第1章 勾股定理 典例精讲与强化训练-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过典例精讲与分层训练，系统整合定义应用、逆定理判定及实际建模，突出数形结合与逻辑推理，培养数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|勾股定理及逆定理应用、格点图形构造与面积计算、动态梯子问题建模|从基础概念（直角三角形判定）到几何直观（格点画图）再到动态应用（梯子滑动），层层递进| |强化训练|19道（单选8/填空6/解答5）|勾股数判断、最短路径展开、赵爽弦图面积转化、折叠问题辅助线构造|覆盖定义延伸（勾股数）、实际应用（芦苇/旗杆测量）、综合拓展（代数与几何结合），形成完整知识链|

第1章勾股定理典例精讲与强化训练 典例精讲 1．如图，，，，，试判断的形状，并说明理由． 2．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画一个，使其三边长分别为、、5，并写出的面积； (2)在图2中画一个，使其三边长分别为3、、，并写出的面积． 3．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 强化训练 一、单选题 1．勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1，2 D．16，30，34 2．在张家口的冰雕展上要用冰柱搭建一个直角三角形的造型，不考虑拼接处长度，下列长度适合的冰柱是（    ） A． B．，， C． D． 3．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 4．如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知，红方战舰在雷达站的北偏东方向，距离处，且红方战舰与蓝方战舰相距，则蓝方战舰在雷达站的（  ） A．南偏东方向，距离处 B．北偏东方向，距离处 C．南偏东方向，距离处 D．北偏东方向，距离处 5．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图1是一款礼盒的打开状态，测得中间正方形格子的边长为，高为．图2是该礼盒打开状态的俯视图．若一只蚂蚁此时从该礼盒正方形格子外部的底面顶点处，爬行到正方形格子内部底面的顶点处（礼盒壁的厚度忽略不计），则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 7．在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用如图所示的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．“无字证明”也可以用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．“无字证明”体现的数学思想是（   ）． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．整体思想 8．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．2026 B．2025 C． D． 二、填空题 9．已知中，，，则___________． 10．在一个长为5米、宽为3米的长方形草地ABCD上，放着一个正三棱柱木块（如图），它的侧棱平行于AD，木块的主视图是边长为1米的正三角形．一只蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是________米． 11．在中，，边上的高为4，将放在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴的正半轴上，那么点的坐标是________． 12．如图，在中，，，，，则的度数为____________．    13．木工师傅进行木工作业时，会利用较大的直角三角尺，为了方便三角尺的携带和使三角尺耐用，木工师傅常在直尺直角顶点与斜边之间加一根小木条，如图所示，若，，，则小木条的最短长度为__________ ． 14．如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为，那么的值为_______． 三、解答题 15．如图，在和中，，，，，．求证：． 16．已知的三边分别是a、b、c． (1)若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． (2)若，判断的形状并说明理由． 17．如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C是格点. (1)在图中画出关于直线的轴对称图形； (2)若点P在直线l上，求作一点P，使得最小，求出最小值并在直线l上标出点P的位置． 18．为了测量旗杆的高度，小明设计了如图所示的测量方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米处，发现此时绳子底端距离打结处约3米． (1)请利用小明设计的方案，计算旗杆的高度； (2)小明查阅旗杆设计图纸，发现测量的结果与设计高度有一点误差，你认为产生误差的原因是什么？（至少写出一条） 19．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】根据求出，即可得出，从而可判断三角形的形状． 【详解】略 2．(1)如图1，面积为5 (2)如图2，面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，用线段表示无理数，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：图略， ，，， ， 为直角三角形，且， ； （2）解：图略， ，，， ． 3．(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 强化训练解析 1．D 【分析】本题主要考查了勾股数，熟知满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项分析即可解答． 【详解】解： A、，，，∴6，7，10不是勾股数．故此选项不符合题意； B、∵0.3， 0.4，0.5 非整数，∴0.3， 0.4，0.5不是勾股数．故此选项不符合题意； C、此选项不符合题意； D、，，，∴16，30，34是勾股数．故此选项符合题意． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据各组长度是否满足两边平方和等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A．∵ ，，，∴ 不能构成直角三角形，不合题意； B．∵ ，，，∴不能构成直角三角形，不合题意； C．∵ ，，，∴不能构成直角三角形，不合题意； D．∵ ，，，∴能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键． 根据，点A在点O的北偏东方向，可知点B在点O的南偏东方向，根据勾股定理可知，即可求解． 【详解】解：，点A在点O的北偏东方向， 点B在点O的南偏东方向， 根据勾股定理可知， 综上可知点B在点O的南偏东方向，距离处． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的A点沿礼盒的表面爬到盒内的B点，蚂蚁爬行的最短距离是如图的长度，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：将立体图形展开，作A关于的对称点C，连接，得到如下图形，此时即为所求， 根据题意，得，，， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查数学思想，熟练掌握每种数学思想的适用场合是关键． 结合题干的描述，判断对应的数学思想即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现数形结合思想． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了勾股定理，图形类的规律探索，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为（由正方形B和正方形C“生长”出来的四个正方形的面积之和等于正方形B和正方形C的面积之和）， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， ……， 以此类推可知，“生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 故选：A． 9．5或 【分析】本题考查了根据勾股定理求直角三角形中的边长等知识．分为斜边和为斜边两种情况分类利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，当为斜边时，； 当为斜边时，． 故答案为：5或 10． 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为3米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， 长方形的长为米， 长方形的宽为3米， 一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， 米， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质，解题的关键是要先建立直角坐标系． 建立平面直角坐标系，再以O为圆心，5为半径作圆，作直线，与两条直线交于四点，即为所求． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，以O为圆心，5为半径作圆，作直线，与两条直线交于点，即为所求． 由图可得，点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 同理可得，点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为． 综上所述，点B的坐标是． 故答案为：． 12． 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 13． 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 根据勾股定理可得，由垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式，即可得小木条的最短长度． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，最短， 此时，， 则， 即小木条的最短长度为， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形外的阴影部分的面积为， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 15． 解：在上截取，连接， ∵，，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】要证明，只需证明为直角三角形且．我们通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的长度，最后回到验证勾股定理逆定理即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握通过构造全等三角形实现线段与角的转化，再结合勾股定理逆定理判定直角是解题的关键． 16．(1)25 (2)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、平方的非负性、三角形三边关系及因式分解的应用． （1）先将已知等式通过完全平方公式变形，再根据平方的非负性求出a、b的值，最后根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出周长的最大值； （2）先对已知等式进行移项，然后通过因式分解将等式变形，再根据因式分解的结果判断的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴且， 解得，， 根据三角形三边关系，可得，即， ∵c是正整数， ∴c的最大值为12， ∴周长的最大值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴或， 当时，，此时是等腰三角形； 当时，，此时是直角三角形， ∴是等腰三角形或直角三角形． 17．(1) 如图所示，即为所求， (2)如图所示，点P即为所求， 最小值为5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，格点作图及轴对称的性质． （1）先分别作出A，B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可得出； （2）过点B作关于直线l的对称点，连接与直线l交点P，此时的最小值即为的值，利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：过点B作关于直线l的对称点，连接与直线l交点P， 此时的最小值即为的值， ∵，，， ∴在中，， ∴的最小值为5． 18．(1)旗杆的高度为12米 (2)测量长度有误差（答案不唯一） 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）设旗杆的高度为，根据勾股定理进行求解即可； （2）根据可能产生误差的原因，作答即可． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为， 由勾股定理，得：， 解得； 答：旗杆的高度为12米； （2）解：产生误差的原因可能是测量长度有误差（答案不唯一）． 19．(1) 证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； (2) 证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； (3) ，理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $