5.3一元一次方程的应用分类专题（十大题型）2025-2026学年北师大版七年级数学上册

北师大版七年级数学一元一次方程的应用分类专题（十大题型） 题型1 销售盈亏问题 1.某购物商城在“双12购物节”期间搞促销活动，若一次性购物不超过元不优惠，超过元时按全额折优惠．一位顾客第一次购物付款元，第二次购物付款元，若这两次购物合并成一次性付款可节省 元． 2.温州书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受到了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元． (1)第一次购书实际付款，相较于第一次所购书的实际定价省去了______元钱．第二次购书实际付款，相较于第二次所购书的实际定价省去了______元钱． (2)求该学生第二次所购书的实际定价是多少元． 3.列一元一次方程解决实际问题： 魔方和数独棋等益智玩具近年来深受青少年的喜爱，它们不仅能给人带来乐趣，还能有效锻炼人的逻辑思维和问题解决能力．为了满足市场需求，某商店决定用元购进魔方、数独棋这两种益智玩具进行销售，其中购进魔方的数量是数独棋数量的倍，魔方、数独棋的进价和标价如下表： 魔方 数独棋 进价（元个） 标价（元个） (1)该商店购进魔方、数独棋各多少个？ (2)如果魔方按标价的七折出售，数独棋按标价的八折出售，那么这两种益智玩具全部售完后，该商店共获利多少元？ 题型2 方案选择问题 4.为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有 人． 5.在今年的双“十一”商品促销活动中，黄州万达超市为吸引顾客购物，推出如下优惠方案： （1）购物款不超过500元，不享受优惠； （2）购物款超过500元，但不超过1000元，享受9折优惠； （3）购物款超过1000元，享受8折优惠． 某中学学生李诚的爸爸到万达购买220元的物品，他的妈妈在下班途中看到这个优惠方案后也去万达购买了一些物品，共付款756元．李诚看到爸爸妈妈的购物单后发现，若是他一个人去买这些物品，还可以优惠 元． 6.联合国教科文组织正式宣布每年的3月14日为“国际数学日”，以纪念圆周率的诞生，在国际数学日到来之际，学校计划订购一批数学教具，以下是某商店给出的优惠方案： 当销售量不超过100个时，单价为15元/组： 当销售量超过100个时，超过的部分按照单价的八折销售． (1)若购买80组教具，花费______元；若购买130组教具，花费_______元． (2)学校购买数学教具共花费2220元，请用一元一次方程求出购买了多少组教具． 7.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲，乙两商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠 乙商场 每台优惠 设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元． (1)请分别求出，与x之间的关系式． (2)求当该学校购买多少台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 8.运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 9.某食品加工厂计划到草莓种植基地购买一批草莓，种植基地对购买量在1200千克（含1200千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克25元，由基地送货上门；方案二：每千克22元，由食品加工厂自己运回，已知该食品加工厂租车从基地到工厂的运输费为4200元． (1)食品加工厂购买多少千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同？ (2)如果食品加工厂计划购买2500千克草莓，选择哪种方案省钱？为什么？ 题型3 行程问题 10.一天，小明在家和学校之间行走，为了好奇，他测了一下在无风时的速度是40米/分．从家到学校用了20分钟，从原路返回用了18分钟20秒，设风的速度是米/分，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 11.陈辰和勤勤在操场上的A、B两点之间练习往返跑，陈辰的速度是8米/秒，勤勤的速度是5米/秒，两人同时从A点出发，到达B点之后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点是5米，则之间的距离是 ． 12.甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，当甲走出84千米时，乙恰好走完了A、B两地之间距离的，此时两人相距24千米，则A、B两地之间距离为 千米． 13.甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． (1)后甲，乙两船相距多远？ (2)若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 题型4 配套问题 14．一台仪器由个部件和个部件构成．用立方米钢材可以做40个部件或240个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做部件，多少立方米钢材做部件，才能制作尽可能多的仪器？设用立方米钢材制作部件，则可列式为（    ）． A． B． C． D． 15．列方程解应用题 某车间有30名工人，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个．若要使每天生产的甲、乙两种零件按配套，应安排多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件？ 题型5 工程问题 16．一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 17．某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时． 18．为更好地完成某市民健身步道改造任务，甲乙两个施工队合作施工．已知甲单独施工9天可以完成，乙单独施工6天可以完成．现在甲先单独施工1天，再由甲、乙合作施工2天，余下的工作由乙单独完成，那么乙队还需要施工多少天才可以完成任务？ 题型6 比赛积分问题 19．某足球队参加年度联赛，共进行15场比赛，赛制规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．该队平的场数是负场数的2倍，最终总积分为31分，则该队在本次联赛中负了（   ）场 A．2 B．3 C．4 D．5 20．英语竞赛共20道试题，每道题有4个选项，只有一个正确选项，选对得5分，不选或错选倒扣1分，已知小华得了76分，小华选对了 道题． 21．某校八年级组织数学竞赛，共有25道题，答对一题得4分，答错或不答扣1分．小明最终得分为75分． (1)求小明答对了多少道题？ (2)若答对一题得5分，答错扣2分，不答不扣分，其他条件不变，求小明得分． 题型7 数字问题 22．我国的数学家杨辉在他年写的《续古摘奇算法》一书中，已经编制出三至十阶幻方．老师稍加创新改成了“幻三角游戏”，现在将，，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使三条实线以及内、中、外三个虚线三角形上的各数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 23．小明同学喜欢玩“数字游戏”，他将1，3，5，7…，这个奇数按照下表进行排列，每行7个数，若在下表中，移动带阴影的框，框中的4个数的和可以是（   ）． A． B． C． D． 24．阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 题型8 和差倍分问题 25．一个数的比这个数少24，则这个数是（   ）． A．50 B．48 C．40 26．甲、乙、丙三数的和是188，甲数除以乙数，且丙数除以甲数，结果都是商6余2，乙数是 ． 27．双十一来临，一商家为应对订单高峰补充库存，现有甲、乙两个仓库储备空调，甲仓库的空调台数是乙仓库的空调台数的，后来又给乙仓库运来600台空调，这时甲仓库的空调台数比乙仓库的空调台数少，则甲仓库原来有空调 台． 28．七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 题型9 水费和电费问题 29．某地对居民用电的收费标准为：如果每月用电量不超过100度，那么每度按元收费，如果超过100度，超出部分按每度元收费，已知该户居民这个月缴纳电费元，若设该户居民一个月用电x度，则可列方程为 ． 30．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段以达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（消费按月份结算）： 价目表 每月用水量 价格 不超过 3元/ 超出不超出的部分 5元/ 超出的部分 7元/ (1)某户居民1月份和2月份的用水量分别为和，则应收水费分别是 元和 元． (2)若该户居民3月份用水量为（其中），则应收水费多少元（用含a的式子表示，并化简）？ (3)若该户居民4月份交水费元，该户居民4月份用水多少立方米？ 31．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 32．为了鼓励公民节约用水，某市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 计费档 户年用水量/ 单价/（元/） 第一档 不超过 第二档 超过但不超过 第三档 超过 (1)某户一年用水量是，则该户这一年的水费是______元； (2)某户一年用水量是：时，则该户这一年的水费是______元（用含的代数式表示）； (3)某户去年一年的水费是元，求该户去年一年的用水量． 题型10 几何问题 33．将边长为的正方形卡片和边长为的正方形卡片按如图方式叠放在一起，重叠部分为长方形．若整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍，则重叠部分的周长为（    ） A． B． C． D． 34．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 35．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为．点A与点B之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为，点A与点P之间的距离表示为，点C与点P之间的距离表示为． (1)若，则______； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 答案详解 1.【答案】70或166 【详解】设第二次购物的实际价值为元．若第二次购物超过元，则，解得． 两次合并实际价值为元，合并付款金额为元． 不合并付款总额为元，节省元． 若第二次购物未超过元，则． 两次合并实际价值为元，合并付款金额为元． 不合并付款总额为元，节省元． 故答案为：70或166 2.【答案】(1)8；26 (2)230 【分析】 【详解】（1）解：， 定价第一次定价不超过200元， 第一次购书定价为， 第一次购书省去了， 两次共节约了34元， 第二次购书省去了， 答：第一次购书省去了8元，第二次购书省去了26元． （2）解：设第二次所购书的实际定价是元， 第二次去购书享受到了八折优惠， ， 实际付款=， 节约金额=， ， 解得． 答：第二次所购书的实际定价是230元． 3.【答案】(1)该商店购进魔方个，数独棋个； (2)该商店共获利元． 【分析】 【详解】（1）解：设数独棋个，则商店购进魔方个， 根据题意得， 解得：， ∴商店购进魔方， 答：该商店购进魔方个，数独棋个； （2）解：由题意得，商店共获利， （元）， 答：该商店共获利元． 4.【答案】或 【分析】 【详解】解：设A团有x人，则B团有人． B团非节假日购票款为：． A团节假日购票款： 当时，为元； 当时，为元． 总付款为元， 因此：当时，， 解得：，符合． 当时，， 解得：，符合． 故A团有人或人． 故答案为：或． 5.【答案】128 【分析】 【详解】解：爸爸购买物品220元，由于不超过500元，不享受优惠，实际付款220元； 妈妈付款756元，享受优惠，设妈妈原购物款为元， 当时，享受8折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴舍去； 当时，享受9折优惠，则 ， 解得， ∵， ∴妈妈原购物款为840元， ∴爸爸妈妈总购物款为（元）， ∵， ∴享受8折优惠， 则需付款（元）， 分开付款总额为（元）， ∴一次购买可优惠元． 故答案为：128． 6.【答案】(1)1200，1860 (2)购买了160组教具 【分析】 【详解】（1）解：购买80组教具，花费的钱数为（元）， 购买130组教具，花费的钱数为 （元）， 故答案为：1200；1860． （2）解：设购教具的组数为组， （元元， ， 依题意得，， 解得：， 答：购买教具的组数为160组． 7.【答案】(1)，(为正整数)； (2)5台 【分析】 【详解】（1）由题意可得，， (为大于1的整数)； （2）由，得，解得 ∴当该学校购买5台电脑时，选择甲商场和乙商场所需的费用相同． 8.【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 9.【答案】(1)食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同 (2)方案二省钱，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设食品加工厂购买千克草莓，选择两种购买方案所需的费用相同， 方案一：费用为， 方案二：费用为 则由题意得：， 解得：， 答：食品加工厂购买1400千克草莓时，选择两种购买方案所需的费用相同． （2）解：食品加工厂计划购买2500千克草莓， ∴方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴方案二更省钱． 10.【答案】D 【详解】解：∵ 从家到学校用时20分钟，返回用时18分钟20秒 = 分钟， 返回时间较短，说明返回时顺风， ∴ 从家到学校逆风，速度 = （米/分）， 返回顺风，速度 = （米/分）． ∵ 距离相等， ∴ ． 故选：D． 11.【答案】米/ 【详解】解：陈辰的速度为8米/秒，勤勤的速度为5米/秒， 从开始到第二次迎面相遇，两人跑的路程之和为， 设相遇时间为t， 则， 解得， 此时，陈辰共跑了（米），由于一个来回的路程为 ，故此时陈辰的位置在完成一个来回后，从 A 点出发又跑了米， 陈辰的位置为米（从A点计算），勤勤的位置也为米， 中点为米， 相遇点与中点距离为米． 给定该距离为5米， 因此， 解得． 故答案为：米． 12.【答案】90或162/162或90 【详解】解：设A、B两地距离为x千米，当甲走出84千米时，乙走了千米， 若相遇前相距24千米，根据题意得： ， 解得； 若相遇后相距24千米，根据题意得： ， 解得， 故A、B两地距离为90千米或162千米． 故答案为：90或162． 13.【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； （2）解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 14.【答案】B 【详解】解：用立方米做部件，则用立方米做部件， 由题意可得，． 故选：B． 15.【答案】应安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 【分析】 【详解】解：设安排x人生产甲种零件，则人生产乙种零件， ∵每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个， ∴每天生产甲种零件个，乙种零件个， ∵甲、乙两种零件按配套， ∴， 解得：， 即安排20人生产甲种零件，10人生产乙种零件． 16.【答案】A 【详解】解：设还需要天完成这项工程， 根据题意可得 解得， 即还需要天完成， 故选：A． 17.【答案】4 【分析】 【详解】解：设甲、乙两管同时开放的时间为小时．