2.1 等式性质与不等式性质1 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦等式与不等式性质，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖从单一性质应用到综合推理的巩固路径，培养抽象能力与运算推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一不等式性质直接应用|如选择1-5判断大小关系，强化符号意识| |中档|性质综合应用与符号运算|如选择6-8结合负数运算，提升推理能力| |提升|性质证明与范围综合求解|如解答13-15需逻辑论证与模型构建，发展数学思维|

等式性质与不等式性质1 1、 选择题 1.【2025-2026·吉林四平月考】已知a＋b>0，且b<0，则(　　) A．>－1 B．ab>－b2 C．>－ D．a2>b2 2．【2025-2026·四川成都高一期中】设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 3.【2026·河北石家庄高一期末】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，c>0，则< B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 4．【2026·河北石家庄高一期末】已知a－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．－1<－a<a<1 B．－a<－1<1<a C．－a<－1<a<1 D．－1<－a<1<a 5．【2025-2026·四川成都高一期中】使“a>b”成立的充要条件是(　　) A．a>b＋1 B．>1 C．a2>b2 D．a3>b3 6．【2025-2026·四川成都高一期中】设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax 7．【2025-2026·吉林四平月考】已知，记，则M与N的大小关系是( ) A． B． C． D．不能确定 8．(多选)【2026·河北石家庄高一期末】如果a<0，b>0，那么下列不等式不正确的是(　　) A. B. C. D. 9.(多选)【2025-2026·吉林四平月考】设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.6]＝2，[－3.2]＝－4，则当x，y∈R时，下列说法正确的是(　　) A．0≤x－[x]<1 B．[x]－[y]≤[x－y] C．[3x]－3[x]≤1 D．[x＋y]≤[x]＋[y]＋1 2、 填空题 10．【2025-2026·云南昆明高一月考】若8<x<10,2<y<4，则的取值范围是________． 11．【2026·河北衡水高一期末】已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________． 12．【2026·河北衡水高一期末】已知0<x<4，0<y<6，则2y－3x的取值范围是 ． 3、 解答题 13．【2025-2026·吉林四平月考】(1)a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 14.【2025-2026·云南昆明高一月考】已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围． (1)x＋y；(2)x－3y；(3). 15．已知2<a<3，－2<b<3. (1)求3a＋b的取值范围； (2)求a－b的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 等式性质与不等式性质1 1、 选择题 1.【2025-2026·吉林四平月考】已知a＋b>0，且b<0，则(　　) A．>－1 B．ab>－b2 C．>－ D．a2>b2 【答案】D 【解析】由a＋b>0，且b<0知a>－b>0，则<－1，故A错误；由a>－b>0，得ab<－b2，故B错误；由－>0，得a·>(－b)·，即<－，故C错误；由a>－b>0，得a2>(－b)2，即a2>b2，故D正确． 2．【2025-2026·四川成都高一期中】设a，b∈R，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　) A．a－b>0 B．a3＋b3>0 C．a2－b2<0 D．a＋b<0 【答案】D 【解析】∵a＋|b|<0，∴|b|<－a，∴b<－a，∴a＋b<0.故选D. 3.【2026·河北石家庄高一期末】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，c>0，则< B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 【答案】D 【解析】若a＝2，b＝1，c＝，则＝8，＝4，>，故A为假命题；由a>b>0，得ab>0⇒>⇒>，故B为假命题； a<b<0⇒－a>－b>0⇒－>－>0⇒>，故C为假命题； ⇒ab<0， ∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题． 4．【2026·河北石家庄高一期末】已知a－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．－1<－a<a<1 B．－a<－1<1<a C．－a<－1<a<1 D．－1<－a<1<a 【答案】B 【解析】因为a－1>0，所以a>1，由不等式的性质可得－a<－1，故－a<－1<1<a，B正确，A、C、D错误． 5．【2025-2026·四川成都高一期中】使“a>b”成立的充要条件是(　　) A．a>b＋1 B．>1 C．a2>b2 D．a3>b3 【答案】D 【解析】对A，若a>b＋1，则a>b成立，即充分性成立，反之，若a>b，则a>b＋1不一定成立，所以a>b＋1是a>b成立的一个充分不必要条件，不满足题意；对B，当b<0时，由>1得a<b，则a>b不成立，所以>1不是a>b的充分条件，不满足题意；对C，若a2>b2，如a＝－2，b＝1，则a<b，故a>b不一定成立，所以a2>b2不是a>b的充分条件，不满足题意；对D，由a3>b3可得a>b，由a>b可得a3>b3，所以a3>b3是a>b成立的充要条件，满足题意． 6．【2025-2026·四川成都高一期中】设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2 C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax 【答案】B 【解析】∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2. 7．【2025-2026·吉林四平月考】已知，记，则M与N的大小关系是( ) A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】由题意可得M-N====， ∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0）， ∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N 故选B. 8．(多选)【2026·河北石家庄高一期末】如果a<0，b>0，那么下列不等式不正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】对于A，由a<0，b>0，可得<0，>0，所以<，所以A正确；对于B，例如：若a＝－4，b＝1，此时>，所以B不正确；对于C，例如：若a＝－4，b＝1，此时a2>b2，所以C不正确；对于D，例如：若a＝－1，b＝2，此时|a|<|b|，所以D不正确． 9.(多选)【2025-2026·吉林四平月考】设[x]表示不超过x的最大整数，如[2.6]＝2，[－3.2]＝－4，则当x，y∈R时，下列说法正确的是(　　) A．0≤x－[x]<1 B．[x]－[y]≤[x－y] C．[3x]－3[x]≤1 D．[x＋y]≤[x]＋[y]＋1 【答案】AD 【解析】对于A，因为[x]表示不超过x的最大整数，所以0≤x－[x]<1，故A正确；对于B，取x＝－2.6，y＝1.5，则[x]＝－3，[y]＝1，得[x]－[y]＝－3－1＝－4，[x－y]＝[－2.6－1.5]＝－5，故B错误；对于C，取x＝0.9，则[3x]＝[2.7]＝2，3[x]＝3[0.9]＝0，得[3x]－3[x]＝2，故C错误；对于D，设x＝[x]＋n(0≤n<1)，y＝[y]＋m(0≤m<1)，则[x＋y]＝[[x]＋n＋[y]＋m]＝[x]＋[y]＋[m＋n]，而0≤m＋n<2.当0≤m＋n<1时，[m＋n]＝0，此时[x＋y]＝[x]＋[y]<[x]＋[y]＋1，当1≤m＋n<2时，[m＋n]＝1，此时[x＋y]＝[x]＋[y]＋1，综上，[x＋y]≤[x]＋[y]＋1，故D正确． 2、 填空题 10．【2025-2026·云南昆明高一月考】若8<x<10,2<y<4，则的取值范围是________． 【答案】2<<5　 【解析】∵2<y<4，∴<<. ∵8<x<10，∴2<<5. 11．【2026·河北衡水高一期末】已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________． 【答案】3≤z≤8　 【解析】∵z＝－(x＋y)＋(x－y)， －2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， ∴3≤z≤8. 12．【2026·河北衡水高一期末】已知0<x<4，0<y<6，则2y－3x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为0<x<4，0<y<6，所以－12<－3x<0，0<2y<12，所以－12<2y－3x<12. 3、 解答题 13．【2025-2026·吉林四平月考】(1)a<b<0，求证：<； (2)已知a>b，<，求证：ab>0. 【证明】 (1)由于－＝ ＝， ∵a<b<0， ∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ∴<0，故<. (2)∵<， ∴－<0， 即<0， 而a>b， ∴b－a<0， ∴ab>0. 14.【2025-2026·云南昆明高一月考】已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围． (1)x＋y；(2)x－3y；(3). 【解析】(1)因为30＜x＜42，16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66. (2)因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6. (3)因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以－<<－，所以0<<－<，所以<－<，故－7<<－. 15．已知2<a<3，－2<b<3. (1)求3a＋b的取值范围； (2)求a－b的取值范围． 【解析】(1)∵2<a<3，－2<b<3，∴4<3a＋b<12. (2)∵2<a<3，－2<b<3，∴－3<－b<2，∴－1<a－b<5. 学科网（北京）股份有限公司 $