，可得. 当且仅当，即，时取等号.所以的最大值为. 5．B 【解析】，当且仅当，即时取等. 6．A 【解析】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 7．ABD 【解析】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 8．BCD 【解析】对于A，因为，所以，即， 所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为， 故C正确； 对于D，由，得，所以，所以， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确. 9． 【解析】由，得， 当且仅当，即时取等号． 10． 【解析】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 11．【解析】（1）因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值是7. （2）由题意知，即，解得， 所以， 当且仅当，即时取得等号，所以的最大值是； 12．【解析】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），故， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为18； （3），，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4． （4）由，则， 当且仅当时，等号成立，故最大值为1． 13．【解析】（1）因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； （2）由题可得，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为； （3）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $