2.3.4 两条平行直线间的距离同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版必修选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦两条平行直线间的距离，通过基础应用-参数运算-动态综合三级分层设计，强化公式掌握与逻辑推理，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一公式直接应用|选择1-2直接套用距离公式，强化运算能力| |中档|含参数及简单综合问题|多选9-10结合截距、倾斜角，培养推理意识| |综合|动态平行直线与距离范围综合应用|解答16讨论距离最值，提升几何直观与创新意识|

2.3.4 两条平行直线间的距离 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.若，分别为与上任一点，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】已知直线和， 直线可化为， 可得两直线平行，则最小值是两平行线间距离， 可得两平行直线间的距离. 2.两条平行直线和之间的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】两条平行直线方程和可变形为：， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：B. 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（） A.， B.， C.， D.， 【答案】D 【解析】两直线平行，斜率存在则斜率相等， 直线的斜率为，直线的斜率为. 故，得，此时直线为，即. 两平行直线与的距离. 故答案为：D. 4.（2024-2025·吉林高二上期末）平行直线与之间的距离为，则，的可能值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将直线乘以2,得到, 这样与具有相同系数形式. 由两直线平行且不重合，可知. 两平行直线之间的距离公式为,代入距离得. 化简得. 代入选项验证，只有满足该等式且. 5.（2024-2025·河南高二开学考）若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为直线与平行，则， 且这两条直线间的距离为，解得，故. 故选：A. 6.直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是(　　) A.5 B.4 C. D.3 【答案】A 【解析】根据题意画出图象，如图所示， 根据图象可得当l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN时，l1与l2之间的距离为|MN|； 当l1∥l2，但是l1与MN不垂直，l2与MN不垂直时，过M点向l2引垂线，垂足为P，则l1与l2之间的距离为|MP|； 因为|MN|>|MP|，所以dmax＝|MN|＝＝5. 7.（2025-2026·上海虹口高二上期中），分别为直线与上任意一点，则最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，可知两直线平行. 的最小值为两平行线间的距离. 将化为. 由平行线距离公式，. 故答案为：A. 8.与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线的方程为(　　) A.2x＋y＝0 B.2x＋y＋2＝0 C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 【答案】C 【解析】设与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线的方程为2x＋y＋m＝0，∴＝，所以，解得m＝0或m＝－2，∴与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线的方程为2x＋y＝0或2x＋y－2＝0. 二、多选题（共3小题） 9.若直线m被两条平行的直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是(　　) A.15° B.30° C.45° D.75° 【答案】AD 【解析】直线l1，l2间的距离为d＝＝， 设直线m与直线l1，l2分别相交于点A，B， 则|AB|＝2，过点A作AC⊥l2，垂足为C， 则|AC|＝，在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝30°， 又直线l2的倾斜角为45°， 所以直线m的倾斜角为30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°. 故选AD. 10.两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 (　　) A.1 B.3 C.5 D.7 【答案】ABC 【解析】当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为|PQ|＝＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]． 11.（2025-2026·福建厦门高二上期中）已知直线，其中，则（） A.直线过定点 B.当时，直线与直线垂直 C.当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D.若与平行，则这两条平行直线之间的距离为 【答案】AB 【解析】A选项： 将代入直线方程，得，解得. 所以无论取何值，直线过定点，A正确. B选项： 当时，直线方程为， 即，其斜率. 直线的斜率，因为，两直线垂直，B正确. C选项： 当时，直线方程为，即. 令，得；令，得. 在轴上截距为，在轴上截距为，截距不相等，C错误. D选项： 若直线与平行，则直线斜率与斜率相等， 即，解得或. 此时直线方程为， 则两平行直线距离，D错误. 三、填空题（共3小题） 12.若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2恒过定点                  ，l1与l2的距离的最大值是                  . 【答案】(4，5) 4 【解析】∵直线l1：y＝kx＋1经过定点(0，1)， 又两直线关于点(2，3)对称， 则两直线经过的定点也关于点(2，3)对称， ∴直线l2恒过定点(4，5)， ∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为＝4. 13.两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P，Q旋转并互相保持平行，则d的范围是                  . 【答案】 【解析】当时， 两条平行线间的距离最大，最大值为， 所以两条平行线间的距离d的范围是， 故答案为：. 14.若某直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为                   ． 【答案】15°或75° 【解析】由两条平行直线间的距离公式， 可得直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0的距离为d==， 又直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2， 即该直线与直线l1所成的角为30°， 又直线l1的倾斜角为45°， 则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 四、解答题（共2小题） 15.已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 【答案】解　(1)由条件可知，直线过点和， 所以直线的斜率， 所以所求直线的方程为，即. (2)设所求的直线的方程为， 则有，得，即直线的方程为， ∵与直线间的距离为， ∴，整理可得. 又，∴. 16.两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 【答案】解　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3； 当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0， 所以0＜d≤3， 即所求的d的取值范围是(0，3]. (2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB， 它们的斜率k＝－＝－＝－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 两条平行直线间的距离 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.若，分别为与上任一点，则的最小值为（） A. B. C. D. 2.两条平行直线和之间的距离是（ ） A. B. C. 1 D. 3.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）两条平行直线和间的距离为，则，分别为（） A.， B.， C.， D.， 4.（2024-2025·吉林高二上期末）平行直线与之间的距离为，则，的可能值为（） A. B. C. D. 5.（2024-2025·河南高二开学考）若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 6.直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(－3,1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是(　　) A.5 B.4 C. D.3 7.（2025-2026·上海虹口高二上期中），分别为直线与上任意一点，则最小值为（） A. B. C. D. 8.与直线2x＋y－1＝0的距离等于的直线的方程为(　　) A.2x＋y＝0 B.2x＋y＋2＝0 C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 二、多选题（共3小题） 9.若直线m被两条平行的直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是(　　) A.15° B.30° C.45° D.75° 10.两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为 (　　) A.1 B.3 C.5 D.7 11.（2025-2026·福建厦门高二上期中）已知直线，其中，则（） A.直线过定点 B.当时，直线与直线垂直 C.当时，直线在两坐标轴上的截距相等 D.若与平行，则这两条平行直线之间的距离为 三、填空题（共3小题） 12.若直线l1：y＝kx＋1与直线l2关于点(2，3)对称，则直线l2恒过定点                  ，l1与l2的距离的最大值是                  . 13.两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P，Q旋转并互相保持平行，则d的范围是                  . 14.若某直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为                   ． 四、解答题（共2小题） 15.已知直线过点. (1)若直线在轴上的截距为3，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，且两条平行线间的距离为，求. 16.两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $