5.3 一元一次方程的应用 课前预习 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程应用，以12类实际场景为载体，系统提炼等量关系构建方法，强化模型意识与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |工程问题|2题|工作量=效率×时间，总工作量=各部分之和|从方程概念到实际工程任务分配的应用拓展| |销售盈亏|2题|售价=成本×(1+利润率)，利润=售价-成本|结合经济情境理解数量关系的转化| |行程问题|2题|路程=速度×时间，相遇/追及路程关系|通过运动情境培养几何直观与逻辑推理| |其他场景|6题|配套、比赛积分等场景等量关系建立|跨领域应用强化数学建模与问题解决能力|

5.3 一元一次方程的应用 课前预习2026-2027学年 北师大版七年级数学上册 一、单选题 1．整理一批图书，由一个人整理需要完成．现计划安排8人完成此项工作，在工作一段时间后，接到通知需提前完成任务，因此增加了4人和他们一起工作，后这项工作全部完成．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作用了，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．一件商品按成本价提高20%后标价，又以8折销售，这样每卖出一件商品可获利20元．设该商品一件的成本价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．足球比赛的记分办法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队打了场比赛，负5场，共得分，那么这个队胜了（  ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 4．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话），一个月内通话（   ）分钟时，两种通话方式的费用相同． A．100 B．150 C．200 D．250 5．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 6．一块长方形草坪的长比宽多，它的周长是，求该长方形草坪的宽．设该长方形草坪的宽为 ，下面所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（    ） A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒 8．某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 9．某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多；如用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少，新旧工艺的废水排量之比为2：5，若设环保限制的最大量为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如下图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按的方向行走，甲从点A出发，以55米/分的速度行走；同时，乙从点B出发，以70米/分的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（   ） A．点D处 B．边上 C．点C处 D．边上 二、填空题 11．日历中连续五天的和是45，则最中间一天的日期是______号． 12．用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，设需要x张做盒身，根据题意可列方程为________． 13．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问醑酒几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，那么醑酒_______斗． 14．创客工坊中有工具箱若干个，如果每一个箱子放7把工具，那么还剩7把工具无箱子可放；如果每一个箱子放9把工具，那么就空出一个箱子．设有个箱子，可列方程：_____． 15．如图，若天平平衡，则x的值为________． 三、解答题 16．某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？设应调往甲处x人，根据题意可列得方程？ 17．某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产个，天完成任务．实际每天比原计划多生产个，实际多少天完成任务？ 18．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于100元 不予优惠 低于300元但不低于100元 九折优惠 300元以上 其中300元部分给予九折优惠，超过300元部分给予八折优惠 (1)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于300元但不低于100时，他应付款多少元，当x大于或等于300元时，他应付款多少元（用含x的代数式表示）； (2)若顾客实际付款310元，则他优惠前购买了多少元的物品？ 19．已知在数轴上点表示的数是，点表示的数是4，点沿着数轴以2单位每秒的速度向数轴正方向运动，点沿着数轴以1单位每秒的速度向数轴负方向运动，回答下列问题： (1)几秒后两点重合？ (2)几秒后两点相距3个单位长度？ (3)如果两个点都是向着数轴正方向运动，速度都不变，几秒后两点重合？ 20．根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题： 方式一 方式二    月租费 50元/月 10元/月 本地通话费 0.3元/分钟 0.5元/分钟 (1)若一个月本地通话时间300分钟时，计算按两种移动电话计费方式各要交费多少元？ (2)通话时间是多少分钟时会出现两种移动电话计费方式收费一样？请你说明怎样选择计费方式会更省钱？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D D C C C A A 1．【答案】A 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系，是解题的关键．根据工作量关系，总工作量等于各部分工作量之和，设实际用时x小时，其中前段8人工作小时，后段增加4人后共12人工作小时，根据工作效率列方程． 【详解】解：设实际完成这项工作用了，根据题意得： ， 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，题目中的等量关系为：售价成本价元． 【详解】解：根据题目中的等量关系可知，成本价成本价元，即 故选：A． 3．【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据比赛场次和得分规则建立等量关系．首先根据总场次和负场数求出胜场与平场的总场次，设胜场数为未知数，根据总得分列出一元一次方程，进而求解即可． 【详解】解：设这个队胜了场，则平的场次为场， 可列方程：， ：； 故选：B． 4．【答案】D 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设一个月内通话x分钟时，两种通话方式的费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同． 故选：D 5．【答案】D 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵幻方中各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， 观察右上到左下的对角线，三个数和为：， ∴所有行、列、对角线的和均为 ， 又第一列三个数的和为：， ∴可得方程， 解得 ． 6．【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握矩形的周长公式，是解题的关键． 设该长方形草坪的宽为，则长为，根据长方形的周长公式列出方程即可. 【详解】解：设宽为，则长为， ∵周长长+宽， ． 即． 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查一次方程的应用，甲的速度为每秒1个单位长度，则乙的速度为每秒4个单位长度，正方形的边长为12，第一次需要t秒相遇，根据题意列方程得出t的值即可． 【详解】解：设第一次需要t秒相遇， 根据题意得， 解得， ∴它们第1次相遇的时间为秒， 故选：C． 8．【答案】C 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系∶不超过标准量的部分的水费超过标准量的部分的水费元列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设该市每户的月用水标准量为x吨， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故选C． 9．【答案】A 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，本题先分别表示新工艺的废水排量为，旧工艺的废水排量为，再利用比值的含义建立方程即可；确定相等关系是解本题的关键． 【详解】解：设环保限制的最大量为，则 ， 故选：A． 10．【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，完成本题要注意通过所行路程及正方形的周长正确判断追上时在正方形的哪条边上． 设乙x分钟后追上甲，根据乙追上甲时，比甲多走了270米，可得出方程，求出时间后，计算甲所走的路程，继而可判断在哪一条边上相遇． 【详解】解：设乙x分钟后追上甲， 由题意得，， 解得：， 而， 即乙第一次追上甲是在点处． 故选：A． 11．【答案】9 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期之和可表示为，根据题意列出方程求解． 【详解】解：设最中间一天的日期为x号，则连续五天的日期分别为．则它们的和为：， 根据题意，得：， 解得：． 即最中间一天的日期是9号． 故答案为：9 12．【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际配套问题．已知共有张硬纸板，设张做盒身，则张做盒底．因为个盒身与个盒底配成一套，所以要根据盒身数量与盒底数量的配套关系来列方程．本题考查一元一次方程在配套问题中的应用．解题关键在于理解配套比例关系，即盒底数量是盒身数量的倍，通过设未知数分别表示出盒身和盒底的数量，进而根据配套关系列出方程． 【详解】解：∵每张硬纸板可制作盒身个，设用张硬纸板做盒身， ∴盒身的数量就是个． 又∵每张硬纸板可制作盒底个，用张硬纸板做盒底 ∴盒底的数量是个． ∴可列方程． 故答案为： 13．【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】设醑酒为斗，则清酒为斗，根据总谷子数30斗列出方程求解即可；本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设醑酒为斗，则清酒为斗， 根据题意得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得， 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据两种放置方式中工具总数量相等的等量关系列方程，先分别用含的代数式表示两种情况的工具总数，再令二者相等即可． 【详解】解：设有个箱子， 当每个箱子放7把工具时，工具总数为把， 当每个箱子放9把工具时，空出一个箱子，即实际使用个箱子，工具总数为把， 因为工具的总数量是固定不变的， 所以可列方程为． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据“天平平衡”列方程求解即可． 【详解】解：∵天平平衡， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．【答案】 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】设应调往甲处x人，根据在甲处植树的人数是乙处人数的2倍列方程即可． 【详解】解：设应调往甲处x人， 根据题意可列得方程为：． 17．【答案】天 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决实际问题，熟练掌握“工作效率工作时间工作总量”是解题的关键．设实际天完成任务，根据题意，列出方程并求解，即可求出实际完成天数． 【详解】解：设实际天完成任务， 根据工作总量不变，可得， 解得： 答：实际天可以完成任务． 18．【答案】(1) 元，元 (2) 元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了代数式、一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时，应付款元； 当时，应付款元； （2）解：由（1）知，令， 解得． 答：他优惠前购买了350元的物品． 19．【答案】(1)3秒后两点重合； (2)2秒或4秒后两点相距3个单位长度； (3)9秒后两点重合． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】此题考查数轴的知识，一元一次方程的应用． （1）设运动的时间为秒，出发前两个点之间相距9个单位长度，相向而行，时间乘以各自的速度等于各自运动的距离，相遇时两个点运动的距离的和等于9个单位长度，列方程求出的值即可； （2）两个动点相距3个单位长度分两种情况，即两个点相遇前相距3个单位长度和两个点相遇后相距3个单位长度，按相遇问题的数量关系列方程求解即可； （3）在这个追及问题中，点运动的总距离等于点运动的距离加上未出发时两点之间的距离，按这一关系列方程求出运动的时间即可． 【详解】（1）解：设运动的时间为秒． 根据题意得， 解得， 答：3秒后两点重合； （2）解：设运动的时间为秒． 若、两点在相遇前相距3个单位长度，则， 解得； 若、两点在相遇后相距3个单位长度，则， 解得， 答：2秒或4秒后两点相距3个单位长度； （3）解：设运动的时间为秒． 根据题意得， 解得， 答：9秒后两点重合． 20．【答案】(1)方式一要交费140元，方式二要交费160元 (2)当通话时间是200分钟时会出现两种移动电话计费方式收费一样．当通话时间少于200分钟时，选择方式二更省钱；当通话时间多于200分钟时，选择方式一更省钱． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用． （1）根据“费用＝月租费＋每分钟的通话费×通话时间”分别计算两种计费方式的费用即可； （2）设通话时间x分钟时会出现两种移动电话计费方式收费一样，根据“两种移动电话计费方式收费一样”即可列出方程，求解即可．再结合（1）即可得出结论． 【详解】（1）通话时间300分钟时， 方式一需交费：（元）， 方式二需交费：（元）． 答：通话时间300分钟时，方式一要交费140元，方式二要交费160元． （2）设通话时间x分钟时会出现两种移动电话计费方式收费一样．根据题意，得 ， 解得， ∴当通话时间是200分钟时会出现两种移动电话计费方式收费一样． 结合（1）可得， 当，即通话时间少于200分钟时，选择方式二更省钱； 当，即通话时间多于200分钟时，选择方式一更省钱． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $