3.2 探索三角形相似的条件课时作业（3课时）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以“两角分别相等的两个三角形相似”为核心，分层设计基础认知、技能应用、综合拓展三级练习，通过概念记忆→推理应用→综合计算的路径巩固知识，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|相似三角形判定定理的直接记忆与简单应用|填空题1考查定理表述，解答题4-7通过简单图形判断与证明，强化概念理解，培养推理意识| |技能应用|图形组合（正方形拼接、矩形）中的相似判定与性质初步应用|填空题2-3结合正方形拼接求阴影面积，解答题8-10第一问在平行线、垂直背景下证明相似，发展几何直观与模型意识| |综合拓展|复杂图形（平行四边形、菱形等）中的相似综合应用|解答题11-14涉及动态问题、边长计算，如菱形中相似比计算，提升创新意识与应用能力|

第7课时探索三角形相似的条件（2)一一两边及夹角 一、选择题 1如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是()】 B A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.AB-BC D.AB=AC AD DE AD AE 2.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角 形与原三角形不相似的是() 789 B A 6789 第1页，共1页 3如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD:②∠ADC=∠ACB,③AC=90AC-2其中能够判 CD BC' AB AC 定△ABC一△ACD的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D B 二、填空题 相似三角形的判定1 相似三角形的判定2 图形 文字 两边 且 角相等的两个三 两角分别相等的两个三角形相似： 描述 角形相似。 几何.∠A=∠A',∠B=∠B', 语言.△ABC一△A'B'C'. ∴.△ABC△A'B'C B 5.如图所示的两个三角形一（填“是”或“不是”)相似三角形 4 m 3.2m 2m 1.6m 50° 50° 三、解答题 第2页，共1页 6.一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm,4cm,另一个直角三角形两条直角边的长分别为9c,6 c,这两个直角三角形是否相似？为什么？ 7.如图，∠DAB=∠CAE,且AB·AD=AE·AC.求证：△ABC一△AED. B 8.如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=1,AB=3,AC=V3. 求证：△ACD~△ABC. 9.如图，△AEF与△ABC相似吗？请说明理由 3 B 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别为AB,BC上的点，且BD·BA=BE·BC. 求证：DE⊥AB. B 第3页，共1页 11.如图，在正方形ABCD中，点P是BC上的一点，且BP=3PC,点O是CD的中点求证： △ADQ~△QCP. B AD 3 12,如图，D,B分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5,AC=2,BC=4,且AB E D B (1)求证：△ADE一△ABC. (2)求DE的长， 13.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE. B 求证： (1)AB·AE=AC·AD: (2)△ADE”△ABC. 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm.动点P从点B出发，在边BA上以每秒 5Cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边CB上以每秒4C的速度向点B匀速运动，运 第4页，共1页 动时间为(0<t<2),连接PQ. B ò C (1)请用含t的代数式表示：BP=,BQ= (2)当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？ 第5页，共1页 答案和解析 1.【答案】C 【解析】.'∠1=∠2，∴.∠DAE=∠BAC,∴.A、B、D都可判定△ABC∽△ADE.选项C中不是 夹这两个角的边，所以不相似.故选C. 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】成比例 夹 AB_AC ABAC,∠A=∠A 5.【答案】不是 6.【答案】解：相似. 因为6=42 963 且两个直角三角形直角边的夹角均为直角， 故这两个直角三角形相似 7.【答案】证明：.'