第1章特殊平行四边形综合测试-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第一章综合测试 1 1.A2.C3.A4.D5.C6.B7.B8.D9.A 1O.D[解析]~四边形ABCD是正方形，∴.∠ABD=∠CBD= 45°，AB=AD,·△ABD是等腰直角三角形.易知BD= √2AB..·四边形MNPQ和四边形AEFG均为正方形 ∴.∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴.△BEF 和△BMN郭是等腰直角三角形，BE=FE=E=子AB, BN=MN=QM,同理可得D0=0,NN=专BD=号B, S三方形WNP?=MN 8,故选D 2 S方形AEFG AE 11.AB=AC(答案不唯一) 12.413.(25,-2)14.315.①②③ 16.（1)解：如答图，四边形ADCE即为所求 A 16题答图 (2)证明：.在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的 中线，CD=74B=AD, D是AB的中点，ME=MB,.DM是△ABE的中位线， .DM-AE,DM/AE. :M是GD的中点，即DM=2CD, ∴CD=AE,.四边形ADCE是平行四边形 .CD=AD,∴.四边形ADCE是菱形. 17.证明：CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC, ∴.DE=DF,∠DEC=∠DFC=90°. .∠ACB=90°，.四边形CEDF是矩形 又，DE=DF,∴.矩形CEDF是正方形 18.(1)证明：连接AC,BD,如答图①. 在△ABD中，AP=PD,AQ=QB,PQ=BD, 同理MN=2BD,PN=2AC,QM=2AC 又·在矩形ABCD中，AC=BD, .PQ=QM=MN=PN,.四边形MNPQ是菱形 D M 18题答图① 18题答图② （2)解：连接QN,PM,如答图②. .四边形ABCD是矩形，∴.∠A=90° :四边形MNPQ是菱形，.PQ=PN=4, .AP=√PQ2-AQ=√4-22=23， 菱形的对角线为QN=2AP=4√5，PM=2AQ=4, 菱形MNPQ的面积为}QN·PM=2×4,5x4=85. 参考答 9.（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， .∴.DC∥AB,DC=AB. .FC=AE,∴.DC-FC=AB-AE,即DF=BE, .四边形DEBF是平行四边形 又DE⊥AB,.∠DEB=90°，.平行四边形DEBF是矩形 (2)解：AF平分∠DAB,∴.∠DAF=∠BAF DC∥AB,.∠DFA=∠BAF ∴.∠DFA=∠DAF,.AD=DF=10. 在Rt△AED中，由勾股定理，得 DE=√AD2-AE=√102-6=8. 由(1)得四边形DEBF是矩形，BF=DE=8. ,(1)证明：四边形ABCD是正方形 ∴.∠ABE=∠DAF=90°，AB=AD .DF⊥AE,∴.∠AGD=90°，∴.∠DAG+∠ADF=90° .∠DAG+∠BAE=90°，∴.∠BAE=∠ADF, ∴.△ABE≌△DAF,∴.BE=AF (2)解：FG+EG=√2BG 理由：过点B作BG的垂线交AE的延长线于点H,如答图. E是BC的中点，∴.BE=EC A AB CB,AF BE,.'.AF BF BE CE. .BH⊥BG,∴.∠GBH=90. ∠ABC=∠CBH=90°， ∴.∠FBG=∠EBH. .DF⊥AE,∴.∠FGE=∠EBF=90°， 20题答图 ∴.∠BFG+∠BEG=180°. .∠BEG+∠BEH=180°，∴.∠BFG=∠BEH, ∴.△BFG≌△BEH,∴.BG=BH,∴.GH=W2BG .·△BFG≌△BEH,.FG=EH, .∴.FG+EG=EH+EG=GH,∴.FG+EG=√2BG. (1)证明：，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕 PQ,∴点B与点E关于直线PQ对称， .PB=PE,BF=EF,∠BPF=∠EPF ·EF∥AB,∴.∠BPF=∠EFP,.∠EPF=∠EFP .EP=EF,.BP=BF=EF=EP,.四边形BFEP为菱形 (2)解：①.·四边形ABCD是矩形， ∴.BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,∠A=∠D=90°. .点B与点E关于直线PQ对称，∴.CE=BC=5cm. 在Rt△CDE中，DE=√CE-CD2=4cm, ..AE=AD-DE=5-4=1(cm). 在Rt△APE中，AE=1cm,AP=(3-PB)cm=(3-PE)cm ·PE2=1+(3-PE)2,解得PE= 菱形BFBP的边长为号cm ②当点Q与点C重合时，如答图①. 此时点E离点A最近，由①知，此时AE=1cm; A(P) D C(Q) B Q(F) 21题答图① 21题答图② 当点P与点A重合时，如答图②. 此时点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE AB=3 cm. :3-1=2(cm),.点E在边AD上移动的最大距离为2cm. 案及解析 22.(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠A=60°，DC=4t, 则3是方程x2-12x+k=0的一个根. .∠C=30°，∴.DF=2t.又AE=2t,AE=DF. 把x=3代入，得9-36+k=0,解得k=27 (2)解：能理由如下： 解方程x2-12x+27=0,得x1=3,x2=9. .AB⊥BC,DF⊥BC,.AE∥DF 因为长为3,3,9的线段不能构成三角形，所以应舍去； 又AE=DF,.四边形AEFD为平行四边形. ②若3为等腰三角形的底边长，则方程x2-12x+k=0有两 当平行四边形AEFD为菱形时，AE=AD=AC-DC. 个相等的实数根，所以4=144-4k=0,解得k=36, .60-4t=2t,解得t=10, 这时方程x2-12x+36=0有两个相等的实数根，为6，且符 .当t=10时，平行四边形AEFD为菱形 合题意，故k的值为36. (3)解：①当LDEF=90时，由(2)知，四边形AEFD为平行 19.解：天头长与地头长的比是6：4 四边形，∴.EF∥AD,∴.∠ADE=∠DEF=90. .设天头长为6xcm,地头长为4xcm. LA=60LAED=30AD=7AE=. :左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的0 又.·AD=60-4t,∴.60-4t=t,解得t=12: 左、右边的宽为xcm ②当∠EDF=90时，四边形EBFD为矩形， 根据题意，得(100+6x+4x)(30+x+x)=6000, 在Rt△AED中，∠A=60°，则∠ADE=30°， 解得x1=-30(舍去)，x2=5,.边的宽为5cm, A0=2AB=460-4=4,解得4-=只 ∴.天头长为6×5=30(cm). 20.解：(1)根据题意，得△=（-4)2-4(m+1)≥0，解得m≤3. ③若∠EFD=90°，则点E与点B重合，点D与点A重合，此 (2)x2-4x+m+1=0的两根为x1,x2, 种情况不存在. ∴.x1+x2=4,x1x2=m+1, 综上所述，当：-或：=12时，△DEF为直角三角形， ∴x1-x2=√(x1+x2)2-4x1x2=v/16-4(m+1) =√12-4m. 23.解：(1)3 x1,x2,m是某个三角形的三边长， (2BE=FG √12-4m<m<4,易得2<m≤3. (3)成立.理由： 设AD与BP的交点为N,过点D作DM LAE,交AE的延长 x1,x2都为正整数，m=3. 21.解：(1)设蛋黄粽子每袋的进价是x元，红豆棕子每袋的进 线于点M,则四边形EMDG是矩形， ∴.DM=EG,DM∥EG,∴.∠ADM=∠ANE. 价是了元根累题意得01如740网解得0 1y=20 :四边形ABCD为正方形， 答：蛋黄粽子每袋的进价是50元，红豆粽子每袋的进价是 ∴.AD∥BC,AD=BC,∴.∠ANE=∠CBF,∴.∠ADM=∠CBF 20元 又.：∠DMA=∠BFC=90°， (2)设蛋黄粽子每袋的销售价为m元，则每袋的销售利润为 ∴.△ADM≌△CBF,∴.DM=BF,.EG=BF,.BE=FG. (m-50)元，每天可售出20+5(70-m)=(370-5m)袋. 第二章综合测试 根据题意，得(m-50)(370-5m)=220, 1.B2.D3.B4.D5.B6.D7.C8.A9.C 解得m1=52,m2=72(不合题意，舍去). 10.C[解析]①把x=0代入ax2+bx+c=0,得c=0,故①说 答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子 法正确；②.a-b+c=0且4a+2b+c=0,∴方程的两个根 所获得的利润为220元. 为x1=-1,x2=2,.1+x2=1,x1x2=-2,故②说法正确； 22.解：(1)(8-t)0<t≤6 ③方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0存在两个根x1=2,x2 (2)分两种情况： =5,∴.x-1=1或x-1=4,∴.方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 两个根为x1=1,x2=4,故③说法正确；④c是方程ax2+ ①当点Q在AB上时，此时0<≤9，A0=3cm bx+c=0的一个根，∴.ac2+bc+c=0,即c(ac+b+1)=0, .c=0或ac+b+1=0,故④说法错误.综上，一定正确的是 根据题意，得3um=AP,A0,即(8-)·3=6， ①②③.故选C. 解得t1=4-25,2=4+25(不合题意，舍去)； 1.312.m>-413.314.2 3 ②当点Q在BC上时，此时号<1≤6， 15.√3-1[解析]：x2+mx-n=0(m>0),∴.x(x+m)=n, 根据题意，得Sm=24P·AB,即(8-)·10=6， .长方形的长为(x+m),宽为x,.小正方形的边长为x+ m-x=m=√4=2，大正方形的边长为x+m+x=2x+m= 解得t=6.8(不合题意，舍去) 综上所述，t的值为4-25. 12=25,x=25-2=5-1 2 23.解：(1)花圃的面积为(100-2a)(60-2a)=(4a2-320a+ 6000)m2. 1 16.解：(1)x=9,x=1.(2)y=2=-2. (2)根据题意，得100×60-(4r2-320a+6000)=子×100 (3)x1=1+5,x2=1-5.(4)x1=-3,x2=-1. ×60,解得a1=5,a2=75(舍去)， 17.解：将x=0代人(a+2)x2+x+a2-a-6=0, ∴.通道的宽为5m. 得a2-a-6=0,解得a1=3,a2=-2. .a+2≠0，∴.a≠-2，.a的值为3. (3):方程子2-a+25a-150=0有两个相等的实数根， 18.解：分下面两种情况讨论： .4=a2-25a+150=0,解得a1-10,a2=15. ①若3为等腰三角形的腰长， .5≤a≤12，.a=10. 17九年级数学·北师版·上册 春123 第一章综合测试 全程导练 满分：120分 n 题 护 二 三 总分 得 分 装 第一部分选择题（共30分）》 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个 订 选项中，只有一项是符合题目要求的) .（泸州中考)矩形具有而菱形不一定具有的性质是 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 2.如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测 线 得AB的长为2.6km,则M,C两点间的距离为 A.0.8 km B.1.2km C.1.3 km D.5.2km D 双 内 2题图 3题图 4题图 3.(辽宁丹东期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,如 果∠ADB=25°，那么∠AOB的度数为 ( 不 A.50° B.54° C.569 D.58° 4.(广东深圳期中)数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要 同学们回答横线上符号可以代表的内容 如图，四边形ABCD是平行四边形 要 ①当※时，平行四边形ABCD是矩形 ②当⊙时，平行四边形ABCD是矩形 ③当▲时，平行四边形ABCD是菱形. ④当●时，平行四边形ABCD是正方形 答 下列说法不正确的是 A.※可以代表∠ABC=90 B.O可以代表AC=BD C.▲可以代表AB=BC D.●可以代表AC⊥BD 5.如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE,连接BF,则 题 ∠AFB= () A.30° B.25 C.22.5 D.不能确定 D G 5题图 6题图 6.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点E在AB边上，点F在OD 上，过点E作EG⊥BD,垂足为点G,若FE=FC,EF⊥CF,OF=3,则BE 的长为 A.3 B.32 C.33 D.23 7.（广东佛山期中)如图，把矩形ABCD和矩形GCEF拼成“L”形图案（其 中点B,C,E在一条直线上)，若两个矩形大小、形状完全相同，AB=3, ∠ACB=30°，则AF= A.√6 B.6√2 C.32 D.6 B 7题图 8题图 9题图 10题图 8.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，0为对角线的交点，过 点O折叠菱形，使点B落到点B'的位置，MN是折痕.若B'M=1,则CW 的长为 A.7 B.6 C.5 D.4 9.如图，O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点，E,F分别是OA,OC的 中点，给出下列结论：①△AED的面积等于△DOE的面积；②四边形 BFDE是菱形；③S四边形ACD=EF·BD;④LADE=∠EDO;⑤△DEF是 轴对称图形.其中正确的结论是 ( A.①②③⑤ B.②③⑤ C.①②③④⑤D.②③④⑤ 10.如图，在正方形ABCD中，点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上， 点M,F,Q在对角线BD上，且四边形MNPQ和四边形AEFG均为正 方形，则方心等于 ( ) S正方形AEFG A图 B.32 4 c D.g 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点， 要使四边形AFDE为正方形，且不添加辅助线，则可以添加的条件是 (添加一个条件即可) 11题图 12题图 13题图 12.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交 AD,BC于点E,F.若AB=2,BC=4,则图中阴影部分的面积 为 13.如图，已知菱形ABCD的对角线交于坐标原点O,边AD∥x轴，OA= 4,∠ABC=120°，则点C的坐标是 14.如图，E是矩形ABCD边AD上一点，F,G,H分别是BE,BC,CE的中 点，AF=3,则GH的长为 14题图 15题图 15.如图，正方形ABCD的边长为4，P为对角线BD上的一点，PE⊥BC于 点E,PF⊥CD于点F,连接AP,EF.给出下列结论：①PD=√2EC; ②四边形PECF的周长为8；③AP=EF;④EF的最小值为2.其中正 确的结论为 ·（请填写序号) —1 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或 推理过程)》 16.(10分)（甘肃兰州期中）【阅读材料】 老师的问题： 小丽的作法： 如图①，已知△ABC中， (1)取CD的中点M; ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的 （2)连接BM并延长到，点E,使ME=MB; 中线，求作菱形ADCE. (3)连接AE,CE. 四边形ADCE即为所求作的菱形 16题图① 16题图② 【解答问题】 (1)请根据小丽的作法利用尺规作图补全图形，不写作法，保留作图 痕迹； (2)请根据材料中的信息，证明：四边形ADCE是菱形 17.(8分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,DE⊥AC于点 E,DF⊥BC于点F.求证：四边形CEDF是正方形 17题图 18.(8分)如图，已知M,N,P,Q分别是矩形ABCD的边BC,CD,AD,AB 的中点，连接MN,NP,PQ,QM. (1)求证：四边形MWPQ是菱形； (2)若AQ=2,PN=4,求菱形MNPQ的面积 18题图 19.(8分)如图，在口ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD 上，且FC=AE,连接AF,BF. (1)求证：四边形DEBF是矩形； (2)若AF平分∠DAB,AE=6,DF=10,求BF的长. D 19题图 20.(8分)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上任意一点，连接AE,过 点D作DF⊥AE交AB于点F,垂足为G (1)求证：BE=AF; (2)若E是BC的中点，连接BG,请探究线段FG,BG,EG之间的数 量关系. 20题图 21.(8分)（德州中考）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm,AD= 5cm,折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ,过点E作 EF∥AB交PQ于点F,连接BF. (1)求证：四边形BFEP为菱形； (2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P,Q也随之移动. ①当点Q与点C重合时（如图②），求菱形BFEP的边长； ②若限定P,Q分别在边BA,BC上移动，求出点E在边AD上移 动的最大距离. C(O) 21题图① 21题图② 22.(12分)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm,∠A=60°，点D 从点C出发，沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E 从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一 个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是 ts(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF (1)求证：AE=DF; (2)四边形AEFD能成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不 能，请说明理由； (3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由. E C B 22题图 一2 23.(13分)图①是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵 爽弦图”，是用四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成 的一个大正方形ABCD. 【问题发现】 (1)如图①，若直角三角形斜边AB的长为5，直角边AG的长为4，则 DE的长为 【知识迁移】已知正方形ABCD,P是直线CD上一动点，连接BP,分别 过点A,C,D向直线BP作垂线，垂足分别为E,F,G (2)如图②，若点P在边CD上，则线段BE和线段FG的数量关系 为」 (3)如图③，若点P在CD的延长线上，则(2)中结论是否仍成立？请 说明理由。 23题图① 23题图② 23题图③