甲管始终开放10小时，注水量为，乙管开放小时，注水量为．总注水量为1， 故有：． 解方程：， 解：， 答：甲、乙最少要同时开放4小时． 18.【答案】 2 【分析】 【详解】解：设乙队还需要施工天才可以完成任务， ∴， 解得，， ∴乙队还需要施工天才可以完成任务． 19.【答案】A 【分析】 【详解】解：设负场数为x场，则平场数为场，胜场数为场，根据题意得： ， 解得：． 答：负场数为2场． 故选：A． 20.【答案】16 【详解】解：设小华选对了x道题，则不选或错选道题， 由题意得：， 化简得：， 即， 移项得：， 解得， 故答案为． 21.【答案】(1)小明答对了20道题 (2)90分或92分或94分或96分或98分或100分 【分析】 【详解】（1）解：设答对道题，则答错或不答道题， 由题意：， ， ， 答：小明答对了20道题； （2）解：答对20题，得分， 当答错0题，不答5题时，扣0分，总分为分； 当答错1题，不答4题时，扣分，总分为分； 当答错2题，不答3题时，扣分，总分为分； 当答错3题，不答2题时，扣分，总分为分； 当答错4题，不答1题时，扣分，总分为分； 当答错5题，不答0题时，扣分，总分为分； 综上，小明得分为90分或92分或94分或96分或98分或100分． 22.【答案】C 【详解】解：三条实线以及内、中、外三个虚线三角形上的各数字之和都相等， ， ，， ，， 故选：C． 23.【答案】D 【分析】 【详解】解：设阴影的框第一行左起第1个为，则第2个为， 第二行第1个为，第2个为， 则它们的和为， 是奇数，是偶数，故A不符合； ， 解得：，图中每个数是奇数，是偶数，不是奇数，故B不符合； ， 解得：，也不可能，处于最后一列，如图，故C不符合； ， 解得：，这个可能，如图，故D符合， 故选：D． 故答案为：． 24.【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 25.【答案】C 【分析】 【详解】解：设这个数是，根据题意得 ， 解得：， 故选：C． 26.【答案】4 【分析】 【详解】解：设乙数为x，则甲数为，丙数为． 由甲、乙、丙三数和为188，得 整理得： ， ． 故乙数为：4． 27.【答案】 【分析】 【详解】解：依题意，有方程：， 两边同乘35消分母：， ， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 则甲仓库原有台数为：， 故答案为：． 28.【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【分析】 【详解】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 29.【答案】 【详解】解：依题意，（元）， ∵， ∴用电量x超过度， 因此，总电费为前度的电费加上超出部分的电费，即， 故答案为：． 30.【答案】(1)12，25； (2)应收水费元 (3)该户居民4月用水 【分析】 【详解】（1）解：1月份用水，不超过，水费为（元）； 2月份用水，超过不超出，水费为（元）； 故答案为：12，25； （2）解：∵， ∴应收水费为元． 答：应收水费元； （3）解：设4月份用水， 当时，水费为（元）； 当时，水费为（元）； ∵， ∴． 则水费为． ∴， ， ， ． 答：该户居民4月用水． 31.【答案】(1) (2)275； (3)485度 【分析】 【详解】（1）解：某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费元； （2）解：某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费： （元）； 某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费为： 元； （3）解：根据解析（2）可知：当用电450度时，需缴电费275元，因为，所以本户居民7月份用电超过450度， 设本户居民7月份用电m度，根据题意得： ， 解得：， 答：本户居民7月份用电485度． 32.【答案】(1)380 (2) (3)该户去年一年的用水量是 【分析】 【详解】（1）解：由题意，得 （元）． 故答案为：380． （2）由题意，得 ． 故答案为：． （3）当时，， ∴某户去年一年的水费是元是在第二档， ∴， 解得． 答：该户去年一年的用水量是． 33.【答案】C 【分析】 【详解】解：由题意得，边长为的正方形周长：； 边长为的正方形周长：， ∴两个正方形周长和为：， 设重叠部分的周长为，则整个图形的外围周长为：， ∵整个图形的外围周长恰好等于重叠部分周长的3倍， ∴ ， 解得：． 故选：C． 34.【答案】4 【详解】解：设宽为，则原面积为，新面积为．根据题意，得方程， 展开右边：， 移项：， 即， 解得， 即它的宽为． 故答案为：4． 35.【答案】(1)2 (2)或4 (3)不会，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：若，则P在之间位置， 即， ， 故答案为：2； （2）解：若， ①P在A左边，得， 解得：， ②P在A右边，得， 解得：， 故答案为：或4； （3）解：设运动时间为t秒， 运动后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，， ∴，是定值， 的值不会随着t的变化而变化． 学科 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $