2.3.4两条平行直线间的距离 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册同步练，聚焦“两条平行直线间的距离”，通过基础公式应用、综合问题解决、实际情境拓展三层设计，实现从单一知识点到数学思维与应用意识的递进培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点到直线距离公式、平行直线距离公式直接应用|如第1题直接套用公式，第2题单点距离计算，夯实运算能力| |进阶层|平行判定、垂直关系、直线过定点、交点直线系综合应用|如第3题两点距离相等分类讨论，第10题含参数平行直线方程求解，发展推理意识| |拔高层|三角函数、角平分线、实际应用、最值问题|如第14题结合耕地情境建系求解，第15题转化为平行直线距离平方，培养模型观念与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.3.4　两条平行直线间的距离 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分 1.两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 2.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于(　　) A. B.-1 C.+1 D.2- 3.(多选)已知点A(-3，-4)，B(6，3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a等于(　　) A.- B.- C. D. 4.(多选)与直线3x-4y+1=0垂直，且与点(-1，-1)距离为2的直线方程为(　　) A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0 C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0 5.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 6.点P(-2，-1)到直线l：mx+y-m-1=0(m∈R)的距离最大时，直线l的方程为(　　) A.2x-3y-2=0 B.3x+2y+8=0 C.3x+2y-5=0 D.2x-3y+1=0 7.(多选)已知点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则点P的坐标为(　　) A.(1，2) B.(3，-4) C.(2，-1) D.(4，-3) 8.与三条直线l1：x-y+2=0，l2：x-y-3=0，l3：x+y-5=0可围成正方形的直线方程为　　　　　　　　　　　　　. 9.若某直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为　　　　. 10.(12分)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程. 11.(多选)经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点距离为1的直线的方程为(　　) A.x-1=0 B.x+1=0 C.4x-3y+5=0 D.4x-3y-5=0 12.点P(cos θ，sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为(　　) A. B. C. D. 13.已知△ABC的三边所在的直线方程分别是lAB：4x-3y+10=0，lBC：y=2，lAC：3x-4y-5=0，则∠BAC的平分线所在的直线方程为　　　　　　　. 14.(14分)公路AM，AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tan α=-2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3 km， km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，1 km为1个单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求出P点的坐标；(7分) (2)若三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为15 km2，求公路BC所在直线的方程.(7分) 15.已知实数a，b，c，d满足3a-4b+3=0，3c-4d-7=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 16.设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l：ax+by+c=0，δ=，若δ>1，则直线MN与直线l的关系是　　　　　.(填“相交”或“平行”) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 同步练2.3.4　两条平行直线间的距离参考答案 [分值：100分] 单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共74分 1.两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0之间的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　10x+24y+5=0可化为5x+12y+=0. 由两条平行直线间的距离公式可得 d==. 2.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于(　　) A. B.-1 C.+1 D.2- 答案　B 解析　由点到直线的距离公式， 得1=， 即|a+1|=. 因为a>0，所以a=-1. 3.(多选)已知点A(-3，-4)，B(6，3)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　AB 解析　方法一　由点到直线的距离公式可得 =， 化简得|3a+3|=|6a+4|， 解得a=-或a=-. 方法二　当AB的中点在直线l上时， 将AB的中点代入得 a-+1=0， ∴a=-. 当直线AB与l平行时， kAB==， ∴-a=， ∴a=-.经检验，当a=-时，直线AB与l平行， 综上，a=-或a=-. 4.(多选)与直线3x-4y+1=0垂直，且与点(-1，-1)距离为2的直线方程为(　　) A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0 C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0 答案　AB 解析　设所求直线方程为4x+3y+C=0. 则=2， 即|C-7|=10，解得C=-3或C=17. 故所求直线方程为4x+3y-3=0或 4x+3y+17=0. 5.若直线l1：x+ay+6=0与l2：(a-2)x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意知，直线l1：x+ay+6=0与 l2：(a-2)x+3y+2a=0平行， 则3=a(a-2)，即a2-2a-3=0， 解得a=3或a=-1， 当a=3时，直线l1：x+3y+6=0与l2：x+3y+6=0重合，不符合题意； 当a=-1时，直线l1：x-y+6=0与l2：x-y+=0平行， 两条平行直线之间的距离为=. 6.点P(-2，-1)到直线l：mx+y-m-1=0(m∈R)的距离最大时，直线l的方程为(　　) A.2x-3y-2=0 B.3x+2y+8=0 C.3x+2y-5=0 D.2x-3y+1=0 答案　C 解析　由直线l：mx+y-m-1=0(m∈R)的方程整理可得m(x-1)+y-1=0， 可得直线l恒过定点Q(1，1)， 所以kPQ==， 当PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大， 可得直线l的斜率为-m=-，即m=， 所以直线l的方程为3x+2y-5=0. 7.(多选)已知点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为，则点P的坐标为(　　) A.(1，2) B.(3，-4) C.(2，-1) D.(4，-3) 答案　AC 解析　设点P的坐标为(a，5-3a)， 由题意得=， 解得a=1或a=2， 所以点P的坐标为(1，2)或(2，-1). 8.与三条直线l1：x-y+2=0，l2：x-y-3=0，l3：x+y-5=0可围成正方形的直线方程为　　　　　　　　　　　　　. 答案　x+y=0或x+y-10=0 解析　易知l1∥l2，且它们之间的距离 d==. 设所求直线为l4，则l4∥l3， 所以可设l4：x+y+c=0(c≠-5)， 则=，解得c=0或c=-10， 所以所求直线方程为x+y=0或x+y-10=0. 9.若某直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为　　　　. 答案　15°或75° 解析　由两条平行直线间的距离公式， 可得直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0的距离为d==， 又直线被两平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2， 即该直线与直线l1所成的角为30°， 又直线l1的倾斜角为45°， 则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 10.(12分)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程. 解　①当直线的斜率存在时，设两直线的斜率为k， 则l1的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0， l2的方程为y=k(x-5)，即kx-y-5k=0， 则直线l1与l2间的距离d==5，解得k=， 故l1的方程为12x-5y+5=0，l2的方程为12x-5y-60=0. ②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x=0，l2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件. 综上，所求直线的方程为l1：12x-5y+5=0，l2：12x-5y-60=0或l1：x=0，l2：x=5. 11.(多选)经过两直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点距离为1的直线的方程为(　　) A.x-1=0 B.x+1=0 C.4x-3y+5=0 D.4x-3y-5=0 答案　AC 解析　方法一　直线3x-y=0和原点的距离不为1，则可设所求的直线方程为 x+3y-10+λ(3x-y)=0，λ∈R， 即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0， 因为原点到该直线的距离 d==1， 所以λ=±3，即所求的直线方程为x-1=0或 4x-3y+5=0. 方法二　由解得即两直线的交点为(1，3)，设过点(1，3)且与原点距离为1的直线为l，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l：y-3=k(x-1)，即kx-y+3-k=0，原点到直线l的距离为=1，解得k=，所以l：4x-3y+5=0，综上，所求的直线方程为x-1=0或4x-3y+5=0. 12.点P(cos θ，sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　点P到直线的距离为d ==，其中sin φ=，cos φ=，由三角函数性质易知，5sin(θ+φ)-12∈[-17，-7]， 故d的取值范围为. 13.已知△ABC的三边所在的直线方程分别是lAB：4x-3y+10=0，lBC：y=2，lAC：3x-4y-5=0，则∠BAC的平分线所在的直线方程为　　　　　　　. 答案　7x-7y+5=0 解析　设点P(x，y)为∠BAC的平分线上任意一点，则点P到直线AB，AC的距离相等. 所以=， 所以4x-3y+10=3x-4y-5 或4x-3y+10=-(3x-4y-5)， 即点P所在直线方程为x+y+15=0或7x-7y+5=0. 又因为kAB=，kAC=，即∠BAC的平分线所在的直线的斜率在和之间， 所以∠BAC的平分线所在的直线方程为7x-7y+5=0. 14.(14分)公路AM，AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tan α=-2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3 km， km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，1 km为1个单位长度，建立平面直角坐标系，如图所示. (1)求出P点的坐标；(7分) (2)若三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为15 km2，求公路BC所在直线的方程.(7分) 解　(1)因为tan α=-2，故直线AN的方程是y=-2x. 设点P(x0，y0)， 因为点P到AM的距离为3，故y0=3. 由点P到直线AN的距离为， 得=，解得x0=1或x0=-4(舍去)， 所以点P(1，3). (2)显然直线BC的斜率存在.设直线BC的方程为y-3=k(x-1)，k∈(-2，0). 令y=0得xB=1->0. 由解得yC=>0. 所以S△ABC=·xB·yC==-1+， 因为S△ABC=15， 所以-1+=15， 解得k=-， 故直线BC的方程为3x+4y-15=0. 15.已知实数a，b，c，d满足3a-4b+3=0，3c-4d-7=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　由题意得，点A(a，b)在直线3x-4y+3=0上，点B(c，d)在直线3x-4y-7=0上，所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为两平行直线间距离的平方，即=4. 16.设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l：ax+by+c=0，δ=，若δ>1，则直线MN与直线l的关系是　　　　　.(填“相交”或“平行”) 答案　相交 解析　当δ>1时，得到>1， 所以|ax1+by1+c|>|ax2+by2+c|， 又点M与点N到直线l的距离分别为 ，， 从而可得点M与点N到直线l的距离不相等， 所以直线MN与直线l相交. . 学科网（北京）股份有限公司 $