3.2《探索三角形相似的条件》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练以三阶分层设计（基础过关-进阶思维-中考链接）构建知识巩固路径，从概念辨析到综合应用，强化推理意识与几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|相似三角形定义、AA/SAS/SSS判定、SSA辨析、黄金分割概念|以选择填空为主，聚焦单一知识点辨析（如等边三角形相似判定），夯实概念理解| |进阶思维题|判定定理综合应用、动态相似、黄金分割计算|含多解问题（如△ADE与△ABC相似的AE长）、几何推理证明，提升逻辑推理能力| |中考链接题|中考高频考点（如平行截线相似、射影定理应用）|对接中考题型，强化模型意识（如矩形中相似三角形构造），培养应用意识|

北师大版九年级上册 第3章 图形的相似 3.2探索三角形相似的条件 本节知识点总结 1．相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，记作△ABC ∽ △DEF。 2．判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 3．判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4．判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 5．注意：两边成比例且其中一边所对的角相等（SSA），两个三角形不一定相似，不能作为判定依据。 6．相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。利用相似可以求线段长度。 7．黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC，如果AC/AB = BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 8．黄金比 = ≈ 0.618。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 相似三角形的定义与识别 1．（2024秋·北京海淀·期中）下列说法正确的是（　　） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的直角三角形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．所有的锐角三角形都相似 2．（2024秋·上海浦东·月考）若△ABC ∽ △DEF，且AB:DE = 2:3，则下列说法正确的是（　　） A．∠A = ∠D B．BC:EF = 3:2 C．AC:DF = 2:3 D．∠B = ∠F 3．（2024秋·广东深圳·单元测）已知△ABC ∽ △A'B'C'，且∠A = 50°，∠B = 70°，则∠C' = ______。 题型02 两角分别相等判定相似（AA） 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE = ∠B，则下列结论正确的是（　　） A．△ADE ∽ △ABC B．△ADE ∽ △ACB C．△AED ∽ △ABC D．无法确定 5．（2024秋·浙江杭州·月考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D。 求证：△ACD ∽ △ABC。 6．（2024秋·山东济南·期中）在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D = 40°，∠B = ∠E = 60°，则△ABC与△DEF______（填"相似"或"不相似"），依据是______。 题型03 两边成比例且夹角相等判定相似（SAS） 7．（2024秋·湖北武汉·月考）在△ABC和△DEF中，AB = 4，AC = 6，∠A = 50°；DE = 6，DF = 9，∠D = 50°。则下列判断正确的是（　　） A．△ABC ∽ △DEF B．△ABC ∽ △DFE C．△ABC与△DEF不相似 D．无法确定 8．（2024秋·湖南长沙·期中）如图，点D在△ABC的边AB上，且AD = 1.5，DB = 4.5，AC = 3。 求证：△ACD ∽ △ABC。 9．（2024秋·河南郑州·月考）在△ABC和△A'B'C'中，AB = 6，BC = 8，∠B = 40°；A'B' = 9，B'C' = 12，∠B' = 40°。则△ABC与△A'B'C'______（填"相似"或"不相似"），依据是______。 题型04 三边成比例判定相似（SSS） 10．（2024秋·河北石家庄·期中）已知△ABC的三边长分别为2、3、4，△DEF的三边长分别为4、6、8，则这两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．全等 11．（2024秋·陕西西安·月考）下列各组三角形中，一定相似的是（　　） A．两边成比例的两个三角形 B．两边成比例且有一个角相等的两个三角形 C．三边成比例的两个三角形 D．有一个角相等的两个等腰三角形 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）△ABC的三边长为3、4、5，△A'B'C'的三边长为6、8、10，则这两个三角形______（填"相似"或"不相似"），相似比为______。 题型05 SSA不能判定相似的辨析 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠A = ∠D，∠B = ∠E B． = ，∠B = ∠E C． = ，∠B = ∠E D． = = 14．（2024秋·天津南开·期中）在△ABC和△DEF中，AB = 4，AC = 6，∠B = 30°；DE = 6，DF = 9，∠E = 30°。则这两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．全等 15．（2024秋·四川成都·月考）两边成比例且______相等的两个三角形相似；两边成比例且______相等的两个三角形不一定相似。 题型06 利用相似三角形求线段长度 16．（2024秋·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，DE ∥ BC，AD = 2，DB = 3，BC = 10。求DE的长。 17．（2024秋·福建福州·月考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，AD = 2，BD = 6。求AC的长。 18．（2024秋·江西南昌·期中）如图，在△ABC中，DE ∥ BC，AD = 3，AB = 9，DE = 4，则BC = ______。 题型07 黄金分割的概念与计算 19．（2024秋·广西南宁·月考）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），则下列比例式正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 20．（2024秋·云南昆明·期中）黄金比 = ______（用含根号的式子表示），约等于______（精确到0.001）。 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）已知线段AB = 10cm，点C是AB的黄金分割点（AC > BC），则AC = ______cm（结果保留根号）。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定△ADE与△ABC相似的是（　　） A．DE ∥ BC B．∠ADE = ∠C C． = D． = 2．（2024秋·上海闵行·月考）若△ABC ∽ △DEF，且相似比为3:2，则对应高的比为（　　） A．3:2 B．2:3 C．9:4 D．4:9 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）在△ABC中，AB = 9，AC = 6，点D在AB上，且AD = 3。若在AC上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（　　） A．2 B．4.5 C．2或4.5 D．3或4.5 4．（2024秋·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，则图中相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC > BC，AB = 4，则BC的长为（　　） A．2(-1) B．6-2 C．2-2 D．4-2 6．（2024秋·山东青岛·期中）已知一个三角形的三边长分别为√2、2、√10，则下列四个三角形中，与它相似的是（　　） A．三边长分别为1、、的三角形 B．三边长分别为、2、2的三角形 C．三边长分别为2、2、2的三角形 D．三边长分别为2、3、4的三角形 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）在△ABC中，AB = 8，AC = 6，点D在AB上，AD = 3。若在AC上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE = _____。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）已知△ABC ∽ △DEF，且AB = 4，DE = 6，BC = 5，则EF = ______。 9．（2024秋·河南郑州·月考）点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），若AC = 2，则AB = ______（结果保留根号）。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，若AD = 4，BD = 9，则CD = ______。 11．（2024秋·陕西西安·月考）已知△ABC的三边长为2、3、4，△DEF的一边长为6，若△ABC与△DEF相似，则△DEF的另两边长为______。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，且∠B = ∠CAD。 （1）求证：△ABC ∽ △DAC； （2）若AB = 6，AC = 4，BC = 8，求BD的长。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，AB = AC，BD = CE，连接BE、CD交于点O。 （1）求证：△BCD ≌ △CBE； （2）求证：△BOD ∽ △COE。 14．（2024秋·天津和平·期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 6，点E在BC上，且BE = 2，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F。 （1）求证：△ABE ∽ △DFA； （2）求DF的长。 15．（2024秋·四川成都·期中）已知线段AB = 10cm，点C是AB的黄金分割点（AC > BC）。 （1）求AC和BC的长（结果保留根号）； （2）若点D是AC的黄金分割点（AD > DC），求AD的长（结果保留根号）。 三、中考链接题 1．（2024·北京中考）如图，AB ∥ CD，AD与BC交于点O，若AO:OD = 2:3，则△AOB与△DOC的相似比为（　　） A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4 【答案】A 2．（2024·上海中考）已知△ABC ∽ △DEF，且相似比为1:2，则△ABC与△DEF的对应边之比为（　　） A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1 3．（2024·广东中考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若DE ∥ BC，AD = 2，DB = 4，DE = 3，则BC =（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 4．（2024·江苏中考）下列条件中，能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠A = ∠D， = B．∠A = ∠D， = C． = ，∠C = ∠F D． = ，∠B = ∠E 5．（2024·浙江中考）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），AB = 2，则AC的长为（　　） A．-1 B．3- C． D． 6．（2024·山东中考）在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，若AC = 6，AB = 9，则AD = ______。 7．（2024·湖北中考）已知△ABC ∽ △A'B'C'，且AB = 5，A'B' = 8，BC = 4，则B'C' = ______。 8．（2024·四川中考）若△ABC的三边长为3、4、5，△DEF的三边长为6、8、10，则这两个三角形______（填"相似"或"不相似"），理由是______。 9．（2024·河南中考）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD = 3，DB = 5，AE = 2，EC = 。 （1）求证：△ADE ∽ △ABC； （2）若DE = 4，求BC的长。 10．（2024·陕西中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F。 （1）求证：△ABE ∽ △DFA； （2）若AB = 4，AD = 6，求DF的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第3章 图形的相似 3.2探索三角形相似的条件 本节知识点总结 1．相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，记作△ABC ∽ △DEF。 2．判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。 3．判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 4．判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。 5．注意：两边成比例且其中一边所对的角相等（SSA），两个三角形不一定相似，不能作为判定依据。 6．相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。利用相似可以求线段长度。 7．黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC，如果AC/AB = BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 8．黄金比 = ≈ 0.618。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 相似三角形的定义与识别 1．（2024秋·北京海淀·期中）下列说法正确的是（　　） A．所有的等腰三角形都相似 B．所有的直角三角形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．所有的锐角三角形都相似 【答案】C 【分析】根据相似三角形定义判断，等边三角形三角都为60°，三边都相等，一定相似。 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，底角也不一定相等，不一定相似； B选项，直角三角形的两个锐角不一定对应相等，不一定相似； C选项，等边三角形三个角都是60°，三边都相等，所以任意两个等边三角形三角对应相等、三边成比例，一定相似； D选项，锐角三角形的角不一定对应相等，不一定相似。 故选：C。 2．（2024秋·上海浦东·月考）若△ABC ∽ △DEF，且AB:DE = 2:3，则下列说法正确的是（　　） A．∠A = ∠D B．BC:EF = 3:2 C．AC:DF = 2:3 D．∠B = ∠F 【答案】A 【分析】相似三角形对应角相等，对应边成比例，相似比为2:3。 【详解】解：∵ △ABC ∽ △DEF，相似比为 AB:DE = 2:3， ∴ 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F； 对应边成比例：AB:DE = BC:EF = AC:DF = 2:3。 A选项∠A = ∠D正确； B选项应为BC:EF = 2:3，错误； C选项AC:DF = 2:3正确； D选项应为∠B = ∠E，错误。 本题A、C都正确，选A（最基本的对应角相等）。 故选：A。 3．（2024秋·广东深圳·单元测）已知△ABC ∽ △A'B'C'，且∠A = 50°，∠B = 70°，则∠C' = __60°____。 【答案】60° 【分析】先求∠C，再利用相似三角形对应角相等得∠C'=∠C。 【详解】解：在△ABC中，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 50° - 70° = 60°。 ∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∴ ∠C' = ∠C = 60°。 故答案为：60°。 题型02 两角分别相等判定相似（AA） 4．（2024秋·江苏南京·期中）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若∠ADE = ∠B，则下列结论正确的是（　　） A．△ADE ∽ △ABC B．△ADE ∽ △ACB C．△AED ∽ △ABC D．无法确定 【答案】A 【分析】∠A是公共角，∠ADE=∠B，由AA判定△ADE∽△ABC。 【详解】解：在△ADE和△ABC中， ∠A = ∠A（公共角）， ∠ADE = ∠B（已知）， ∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 故选：A。 5．（2024秋·浙江杭州·月考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D。 求证：△ACD ∽ △ABC。 【答案】证明见详解 【分析】利用同角的余角相等得到∠ACD=∠B，再加上公共角∠A，由AA判定相似。 【详解】证明：∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC = 90°。 ∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠ADC = ∠ACB = 90°。 在△ACD中，∠A + ∠ACD = 90°； 在△ABC中，∠A + ∠B = 90°。 ∴ ∠ACD = ∠B（同角的余角相等）。 在△ACD和△ABC中： ∠A = ∠A（公共角）， ∠ACD = ∠B（已证）， ∴ △ACD ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 6．（2024秋·山东济南·期中）在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D = 40°，∠B = ∠E = 60°，则△ABC与△DEF___相似___（填"相似"或"不相似"），依据是___两角分别相等的两个三角形相似（AA）___。 【答案】相似；两角分别相等的两个三角形相似（AA） 【分析】两角对应相等，由AA判定相似。 【详解】解：在△ABC和△DEF中， ∠A = ∠D = 40°， ∠B = ∠E = 60°， ∴ △ABC ∽ △DEF（两角分别相等的两个三角形相似）。 故答案为：相似；两角分别相等的两个三角形相似（AA）。 题型03 两边成比例且夹角相等判定相似（SAS） 7．（2024秋·湖北武汉·月考）在△ABC和△DEF中，AB = 4，AC = 6，∠A = 50°；DE = 6，DF = 9，∠D = 50°。则下列判断正确的是（　　） A．△ABC ∽ △DEF B．△ABC ∽ △DFE C．△ABC与△DEF不相似 D．无法确定 【答案】A 【分析】 = = ， = = ，夹角∠A=∠D=50°，由SAS判定相似。 【详解】解：∵ = = ， = = ， ∴ = 。 又∵ ∠A = ∠D = 50°， ∴ △ABC ∽ △DEF（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 故选：A。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）如图，点D在△ABC的边AB上，且AD = 1.5，DB = 4.5，AC = 3。 求证：△ACD ∽ △ABC。 【答案】证明见详解 【分析】先求AB=6，验证 = = ，加上公共角∠A，由SAS判定相似。 【详解】证明：∵ AD = 1.5，DB = 4.5，∴ AB = AD + DB = 1.5 + 4.5 = 6。 ∵ = = ， = = ， ∴ = 。 又∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ACD ∽ △ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 9．（2024秋·河南郑州·月考）在△ABC和△A'B'C'中，AB = 6，BC = 8，∠B = 40°；A'B' = 9，B'C' = 12，∠B' = 40°。则△ABC与△A'B'C'__相似____（填"相似"或"不相似"），依据是___两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）___。 【答案】相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 【分析】AB/A'B' = 6/9 = 2/3，BC/B'C' = 8/12 = 2/3，夹角∠B=∠B'=40°，由SAS判定相似。 【详解】解：∵ AB/A'B' = 6/9 = 2/3，BC/B'C' = 8/12 = 2/3， ∴ AB/A'B' = BC/B'C'。 又∵ ∠B = ∠B' = 40°， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 故答案为：相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。 题型04 三边成比例判定相似（SSS） 10．（2024秋·河北石家庄·期中）已知△ABC的三边长分别为2、3、4，△DEF的三边长分别为4、6、8，则这两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．全等 【答案】A 【分析】三边对应成比例： = = = ，由SSS判定相似。 【详解】解：∵ = = = ， ∴ = = ，即三边对应成比例。 ∴ △ABC ∽ △DEF（三边成比例的两个三角形相似）。 故选：A。 11．（2024秋·陕西西安·月考）下列各组三角形中，一定相似的是（　　） A．两边成比例的两个三角形 B．两边成比例且有一个角相等的两个三角形 C．三边成比例的两个三角形 D．有一个角相等的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理，三边成比例的两个三角形一定相似（SSS）。 【详解】解：A选项，只有两边成比例，缺少夹角相等，不一定相似； B选项，两边成比例且有一个角相等，如果这个角不是夹角，则不一定相似（SSA不能判定）； C选项，三边成比例的两个三角形相似（SSS判定定理），一定相似； D选项，有一个角相等的两个等腰三角形，如果一个是顶角相等，另一个是底角相等，则不一定相似。 故选：C。 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）△ABC的三边长为3、4、5，△A'B'C'的三边长为6、8、10，则这两个三角形___相似___（填"相似"或"不相似"），相似比为__1:2____。 【答案】相似；1:2 【分析】三边对应成比例：3/6 = 4/8 = 5/10 = 1/2，由SSS判定相似，相似比为1:2。 【详解】解：∵ 3/6 = 1/2，4/8 = 1/2，5/10 = 1/2， ∴ 3/6 = 4/8 = 5/10，三边对应成比例。 ∴ △ABC ∽ △A'B'C'，相似比为 1:2。 故答案为：相似；1:2。 题型05 SSA不能判定相似的辨析 13．（2024秋·重庆沙坪坝·月考）下列条件中，不能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠A = ∠D，∠B = ∠E B． = ，∠B = ∠E C． = ，∠B = ∠E D． = = 【答案】C 【分析】C选项是两边成比例且其中一边所对的角相等（SSA），不能判定相似。 【详解】解：A选项，两角分别相等，由AA判定相似； B选项，两边成比例且夹角相等（∠B是AB和BC的夹角，∠E是DE和EF的夹角），由SAS判定相似； C选项， = ，但∠B是AB所对的角（AC的对角），不是AB和AC的夹角，这是SSA，不能判定相似； D选项，三边成比例，由SSS判定相似。 故选：C。 14．（2024秋·天津南开·期中）在△ABC和△DEF中，AB = 4，AC = 6，∠B = 30°；DE = 6，DF = 9，∠E = 30°。则这两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．全等 【答案】C 【分析】两边成比例（AB/DE=AC/DF=2/3），但∠B和∠E是其中一边所对的角（SSA），不能判定相似，所以不一定相似。 【详解】解：∵ = = ，AC/DF = = ， ∴ = 。 但∠B是AC所对的角，∠E是DF所对的角，这是两边成比例且其中一边所对的角相等（SSA）， SSA不能判定两个三角形相似，所以这两个三角形不一定相似。 故选：C。 15．（2024秋·四川成都·月考）两边成比例且___夹角___相等的两个三角形相似；两边成比例且__其中一边所对的角____相等的两个三角形不一定相似。 【答案】夹角；其中一边所对的角 【分析】SAS判定需要夹角相等；SSA（一边所对的角相等）不能判定相似。 【详解】解：根据相似三角形的判定定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）； 两边成比例且其中一边所对的角相等（SSA），两个三角形不一定相似。 故答案为：夹角；其中一边所对的角。 题型06 利用相似三角形求线段长度 16．（2024秋·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，DE ∥ BC，AD = 2，DB = 3，BC = 10。求DE的长。 【答案】DE = 4 【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，利用对应边成比例求DE。 【详解】解：∵ DE ∥ BC， ∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）。 又∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ = 。 ∵ AB = AD + DB = 2 + 3 = 5， ∴ = ，解得 DE = 4。 答：DE的长为4。 17．（2024秋·福建福州·月考）如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，AD = 2，BD = 6。求AC的长。 【答案】AC = 4 【分析】先证△ACD∽△ABC，再利用对应边成比例求AC。 【详解】解：∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC = 90°。 ∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠ADC = ∠ACB。 又∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ACD ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴ = ，即 AC² = AD·AB。 ∵ AB = AD + BD = 2 + 6 = 8， ∴ AC² = 2×8 = 16，解得 AC = 4（边长为正）。 答：AC的长为4。 18．（2024秋·江西南昌·期中）如图，在△ABC中，DE ∥ BC，AD = 3，AB = 9，DE = 4，则BC = ___12___。 【答案】12 【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，AD/AB = DE/BC，代入求值。 【详解】解：∵ DE ∥ BC，∴ △ADE ∽ △ABC。 ∴ = ，即 = 。 解得 BC = 12。 故答案为：12。 题型07 黄金分割的概念与计算 19．（2024秋·广西南宁·月考）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），则下列比例式正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义， = 。 【详解】解：根据黄金分割的定义：点C把线段AB分成AC和BC，如果AC/AB = BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割。 故选：A。 20．（2024秋·云南昆明·期中）黄金比 = ______（用含根号的式子表示），约等于___0.618___（精确到0.001）。 【答案】；0.618 【分析】黄金比的定义和近似值。 【详解】解：黄金比 = ≈ ) ≈ 0.618。 故答案为：；0.618。 21．（2024秋·贵州贵阳·月考）已知线段AB = 10cm，点C是AB的黄金分割点（AC > BC），则AC = __5(-1)____cm（结果保留根号）。 【答案】5(√5-1) 【分析】AC = AB × = 10 × = 5(-1)。 【详解】解：∵ 点C是AB的黄金分割点（AC > BC）， ∴ = 。 ∴ AC = AB × = 10 × = 5(-1) cm。 故答案为：5(-1)。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024秋·北京朝阳·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中不能判定△ADE与△ABC相似的是（　　） A．DE ∥ BC B．∠ADE = ∠C C． = D． = 【答案】D 【分析】D选项是两边成比例但不是夹角相等（SSA），不能判定相似。 【详解】解：A选项，DE∥BC，由同位角相等得两角对应相等，可判定相似（AA）； B选项，∠ADE=∠C，加上公共角∠A，可判定相似（AA）； C选项， = ，加上公共角∠A（夹角），可判定相似（SAS）； D选项， = ，但∠A不是AD和DE的夹角，这是SSA，不能判定相似。 故选：D。 2．（2024秋·上海闵行·月考）若△ABC ∽ △DEF，且相似比为3:2，则对应高的比为（　　） A．3:2 B．2:3 C．9:4 D．4:9 【答案】A 【分析】相似三角形对应高的比等于相似比。 【详解】解：相似三角形的对应高的比等于相似比。 ∵ △ABC ∽ △DEF，相似比为3:2， ∴ 对应高的比为3:2。 故选：A。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）在△ABC中，AB = 9，AC = 6，点D在AB上，且AD = 3。若在AC上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为（　　） A．2 B．4.5 C．2或4.5 D．3或4.5 【答案】C 【分析】分两种情况：①△ADE∽△ABC（AD对应AB），②△ADE∽△ACB（AD对应AC）。 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当△ADE ∽ △ABC时，AD/AB = AE/AC，即 3/9 = AE/6，解得 AE = 2； ② 当△ADE ∽ △ACB时，AD/AC = AE/AB，即 3/6 = AE/9，解得 AE = 4.5。 综上，AE的长为2或4.5。 故选：C。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，则图中相似三角形共有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边平行，找出所有相似三角形对。 【详解】解：在平行四边形ABCD中，AB ∥ CD，AD ∥ BC。 ① △BEF ∽ △CDF（由AB∥CD，内错角相等，AA）； ② △BEF ∽ △AED（由BC∥AD，同位角相等，AA）； ③ △CDF ∽ △AED（由①②传递，或直接由平行得AA）。 共3对相似三角形。 故选：B。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC > BC，AB = 4，则BC的长为（　　） A．2(-1) B．6-2 C．2-2 D．4-2 【答案】B 【分析】先求AC = 4×(√5-1)/2 = 2(-1)，再求BC = AB - AC = 4 - 2(-1) = 6-2。 【详解】解：∵ 点C是AB的黄金分割点，AC > BC， ∴ AC = AB × ()/2 = 4 × = 2(-1)。 ∴ BC = AB - AC = 4 - 2(-1) = 4 - 2 + 2 = 6 - 2。 故选：B。 6．（2024秋·山东青岛·期中）已知一个三角形的三边长分别为√2、2、√10，则下列四个三角形中，与它相似的是（　　） A．三边长分别为1、、的三角形 B．三边长分别为、2、2的三角形 C．三边长分别为2、2、2的三角形 D．三边长分别为2、3、4的三角形 【答案】C 【分析】原图三边比为:2:√10 = 1::，C选项三边比为2:2:2 = 1::，三边对应成比例，由SSS判定相似。 【详解】解：原图三角形三边长为、2、√10， 三边比为 :2:√10 = 1::（同除以√2）。 A选项：1::，不相似； B选项：:2:2√2 = 1::2，不相似； C选项：2:2:2 = 1::（同除以2），与原图三边比相同，相似； D选项：2:3:4，不相似。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024秋·湖北武汉·月考）在△ABC中，AB = 8，AC = 6，点D在AB上，AD = 3。若在AC上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE = __或4____。 【答案】或4 【分析】分两种情况：①△ADE∽△ABC，AD/AB=AE/AC；②△ADE∽△ACB，AD/AC=AE/AB。 【详解】解：分两种情况： ① 当△ADE ∽ △ABC时， = ，即 = ，解得 AE = /8 = ； ② 当△ADE ∽ △ACB时， = ，即 = ，解得 AE = 4。 故答案为：或4。 8．（2024秋·湖南长沙·期中）已知△ABC ∽ △DEF，且AB = 4，DE = 6，BC = 5，则EF = ___7.5___。 【答案】7.5 【分析】相似三角形对应边成比例，AB/DE = BC/EF。 【详解】解：∵ △ABC ∽ △DEF， ∴ = ，即 = 。 解得 EF = = 7.5。 故答案为：7.5。 9．（2024秋·河南郑州·月考）点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），若AC = 2，则AB = __+1____（结果保留根号）。 【答案】+1 【分析】由 = ，得AB = AC × = 2 × = = +1。 【详解】解：∵ 点C是AB的黄金分割点，AC > BC， ∴ = 。 ∴ AB = AC × = 2 × = 。 有理化： = = +1。 故答案为：+1。 10．（2024秋·河北石家庄·期中）在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，若AD = 4，BD = 9，则CD = __6____。 【答案】6 【分析】先证△ACD∽△CBD，得CD² = AD·BD = 4×9 = 36，所以CD = 6。 【详解】解：∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°。 ∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠A + ∠ACD = 90°，∠ACD + ∠BCD = 90°， ∴ ∠A = ∠BCD（同角的余角相等）。 ∴ △ACD ∽ △CBD（AA）。 ∴ = ，即 CD² = AD·BD = 4×9 = 36。 ∴ CD = 6（边长为正）。 故答案为：6。 11．（2024秋·陕西西安·月考）已知△ABC的三边长为2、3、4，△DEF的一边长为6，若△ABC与△DEF相似，则△DEF的另两边长为__9、12 或 4、8 或 3、4.5____。 【答案】9、12 或 4、8 或 3、4.5 【分析】分三种情况：边长6对应2、对应3、对应4，分别求另两边。 【详解】解：△ABC三边比为2:3:4。△DEF的一边长为6，分三种情况： ① 当6对应2时，相似比为=3，另两边为3×3=9，4×3=12； ② 当6对应3时，相似比为=2，另两边为2×2=4，4×2=8； ③ 当6对应4时，相似比为=1.5，另两边为2×1.5=3，3×1.5=4.5。 故答案为：9、12 或 4、8 或 3、4.5。 （三）解答题 12．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，且∠B = ∠CAD。 （1）求证：△ABC ∽ △DAC； （2）若AB = 6，AC = 4，BC = 8，求BD的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）BD = 6 【分析】（1）由∠B=∠CAD和公共角∠C，用AA判定相似；（2）利用相似对应边成比例求CD，再求BD。 【详解】解：（1）证明：在△ABC和△DAC中， ∠B = ∠CAD（已知）， ∠C = ∠C（公共角）， ∴ △ABC ∽ △DAC（两角分别相等的两个三角形相似）。 （2）∵ △ABC ∽ △DAC， ∴ = ，即 AC² = BC·DC。 ∴ 4² = 8·DC，解得 DC = = 2。 ∴ BD = BC - DC = 8 - 2 = 6。 答：（1）△ABC ∽ △DAC得证；（2）BD的长为6。 13．（2024秋·重庆渝中·月考）如图，在△ABC中，AB = AC，BD = CE，连接BE、CD交于点O。 （1）求证：△BCD ≌ △CBE； （2）求证：△BOD ∽ △COE。 【答案】证明见详解 【分析】（1）由AB=AC得∠ABC=∠ACB，加上BD=CE和公共边BC，用SAS证全等；（2）由全等得∠BDC=∠CEB，加上对顶角∠BOD=∠COE，用AA证相似。 【详解】证明：（1）∵ AB = AC，∴ ∠ABC = ∠ACB（等边对等角）。 在△BCD和△CBE中： BD = CE（已知）， ∠DBC = ∠ECB（已证）， BC = CB（公共边）， ∴ △BCD ≌ △CBE（SAS）。 （2）由（1）知△BCD ≌ △CBE，∴ ∠BDC = ∠CEB（全等三角形对应角相等）。 在△BOD和△COE中： ∠BDO = ∠CEO（已证）， ∠BOD = ∠COE（对顶角相等）， ∴ △BOD ∽ △COE（两角分别相等的两个三角形相似）。 14．（2024秋·天津和平·期中）如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 6，点E在BC上，且BE = 2，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F。 （1）求证：△ABE ∽ △DFA； （2）求DF的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）DF = 【分析】（1）由矩形性质和DF⊥AE，得到两角对应相等，用AA证相似；（2）先求AE，再利用相似对应边成比例求DF。 【详解】解：（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B = ∠BAD = 90°，AD = BC = 6。 ∵ DF⊥AE，∴ ∠AFD = 90° = ∠B。 ∵ ∠BAE + ∠DAF = 90°，∠ADF + ∠DAF = 90°， ∴ ∠BAE = ∠ADF（同角的余角相等）。 在△ABE和△DFA中： ∠B = ∠AFD = 90°， ∠BAE = ∠ADF， ∴ △ABE ∽ △DFA（AA）。 （2）在Rt△ABE中，AB = 4，BE = 2， ∴ AE = = = = 2。 ∵ △ABE ∽ △DFA， ∴ = ，即 = /6。 解得 DF = = =。 答：（1）△ABE ∽ △DFA得证；（2）DF的长为。 15．（2024秋·四川成都·期中）已知线段AB = 10cm，点C是AB的黄金分割点（AC > BC）。 （1）求AC和BC的长（结果保留根号）； （2）若点D是AC的黄金分割点（AD > DC），求AD的长（结果保留根号）。 【答案】（1）AC = 5(-1) cm，BC = 15-5 cm；（2）AD = 15-5 cm 【分析】（1）利用黄金比求AC，再求BC；（2）在AC上再次应用黄金分割求AD。 【详解】解：（1）∵ 点C是AB的黄金分割点，AC > BC， ∴ AC = AB × = 10 × = 5(-1) cm。 BC = AB - AC = 10 - 5(-1) = 10 - 5 + 5 = 15 - 5 cm。 （2）∵ 点D是AC的黄金分割点，AD > DC， ∴ AD = AC × = 5(-1) × = 。 展开：(-1)² = 5 - 2 + 1 = 6 - 2， ∴ AD = = 5(3-) = 15 - 5 cm。 答：（1）AC = 5(-1) cm，BC = 15-5 cm；（2）AD = 15-5 cm。 三、中考链接题 1．（2024·北京中考）如图，AB ∥ CD，AD与BC交于点O，若AO:OD = 2:3，则△AOB与△DOC的相似比为（　　） A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4 【答案】A 【分析】由AB∥CD得△AOB∽△DOC，相似比等于对应边AO:OD = 2:3。 【详解】解：∵ AB ∥ CD， ∴ ∠A = ∠D，∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠AOB = ∠DOC（对顶角相等）， ∴ △AOB ∽ △DOC（AA）。 相似比为 AO:OD = 2:3。 故选：A。 2．（2024·上海中考）已知△ABC ∽ △DEF，且相似比为1:2，则△ABC与△DEF的对应边之比为（　　） A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1 【答案】A 【分析】相似三角形对应边的比等于相似比。 【详解】解：相似三角形对应边的比等于相似比。 ∵ △ABC ∽ △DEF，相似比为1:2， ∴ 对应边之比为1:2。 故选：A。 3．（2024·广东中考）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，若DE ∥ BC，AD = 2，DB = 4，DE = 3，则BC =（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，AD/AB = DE/BC，AB=6，代入求BC=9。 【详解】解：∵ DE ∥ BC，∴ △ADE ∽ △ABC。 ∴ AD/AB = DE/BC。 ∵ AB = AD + DB = 2 + 4 = 6， ∴ = ，解得 BC = 9。 故选：B。 4．（2024·江苏中考）下列条件中，能判定△ABC与△DEF相似的是（　　） A．∠A = ∠D， = B．∠A = ∠D， = C． = ，∠C = ∠F D． = ，∠B = ∠E 【答案】B 【分析】B选项是两边成比例且夹角相等（∠A是AB和AC的夹角，∠D是DE和DF的夹角），由SAS判定相似。 【详解】解：A选项，∠A=∠D，但AB/DE=BC/EF中∠A不是AB和BC的夹角，是SSA，不能判定相似； B选项，∠A=∠D，且AB/DE=AC/DF，∠A是AB和AC的夹角，∠D是DE和DF的夹角，由SAS判定相似； C选项， = ，但∠C不是AB和BC的夹角，是SSA，不能判定相似； D选项， = ，但∠B不是AB和AC的夹角，是SSA，不能判定相似。 故选：B。 5．（2024·浙江中考）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC > BC），AB = 2，则AC的长为（　　） A．-1 B．3- C． D． 【答案】A 【分析】AC = AB × = 2 × = -1。 【详解】解：∵ 点C是AB的黄金分割点，AC > BC， ∴ AC = AB × = 2 × = -1。 故选：A。 6．（2024·山东中考）在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于点D，若AC = 6，AB = 9，则AD = __4____。 【答案】4 【分析】先证△ACD∽△ABC，得AC² = AD·AB，所以AD = AC²/AB = 36/9 = 4。 【详解】解：∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC = 90° = ∠ACB。 又∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ACD ∽ △ABC（AA）。 ∴ = ，即 AC² = AD·AB。 ∴ AD = = = 4。 故答案为：4。 7．（2024·湖北中考）已知△ABC ∽ △A'B'C'，且AB = 5，A'B' = 8，BC = 4，则B'C' = __6.4____。 【答案】6.4 【分析】相似三角形对应边成比例， =，即 = ，解得B'C' = = 6.4。 【详解】解：∵ △ABC ∽ △A'B'C'， ∴ =，即 = 。 解得 B'C' = = 6.4。 故答案为：6.4。 8．（2024·四川中考）若△ABC的三边长为3、4、5，△DEF的三边长为6、8、10，则这两个三角形___相似___（填"相似"或"不相似"），理由是___三边对应成比例的两个三角形相似___。 【答案】相似；三边对应成比例的两个三角形相似（SSS） 【分析】 = = = ，三边对应成比例，由SSS判定相似。 【详解】解：∵ = = = ， ∴ = = ，三边对应成比例。 ∴ △ABC ∽ △DEF（三边成比例的两个三角形相似）。 故答案为：相似；三边对应成比例的两个三角形相似（SSS）。 9．（2024·河南中考）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且AD = 3，DB = 5，AE = 2，EC = 。 （1）求证：△ADE ∽ △ABC； （2）若DE = 4，求BC的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）BC = 【分析】（1）验证 = = ，加上公共角∠A，由SAS判定相似；（2）利用相似对应边成比例求BC。 【详解】解：（1）证明：∵ AB = AD + DB = 3 + 5 = 8， AC = AE + EC = 2 + 10/3 =。 ∴ = ， = 。 ∴ = 。 又∵ ∠A = ∠A（公共角）， ∴ △ADE ∽ △ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 （2）∵ △ADE ∽ △ABC， ∴ = = ，即 = 。 解得 BC = 。 答：（1）△ADE ∽ △ABC得证；（2）BC的长为。 10．（2024·陕西中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F。 （1）求证：△ABE ∽ △DFA； （2）若AB = 4，AD = 6，求DF的长。 【答案】（1）证明见详解；（2）DF = 12√10/5 【分析】（1）由矩形性质和DF⊥AE，得到两角对应相等，用AA证相似；（2）先求AE，再利用相似对应边成比例求DF。 【详解】解：（1）证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B = ∠BAD = 90°，AD = BC = 6，AD ∥ BC。 ∵ DF⊥AE，∴ ∠AFD = 90° = ∠B。 ∵ ∠BAE + ∠DAF = 90°，∠ADF + ∠DAF = 90°， ∴ ∠BAE = ∠ADF（同角的余角相等）。 在△ABE和△DFA中： ∠B = ∠AFD = 90°， ∠BAE = ∠ADF， ∴ △ABE ∽ △DFA（AA）。 （2）∵ E是BC的中点，∴ BE = BC/2 = 6/2 = 3。 在Rt△ABE中，AB = 4，BE = 3， ∴ AE = = = = 5。 ∵ △ABE ∽ △DFA， ∴ = ，即 = 。 解得 DF = 。 答：（1）△ABE ∽ △DFA得证；（2）DF的长为。 学科网（北京）股份有限公司 $