2.3.3 点到直线的距离公式+ 2.3.4 两条平行直线间的距离同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础公式应用到综合能力提升，通过梯度化题型设计巩固点到直线及平行直线间距离知识点，培养运算能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础练习|点到直线的距离、两条平行直线间的距离|直接应用公式，结合定点问题（如第2题过定点直线距离）、对称问题（如第7题角平分线），夯实概念理解与运算能力| |能力提升练|距离公式的综合应用|涉及最值（如第1题两平行线距离平方最小值）、轨迹（如第6题中点轨迹）及新定义（如第7题“共轭线对”）问题，发展逻辑推理与模型观念|

2.3.3　点到直线的距离公式　2.3.4　两条平行直线间的距离 基础练习 题型一　点到直线的距离 1.(2026天津弘毅中学月考)已知A(-3,-4),B(3,8)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a的值为(　　) A.1　　B.0　　C.-1　　D.-2 2.(2026江西赣州第三中学月考)点P(0,2)到直线l:mx+y-2m=0的距离的最大值为(　　) A.　　B.1　　C.　　D.2 3.(教材习题改编)(2026天津滨海新区塘沽紫云中学月考)已知直线l经过点P(3,2),且点A(2,3),B(4,-5)到它的距离相等,则l的方程为(　　) A.4x+y+14=0 B.4x+y-14=0 C.x=3或4x+y+14=0 D.x=3或4x+y-14=0 4.(2026四川成都嘉祥外国语高级中学月考)点A(2,-4)到直线l:(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0(m为任意实数)的距离的取值范围是(　　) A.[0,5]　　B.[0,2]　　C.[0,4]　　D.[0,] 5.(2026江苏无锡锡东高级中学期中)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:5x-12y+2=0与l2:5x-12y+8=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为　　　　.  6.(2026北京理工大学附属中学期中)已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则的取值范围是　　　　,(x+2)2+y2的取值范围是　　　　.  7.(2026安徽阜阳太和中学月考)已知△ABC的一个顶点为A(1,2),AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x. (1)求直线BC的方程和点C的坐标; (2)求△ABC的面积. 题型二　两条平行直线间的距离 8.(2026黑龙江龙东联盟月考)两条平行直线l1:3x-4y+2=0与l2:6x-8y+9=0间的距离为(　　) A.1　　B.　　C.　　D. 9.(2026陕西榆林多校联考)已知平行直线l1:2x+y+n=0与l2:4x+my-4=0之间的距离为,则m+n=(　　) A.-3或3　　B.-2或4　　C.-1或5　　D.-2或2 10.(2026天津南开中学期中)已知两平行直线l1:x-2y+3=0与l2:(m+1)x-(m2+2)y+3m-1=0,则l1与l2之间的距离为(　　) A.　　B.或 C.或　　D. 11.(2026北京东直门中学期中)若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C=　　　　.  12.(2026江苏南通海安实验中学月考)两平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离的取值范围是　　　　.  能力提升练 题型　距离公式的应用 1.(2026江苏宿迁南湖高级中学调研测试)已知实数a,b,c,d满足==,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选题)(2026广东东莞高级中学月考)已知点M(-1,2),N(5,2),且点P在直线l:x+y+1=0上,则下列说法正确的是(　　) A.|PM|的最小值为　　 B.|PM|+|PN|的最小值为2 C.存在点P,使得PM⊥PN　　 D.||PM|-|PN||的最大值为6 3.(2026河南焦作博爱联考)已知实数a>0,b<0,则的取值范围是　　　　.  4.(2026吉林长春外国语学校月考)已知点A(-2,1)和点B关于直线l:x+y-1=0对称,斜率为k的直线m过点A且与直线l相交于点C,若△ABC的面积为2,则k=　　　　.  5.(2026广东深圳大学附属中学段考)在平面直角坐标系Oxy中,已知定点M(1,0),N(0,1),直线l:y=kx(k<0),两动点A,B均在l上,其中A在第二象限内,B在第四象限内,直线AN与直线BM交于点C,且kBM>kAN>0.若k=-1,则S△ABC的最小值为　　　　;若S△ABC=3,则的最大值是　　　　.  6.(2026黑龙江牡丹江一中期中)已知直线l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0,点A和点B分别是直线l1,l2上一动点. (1)若直线AB经过原点O,且|AB|=3,求直线AB的方程; (2)设线段AB的中点为P,求点P到原点O的距离的最小值. 7.(2026浙江嘉兴海宁静安高级中学月考)已知点P和非零实数λ,若两条不同的直线l1,l2均过点P,且斜率之积为λ,则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”,如直线l1:y=2x和l2:y=-x是一组“O-1共轭线对”,其中O是坐标原点. (1)已知l1,l2是一组“O-3共轭线对”,且直线l1:y=2x,求直线l2的方程; (2)已知点A(0,1),点B(-1,0)和点C(1,0)分别是三条倾斜角均为锐角的直线PQ,QR,RP上的点(A,B,C与P,Q,R均不重合),且直线RP,PQ是“P1共轭线对”,直线PQ,QR是“Q4共轭线对”,直线RP,QR是“R9共轭线对”,求点P的坐标; (3)已知点H(-1,-),直线l3,l4是“H-2共轭线对”,当l3的斜率变化时,求原点O到直线l3,l4的距离之积的取值范围. 答案 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 基础练习 1.D　因为点A(-3,-4),B(3,8)到直线l:ax+y+1=0的距离相等, 所以由距离公式可得=,即|-3a-3|=|3a+9|, 当-3a-3=3a+9时,解得a=-2; 当-3a-3=-(3a+9)时,即-3=-9,显然不成立,故a=-2. 2.D　mx+y-2m=0可化为y=m(2-x),则直线l过定点(2,0),记A(2,0), 易知当AP⊥l时,点P到直线l的距离最大,为|PA|==2. 3.D　若直线l的斜率不存在,则l:x=3, 此时点A到l的距离为|2-3|=1,点B到l的距离为|4-3|=1,符合要求; 若直线l的斜率存在,设l:y=k(x-3)+2,即kx-y-3k+2=0, 则有=,化简得|k+1|=|k+7|, 所以k=-4,即l:4x+y-14=0. 故l的方程为x=3或4x+y-14=0. 4.B　直线方程(1-3m)x+(1-m)y+4+4m=0可变形为(x+y+4)+m(-3x-y+4)=0, 令解得由此可得直线l恒过点(4,-8),记Q(4,-8), 易知A到直线l的距离的最大值为|AQ|,此时直线l垂直于AQ; A到直线l的距离的最小值为0,此时直线l经过点A. 又|AQ|==2,所以点A到直线l的距离的取值范围是[0,2]. 5.答案　 解析　设AB的中点M的坐标为(x,y),则有 又A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:5x-12y+2=0与l2:5x-12y+8=0上, ∴5x1-12y1+2=0,5x2-12y2+8=0, 两式相加得5(x1+x2)-12(y1+y2)+10=0,即10x-24y+10=0,即5x-12y+5=0, 即AB的中点M在直线5x-12y+5=0上移动, ∴M到原点的距离的最小值即为原点到直线5x-12y+5=0的距离,即为=. 6.答案　(-∞,-3]∪[2,+∞);[16,25] 解析　结合所求式子的几何意义,考虑用数形结合法求解. 由题意可知直线AB的方程为+=1,即4x+3y-12=0, 易知表示动点(x,y)与定点(2,-2)连线的斜率,记P(x,y),D(2,-2),k=, 又kAD==2,kBD==-3,所以结合图形可得k≥2或k≤-3, 所以的取值范围是(-∞,-3]∪[2,+∞). 易知(x+2)2+y2表示动点P(x,y)与定点(-2,0)之间距离的平方,记C(-2,0), 可知点C(-2,0)到直线4x+3y-12=0的距离为=4, 又|AC|=5,|BC|==2,所以4≤|PC|≤5,即16≤|PC|2≤25, 所以(x+2)2+y2的取值范围是[16,25]. 7.解析　(1)由题知点B在直线y=x上,可设点B的坐标是(m,m), (本题的已知条件中有两个与B点有关:①点B在直线BH上,②AB边的中点在直线CM上,故设出B点坐标是解题的要点,然后通过列方程求解) 则边AB的中点为,该点在直线CM上, 又直线CM的方程为x+2y-1=0, 所以+2×-1=0,解得m=-1,即点B(-1,-1). 设A(1,2)关于直线y=x的对称点为A'(x0,y0), 则有解得 即A'(2,1), (点关于特殊直线对称的常用结论:求点关于直线y=x的对称点时,对称点的横、纵坐标分别为原来点的纵、横坐标.点A(1,2)关于直线y=x的对称点为A'(2,1),可以直接应用) 显然点A'(2,1)在直线BC上,则直线BC的斜率k==, 因此直线BC的方程为y+1=(x+1),即2x-3y-1=0, 由解得x=,y=,则点C. (2)由(1)得|BC|==, 点A到直线BC的距离d==,所以△ABC的面积S=|BC|·d=. 8.D　直线l1的方程可化为6x-8y+4=0,则l1与l2:6x-8y+9=0间的距离d==. 9.A　因为l1与l2平行,所以2×m=1×4,解得m=2,则l2:2x+y-2=0, 所以=,解得n=1或n=-5,所以m+n=3或m+n=-3. 10.B　因为l1∥l2,所以1×[-(m2+2)]-(-2)×(m+1)=0,解得m=0或m=2, 当m=0时,l2:x-2y-1=0,满足两直线平行, 此时两直线间的距离为=; 当m=2时,l2:3x-6y+5=0,l1的方程可化为3x-6y+9=0,满足两直线平行, 此时两直线间的距离为=, 所以l1与l2之间的距离为或. 11.答案　11或-15 解析　直线Ax-2y-1=0即2Ax-4y-2=0, ∵直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0平行,∴2A=6,解得A=3, ∴直线6x-4y-2=0与6x-4y+C=0的距离为, ∴=,解得C=11或C=-15. 12.答案　(0,5] 解析　设l1,l2之间的距离为d, 易知d>0,当且仅当l1,l2与直线PQ垂直时,d最大,且dmax=|PQ|==5, 所以l1,l2之间的距离的取值范围是(0,5]. 能力提升练 1.B　由实数a,b,c,d满足==,可得3a-4b=0,3c-4d+9=0, 故点(a,b)在直线3x-4y=0上,点(c,d)在直线3x-4y+9=0上, 又(a-c)2+(b-d)2表示点(a,b)和点(c,d)之间的距离的平方, 故(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行线3x-4y=0和3x-4y+9=0间距离的平方, 即为=. 2.ABD　对于A,点M(-1,2)到直线l:x+y+1=0的距离为=, 故|PM|的最小值为,故A正确; 对于B,设点M(-1,2)关于直线l:x+y+1=0的对称点为M'(x0,y0), 则有解得即M'(-3,0), 则|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|NM'|==2, 当且仅当M',P,N三点共线时取等号,故B正确; 对于C,假设存在点P(x,-x-1),使得PM⊥PN, 若直线PM(或PN)的斜率不存在,则易得kPN(或kPM)=0,故不成立,则kPM,kPN均存在,且kPM·kPN=-1,即·=-1, 化简得x2+x+2=+=0,显然此方程无实数解, 故不存在点P,使得PM⊥PN,故C错误; 对于D,||PM|-|PN||≤|MN|=5-(-1)=6,当且仅当P,M,N三点共线时取等号,故D正确. 3.答案　(1,2] 解析　根据题意,不妨设直线l:ax+by=0,点A(1,-),则直线l过原点O(0,0), 由a>0,b<0,知点A到直线l的距离d==,即所求式的取值范围即为d的取值范围. 易知当OA⊥l时,dmax==2,又点A到y轴的距离为1,所以1<d≤2,即的取值范围为(1,2]. 4.答案　0 解析　设点B(x0,y0), 则解得x0=0,y0=3, 则B(0,3), 由题可得直线m:y-1=k(x+2)(k≠-1),将y-1=k(x+2)与x+y-1=0联立,解得x=-,y=,则C, 易得直线AB的方程为y=x+3,且|AB|==2, 点C到直线AB的距离d==, 所以×2×=2⇒|1-k|=|k+1|⇒k=0. 5.答案　2; 解析　设点A(a,ka),B(b,kb),其中a<0,b>0,则直线AN:y=x+1,BM:y=(x-1), 则则 由 解得 即C,, 又|AB|=·(b-a),点C到直线AB的距离d=, 所以S△ABC=. 若k=-1,则S△ABC=·, 令t=b-a-1,则b-a=t+1, 则S△ABC=·=≥2,当且仅当t=1,即b=a+2时取等号,故S△ABC的最小值为2. 若S△ABC==3, 则k=, 则===×≤,当且仅当b=-a时取等号,故的最大值为. 6.解析　(1)由题得直线l1,l2间的距离为=3=|AB|,所以直线AB和直线l1,l2均垂直, 因为l1的斜率为-,所以kAB=, 又直线AB经过原点O,所以其方程为y=x. (2)因为l1,l2互相平行,所以线段AB的中点P的轨迹方程为3x+4y+=0,即3x+4y+=0, 所以点P到原点O的距离的最小值即为点O到直线3x+4y+=0的距离,即为=, 所以点P到原点O的距离的最小值为. 7.解析　(1)由已知得直线l2过原点,且·=-3, 又=2,所以=-, 所以直线l2的方程为y=-x. (2)设直线RP,PQ,QR的斜率分别为k1,k2,k3, 则解得或 又三条直线的倾斜角均为锐角,所以k1=,k2=,k3=6, 点C(1,0),A(0,1)分别在直线RP,PQ上,故直线RP的方程为y=(x-1),直线PQ的方程为y=x+1, 联立可解得x=y=3, 则P(3,3). (3)由题可设l3:y+=k(x+1)(k≠0),l4:y+=(x+1),原点O到直线l3,l4的距离分别为d1,d2, 则d1d2=·=·=·=·=·. 由于k2++5≥9(等号成立的条件是k2=2),所以1-∈[0,1),则d1d2∈[0,). 7 学科网（北京）股份有限公司 $