∠DAB=∠CAE,∴.∠DAE=∠BAC. AB·AD=AEAC,:E=A·△ABC-△AD. 8.【答案】证明：，AD=1,AB=3,AC=V3, ..AC=13.AD_3 AC_AD ·AB3’AC-3··ABAC .∠A=∠A,.∴.△ACD~△ABC. 9.【答案】解：相似理由如下： ..AE_AF_1 AB AC 2' ∠A=∠A,∴.△AEF一△ABC. 10.【答案】证明：：BDAB=BE~BC,.BD=B距 ·BCBA 第6页，共1页 .'∠DBE=∠CBA,∴.△BDE一△BCA. .∠BDE=∠C=90°，即DE⊥AB. 11.【答案】证明：，四边形ABCD是正方形，BP=3PC,点Q是CD的中点， :QC=QD=CD=AD,CP=1BC=1AD=IDQ. 4 4 2c=20=08229-2 .∠ADQ=∠QCP,∴.△ADQ~△QCP. 12.【答案】【小题1】 证明：.AE=1.5,AC=2,BC=4, …光艺 “0子 能治 ,∠DAE=∠BAC' ∴.△ADE△ABC. 【小题2】 由1，得△ADE一△ABC. ·DE=3 ·BC4 .BC=4' ∴.DE=3. 13.【答案】【小题1】 第7页，共1页 证明：∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,△ABD∽△ACE,AB-AD AC AE' .∴.AB·AE=AC·AD. 【小题2】 :∠BAD=∠CAE,∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,即∠BAC=∠DAE,:AB=AP, AC AE' 恕品△DE△M 14.【答案】【小题1】 5t cm (8-4t)cm 【小题2】 .:∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm, .'AB=VAC2+BC2=10cm. ①当△BPQ~△BAC时， BP_BQ BA BC 器 ,解得t=1; ②当△BPQ一△BCA时， BP_BQ BC BA :5-8-4t,解得=32 ”810 41 :当t=1或t=32时，△BPQ与△ABC相似 41 第8页，共1页第6课时探索三角形相似的条件（1)一一两角 一、填空题 1.相似三角形的判定1：两角分别的两个三角形相似. 几何语言：：一， .△ABC一△ABC. 2.边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面 积为一 10 3.如图，用三个能够重合的正方形ABGH,BCFG,CDEF拼成矩形ADEH,连接AE,AE与BG,CF分别 交于点P,Q.若AB=6cm,则BP=一，CQ= H G B 二、解答题 4.在△ABC与△就中，∠A=∠D=70°，∠B=60°，∠E=50°，这两个三角形相似吗？为什么？ 第1页，共1页 5.如图，点D是AC上一点，DE/IAB,∠B=∠DAE.求证：△ABC一△DAE. C D 6.如图，已知∠EAC=∠DAB,∠D=∠B.求证：△ABC一△ADE. 7.如图，DA⊥AB于点A,BE⊥AB于点B,DCE=90°.求证：△ACD一△BEC. E C 第2页，共1页 8.如图，AB/1CD,AC与BD相交于点O. A B D (1)求证：△AOB~△COD 2名铝-专0=12，求0的长 9.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，且DE/BC. E B (1)求证：△ADE一△ABC. (2)若AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长 第3页，共1页 10.如图，BBE是△ABC的角平分线，延长BE至点D,使得CD=BC.求证：△AEB一△CED. 11,如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交BD于点F. B E (1)求证：△BEF一△DAF. (2若B照=2 BC 3 BD=10,求BF的长 12.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. D C (1)求证：△ABC∽△AEB; (2)当AD=4,AC=3时，求AE的长. 第4页，共1页 13.如图，在正方形ABCD中，点E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90°，延长EF交BC 的延长线于点G. D (1)求证：△ABE一△EGB. (2)若AB=4,求CG的长. 14.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2,点D是边BC上的一个动点（不与点B, C重合)，在AC边上取一点E,使∠ADE=45°. (1)求证：△ABD一△DCE. (2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 第5页，共1页 答案和解析 1.【答案】相等 ∠A=∠A,∠B=∠B 2.【答案】15 3.【答案】2cm Acm 4.【答案】解：·∠D=70°，∠E=50 ∴.在△就中，∠F=60 ∠A=∠D 在△ABC与△中，有∠B=∠F .∴.△ABC一△DFE. 5.【答案】证明：'DE/1AB,∴.∠ADE=∠BAC. .∠B=∠DAE,∴.△ABC一△DAE. 6.【答案】证明：.'∠EAC=∠DAB,.∠DAE=∠BAC. .∠D=∠B,∴.△ABC一△ADE. 7.【答案】证明：DA⊥AB,EB⊥AB, ∴.∠DAC=∠CBE=90°. .∴.∠ADC+∠DCA=90°. .∠DCE=90 .∴.∠DCA+∠BCE=90°. ∴.∠ADC=∠BCE .∴.△ACD~△BEC. 8.【答案】【小题1】 第6页，共1页 证明：，AB/CD ∠A=∠C'∠B=∠D. ..△AOB-△COD. 【小题2】 由(1)，得△AOB一△COD, AB_OB_1 CDO0.即206J 解得OB=4. 9.【答案】【小题1】 证明：，DE/IBC, ∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠C. .∴.△ADE一△ABC. 【小题2】 由1，得△ADE一△ABC, ..AD-DE 即5-10 .∴.BC=14. 10.【答案】证明：.BE是△ABC的角平分线，.∠ABE=∠CBE. .BC=CD,∴.∠CBE=∠D.∴.∠ABE=∠D. .'∠AEB=∠CED,∴.△AEB一△CED. 11.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∴.AD//BE,AD=BC .∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF. .∴.△BEF一△DAF. 【小题2】 由1，得△BEF一△DAF, 第7页，共1页 ·BF-BE ·DFAD AD=BC, 既号0=1m :10-DF=2 DF 3 解得DF=6. .∴.BF=BD-DF=4. 12.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD为菱形，.AB/CD,AB=BC. ∴.∠ACD=∠BAC=∠ACB. .∠ACD=∠ABE,.∠ACB=∠ABE. .∠BAC=∠EAB,.∴.△ABC∽△AEB. 【小题2】 解白1将△AAAa,船S ,四边形ABCD为菱形，AD=4, AB=44=3 “AE4,解得AE=16 3 13.【答案】【小题1】 解：证明：，四边形ABCD为正方形，∠BEG=90, ∴.∠A=90=∠BEG.∠ABE+∠EBG=90°，∠G+∠EBG=90°， .∠ABE=∠G.∴.△ABE一△EGB. 【小题2】 .AB=AD=4,点E为AD的中点，.AE=DE=2. 在Rt△ABE中，BE=VAE2+AB=2V5. (1得△ABE-△EGB.AS=BE,即2=25 EB GB 25 GB .BG=10..∴.CG=BG-BC=10-4=6. 第8页，共1页 14.【答案】【小题1】 解：证明：，：∠BAC=90,AB=AC=2, ∴.∠B=∠C=45°，BC=2V2. .:∠ADC=∠B+∠BAD=45°+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC=45°+∠EDC, ∴.∠BAD=∠EDC..△ABD一△DCE. 【小题2】 1,AAD-△DcE,÷股2沿 x=2 即2-y2V2-x y×-2x4202v2 第9页，共1页第8课时探索三角形相似的条件（3)一一三边 一、选择题 1.下列数据分别表示两个三角形的三边长，则两个三角形相似的是() A2,45与4,9,12 B35,7与35V7 C3,2,459,12,6 D.2.5,54与0.5,11,1.5 2.把△ABC的各边都扩大为原来的3倍，得到△A1B1C1,则下列结论不正确的是() A△ABC与△A,B,C的三边对应成比例BSA度<S。ABG C△ABC与△A,B,C,的三个角分别相等D△ABC与△A,B,C,的相似比为3 3.△ABC的三边长分别为V2,√10,2，△就的两边长分别为1和V5.如果△ABC∽△乙，那么△乙 的第三边长为) A 2 B.2 C.√2 D.2V2 4.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是() B. 二、填空题 第1页，共1页 相似三角形的判定1 相似三角形的判定2 相似三角形的判定3 图形 文 字两角分别相等的两个三两边成比例且夹角相等的三边 的两个三角 描角形相似 两个三角形相似 形相似. 述 几 何 语△ABC-△A'B'C:△ABC-△A'BC△ABC-△A'BC 言 6在△ABC中，AB=3,AC=4,在△A'B'C'中，A'B'=6,A'C'=8,则当BC:B'C'=时， △A'B'C'~ 三、解答题 7.在△ABC与△就中，AB=6,BC=9,AC=7.5,DE=8,EF=10,DF=12,那么这两个三角形 相似吗？为什么？ 8.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由· D 6 E 3 3.5 9.如图，某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路，已知AB=14km,AD=28km,BD=21km, BC=42km,DC=31.5km,公路AB与CD平行吗？请说明理由 31.5 3 14 42 第2页，共1页 AD_DE_AE 10.已知：如图， AC ABBC·求证：AB=AE. 0 AB_CA_BC 11.如图，己知DBED BE y B E (1)∠ABD与∠CBE相等吗？请说明理由. (2)判断△ABD与△CBE是否相似，并说明理由. 12.如图，在边长为1的5×5的正方形网格内有两个三角形，它们的顶点都在格点上 D B 备用图 第3页，共1页 (1)△ABC与△乙是否相似？请说明理由； (2)在备用图上画出三个顶点都在格点上且与△ABC相似的三角形至少画一个)· 13.如图，在△ABC与△ADE中， AD_DE_AE AB BC AC 求证： (1)∠BAD=∠CAE: (2)AD·EC=AE·DB. 14.如图，四边形ABCD,CDEF,EFGH均是边长为1的正方形 D (1)求AC,AF,AG的长. (2)求证：△ACF一△GCA. 15.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△的顶点都在格点上，P1,P2,P3,P4, P是△乙边上的5个格点， D P2 P E (1)求证：△ABC是直角三角形. (2)判断△ABC和△乙是否相似，并说明理由. (3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点，并且与△ABC相似 第4页，共1页 答案和解析 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】B 5.【答案】成比例 ∠A=∠A,∠B=∠B AB_AC ABAC,∠A=∠A AB_AC_BC AB AC BC 6.【答案】1：2 △ABC 2【管】架，相以理白：“8-长-}△ARC△ED51E达成比清个三角店相 似). 8.【答案】解：相似，理由如下： 0般部器-2 .△ABC一△g. 9.【答案】解：公路AB与DC平行，理由如下： 'AB=14km,AD=28km,BD=21km,BC=42km,DC=31.5km, ·AD=28=2AB=14=2BD=21=2 ·BC423’BD213'CD31.53 S2器△aDB-△BCD∠ABD-∠BDC.AB/CD 第5页，共1页 10.【答案】证明：AD=DE=AE CA AB CB .△ADE△CAB' ∴.∠AED=∠B' .∴.AB=AE. 【解析】本题考查了三角形相似的判定和等腰三角形的判定，是基础题. 根据三组对应边的比相等的两三角形相似可判断△ADE∽△CAB,可得∠AED=∠B,然后根据等腰 三角形的判定定理即可得到结论 11.【答案】【小题1】 解：∠ABD=∠CBE.理由如下： .ABCABC ·DB ED BE1 ∴.△ABC一△DBE' ∴.∠ABC=∠DBE' ∴.∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC, ∴.∠ABD=∠CBE. 【小题2】 △ABD一△CBE.理由如下： .·AB_BC ·BDBE ·品 又.'∠ABD=∠CBE, ∴.△ABD一△CBE. 12.【答案】【小题1】 解：相似理由如下： 第6页，共1页 由图，得DE=22+1=5'DF=V3+12=10'EF=5'AB=V2'AC=2'CB=V12+3=10. DE=DE=EF_V1 ·AB AC CB2 ..△ABC一△. 【小题2】 如图所示（答案不唯一】 13.【答案】【小题1】 证明：：AD=DE=AE ABBC=AC,·△ADE∽△ABC,.∠DAE=∠BAC, ∴.∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,∴.∠BAD=∠CAE: 【小题2】 1海，∠AD∠CAE招沿：是怨△D8A.把2肥 AE EC ∴.AD·EC=AE·DB. 14.【答案】【小题1】 .正方形ABCD,DCFE,EFGH的边长为1， .AC=2,AF=5,AG=10. 【小题2】 AC_2 CF_2 AF2 证明：易得CC=2,CA=2'AG21 ..AC-CF_AF CG CA AG .△ACF-△GCA. 第7页，共1页 15.【答案】【小题1】 解：证明：由图，得AB=20,AC2=5,BC2=25. ∴.AB+AC=BC2.∴.△ABC为直角三角形 【小题2】 △ABC和△乙相似理由如下： 由图，得AB=2V5,AC=V5,BC=5,DE=4V2,DF=2V2,EF=2√10 AB AC_BC _v10 DE DF EF 4 .△ABC-△兰， 【小题3】 如图，△P2P4P5即为所求」 B E 第8页，共1页