2.1等式性质与不等式性质同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

**基本信息** 高中数学2.1等式性质与不等式性质同步练，分层梯度清晰，从单一知识点到综合应用，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式基本性质、作差法|单选1-4直接考查性质应用，填空9-10强化概念辨析，培养抽象能力| |能力层|性质综合应用、条件判断|单选5-6结合研学情境，多选7-8整合可加可乘性，发展推理意识| |综合层|范围计算与证明|解答13-16含糖水不等式建模，融合实际应用与逻辑证明，体现模型意识与理性精神|

2.1 等式性质与不等式性质 同步练习 知识点一、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点二、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 一、单选题 1．若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 5．为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 6．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 8．若 ，且 ，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若，则的范围为___________． 10．若，则______．（填“”或“”） 11．已知是正实数，那么“”是“”的______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 12．，，，则，，，由大到小的顺序是________． 四、解答题 13．已知．试求 (1)的取值范围． (2)的取值范围． 14．已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 15．（1）已知集合，．求，； （2）已知，，求与的范围． 16．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2.1 等式性质与不等式性质 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B B B ABD AB 1．C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分别判断能否推出、能否推出即可得到结论. 【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 3．D 【详解】当时，，故A不成立； 当时，满足，此时， 故B不成立； 当时，满足， ，故，故C不成立； ，， ， ，故成立． 4．B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 5．B 【分析】设出高一、高二选择甲、乙基地的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， 高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 6．B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 7．ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 8．AB 【分析】通过对结合进行放缩，推导出与，再据此分析其余选项的不等关系是否成立. 【详解】选项A：因为，所以，已知，代入得，选项A正确； 选项B：同理，代入，得，选项B正确； 选项C：，因，故符号由决定： 若，则， 若，则， 若，则，因此不一定成立，选项C错误； 选项D：因，故，得，又，两边乘负数不等号变向，得，选项D错误. 故选：AB 9． 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】由于，所以， 而，所以, 所以的取值范围是. 故答案为： 10． 【分析】根据不等式的基本性质判断即可. 【详解】由，则. 故答案为：. 11．充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 12． 【分析】根据题意，利用作差法判断即可. 【详解】已知，，，则，，，， 由于，所以， 由于，所以， 所以， 综上，. 13．(1) (2) 【分析】（1）利用不等式的性质计算即可； （2）利用不等式性质计算即可. 【详解】（1）由可知， 所以； （2）由可知， 所以. 14．证明见解析 【分析】根据不等式的性质求证即可. 【详解】由于实数a、b、c满足，且， 所以，即， ，即， 综上，且 15．（1），； （2），. 【分析】（1）根据集合的交集、并集和补集的概念及运算，分别进行计算即可； （2）由已知条件，结合不等式性质，即可分别求得代数式的取值范围. 【详解】（1）由集合，，所以或， 则得，； （2）根据题意，，， 所以，，可得， 因，，可得． 16．(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 答案第4页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $